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“三句口诀”轻松搞定解三角形(1+2+3+8=250)

“三句口诀”轻松搞定解三角形

口诀1：有边又有角，要么边化角，要么角化边；

口诀2：三个角同时出现时，利用内角和180°换掉其中的一个或两个；口诀3：面积公式与余弦定理合用．

边化角公式：2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===

()R ABC 为外接圆的半径；

角化边公式：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac

+-=，222

cos 2a b c C ab +-=；

sin ,sin ,sin 222a

b c

A B C R

R R =

()R ABC 为外接圆的半径；面积公式：111

sin sin sin 222

ABC

S ab C ac B bc A =

==；余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-，

2cos c a b ab C =+-．

例题讲解：

例1：【2012高考新课标】

已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--=．（1）求A ；（2）若2a =，ABC ?的面积为3，求,b c ．

分析：等式cos 3sin 0a C a C b c +--=中有边又有角，用口诀1边化角；边化角后三个角同时出现用口诀2，轻松解决第（1）问；第（2）问中考三角形面积，用口诀3；

解：（1）由正弦定理，边化角得：

2sin cos 32sin sin 2sin 2sin 0R A C R A C R B R C +--=，

．．．．．．．．．口诀 1 sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C B C ?+--=，

sin cos 3sin sin sin(())sin 0A C A C A C C π?+--+-=．

．．．．．．．．．口诀 2 sin cos 3sin sin (sin cos cos sin ))sin 0A C A C A C A C C ?+-+-=， (3sin cos 1)sin 0A A C ?--=，又(0,)C π∈，sin 0C >，

3sin cos 10A A ∴--=，即：1

sin()62

A π

-=，

又(0,)A π∈，3

A π

∴=

．

（2）由余弦定理和面积公式得：2222c 1

os sin 2

ABC a b c bc A

S bc A ??=+-?

?=??，．．．．．．．口诀 3 222

122s cos 3

33in 2b b c bc c ππ=+???=?

-????2b c ?==．例2：【2013高考新课标】

ABC ?中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+．

（1）求B ；（2）若2b =，求ABC ?面积的最大值．

分析：等式cos sin a b C c B =+中有边又有角，用口诀1边化角；边化角后三个角同时出现用口诀2，轻松解决第（1）问；第（2）问中考三角形面积，用口诀3；

解：（1）由正弦定理，边化角得：

cos 2sin 2sin 2s n in si C R A R B R C B =+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．口诀1 cos s sin sin s n in i C B A B C +?=

sin(())si cos s sin n in C B C B C B π+?-+=．．．．．．．．．．．．．．．．口诀2 sin cos si cos n sin sin cos sin B C B C B C B C +=+?，

sin co i s n s n si B C B C =?，又(0,)C π∈，sin 0C >， cos sin B B =?，又(0,)B π∈，4

B π

∴=

．

（2）由余弦定理和面积公式得：2222c 1

os sin 2

ABC b a c ac B

S ac B ??=+-?

?=??．．．．．．口诀3 222

1s 22s 4

in 2co 4ABC

a c ac S ac ππ??????=+-?=??，又222a c ac +≥，

ac ∴≤

-，当且仅当a c =时，等号成立， ABC S ?∴的最大值为21+．例3：【2013年高考湖北卷】

在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 23cos()1A B C -+=．

（1）求角A 的大小；（2）若ABC ?的面积53S =，5b =，求sin sin B C 的值．分析：先用口诀2化简cos 23cos()1A B C -+=求出A ，第（2）问用口诀3．解：（1）由cos 23cos()1A B C -+=及A B C π++=得：

cos 23cos()1A A π--=，

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．口诀2 22cos 13cos 1A A ?-+=1

cos 2

A ?=

或cos 2A =-(舍去)，又(0,)A π∈，3

A π

∴=

．

（2）由余弦定理和面积公式得：2

2c 1

os sin 2ABC a b c bc A

S bc A ??=+-?

?=??．．．．．．口诀3 得：4c =，21a =，由正弦定理得：sin sin 5

sin sin 7

b A

c A B C a a ==．

练习题：

1、（2013年高考天津卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知sin 3sin b A c B =，

a = 3，2

cos 3B =．（1）求b 的值；（2）求sin 23B π?? ??

