欧阳光中《数学分析》(上)配套题库-名校考研真题(极限论及实数理论的补充)【圣才出品】

第11章极限论及实数理论的补充

1．设为[0，1]上的一个连续函数列，若对任意的是有界数列．用闭区间套定理证明存在[0，1]的一个长度不为0的子区间及常数C，使得

[南京理工大学2006研]

证明：反证法假设在任何（非空）子区间上都不一致有界，则存在及使得又因连续，根据保号性，在含x 1的某个闭子区间上，恒有

在上仍不一致有界，所以存在及，使得．根据连续保号性，存在闭子区间使得上恒有如此继续下去，便得一串闭

区间

在上恒有．利用闭区间套定理知，存在从而

所以在处无界，与已知条件矛盾，结论得证．

2．用有限覆盖定理证明有界性定理：闭区间上的连续函数必有界．[天津工业大学2006研]

证明：设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，要证明f（x）在[a，b]上有界．

由连续函数的局部有界性，对每一点都存在邻域及正数使得

考虑开区间集

显然H是[a，b]的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H的一个有限子集

覆盖了[a，b]，且存在正数

使得对一切

有

令则对任意的，x必属于某个从而，这就证得f（x）在[a，b]上有界．

3．设f（x）在[a，b]上递增，证明：存在使得．[西南师范大学研]

证明：用确界原理证明．若f（a）＝a或f（b）＝b，结论成立．下面假设f（a）>a，f（b）＜b，证

．因为，故E非空且有上界b，从而必有上确界，可记

证．对任意的有而f（x）在[a，b]上递增，故．又故有．即f(x 0)为E的一个上界，从而．另一方面，由于f（x）在[a，b]上递增，于是有

由此得出，即．而，故又有，合之即有成立．

4．证明有界闭区间[a，b]上的连续函数f（x）一定有界．[北京交通大学研]

证明：令在[a，x]上有界，因为f（x）在a点连续，所以存在使f（x）在上有界，即由此知又因为E显然有上界b，

于是存在

下证β＝b且β∈E．

若β＜b，即则由f（x）在β点的连续性知，存在

有｜f｜在有上界又由β为E的上确界知，存在

即在有上界于是为在的一个上界，即

这与β的定义矛盾．矛盾即说明β＝b．

类似地，由f（x）在b点的连续性知，存在使f（x）在上有界；又由b＝β知，存在使f（x）在上有界，从而f（x）在[a，b]上有界．

5．设为一个无界数列，但非无穷大量，证明：存在两个子列，一个是无穷大量，另一个是收敛子列．[哈尔滨工业大学研]

证明：首先证明存在无穷大量的子列．由的无界性，对任意的M，存在，使，变动M，存在，有．存在，有．反复使用无界性，如此得到且所以为无穷大量．其次证明存在收敛子列．因为非无穷大量，即不收敛到，故存在M>0，对任意的存在．使得．于是对k＝1，存在，使得．对，存在，使得，如此下去，可得一有界子列从而由致密性定理可知中存在收敛子列．

6．设f（x）在（0，1]上连续，并且证明：对任意的

都存在

使得[兰州大学2006研]

证明：由于故存在满足

且

．所以对任意的由连续函数的局部保号性，存在N>0，使得当n＞N时

，

由连续函数的介值性知存在或使得所以有使得

考研极限试题(卷)

