函数的单调性与最值考点和题型归纳
一、基础知识
1.增函数、减函数
定义:设函数f(x)的定义域为I:
(1)增函数:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 (2)减函数:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 增(减)函数定义中的x1,x2的三个特征 一是任意性;二是有大小,即x1 若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间. 有关单调区间的两个防范 (1)单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示. (2)有多个单调区间应分别写,不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“逗号”或“和”连接. 3.函数的最值 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M或f(x)≥M. (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M. 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值或最小值. 函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值. 二、常用结论 在公共定义域内: (1)函数f (x )单调递增,g (x )单调递增,则f (x )+g (x )是增函数; (2)函数f (x )单调递减,g (x )单调递减,则f (x )+g (x )是减函数; (3)函数f (x )单调递增,g (x )单调递减,则f (x )-g (x )是增函数; (4)函数f (x )单调递减,g (x )单调递增,则f (x )-g (x )是减函数; (5)若k >0,则kf (x )与f (x )单调性相同;若k <0,则kf (x )与f (x )单调性相反; (6)函数y =f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y =-f (x ),y =1 f (x ) 的单调性相反; (7)复合函数y =f [g (x )]的单调性与y =f (u )和u =g (x )的单调性有关.简记:“同增异减”. 考点一 确定函数的单调性(区间)) [典例] (1)求函数f (x )=-x 2+2|x |+1的单调区间. (2)试讨论函数f (x )=ax x -1 (a ≠0)在(-1,1)上的单调性. [解] (1)易知f (x )=????? -x 2+2x +1,x ≥0, -x 2 -2x +1,x <0 =????? -(x -1)2+2,x ≥0, -(x +1)2 +2,x <0. 画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞). (2)法一:定义法 设-1 f (x )=a ? ????x -1+1x -1=a ? ? ???1+1x -1, 则f (x 1)-f (x 2)=a ? ????1+1x 1-1-a ? ?? ?? 1+1x 2-1 = a (x 2-x 1) (x 1-1)(x 2-1). 由于-1 所以x 2-x 1>0,x 1-1<0,x 2-1<0, 故当a >0时,f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 函数f (x )在(-1,1)上单调递减; 当a <0时,f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1) f ′(x )=(ax )′(x -1)-ax (x -1)′ (x -1)2 =a (x -1)-ax (x -1)2=-a (x -1)2 . 当a >0时,f ′(x )<0,函数f (x )在(-1,1)上单调递减; 当a <0时,f ′(x )>0,函数f (x )在(-1,1)上单调递增. [解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法 (1)定义法:一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论. (2)图象法:如果f (x )是以图象形式给出的,或者f (x )的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性. (3)导数法:先求导数,利用导数值的正负确定函数的单调性及区间. (4)性质法:对于由基本初等函数的和、差构成的函数,根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断;复合函数单调性,可用同增异减来确定. [题组训练] 1.下列函数中,满足“?x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2,(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0”的是( ) A .f (x )=2x B .f (x )=|x -1| C .f (x )=1x -x D .f (x )=ln(x +1) 解析:选C 由(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0可知,f (x )在(0,+∞)上是减函数,A 、D 选项中,f (x )为增函数;B 中,f (x )=|x -1|在(0,+∞)上不单调;对于f (x )=1x -x ,因为y =1 x 与y =- x 在(0,+∞)上单调递减,因此f (x )在(0,+∞)上是减函数. 2.函数f (x )=log 1 2(x 2-4)的单调递增区间是( ) A .(0,+∞) B .(-∞,0) C .(2,+∞) D .(-∞,-2) 解析:选D 令t =x 2-4,则y =log 12t .因为y =log 1 2t 在定义域上是减函数,所以求原函 数的单调递增区间,即求函数t =x 2-4的单调递减区间,结合函数的定义域,可知所求区间为(-∞,-2). 3.判断函数f (x )=x +a x (a >0)在(0,+∞)上的单调性. 解:设x 1,x 2是任意两个正数,且x 1 则f (x 1)-f (x 2)=????x 1+a x 1-????x 2+a x 2=x 1-x 2x 1x 2(x 1x 2-a ). 当0 综上可知,函数f (x )=x +a x (a >0)在(0,a ]上是减函数,在[a ,+∞)上是增函数. 考点二 求函数的值域(最值)) [典例] (1)(2019?深圳调研)函数y =|x +1|+|x -2|的值域为________. (2)若函数f (x )=-a x +b (a >0)在????12,2上的值域为????12,2,则a =________,b =________. (3)函数f (x )=? ???? -x 2-4x ,x ≤0, sin x ,x >0的最大值为________. [解析] (1)图象法 函数y =???? ? -2x +1,x ≤-1,3,-1 2x -1,x ≥2. 作出函数的图象如图所示. 根据图象可知,函数y =|x +1|+|x -2|的值域为[3,+∞). (2)单调性法 ∵f (x )=-a x +b (a >0)在????12,2上是增函数, ∴f (x )min =f ????12=12,f (x )max =f (2)=2. 即??? -2a +b =1 2,-a 2+b =2, 解得a =1,b =5 2 . (3)当x ≤0时,f (x )=-x 2-4x =-(x +2)2+4,而-2∈(-∞,0],此时f (x )在x =-2处取得最大值,且f (-2)=4;当x >0时,f (x )=sin x ,此时f (x )在区间(0,+∞)上的最大值为1.