河北省衡水冀州中学2015届高三第三四次月考(数学理)

河北省衡水市冀州中学2015届高三上学期第四次月考

数学理试题

考试时间120分钟 试题分数150分

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1、设复数z 满足

i i

21=+z

，则 z =（ ）

A 、i 2+-

B 、i 2--

C 、i 2+

D 、i 2-

2、设集合P ＝{x |?>=+-x

2006103x dt t t ,)(}，则集合P 的非空子集个数是（ ） A 、2 B 、3 C 、7 D 、8 3、下列说法中正确的是 （ ）

A 、若命题:p x R ?∈有20x >，则:p x R ??∈有20x ≤；

B 、若命题1:

01p x >-，则1:01

p x ?≤-； C 、若p 是q 的充分不必要条件，则p ?是q ?的必要不充分条件；

D 、方程20ax x a ++=有唯一解的充要条件是1

2

a =±

4、已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该 几何体的体积是 （ ） A 、48cm 3 B 、78cm 3 C 、88cm 3 D 、98cm 3

5、函数1

2

5)(-+-=x x x f 的零点所在的区间是（ ）

A 、)1,0(

B 、)2,1(

C 、)3,2(

D 、)4,3(

6、将函数x y 2sin =的图像向右平移

4

π

个单位，再向上平移 1个单位，所得函数图像对应的解析式为 （ ） A 、x y 2sin 2= B 、x y 2cos 2= C 、1)4

2sin(+-

=π

x y D 、x y 2cos -=

7、运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3， 则的取值范围为（ ）

A 、14t ≥

B 、18t ≥

C 、14t ≤

D 、18

t ≤ 8、已知函数

2n y a x =（*0,n a n N ≠∈）的图象在1x =处的切线

斜率为121n a -+ （*

2,n n N ≥∈），且当1n =时，其图象经过

()2,8，则7a = A

B 、5

C 、6

D 、7（ ）

9、已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -?-=,则c 的

最大值是A 、1 B 、2 C 、2 D 、

2

2

（ ） 10、将A ，B ，C ，D ，E 五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽

屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A 、B 必须放入相邻的抽屉内，文件C 、D 也必须放在相邻的抽屉内，则所有不同的放法有

（ ）

A 、192

B 、144

C 、288

D 、240

11、若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率1

2

e =，右焦点为(,0)F c ，方程

220ax bx c ++= 的两个实数根分别是12,x x ，则点12(,)P x x 到原点的距离为（ ） A

B

C 、2

D 、7

4

12、已知偶函数(),y f x x R =∈满足：2

()3(0)f x x x x =-≥，若函数2log ,0

()1,0x x g x x x

>??=?-

则()()y f x g x =-的零点个数为 （ ） A 、1 B 、3 C 、2 D 、4

第Ⅱ卷 (非选择题)

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填入答题纸相应位置) 13

、二项式5

的展开式中常数项为 （用数字作答）

。 14、若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的1

4

，则

该双曲线的离心率为 。

15、已知x y 、满足约束条件11,22x y x y x y +≥??

-≥-??-≤?

若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为

7，则

34

a b

+的最小值为 。 16、已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿,,PA PB PC 三条侧棱剪开，将其表面

展开成一个平面图形，

若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P ABC -的内切球的表面积为 。

三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）

17、（本小题满分12分）

已知函数x x b x a x f cos sin sin )(2+=满足2)2

3()6(==π

πf f

（1）求实数b a ,的值以及函数)(x f 的最小正周期；

（2）记)()(t x f x g +=，若函数)(x g 是偶函数，求实数的值.

18、（本小题满分12分）

某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为

[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．

（Ⅰ）求直方图中x 的值；

（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估

计新生中有多少名学生可以申请住宿；

（Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的

人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

19、（本小题满分12分）

已知四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，

底面ABCD 是边长为a 的菱形，120BAD ∠=?，

PA b =．

（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；

（Ⅱ）设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 中点，

若二面角O PM D --的正切值为， 求:a b 的值．

20、（本小题满分12分）

已知抛物线2

4y x =，直线:l 1

2

y x b =-

+与抛物线交于,A B 两点． （Ⅰ）若x 轴与以AB 为直径的圆相切，求该圆的方程； （Ⅱ）若直线与y 轴负半轴相交，求AOB ?面积的最大值．

21、（本小题满分12分）

已知函数1()ln ,()()a

f x x a x

g x a R x +=-=-

∈.