“考研数学”——做到更好，追求最好 南工程考研数学辅导材料之一 高等数学 主编：杨降龙杨帆 刘建新 翁连贵吴业军

序 近几年来，随着高等教育的大众化、普及化，相当多的大学本科毕业生由于就业的压力，要想找到自己理想的工作比较困难，这从客观上促使越来越多的大学毕业生选择考研继续深造，希望能学到专业的知识，取得更高的学历，以增强自己的竞争能力；同时还有相当多的往届大学毕业生由于种种的原因希望通过读研来更好地实现自我。这些年的统计数据表明：应届与往届的考生基本各占一半。自1989年起，研究生入学数学考试实行全国统一命题，其命题的范围与内容严格按照国家考试中心制定的“数学考试大纲”，该考试大纲除了在1996年实施了一次重大的修补以外，从1997年起一直沿用至今，但期间也进行了几次小规模的增补。因此要求考生能及时了解掌握当年数学考试大纲的变化，并能按大纲指明的“了解”，“理解”，“掌握”的不同考试要求系统有重点的复习。通常研究生入学数学考试与在校大学生的期末考试相比，考试的深度与难度都将大大的增加，命题者往往将考试成绩的期望值设定在80（按总分150分）左右命题，试题涉及的范围大，基础性强，除了需要掌握基本的计算能力、运算技巧外，还需掌握一些综合分析技能（包括各学科之间的综合）。这使得研究生数学入学考试的竞争力强，淘汰率很高。为了我院学生的考研需要，我们编写了这本辅导讲义。该讲义共分三个部分，编写时严格按照考试大纲，含盖面广、量大，在突出重点的同时，注重于基本概念的理解及基本运算能力的培养，力求给同学们做出有效的指导。

第一章函数极限与连续 考试内容 函数的概念及其表示，函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性，复合函数、反函数、分段函数、隐函数，基本初等函数的图形与性质，初等函数的建立，数列极限与函数极限的性质，函数的左右极限，无穷小与无穷大的关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限，函数连续的概念，函数间断点的类型，闭区间上连续函数的性质。 考试要求 1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题中的函数关系。 2、了解函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性的概念，注意这些问题与其它概念的结合应用。 3、理解复合函数、分段函数的概念，了解隐函数、反函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限、左右极限的概念，以及极限存在与左右极限的关系。 6、掌握极限的性质与四则运算。 7、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念；掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小计算极限。 9、掌握利用罗必达法则求不定式极限的方法。 10、理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。 11、理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最值存在、介值定理），并会利用这些性质。 §1 函数 一、函数的概念 二、函数的性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性； 三、函数的运算（重要考点）：四则运算、复合运算（复合函数）、逆运算（反函数）； 四、函数的分类：初等函数、非初等函数。

2016考研数学：求极限的一般题型

2016考研数学：求极限的一般题型 下面总结一下，求极限的一般题型： 1、求分段函数的极限，当函数数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了!当X趋近无穷时候存在e的x次方的时候，就要分情况讨论应为E的x次方的函数正负无穷的结果是不一样的! 2、极限中含有变上下限的积分如何解决嘞?说白了，就是说函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了你要想办法把它搞掉! 解决办法： 1、求导，边上下限积分求导，当然就能得到结果了，这不是很容易么?但是!有2个问题要注意!问题1：积分函数能否求导?题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误的!!!!问题2：被积分函数中既含有t又含有x的情况下如何解决? 解决1的方法：就是方法2微分中值定理!微分中值定理是函数与积分的联系!更重要的是他能去掉积分符号!解决2的方法：当x与t的函数是相互乘的关系的话，把x看做常数提出来，再求导数!!当x与t是除的关系或者是加减的关系,就要换元了!(换元的时候积分上下限也要变化!) 3、求的是数列极限的问题时候:夹逼或者分项求和定积分都不可以的时候,就考虑x趋近的时候函数值,数列极限也满足这个极限的,当所求的极限是递推数列的时候:首先:判断数列极限存在极限的方法是否用的单调有界的定理。判断单调性不能用导数定义!!数列是离散的,只能用前后项的比较(前后项相除相减)，数列极限是否有界可以使用归纳法最后对xn与xn+1两边同时求极限,就能出结果了! 4、涉及到极限已经出来了让你求未知数和位置函数的问题。 解决办法：主要还是运用等价无穷小或者是同阶无穷小。因为例如:当x趋近0时候f(x)比x=3的函数,分子必须是无穷小，否则极限为无穷,还有洛必达法则的应用,主要是因为当未知数有几个时候,使用洛必达法则,可以消掉某些未知数，求其他的未知数。 5、极限数列涉及到的证明题，只知道是要构造新的函数。 1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。 2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋

