初中数学 勾股定理旋转。面积。最值问题

知识点一．直角三角形与旋转问题

1、将图形中的三角形绕某一点作适当旋转，可帮助解决很多几何问题。

（1）如图1，直角△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，D 为BC 边上的一点，将△ABD 绕点A

逆时针旋转90°至△ACF ，作AE 平分∠DAF 交BC 于E ，请证明：BD 2+CE 2=DE 2；

（2）如图2，四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若四边形ABCD 的面积是64cm 2，

则AC 长是 ▲ cm ； （3）如图3，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．∠ADC=30°，AD=2，

BD=3，求CD 的长．

2、如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连接PA ，PB ，PC ，以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连接CQ ．

(1) 观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论；

(2) 若PA ：PB ：PC =3：4：5，连接PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．

图1 B C F

图2

图3

知识点二．将军饮马及最短距离

2、如图，有一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20，3，2，A和B是这个台阶的两个相对的端点．若A点有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是______.

3、如图,圆柱的底面周长为48cm,高为7cm,一只蚂蚁从点B出发沿着圆柱的表面爬行到点A,现有两种路径：①折线B→C→A;②在圆柱侧面上从B到A的一条最短的曲线l.请分别计算这两种路径的长,较短的路径是___.(填①或②).

4、如图，长方体的长，宽，高分别为8，4，10．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为______．

1.如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC=1，则PC+PE的最小值是_______．

2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，∠ABC的平分线BD交AC于D，且BD=8，点E 是AB边上的一动点，则DE的最小值为．

3．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=6．BC=6，点P是AB 上一个动点，则PC + PD的最小值为．

4.如图，∠AOB=30°，点M，N分别在边OA，OB上，OM=5，ON=12，点P，Q分别在边OB，OA上运动，连接MP，PQ，QN，求MP+PQ+QN的最小值 .

6、如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24 cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，

（1）求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离

（2）若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？

7、如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，

且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千

米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用

是多少？

知识点三．图形中线段问题

1、如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上

的点，且DE⊥DF。（1）请说明：DE=DF ；（2）请说明：BE2+CF2=EF2；（3）若BE=6，CF=8，

求△DEF的面积。（直接写结果）

2、如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．（1）

求证：△ACE≌△BCD；（2）若AD=5，BD=12，求DE的长

A

B

C D

L A

B

C D

L

知识点四．图形面积问题

1、如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．

2、如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上．

(1) 判断△ABC是什么形状，并说明理由 (2) 求△ABC的面积．

3、如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=（）

知识点五．判断形状：

1、在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长的边．当a2＋b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状 (按角分类)． (1) 当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为三角形；当△ABC

的三边长分别为6，8，11时，△ABC为三角形．

(2) 猜想：当a2＋b2c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2c2

时，△ABC为钝角三角形．

(3) 当a=2，b=4时，判断△ABC的形状，并求出对应的c2的取值范围．

知识点六：动点问题

1、如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．问t为何值时，△BCP为等腰

三角形？

2、已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，CD为AB边上的高。动点P从点A 出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s，设运动时间为t. （1）求CD的长；（2）当P在AB边上运动，t为何值时，△ACP为等腰三角形？

（2）若M为BC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M，N使得AM+MN的值最小。如果有请求出最小值，如果没有请说明理由。