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；

（Ⅲ）若在[]1,( 2.718...)e e =上存在一点0x ，使得0()f x ＜0()g x 成立，求a 的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分。在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B 铅笔在答题卡上所选题目的题号涂黑。注意所做题目的题号必须和所涂题目的题号一致。

22、（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.

如图，AB 是圆O 的直径，C 是半径OB 的中点，D 是OB 延长线上一点，且BD =OB ， 直线MD 与圆O 相交于点M 、T （不与A 、B 重合），DN 与圆O 相切于点N ，连结 MC ，MB ，OT ．

（Ⅰ）求证：DC DO DM DT ?=?；

（Ⅱ）若 60=∠DOT ，试求BMC ∠的大小．

23、（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程选讲. 已知直线经过点)1,2

1

(P ，倾斜角6

π

α=

，圆C 的极坐标方程为)4

cos(2π

θρ-

=

(Ⅰ)写出直线的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (Ⅱ)设与圆C 相交于两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.

24、（本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲. 已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|.

（1）当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集；

（2）若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。

河北冀州中学高三年级第四次月考理数答案

一、选择题：CBCDCA BBCDAB 二、填空题：13、－10； 14

15、7； 16、3π 三、解答题：

17、解（1）由???????==2

)2

3(2)6

(ππ

f f 得，???==+283a b a

解得2a b =???=??分

将

2

=a ，

3

4=b 代入

x

x b x a x f cos sin sin )(2+=得

x x x x f cos sin 32sin 2)(2+=

所以)(x f x x 2sin 32cos 1+-=)6

2sin(21π

-

+=x …………5分

所以函数)(x f 的最小正周期ππ

==

2

2T …………6分 （2）由（1）得1]6)(2sin[2)(+-+=+π

t x t x f ，

所以1622sin 2)(+??? ?

?

-+=πt x x g ……8分

函数)(x g 是偶函数，则对于任意的实数x ，均有)()(x g x g =-成立。 所以??

????-???

??-=??????+???

?

?

-

x t x t 262sin 262sin ππ 整理得，0sin 62cos =??

?

?

?-

x t π对于任意的实数x 均成立， 只有062cos =??

?

?

?-

πt ，

解得262πππ+=-k t ，所以32π

π+=k t ，Z k ∈……12分

18、解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ?+?+?+??=．

所以 0.0125x =． 3分 （Ⅱ）新生上学所需时间不少于小时的频率为：0.0032200.12??=，

因为12000.12144?=，所以1200名新生中有144名学生可以申请住宿． 6分 （Ⅲ）X 的可能取值为0,1,2,3,4. 由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟

的概率为14，4381(0)4256P X ??

=== ???, 3

141327(1)C 4464P X ????=== ???????

, 2

2

24

1327(2)C 44128

P X ????===

? ?????,

3

34

133

(3)C 4464

P X ????===

? ?????,

4

11(4)4256P X ??

===

???

． 所以X 的分布列为：

0123412566412864256EX =?

+?+?+?+?=．（或414

EX =?=） 所以X 的数学期望为． 12分

19．解：（Ⅰ） 因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD………………2分 又ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD,所以BD ⊥平面PAC………………4分 从而平面PBD ⊥平面PAC ． ……………6分

（Ⅱ）如图,以A为原点,,

AD AP所在直线为y轴,z轴建立空间直角坐标系，则

(0,0,),(0,,0) P b D a

,

3

,,0)

8

M a

,

1

,,0)

4

O a…………8分

从而

333

(0,,),(

,,)

8

PD a b PM a b

=-=-

3

(,,0)

4

OD a

=-………………9分

因为BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为

3

(,,0)

4

OD a

=-．……10分

设平面PMD的法向量为(,,)

n x y z

=,由,

PD n PM n

⊥⊥得

333

0,0

8

PD n

ay bz PM n ay bz

?=-=?=+-=

取,,

x y b z a

===，即,,)

n b a

=……………11分

设OD与n

的夹角为θ，则二面角O PM D

--大小与θ相等从而tan θ=，得cos

1

5

θ=

1

cos

5

||||

OD n

OD n a

θ

?