考研数学高数习题—极限

一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-极限知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。 模块二 极限 1、设221,0 ()0,01,0x x f x x x x ?->? ==??+

（3） () 22311lim arcsin 121x x x x x →∞++++ （4）30 tan sin lim sin x x x x →- （5）2 10lim ln cos x x e e x +→- （6）() tan sin 3 0lim ln 1x x x e e x →-- （7 ）1x →（8 ）021ln 1x x x →+ ? -?? 7、求下列极限 （1）0lim sin x x x e e x -→- （2）() 20ln 1lim sec cos x x x x →+- （3）()02sin 22lim arcsin ln 16x x x x x →-?? + ??? （4）0ln cos lim arctan x x x x x →- （5 ）0 x x → （6）0 1 1lim cot sin x x x x →??- ??? （7）2 10 lim x x xe → （8）2 1lim(ln(1))x x x x →∞ -+ 8、求下列极限 （1）( ) 1 lim x x x x e →+ （2）0 )x x π +→ （3）tan 24 lim(tan ) x x x π → （4）222lim 12x x x x x →∞??+ ?-+?? （5） ( ) 1lim x x x x e →+∞ + （6 ）tan 0lim x x +→ 9 、设)12n x x n ==≥，求lim n n x →∞ .

考研数学极限与导数部分练习题(带答案)

1. 0 ln(1) lim 1cos x x x x →+=- . 分析 当0x →时,2 ln(1)~x x x +,2 1cos ~2 x x -,利用等价无穷小代换可求出极限 解 2 200ln(1)lim lim 21cos 2 x x x x x x x →→+==- 2. cos 0x x →= . 分析 先变形cos cos 1cos (1)x x x e e e e --=-, 21cos (1)~1cos ~2x x e x --- ,21~3 x ,再利用等价代换求其极限 解 2 cos cos 1cos 1cos 200032lim 23 x x x x x x x x x e e e x --→→→→====. 3. 求3 lim x x →. 分析 分子有理化后等价无穷小代换求极限. 解 0x x →→= 001 sin ( 1) x x x →→-== 2 01 14 x x x →?==. 4. 求极限. 分析 该极限为型，先取对数，再使用洛必达法则. 1 1ln lim (1) x x x e →+∞ -0

解 5.求极限. 分析 将变形为，将分子分母中的，展开，再求极限. 解 . 6.计算. 分析 将分子中的函数，展开到相互抵消剩下第一项加上该项的高阶无穷小，再求极限. 解 从而 7.设函数()()()2()12 x x nx f x e e e n =---,其中n 为正整数，求(0)f '. 分析 (0)0f =，0x →时，1~x e x -，所以用导数定义求(0) f '简单. 解()()() () ()21 0012()(0) (0)lim lim 11!0x x nx n x x e e e n f x f f n x x -→→----'===---， 所以选（A ）. 8.设(1)(),(0)(,0)f x af x f b a b '+==≠, 求(1)f '. 1 2111 1 1ln 111lim lim ln(1)11lim 1ln 1 lim (1) x x x x x x x x x x e x x e e e x x e x e e e e e →+∞ →+∞ →+∞ ???- ??? --? ---→+∞ -====011lim cot x x x x →?? - ??? 011lim cot x x x x →??- ??? 30sin cos lim x x x x x →-sin x cos x 323 233000()1()3!2!11sin cos lim cot lim lim x x x x x x o x x o x x x x x x x x x →→→??-+--+??-????-== ??? 3 33011( )() 1 2!3!lim 3 x x o x x →-+==4 03 cos 2lim 2 x x e x x -+→cos x 2 x e 2 x e ),(!2114 42 x o x x +++=x cos ),(! 4!21442x o x x ++-=∴3cos 22-+x e x ),(!412! 21 44x o x +??? ???+=4 03cos 2lim 2 x x e x x -+→444 0) (127lim x x o x x +=→.127=