?-的值．

2、（2013年高考浙江卷）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2sin 3a B b =．（1）求角A 的大小；（2）若6a =，8b c +=，求△ABC 的面积．

3、（2011年山东高考）在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c a

B b

--=，

（1）求sin sin C A 的值；（2）若1

cos ,24

B b ==，求AB

C ?的面积S ．

4、（2011年安徽高考）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C =

（1）求角C 的大小；（2）求3sin cos()4A B π

-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．

5、（2011年全国卷高考）△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．己知

s i n c s i n 2s i n s i n

a A C a C

b B +-=．（1）求B ；（2）若75,2,A b ?==a

c 求，．

三招破解三角形解的个数问题

三角形解的个数问题学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼.知道 3边，2 角1边，2边及其夹角时不会出现两解；在已知三角形的两边及其中一边的对角（即 “边边角”）的条件下解三角形时，解的个数有几个呢？一解，二解还是无解？《必修5》在第8页到第9页的“探究与发现”《解三角形的进一步讨论》有详细说明.即在已知ABC 中的边长a , b 和角A ，且已知a , b 的大小关系，常利用正弦定理求出sinB 的值， ① 若该值大于1,与sinB 1矛盾，则无解； ② 若该值小于或等于 1,则要考虑a , b 的大小关系及 A 为锐角还是钝角：若A 是钝角，且该值小于 1,则有1解，若该值等于1,则无解；若A 是锐角，且b a ，则有1解；若b a ，且该值小于1,则有2解；b a ，且该值等于1，则有1解. 但分类层次多，分类种数多，注重形，又指定边角，不易被学生所接受.即本节能理解，操作应用起来也很不方便.下面提供“几招”供同学们选择，希望能帮助同学们顺利破解. 第一招：大角对大边在已知ABC 中的边长a , b 和角A ，且已知a , b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角” 来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角 B 与角A A B sinA sinB 这是个隐含条件，在使用时我们要注意第二招：二次方程的正根个数一般地，在ABC 中的边长a , b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于 c 的一元二次方程c 2 2bccosA b 2 a 2 0 ,若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解, 【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD , BDA 60 , BCD 135，求 BC 的长. 解：在ABD 中，设BD x ，由余弦定理得142 x 2 由正弦定理，得 BC BDsin CDB 16sin3° &2 ? 的大小关系，然后求出B 的值，根据三角函数的有界性求解._ 【例1】在ABC 中，已知a -.3 , b ,2 , B 45，求A 、C 及c . 解:由正弦定理，得sinA 3si n 45 3 ,... R 45 90 , b a ，二 A 60 或 120 . b V2 2 、、2 sin 75 、、6 2 _______ _______ . sin 45 2 ，、、2si n15 ■ 6 & sin 45 2 当A 60时，C 当A 120时，C 75 , 15 , bsin C sin B bsinC sin B 点评：在三角形中，a b 挖掘. B

解三角形中有关范围问题的一般方法

解三角形中有关范围问题的一般方法江苏省阜宁中学顾乃春解三角形是高中数学的重要内容，是继三角函数、三角恒等变换之后的内容，所以解三角形问题常常和前面的知识综合应用，特别是在考查两角和与差的三角公式这个重要的知识点时，三角形作为主要的载体，在高考试卷中以填空题或解答题形式出现，近年又多以解答题形式出现，其中涉及范围的求解问题出现的频率又较高，应引起重视。求范围问题大体包括三角形中的角、角的三角函数值、边、面积的范围。本文以求三角形的面积为例来说明解决这类问题的主要方法。例：半径为R 的圆外接于ABC ?，且 B b a C A R sin )3()sin (sin 22 2-=-. ①求角C ； ②求ABC ?面积的最大值； ①先利用正弦定理，再利用余弦定理易得6 π=∠C ； ②解法一：三角公式法解： 6 π πππ+ =-?-=+?=++A B B C A C B A 6sin sin 2sin 221sin 21π ??==?B R A R C ab S ABC )sin(sin 2B A R -=π)6 sin(sin 2A A R +=π )cos 21sin 23( sin 2A A A R += )cos sin 21 sin 23(22A A A R += ]2sin 21 )2cos 1(23[212A A R +-= ]23)32[sin(212+-= πA R 650π<