综上所述,函数f (x )的最大值为4. [答案] (1)[3,+∞) (2)1 5 2 (3)4 [提醒] (1)求函数的最值时,应先确定函数的定义域. (2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值. [题组训练] 1.函数f (x )=x 2+4x 的值域为________. 解析:当x >0时,f (x )=x +4 x ≥4, 当且仅当x =2时取等号; 当x <0时,-x +????-4 x ≥4, 即f (x )=x +4 x ≤-4, 当且仅当x =-2取等号, 所以函数f (x )的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞). 答案:(-∞,-4]∪[4,+∞) 2.若x ∈????-π6,2π 3,则函数y =4sin 2x -12sin x -1的最大值为________,最小值为________. 解析:令t =sin x ,因为x ∈????-π6,2π3, 所以t ∈??? ?-1 2,1,y =f (t )=4t 2-12t -1, 因为该二次函数的图象开口向上,且对称轴为t =3 2,所以当t ∈????-12,1时,函数f (t )单调递减, 所以当t =-1 2时,y max =6; 当t =1时,y min =-9. 答案:6 -9 3.已知f (x )=x 2+2x +a x ,x ∈[1,+∞),且a ≤1.若对任意x ∈[1,+∞),f (x )>0恒成立, 则实数a 的取值范围是________. 解析:对任意x ∈[1,+∞),f (x )>0恒成立等价于x 2+2x +a >0在x ∈[1,+∞)上恒成立,即a >-x 2-2x 在x ∈[1,+∞)上恒成立. 又函数y =-x 2-2x 在[1,+∞)上单调递减, ∴(-x 2-2x )max =-3,故a >-3, 又∵a ≤1,∴-3 考点三 函数单调性的应用 考法(一) 比较函数值的大小 [典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ,当x ∈[0,+∞)时,f (x )是增函数,则f (-2),f (π),f (-3)的大小关系是( ) A .f (π)>f (-3)>f (-2) B .f (π)>f (-2)>f (-3) C .f (π) D .f (π) [解析] 因为f (x )是偶函数,所以f (-3)=f (3),f (-2)=f (2). 又因为函数f (x )在[0,+∞)上是增函数. 所以f (π)>f (3)>f (2),即f (π)>f (-3)>f (-2). [答案] A [解题技法] 比较函数值大小的解题思路 比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,要利用其函数性质,转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解. 考法(二) 解函数不等式 [典例] 设函数f (x )=? ???? 2x ,x <2, x 2,x ≥2.若f (a +1)≥f (2a -1),则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,1] B .(-∞,2] C .[2,6] D .[2,+∞) [解析] 易知函数f (x )在定义域(-∞,+∞)上是增函数,∵f (a +1)≥f (2a -1), ∴a +1≥2a -1,解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(-∞,2]. [答案] B [解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路 先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式,再根据函数的单调性去掉“f ”,得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x ) 考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值) [典例] (2019?南京调研)已知函数f (x )=x -a x +a 2在(1,+∞)上是增函数,则实数a 的 取值范围是________. [解析] 设1 2-????x 2-a x 2+a 2 =(x 1-x 2)???? 1+a x 1x 2<0. ∵x 1-x 2<0,∴1+a x 1x 2 >0,即a >-x 1x 2. ∵1 [解题技法] 利用单调性求参数的范围(或值)的方法 (1)视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数; (2)需注意若函数在区间[a ,b ]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. [题组训练] 1.已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称,当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)]·(x 2 -x 1)<0恒成立,设a =f ??? ?-1 2,b =f (2),c =f (3),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .c >a >b B .c >b >a C .a >c >b D .b >a >c 解析:选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称,故函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称,所以a =f ????-12=f ????5 2.当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0恒成立,等价于函数f (x )在(1,+∞)上单调递减,所以b >a >c . 2.已知函数f (x )=????? ax 2-x -14,x ≤1, log a x -1,x >1是R 上的单调函数,则实数a 的取值范围是 ( ) A.???? 14,12 B.???? 14,12 C.??? ?0,12 D.????12,1 解析:选B 由对数函数的定义可得a >0,且a ≠1. 又函数f (x )在R 上单调,而二次函数y =ax 2-x -1 4的图象开口向上, 所以函数f (x )在R 上单调递减, 故有????? 0 12a ≥1,a ×12 -1-14 ≥log a 1-1,即????? 0 0 a ≥14. 所以a ∈???? 14,12. [课时跟踪检测] A 级 1.下列四个函数中,在x ∈(0,+∞)上为增函数的是( ) A .f (x )=3-x B .f (x )=x 2-3x C .f (x )=-1 x +1 D .f (x )=-|x | 解析:选C 当x >0时,f (x )=3-x 为减函数;当x ∈????0,3 2时,f (x )=x 2-3x 为减函数,当x ∈????32,+∞时,f (x )=x 2-3x 为增函数;当x ∈(0,+∞)时,f (x )=-1 x +1为增函数;当x ∈(0,+∞)时,f (x )=-|x |为减函数. 2.若函数f (x )=ax +1在R 上单调递减,则函数g (x )=a (x 2-4x +3)的单调递增区间是( ) A .(2,+∞) B .(-∞,2) C .(4,+∞) D .(-∞,4) 解析:选B 因为f (x )=ax +1在R 上单调递减,所以a <0. 而g (x )=a (x 2-4x +3)=a (x -2)2-a . 因为a <0,所以g (x )在(-∞,2)上单调递增. 3.已知函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f (2x -1)<f ???? 