求极限方法汇总(含例题及考研真题)

1、常用等价无穷小：当0x →时， sin x x :，tan x x :，arcsin x x :， 2 11cos 2 x x -:，ln(1+x)~x ，ex-1~x ，(1+x)a-1~ax ，ax-1~xlna ） 2、泰勒公式（麦克劳林公式） n n x n f x f x f f x f ! )0( !2)0()0()0()()(2+???+''+ '+≈ n x x n x x e ! 1 !2112+???+++≈ )()!12()1(!51!31sin 212153x R x m x x x x m m m +--+???++-=-- 3、洛必达法则 定理1 （洛必达法则Ⅰ）若函数)(),(x g x f 满足条件： (1) ;0)(lim ,0)(lim ==x g x f (2) )(),(x g x f 在点0x 的某个邻域内(点0x 可除外)可导,且0)(0≠'x g ; (3) A x g x f ='') () (lim (或∞) 则 A x g x f x g x f =='') () (lim )()(lim (或∞). 定理2 （洛必达法则Ⅱ）若函数)(),(x g x f 满足条件： (1) ;)(lim ,)(lim ∞=∞=x g x f (2) )(),(x g x f 在点0x 的某个邻域内(点0x 可除外)可导,且0)(0≠'x g ; (3) A x g x f ='') () (lim (或∞) 则 A x g x f x g x f =='') () (lim )()(lim (或∞). 4、定积分定义 定积分是用极限来定义的

2015考研数学极限必做100题

1 如果lim x →x 0 x (x )存在，则下列极限一定存在的为 (A) lim x →x 0 [x (x )]x （B ）lim x →x 0 |x (x )| （C ）lim x →x 0 ln ?x (x ) （D ） lim x →x 0 arcsin ?x (x ) 2 设x (x )在x =0处可导，x (0)= 0，则lim x →0 x 2x (x )?2x (x 3) x 3 = （A ）?2x ′(0) （B ?x ′(0) （C ）x ′(0) （D ）0 3.设x (x )，x (x )连续x →0时，x (x )和x (x )为同阶无穷小则x →0时， ∫x (x ?x )?x x 为 ∫xx (xx )?x 1 0的 （A ）低阶无穷小 （B ）高阶无穷小 （C ）等价无穷小 （D ）同阶无穷小 4.设正数列{x x } 满足lim x →∞ ∫x x ?x x x =2 则lim x →∞ x x = （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1 2 5.x → 1时函数x 2?1x ?1?1 x ?1的极限为 （A ）2 （B ）0 （C ）∞ （D ）不存在，但不为∞ 6.设x (x ) 在x =0的左右极限均存在则下列不成立的为 （A ）lim x →0 +x (x ) = lim x →0 ?x (?x ) （B ） lim x →0 x (x 2) = lim x →0 +x (x ) （C ）lim x →0 x (|x |) = lim x →0 +x (x ) （D ）lim x →0 x (x 3) = lim x →0 +x (x ) 6. 极限lim x →∞? sin ?1 x ?1 (1+1x )x ?(1+1x ) =A ≠0的充要条件为 （A ）x >1 （B ）x ≠1 （C ）x >0 （D ）和x 无关

考研极限专项练习

考研极限专项练习 1 如果存在，则下列极限一定存在的为 (A)（B）（C）（D） 2 设在处可导，，则= （A）（B （C）（D）0 3.设，连续时，和为同阶无穷小则时， 为的 （A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶无穷小4.设正数列满足 =则= （A）2 （B）1 （C）0 （D） 5.时函数的极限为 （A）2 （B）0 （C）（D）不存在，但不为6.设在的左右极限均存在则下列不成立的为 （A） = （B） = （C） = （D） = 6.极限=A的充要条件为 （A）（B）（C）（D）和无关 7. .已知，其中为常数则的值为 （A），（B）， （C），（D， 8.当时下列四个无穷小量中比其他三个更高阶的无穷小为 （A）（B）（C）（D）