===

?

从而43

b a

=，即:4:3

a b=．……………12分

20．解：（Ⅰ）联立

2

1

2

4

y x b

y x

?

=-+

?

?

?=

?

，消x并化简整理得2880

y y b

+-=．

依题意应有64320

b

?=+>，解得2

b>-．

设

1122

(,),(,)

A x y

B x y，则

1212

8,8

y y y y b

+=-=-，

设圆心

00

(,)

Q x y，则应有1212

00

,4

22

x x y y

x y

+

+

===

-．

因为以AB

为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为0||

4

r y

==，

又||

AB====．

所以

||28AB r ===，解得8

5

b =-．

所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为24

(,4)5

-． 故所求圆的方程为2

224()(4)165

x y -

++=．……………6分 （Ⅱ）因为直线与y 轴负半轴相交，所以0b <，

又与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知2b >-，所以20b -<<， 直线：1

2

y x b =-+整理得220x y b +-=，点O

到直线的距离d ==，

所以1

||42

AOB S AB d ?=

=-=． 令32()2g b b b =+，20b -<<， 24

()343()3

g b b b b b '=+=+，

由上表可得()g b 的最大值为432()327g -=

．所以当4

3

b =-时，AOB ?

的面积取得最大值 ……………

12分

21、解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0+∞，

， 当1a =时，()=ln f x x x -，()'111x f x x x

-=-=

，()1=1f ，()'

1=0f ,切点()1,1，斜率0k =

∴曲线()f x 在点()1,1处的切线方程为1y = ………………………………… 4分

（Ⅱ）

()1ln a

h x x a x x

+=+

-，

222

21(1)(1)[(1)]

()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==……5分

①当10a +>时，即1a >-时，在()0,1a +上()'

0h x <，在()1,a ++∞上()'

0h x >，

所以()h x 在()0,1a +上单调递减，在()1,a ++∞上单调递增；………………………6分

②当10a +≤，即1a ≤-时，在()0+∞，

上()'

0h x >，所以函数()h x 在()0+∞，上单调递增．

………………………………… 8分

（Ⅲ）在[]1e ，上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，即在[]1e ，上存在一点0x ，使得()00h x <，即函数()1ln a

h x x a x x

+=+

-在[]1e ，上的最小值小于零．……9分 由（Ⅱ）可知：①当1a e +≥，即1a e ≥-时， ()h x 在[]1e ，上单调递减，

所以()h x 的最小值为()h e ，由()10a

h e e a e +=+-<可得211e a e +>

-， 因为2111e e e +>--，所以21

1

e a e +>

-；………………………………… 10分 ②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在[]1e ，上单调递增，

所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++<可得2a <-；…………………11分 ③当11a e <+<，即01a e <<-时，可得()h x 最小值为()()12ln 1h a a a a +=+-+， 因为()0ln 11a <+<，所以，()0ln 1a a a <+<故()()12ln 12h a a a a +=+-+> 此时不存在0x 使()00h x <成立．

综上可得所求a 的范围是：211

e a e +>-或2a <-．………………12分

22、（Ⅰ）证明：因MD 与圆O 相交于点T ，由切割线定理DM DT DN ?=2，

DA DB DN ?=2，得DA DB DM DT ?=?，设半径OB=)0(>r r ，因BD=OB ，且

BC=OC=

2

r

， 则233r r r DA DB =?=?，232

32r r

r DC DO =?

=?，

所以.DC DO DM DT ?=? ……5分

（Ⅱ）由（1）可知，DC DO DM DT ?=?，且CDM TDO ∠=∠，

故DTO ?∽CM D ?，所以DMC DOT ∠=∠； ………………………… 8分 根据圆周角定理得，DMB 2DOT ∠=∠，则.30 =∠BMC …………… 10分

24、解：当a =－3时，?????≥-<<≤+-=35

232125

2)(x x x x x x f ，

不等式f(x)≥3的解集为{

}4

,1≥≤x x x 或……………………5分

(Ⅱ) |x + a| + |x －2|≤|x －4|，有|x + a| ≤|x －4|－|x －2|，

当]2,1[∈x 有|x + a| ≤(4－x)－(2－x)=2, 即03≤≤-a ……………………10分