13的x 的取值范围是( ) A.???? 13,23 B.???? 13,23 C.????12,23 D.????12,23 解析:选D 因为函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的增函数,满足f (2x -1)<f ???? 13. 所以0≤2x -1<13,解得12≤x <23 . 4.(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕:当a ≥b 时,a ⊕b =a ;当a A .-1 B .1 C .6 D .12 解析:选C 由题意知当-2≤x ≤1时,f (x )=x -2,当1 5.已知函数f (x )是R 上的增函数,A (0,-3),B (3,1)是其图象上的两点,那么不等式-3<f (x +1)<1的解集的补集是(全集为R)( ) A .(-1,2) B .(1,4) C .(-∞,-1)∪[4,+∞) D .(-∞,-1]∪[2,+∞) 解析:选D 由函数f (x )是R 上的增函数,A (0,-3),B (3,1)是其图象上的两点,知不等式-3<f (x +1)<1即为f (0)<f (x +1)<f (3),所以0<x +1<3,所以-1<x <2,故不等式-3<f (x +1)<1的解集的补集是(-∞,-1]∪[2,+∞). 6.已知函数f (x )=???? ? -x 2-ax -5,x ≤1,a x ,x >1是R 上的增函数,则实数a 的取值范围是 ( ) A .[-3,0) B .(-∞,-2] C .[-3,-2] D .(-∞,0) 解析:选C 若f (x )是R 上的增函数,则应满足??? -a 2 ≥1,a <0, -12 -a ×1-5≤a 1 ,解得-3≤a ≤ -2. 7.已知函数f (x )=x 2-2x -3,则该函数的单调递增区间为________. 解析:设t =x 2-2x -3,由t ≥0,即x 2-2x -3≥0,解得x ≤-1或x ≥3,所以函数f (x )的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t =x 2-2x -3的图象的对称轴为x =1,所以函数t =x 2-2x -3在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,所以函数f (x )的单调递增区间为[3,+∞). 答案:[3,+∞) 8.函数f (x )=????? 1x ,x ≥1, -x 2+2,x <1 的最大值为________. 解析:当x ≥1时,函数f (x )=1 x 为减函数,所以f (x )在x =1处取得最大值,为f (1)=1; 当x <1时,易知函数f (x )=-x 2+2在x =0处取得最大值,为f (0)=2.故函数f (x )的最大值为2. 答案:2 9.若函数f (x )=1x 在区间[2,a ]上的最大值与最小值的和为3 4,则a =________. 解析:由f (x )=1x 的图象知,f (x )=1 x 在(0,+∞)上是减函数,∵[2,a ]?(0,+∞), ∴f (x )=1 x 在[2,a ]上也是减函数, ∴f (x )max =f (2)=12,f (x )min =f (a )=1 a , ∴12+1a =3 4,∴a =4. 答案:4 10.(2019·甘肃会宁联考)若f (x )=x +a -1 x +2在区间(-2,+∞)上是增函数,则实数a 的 取值范围是________. 解析:f (x )=x +a -1x +2=x +2+a -3x +2=1+a -3 x +2,要使函数在区间(-2,+∞)上是增函数, 需使a -3<0,解得a <3. 答案:(-∞,3) 11.已知函数f (x )=1a -1 x (a >0,x >0). (1)求证:f (x )在(0,+∞)上是增函数; (2)若f (x )在????12,2上的值域是????1 2,2,求a 的值. 解:(1)证明:任取x 1>x 2>0, 则f (x 1)-f (x 2)=1a -1x 1-1a +1x 2=x 1-x 2 x 1x 2, ∵x 1>x 2>0, ∴x 1-x 2>0,x 1x 2>0, ∴f (x 1)-f (x 2)>0, 即f (x 1)>f (x 2), ∴f (x )在(0,+∞)上是增函数. (2)由(1)可知,f (x )在???? 12,2上是增函数, ∴f ????12=1a -2=12,f (2)=1a -12 =2, 解得a =2 5 . 12.已知f (x )=x x -a (x ≠a ). (1)若a =-2,试证f (x )在(-∞,-2)内单调递增; (2)若a >0且f (x )在(1,+∞)内单调递减,求a 的取值范围. 解:(1)证明:当a =-2时,f (x )=x x +2. 任取x 1,x 2∈(-∞,-2),且x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2 x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2). 因为(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 所以f (x )在(-∞,-2)内单调递增. (2)任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1-a -x 2 x 2-a =a (x 2-x 1)(x 1-a )(x 2-a ). 因为a >0,x 2-x 1>0,又由题意知f (x 1)-f (x 2)>0, 所以(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立,所以a ≤1. 所以0<a ≤1. 所以a 的取值范围为(0,1]. B 级 1.若f (x )=-x 2+4mx 与g (x )=2m x +1在区间[2,4]上都是减函数,则m 的取值范围是( ) A .(-∞,0)∪(0,1] B .(-1,0)∪(0,1] C .(0,+∞) D .(0,1] 解析:选D 函数f (x )=-x 2+4mx 的图象开口向下,且以直线x =2m 为对称轴,若在区间[2,4]上是减函数,则2m ≤2,解得m ≤1;g (x )=2m x +1的图象由y =2m x 的图象向左平移一 个单位长度得到,若在区间[2,4]上是减函数,则2m >0,解得m >0.综上可得,m 的取值范围是(0,1]. 2.已知函数f (x )=ln x +x ,若f (a 2-a )>f (a +3),则正数a 的取值范围是________. 解析:因为f (x )=ln x +x 在(0,+∞)上是增函数, 所以???? ? a 2-a >a +3, a 2 -a >0, a +3>0, 解得-33. 又a >0,所以a >3. 答案:(3,+∞) 3.已知定义在R 上的函数f (x )满足: ①f (x +y )=f (x )+f (y )+1,②当x >0时,f (x )>-1. (1)求f (0)的值,并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)=1,解关于x 的不等式f (x 2+2x )+f (1-x )>4. 解:(1)令x =y =0,得f (0)=-1. 在R 上任取x 1>x 2,则x 1-x 2>0,f (x 1-x 2)>-1. 又f (x 1)=f [(x 1-x 2)+x 2]=f (x 1-x 2)+f (x 2)+1>f (x 2), 所以函数f (x )在R 上是单调增函数. (2)由f (1)=1,得f (2)=3,f (3)=5. 由f (x 2+2x )+f (1-x )>4得f (x 2+x +1)>f (3), 又函数f (x )在R 上是增函数,故x 2+x +1>3, 解得x <-2或x >1, 故原不等式的解集为{x |x <-2或x >1}. 高一数学函数单调性 一、函数单调性知识结构 【知识网络】 1.函数单调性的定义,2.证明函数单调性;3.求函数的单调区间 4.