9.已知，，，（）则数列和 (A)均收敛同一值（B）均收敛但不为同一值（C）均发散（D）无法判定敛散性 10.设，=则为 11.若存在，不存在，则正确的为 （A）不一定存在（B）不一定存在（C）必不存在（D）不存在 12.下列函数中在无界的为 (A)（B） （C）（D） 13.设连续 =2且时为的阶无穷小则 （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 14.当时下列四个无穷小中比其他三个高阶的为 （A）（B） （C）（D） 15.设表示不超过的最大整数，则是 （A）无界函数（B）单调函数（C）偶函数（D）周期函数 16.极限= （A）1 （B） (C) （D） 17.函数=的无穷间断点的个数为 （A） 0 （B） 1 （C） 2（D） 3 18.如果=1，则a= （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3 19.函数的可去间断点的个数为 （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D）无穷多个20.当时，与等价的无穷小量是

2016考研数学：前辈吐血总结史上最全求极限方法

2016考研数学：前辈吐血总结史上最全 求极限方法 [摘要]假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要?各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。 首先对极限的总结如下。极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1、极限分为一般极限，还有个数列极限(区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种)。 2、解决极限的方法如下 1)等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在)e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记。(x趋近无穷的时候还原成无穷小) 2)洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 首先他的使用有严格的使用前提。必须是X趋近而不是N趋近。(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件。还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。 洛必达法则分为三种情况 1)0比0无穷比无穷时候直接用 2)0乘以无穷无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3)0的0次方1的无穷次方无穷的0次方 对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来

2015考研数学极限必做100题

1 如果存在，则下列极限一定存在的为 (A)（B）（C）（D） 2 设在处可导，，则= （A）（B （C）（D）0 3.设，连续时，和为同阶无穷小则时， 为的 （A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶无穷小4.设正数列满足 =则= （A）2 （B）1 （C）0 （D） 5.时函数的极限为 （A）2 （B）0 （C）（D）不存在，但不为6.设在的左右极限均存在则下列不成立的为 （A） = （B） = （C） = （D） = 6. 极限=A的充要条件为 （A）（B）（C）（D）和无关 7. .已知，其中为常数则的值为 （A），（B）， （C），（D ， 8.当时下列四个无穷小量中比其他三个更高阶的无穷小为 （A）（B）（C）（D） 9.已知，，，（）

则数列和 (A)均收敛同一值（B）均收敛但不为同一值（C）均发散（D）无法判定敛散性 10. 设，=则为 11. 若存在，不存在，则正确的为 （A）不一定存在（B）不一定存在（C）必不存在（D）不存在 12. 下列函数中在无界的为 (A)（B） （C）（D） 13. 设连续 =2且时为的阶无穷小则 （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 14. 当时下列四个无穷小中比其他三个高阶的为 （A）（B） （C）（D） 15. 设表示不超过的最大整数，则是 （A）无界函数（B）单调函数（C）偶函数（D）周期函数16. 极限= （A）1 （B） (C) （D） 17. 函数=的无穷间断点的个数为 （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3 18. 如果=1，则a= （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3 19. 函数的可去间断点的个数为 （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D）无穷多个 20. 当时，与等价的无穷小量是 （A） 1-（B）

最新考研极限及应用试题

考研模拟试题（一）-极限及其应用 （时间180分钟） 一、计算题（本题共12小题，每小题5分，满分60分） 1、设()()() n n n n n x n n +++= 21， ,2,1=n ，求n n x ∞ →lim 2、求()()?? ? ? ??-+∞→n n n n n n 1211lim 3、求??? ? ?+∞ →n n n 14tan lim π 4、求n n n n b a ??? ? ??+∞→2lim ，其中0≥a ，0≥b 5、求n n n n l n n -+? ?? ?? -=∞ →11cos 12lim 223 6、求()()()( )( )] 11111[lim 28 4 2 n x x x x x n +++++ ∞ → ，其中1a 1≠a 。