利用函数单调性解决一些问题;5.抽象函数与函数单调性结合运用 二、重点叙述 1. 函数单调性定义 (一)函数单调性概念 (1)增减函数定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 : 如果当x1<x2时,都有f(x1 ) <f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数; 如果当x1<x2时,都有f(x1 ) >f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。 如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。 (2)函数单调性的内涵与外延 ⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。 ⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D, ① x1<x2 ,且f(x1 ) <f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性) ② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1<x2 , f(x1 ) <f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) <f(x2 ), x1<x2。(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法 证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。 实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。 (1)定义法:利用增减函数的定义证明。在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比 函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳: 1. 求函数的解析式 (1)求函数解析式的常用方法: ①换元法( 注意新元的取值范围) ②待定系数法(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等) ③整体代换(配凑法) ④构造方程组(如自变量互为倒数、已知f (x )为奇函数且g (x )为偶函数等) (2)求函数的解析式应指明函数的定义域,函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围,同时也要注意变量的实际意义。 (3)理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y =f (x )表示的函数的定义域时,常有以下几种情况: ①若f (x )是整式,则函数的定义域是实数集R ; ②若f (x )是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集; ③若f (x )是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合; ④若f (x )是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑤若f (x )是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域(最值)的一般方法: (1)利用基本初等函数的值域; (2)配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数); (3)不等式法(利用基本不等式,尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数) (4)函数的单调性:特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 (5)部分分式法、判别式法(分式函数) (6)换元法(无理函数) (7)导数法(高次函数) (8)反函数法 (9)数形结合法 4. 求函数的单调性 (1)定义法: (2)导数法: (3)利用复合函数的单调性: (4)关于函数单调性还有以下一些常见结论: ①两个增(减)函数的和为_____;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是______; ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性;偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性; ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性; (5)求函数单调区间的常用方法:定义法、图象法、复合函数法、导数法等 (6)应用:比较大小,证明不等式,解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较f (x ) 与f (-x )的关系。f (x ) - 函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地,设函数()f x 的定义域为I : (1)如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x <,那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数; (2)如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x >,那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 (1)图像法:从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数。 (2)定义法步骤; ①取值:设12,x x 是给定区间内的两个任意值,且12x x < (或12x x >); ②作差:作差12()()f x f x -,并将此差式变形(注意变形到能判断整个差式符号为止); ③定号:判断12()()f x f x -的正负(要注意说理的充分性),必要时要讨论; ④下结论:根据定义得出其单调性. (3)复合函数的单调性: 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正”) 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =,在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数在这个区间上具有单调性,区间D 叫做()y f x =的单调区间. 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图. (1)从左向右看,图形是如何变化的? (2)在哪些区间上升哪些区间下降? 解:(1)从左向右看,图形先下降,后上升,再下降; (2)在区间[0,4]和[14,24]下降,在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象,观察其变化规律: (1)f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降 ②在区间(-∞,+∞)上,随着x 的增大,f (x )的值随着怎么变化? 2.3.1 函数的单调性·例题解析【例1】求下列函数的增区间与减区间 (1)y=|x2+2x-3| (2)y (3)y = = x x x x x 2 2 2 11 23 - -- --+ || 解(1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4. 先作出f(x)的图像,保留其在x轴及x轴上方部分,把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y=|x2+2x-3|的图像,如图2.3-1所示. 由图像易得: 递增区间是[-3,-1],[1,+∞) 递减区间是(-∞,-3],[-1,1] (2)分析:先去掉绝对值号,把函数式化简后再考虑求单调区间. 解当x-1≥0且x-1≠1时,得x≥1且x≠2,则函数y=-x. 当x-1<0且x-1≠-1时,得x<1且x≠0时,则函数y=x-2. ∴增区间是(-∞,0)和(0,1) 减区间是[1,2)和(2,+∞) (3)解:由-x2-2x+3≥0,得-3≤x≤1. 令u==g(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.在x∈[-3,-1] 上是在x∈[-1,1] 上是. 而=在≥上是增函数. y u0 u ∴函数y的增区间是[-3,-1],减区间是[-1,1]. 【例2】函数f(x)=ax2-(3a-1)x+a2在[-1,+∞]上是增函数,求实数a的取值范 围. 解 当a =0时,f(x)=x 在区间[1,+∞)上是增函数. 当≠时,对称轴= , 若>时,由>≤,得<≤. a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a a a --??? ?? 若a <0时,无解. ∴a 的取值范围是0≤a ≤1. 【例3】已知二次函数y =f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x =3的抛物线,试比较大小: (1)f(6)与f(4) (2)f(2)f(15)与 解 (1)∵y =f(x)的图像开口向下,且对称轴是x =3,∴x ≥3时,f(x)为减函数,又6>4>3,∴f(6)<f(4) (2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴=,∴=,而< <,函数在≥15 时为减函数. ∴>,即>.f(15)f(4)f(15)f(2) 【例4】判断函数= ≠在区间-,上的单调性.f(x)(a 0)(11)ax x 2 1 - 解 任取两个值x 1、x 2∈(-1,1),且x 1<x 2. ∵-= ∵-<<<,+>,->,-<,-<.∴ >f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 100 12121221a x x x x x x x x x x x x ()()()() ()()()() 122112 22 12 12 122112 22 111111+---+--- 当a >0时,f(x)在(-1,1)上是减函数. 当a <0时,f(x)在(-1,1)上是增函数. 【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)=-x 3+1在(-∞,+∞)上是减函数. 证 取任意两个值x 1,x 2∈(-∞,+∞)且x 1<x 2. ∵-=-++这里有三种证法:当<时,++=+->当≥时,++>f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 0 2112221212 1212 1222 122 121212 1222证法一 单调性与最大(小)值 要点一、函数的单调性 1.增函数、减函数的概念 一般地,设函数f(x)的定义域为A ,区间D A ?: 如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x 1 2.3 函数的单调性 学习目标: 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会用定义判断函数的单调性,会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值. 重点难点:函数单调性的应用 一、知识点梳理 1.函数单调性定义:对于给定区间D 上的函数f(x),若对于任意x 1,x 2∈D, 当x 1 若内外两函数的单调性相反时,则()y f g x =????在x 的区间D 内单调递减. 3.常见结论 若f(x)为减函数,则-f(x)为增函数 ; 若f(x)>0(或<0)且为增函数,则函数) (1x f 在其定义域内为减函数. ( 二、例题精讲 题型1:单调性的判断 1.写出下列函数的单调区间 (1),b kx y += (2)x k y =, (3)c bx ax y ++=2. * 2.求函数22||3y x x =-++的单调区间. # 3.判断函数f (x )=1 x 2-4x 的增减情况. 经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1.证明函数上的单调性. 证明:在(0,+∞)上任取x1、x2(x1≠x2),令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0,x2>0,∴∴上式<0,∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华: [1]证明函数单调性要求使用定义; [2]如何比较两个量的大小?(作差) [3]如何判断一个式子的符号?(对差适当变形) 举一反三: 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨:本题考查对单调性定义的理解,在现阶段,定义是证明单调性的唯一途径. 证明:设x1,x2是区间上的任意实数,且x1 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间; (1)y=x2-3|x|+2;(2) 解:(1)由图象对称性,画出草图 ∴f(x)在上递减,在上递减,在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三: 【变式1】求下列函数的单调区间: (1)y=|x+1|;(2)(3). 解:(1)画出函数图象, ∴函数的减区间为,函数的增区间为(-1,+∞); (2)定义域为,其中u=2x-1为增函数, 在(-∞,0)与(0,+∞)为减函数,则上为减函数; (3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调增区间为:(-∞,0),单调减区间为(0,+∞). 总结升华: [1]数形结合利用图象判断函数单调区间; [2]关于二次函数单调区间问题,单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析:先求函数的定义域;再将复合函数分解为内、外层函数;利用已知函数的单调性解决.关注:内外层函数同向变化→复合函数为增函数;内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,比较f(a2-a+1)与的大小. 解:又f(x)在(0,+∞)上是减函数,则. 4. 求下列函数值域: (1);1)x∈[5,10];2)x∈(-3,-2)∪(-2,1); (2)y=x2-2x+3;1)x∈[-1,1];2)x∈[-2,2]. 思路点拨:(1)可应用函数的单调性;(2)数形结合. 解:(1)2个单位,再上移2个单位得到,如图 1)f(x)在[5,10]上单增,; 1.3.1函数的单调性 题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间 例1.作出下列函数的图象,并写出函数的单调区间 (1)12-=x y ; (2)322++-=x x y ; (3)2 )2(1-++=x x y ; (4)969622++++-=x x x x y 相应作业1:课本P32第3题. 题型二、用定义法证明函数的单调性 用定义法证明函数的单调性步骤:取值 作差变形 定号 下结论 ?取值,即_____________________________; ?