二、证明题（本题共10小题，每小题6分，满分60分） 13、用ε-N 的方法证明：11lim =+∞ →n n n 。 证明： 15、已知：()() 1385210131211-????+????= n n x n ， ,3,2,1=n 。证明：数列{}n x 有极限，并求其极限值。 证明： 16、若0>n x ， ,3,2,1=n ，且极限n n n x x 1lim +∞→存在，证明：n n n n n n x x x 1lim lim +∞→∞→=。 证明： 17、设0>n x ， ,3,2,1=n ，a x n n =∞ →lim ，用ε—N 的语言，证明：a x n n =∞ →lim 。 证明： 18、设n n n x 2 sin 22sin 21sin 2+++= ，证明：数列{}n x 收敛。 证明： 19、求证：()01lim 1 2=-?∞→dx x n n 。 证明： 20、已知0>a ，a x <<10，?? ? ?? -=+a x x x n n n 21，N n ∈，证明：数列{}n x 收敛。 证明： 21、证明数列{}n x 收敛，其中a a a x n +++= （n 个根号） ， ,3,2,1=n ，并求极限n n x ∞ →lim 。 证明： 22、证明施笃兹（Stolz ）:设数列{}n y 单调递增趋于∞+，且A y y x x n n n n n =--++∞ →11lim （A 为常数或为∞+）， （1）证明：A y x n n n =∞ →lim 。 （2）用上述施笃兹（Stolz ）公式求极限，设{}∞ =0n n a 为数列，a ,λ为有限数，如果

2020年考研数学：16种极限求解的方法

2020年考研数学：16种极限求解的方法 学好高数，极限基础必须要打好，极限求解也是必要解决的问题，下面总结了16种可用的方法，大家学习学习，可灵活应用。 1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定 在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存有,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还 原成无穷小)。 2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先 他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数 列极候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一 种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存有!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷 大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无 穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这 样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就 能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什 么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。 3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的 时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简 化有很好协助。 4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则项除分子 分母!!!看上去复杂,处理很简单!

2015考研数学极限必做100题

2015考研数学极限必做100题 1 如果lim xx→xx 0ff (xx )存在，则下列极限一定存在的为 (A) lim xx→xx 0[ff (xx )]αα （B ）lim xx→xx 0 |ff (xx )| （C ）lim xx→xx 0ln ?ff (xx ) （D ）lim xx→xx 0arcsin ?ff (xx ) 2 设ff (xx )在xx =0处可导，ff (0)=0，则lim xx→0xx 2ff (xx )?2ff?xx 3?xx = （A ）?2ff ′(0) （B ?ff ′(0) （C ）ff ′(0) （D ）0 3.设ff (xx )，gg (xx )连续xx →0时，ff (xx )和gg (xx )为同阶无穷小则xx →0时，∫ff (xx ?tt )?tt xx 0为 ∫xxgg (xxtt )?tt 10的 （A ）低阶无穷小 （B ）高阶无穷小 （C ）等价无穷小 （D ）同阶无穷小 4.设正数列{aa nn } 满足lim nn→∞∫xx nn ?xx aa nn 0 =2 则lim nn→∞aa nn = （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）12 5.xx →1时函数xx 2?1xx?1?1的极限为 （A ）2 （B ）0 （C ）∞ （D ）不存在，但不为∞ 6.设ff (xx ) 在xx =0的左右极限均存在则下列不成立的为 （A ）lim xx→0 +ff (xx ) = lim xx→0?ff (?xx ) （B ） lim xx→0ff (xx 2) = lim xx→0+ff (xx ) （C ）lim xx→0ff (|xx |) = lim xx→0+ff (xx ) （D ）lim xx→0ff (xx 3) = lim xx→0+ff (xx ) 6. 极限lim xx→∞?sin ?1xx ?1?1+1xx ?αα??1+1xx ?=A ≠0的充要条件为 （A ）αα>1 （B ）αα≠1 （C ）αα>0 （D ）和αα无关 7. .已知lim xx→∞?xx 2 1+xx ?aaxx ?bb ?=0，其中aa ,bb 为常数则aa ,bb 的值为 （A ）aa =l ，bb =1 （B ）aa =?1 ，bb =1 （C ）aa =1，bb =?1 （D aa =?1，bb =?1 8. 当xx →0 时下列四个无穷小量中比其他三个更高阶的无穷小为 （A ）xx 2 （B ）1?cos ?xx （C ）√2?1 （D ）xx ?tan ?xx