作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等; ?定号,即____________________________________________________________; ④下结论,即______________________________________________________。 例2.用定义法证明下列函数的单调性 (1)证明:1)(3 +-=x x f 在()+∞∞-,上是减函数. ▲定义法证明单调性的等价形式: 设[]b a x x ,21∈、,21x x ≠,那么 [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?>--? >--在[]b a ,上是增函数; [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?<--? <--在[]b a ,上是减函数. (2)证明:x x x f -+=1)(2在其定义域内是减函数; (3)证明:21 )(x x f = 在()0,∞-上是增函数; 法一: 作差 法二:作商 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的热点,常见问题有:求单调区间,判断函数的单调性,求参数的取值,利用函数单调性比较数的大小,以及解不等式等.客观题主要考查函数的单调性,最值的确定与简单应用. 2.题型多以选择题、填空题的形式出现,若与导数交汇命题,则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意: 研究函数单调性必须先求函数的定义域, 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并! 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1 2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数,则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意: 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题? (1)定义中x 1,x 2具有任意性,不能是规定的特定值. (2)函数的单调区间必须是定义域的子集; (3)定义的两种变式: 设任意x 1,x 2∈[a ,b ]且x 1 3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ,b ]上是减函数. ②(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0?f (x )在[a ,b ]上是增函数; (x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0?f (x )在[a ,b ]上是减函数. 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题? 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示; 如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结. 知识点二 单调性的证明方法:定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是: ①任取x 1、x 2∈D ,且x 1 函数的单调性和奇偶性 例1(1)画出函数y=-x2+2|x|+3的图像,并指出函数的单调区间. 解:函数图像如下图所示,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当x<0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.在(-∞,-1]和[0,1]上,函数是增函数:在[-1,0]和[1,+∞)上,函数是减函数. 评析函数单调性是对某个区间而言的,对于单独一个点没有增减变化,所以对于区间端点只要函数有意义,都可以带上. (2)已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围. 分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征. 解:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2,此二次函数的对称轴是x =1-a.因为在区间(-∞,1-a]上f(x)是单调递减的,若使f(x)在(-∞,4]上单调递减,对称轴x=1-a必须在x=4的右侧或与其重合,即1-a≥4,a≤-3. 评析这是涉及逆向思维的问题,即已知函数的单调性,求字母参数范围,要注意利用数形结合. 例2判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=- (2)f(x)=(x-1). 解:(1)f(x)的定义域为R.因为 f(-x)=|-x+1|-|-x-1| =|x-1|-|x+1|=-f(x). 所以f(x)为奇函数. (2)f(x)的定义域为{x|-1≤x<1},不关于原点对称.所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下: (1)求函数的定义域,并考查定义域是否关于原点对称. (2)计算f(-x),并与f(x)比较,判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)之一是否成立.f(-x)与-f(x)的关系并不明确时,可考查f(-x)±f(x)=0是否成立,从而判断函数的奇偶性. 例3已知函数f(x)=. (1)判断f(x)的奇偶性. (2)确定f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数?在区间(0,+∞)上呢?证明你的结论. 解:因为f(x)的定义域为R,又 f(-x)===f(x), 所以f(x)为偶函数. (2)f(x)在(-∞,0)上是增函数,由于f(x)为偶函数,所以f(x)在(0,+∞)上为减函数. 其证明:取x1<x2<0, f(x1)-f(x2)=- ==. 因为x1<x2<0,所以 x2-x1>0,x1+x2<0, x21+1>0,x22+1>0, 得f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以f(x)在(-∞,0)上为增函数. 评析奇函数在(a,b)上的单调性与在(-b,-a)上的单调性相同,偶函数在(a,b)与(-b,-a)的单调性相反. 例4已知y=f(x)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,试问F(x)=在(-∞,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论. 高考压轴题:导数题型及解题方法 (自己总结供参考) 一.切线问题 题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。 方法:)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。 方法:设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ,由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ,进而解决相关问题。 注意:曲线在某点处的切线若有则只有一,曲线过某点的切线往往不止一条。 例 已知函数f (x )=x 3﹣3x . (1)求曲线y=f (x )在点x=2处的切线方程;(答案:0169=--y x ) (2)若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围、 (提示:设曲线)(x f y =上的切点()(,00x f x );建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。(答案:m 的范围是()2,3--) 练习 1. 已知曲线x x y 33 -= (1)求过点(1,-3)与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案:(03=+y x 或027415=--y x ) (2)证明:过点(-2,5)与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。 2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切,求a 的值. (答案:1) 题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。 方法:设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为()(,11x f x )。()(,22x f x ); 高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一,每年必考,一般考查两类题型:(1)讨论函数的单调性、极值、最值,(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )=ln x +a (1-x ). (1)讨论f (x )的单调性; (2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1 x -a . 若a≤0,则f′(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增. 若a >0,则当x ∈? ???? 0,1a 时,f ′(x )>0; 当x ∈? ?? ?? 1a ,+∞时,f ′(x )<0, 所以f (x )在? ???? 0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. 综上,知当a≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增; 当a >0时,f (x )在? ???? 0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. (2)由(1)知,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上无最大值; 当a >0时,f (x )在x =1a 处取得最大值,最大值为f ? ?? ??1a =ln 1 a +a ? ?? ??1-1a =-ln a +a -1. 因此f ? ?? ?? 1a >2a -2等价于ln a +a -1<0. 令g (a )=ln a +a -1,则g (a )在(0,+∞)上单调递增, g (1)=0. 于是,当0<a <1时,g (a )<0; 当a >1时,g (a )>0. 因此,实数a 的取值范围是(0,1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论,讨论单调性要先求函数定义域,再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性. 导数题型分类解析(中等难度) 一、变化率与导数 函数)(0x f y =在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即)('0x f =0 lim →?x x y ??=0 lim →?x x x f x x f Δ)()Δ(00-+,表 示函数)(0x f y =在x 0点的斜率。注意增量的意义。 例1:若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导,且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为( ) A .'0()f x B .'02()f x C .' 02()f x - D .0 例2:若' 0()3f x =-,则000 ()(3) lim h f x h f x h h →+--=( ) A.3- B .6- C .9- D .12- 例3:求0lim →h h x f h x f ) ()(020-+ 二、“隐函数”的求值 将)('0x f 当作一个常数对)(0x f 进行求导,代入0x 进行求值。 例1:已知()()232 f x x x f '+=,则()='2f 例2:已知函数()x x f x f sin cos 4+?? ? ??'=π,则??? ??4πf 的值为 . 例3:已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2 -+--=x x x f x f ,则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为( ) A. 12-=x y B. x y = C. 23-=x y D. 32+-=x y 三、导数的物理应用 如果物体运动的规律是s=s (t ),那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s ′(t )。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v (t ),则该物体在时刻t 的加速度a=v′(t )。 例1:一个物体的运动方程为2 1t t s +-=其中s 的单位是米,t 的单位是秒,求物体在3秒末的瞬时速度。 例2:汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数,其图像可能是( ) 函数的单调性 一、教学目标:理解函数单调性的定义,会用函数单调性解决一些问题. 二、教学重点:函数单调性的判断和函数单调性的应用. 三、教学过程: (一)主要知识: 1、函数单调性的定义; 2、判断函数单调性(求单调区间)的方法: (1)从定义入手(2)从导数入手(3)从图象入手(4)从熟悉的函数入手 (5)从复合函数的单调性规律入手注:先求函数的定义域 3、函数单调性的证明:定义法;导数法。 4、一般规律 (1)若f(x),g(x)均为增函数,则f(x)+g(x)仍为增函数; (2)若f(x)为增函数,则-f(x)为减函数; (3)互为反函数的两个函数有相同的单调性; (4)设()[]x g f y =是定义在M 上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相反,则()[]x g f y =在M 上是 减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同,则()[]x g f y =在M 上是增函数。 (二)主要方法: 1.讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集; 2.判断函数的单调性的方法有:(1)用定义;(2)用已知函数的单调性;(3)利用函数的导数. 3.注意函数的单调性的应用;4.注意分类讨论与数形结合的应用. (三)例题分析: 例1.(1)求函数2 0.7log (32)y x x =-+的单调区间; (2)已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性. 解:(1)单调增区间为:(2,),+∞单调减区间为(,1)-∞, (2)2 2 2 ()82(2)(2)g x x x =+---4228x x =-++,3 ()44g x x x '=-+, 令 ()0g x '>,得1x <-或01x <<,令 ()0g x '<,1x >或10x -<< ∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-;单调减区间为(1,),(1,0)+∞-. 例2.设0a >,()x x e a f x a e = + 是R 上的偶函数. (1)求a 的值;(2)证明()f x 在(0,)+∞上为增函数. 例3.若()f x 为奇函数,且在(,0)-∞上是减函数,又(2)0f -=,则()0x f x ?<的解集为 (,2)(2,) -∞-+∞ . 例4.已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数,对定义域内的任意12,x x 都有 1 21 2()()()f x x f x f x ?=+,且当 1x >时()0,(2)1f x f >=, (1)求证:()f x 是偶函数;(2)()f x 在(0,)+∞上是增函数;(3)解不等式2 (21)2f x -<. 解:(1)令121x x ==,得(1)2(1)f f =,∴(1)0f =,令121x x ==-,得∴(1)0f -=, ∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-?=-+=,∴()f x 是偶函数. (2)设210x x >>,则221111 ()()()()x f x f x f x f x x -=? -22111 1 ()( )()( )x x f x f f x f x x =+-= 课次教学计划(教案) 课题 函数的单调性和奇偶性 教学目标 1. 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念,掌握增(减)函数的证明和判别 2. 结合具体函数,了解奇偶性的含义;学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义,能熟练判别函数的奇偶性 教学策略 重点难点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数 教学策略:讲练结合,查漏补缺 1.例1:观察y=x 2的图象,回答下列问题 问题1:函数y=x 2的图象在y 轴右侧的部分是上升的,说明什么??随着x 的增加,y 值在增加。 问题2:怎样用数学语言表示呢? ?设x 1、x 2∈[0,+∞],得y 1=f(x 1), y 2=f(x 2).当x 1 奇偶性与单调性及典型例题 函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象. 难点磁场 (★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数,(1)求a的值;(2)证明: f(x)在(0,+∞)上是增函数. 案例探究 [例1]已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,f()=-1,当且仅当0 函数的单调性与最值 一、知识点归纳 1、函数单调性的性质: (1)增函数:如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时, 都有,. (2)减函数:如果对于属于定义域内某个区间的任意两个自变量的值,当时, 都有, . (3)函数的单调性还有以下性质. 1、函数与函数的单调性相反. 2、当恒为正或恒为负时,函数与的单调性相反. 3、在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数等. 4、如果,函数与函数具有相同的单调性.(如果,单调性相反.) 若,则函数与具有相反的单调性. 若,函数与函数具有相同的单调性. (若,单调性相反.) 函数在上具有单调性,则在上具有相反的单调性. 2、复合函数的单调性。 定义:如果函数,则称为的复合函数。 复合函数的单调性的判断:同增异减。 I 12,x x 12x x <()()12f x f x <()()1212 0f x f x x x ->-I 12,x x 12x x <()()12f x f x >()()12120f x f x x x -<-()f x ()f x -()f x () 1f x ()f x 0k >()kf x ()f x 0k <()0f x ≠() 1f x ()f x ()0f x >()f x ()f x ()0f x <()f x R ()f x -R ()(),,,u g x x A u A y f u =∈∈=()y f g x =????x 二、例题精讲 题型一、单调性讨论或证明 定义法证明单调性的等价形式:设,那么 在上是增函数; 在上是减函数. 例1、(不含参)证明:21)(x x f = 在()0,∞-上是增函数. 变式1、判断在上的单调性. 例2、(含参)求函数在区间内的单调性. 例3、(抽象函数)设()y f x =的单增区间是(2,6),求函数(2)y f x =-的单调区间. 题型二、比较函数值的大小 例4、已知函数)(x f y =在[)+∞,0上是减函数,试比较)4 3 (f 与)1(2+-a a f 的大小. []1212,,,x x a b x x ∈≠()()()()()()12121212 00f x f x x x f x f x f x x x --->?>?????-[],a b ()()()()()()12121212 00f x f x x x f x f x f x x x ---????-[],a b ()11x f x x -= +()1,-+∞()()201ax f x a x = >-()1,1- 第二讲:函数的单调性 一、定义: 1.设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ,当21x x <时,都有),()(21x f x f <那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 叫)(x f y =的单调增区间. 注意:增函数的等价式子:0) ()(0)]()()[(2 1212121>--?>--x x x f x f x f x f x x ; 难点突破:(1)所有函数都具有单调性吗? (2)函数单调性的定义中有三个核心①21x x <②)()(21x f x f <③ 函数)(x f 为增函数,那么①②③中任意两个作为条件,能不能推出第三个? 2. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ,当21x x <时,都有),()(21x f x f >那么就说)(x f 在区间D 上是减函数.区间D 叫)(x f y =的单调减区间. 注意:(1)减函数的等价式子:0) ()(0)]()()[(21212121<--? <--x x x f x f x f x f x x ; (2)若函数)(x f 为增函数,且)()(,2121x f x f x x <<则. 题型一:函数单调性的判断与证明 例 1.已知函数)(x f 的定义域为R ,如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量21,x x 都有 .0) ()(2 121>--x x x f x f 则( ) A.)(x f 在这个区间上为增函数 B.)(x f 在这个区间上为减函数 C.)(x f 在这个区间上的增减性不变 D.)(x f 在这个区间上为常函数高一数学函数的单调性知识点
函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题
函数的单调性知识点总结与题型归纳
函数的单调性·典型例题精析
函数的单调性和奇偶性知识归纳和典型题型
函数的单调性知识点总结及练习
《函数的单调性和奇偶性》经典例题
1.3.1函数的单调性例题
函数的单调性 知识点与题型归纳
函数的单调性和奇偶性典型例题
(完整word版)高考导数题型归纳
高中数学函数与导数常考题型归纳
高二数学选修2-2导数12种题型归纳(中等难度)
函数的单调性题型归纳
函数单调性和奇偶性情况总结复习资料
奇偶性与单调性与典型例题
必修一函数的单调性题型归纳
函数的单调性知识点汇总典型例题(高一必备)24620