考研数学重要考点：极限的性质

凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 考研数学重要考点：极限的性质 本篇小编总结了考研高数重点考点帮助大家复习，希望考研生把公式\规律性知识牢记在心，以便自如应对考试。 极限的性质 (1)唯一性 函数极限，则A是唯一的确定的常数; (2)有界性 (局部有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界; (3)函数极限的局部保号性 凯程考研： 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直

凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。

考研数学(三)真题解析求数的极限

2015考研数学（三）真题解析：求函数的极限 来源：文都教育 函数极限是研究生入学考试的一个高频考点，无论是大题还是小题，都有可能出现。2015年数三试题考察函数极限时，小题第1题以选择题的形式考察（分值4分），考察极限的敛散性的判定，小题第9题以填空题的形式考察（分值4分），考察利用等价无穷小求极限，解答题15题通过求解函数极限确定未知参数（分值为10分），考察利用泰勒公式求极限，总分18分，占12%。老师提醒考生，在复习时，一定要熟练掌握求函数的极限。 一、回顾知识点 求函数极限的常规方法有以下几种：利用等价无穷小求极限；利用洛必达法则求极限；利用泰勒公式；利用单调有界存在准则求极限；利用夾逼存在准则求极限；利用中值定理求极限 二、真题解析 （1）设{}n x 是数列.下列命题中不正确的是 （A ）若lim n →∞x n =a ，则lim n →∞x 2n =lim n →∞ x 2n +1= a. （B ）若lim n →∞x 2n =lim n →∞x 2n +1= a ，则lim n →∞ x n = a. （C ）若lim n →∞x n =a ，则lim n →∞x 3n =lim n →∞ x 2n +1= a. （D ）若lim n →∞x 3n =lim n →∞x 3n +1=a ，则lim n →∞ x n = a. 【解析】选择（D ） 方法：举反例：1 31,31133+-=+=+n a x n a x n n ，231223++=+n a x n ， 显然a x a x x n n n n n n 2lim ,lim lim 23133===+∞→+∞ →∞→，但a x n n ≠∞→lim 。 本题主要考察数列收敛的条件，属于基础题型。 （9）2 ln(cos )lim x x x →∞= . 【解析】211cos lim )]1(cos 1ln[lim )ln(cos lim 202020-=-=-+=→→→x x x x x x x x x 本题主要考察利用等价无穷小求极限，必须掌握常见的等价无穷小量，属于基础题型。 （15）（本题满分10分） 设函数3()ln(1)sin ,().f x x a x bx x g x kx =+++=若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值. 【解析】由)(3 2)1ln(33 2x o x x x x ++-=+，

2015考研数学极限必做100题

2015考研数学极限必做100题

1 如果lim x→x 0 f (x )存在，则下列极限一定存在的为 (A) lim x→x 0 [f (x )]α （B ）lim x→x 0 |f (x )| （C ）lim x→x 0 ln f (x ) （D ）lim x→x 0 arcsin f (x ) 2 设f (x )在x =0处可导，f (0)=0，则lim x→0 x 2f (x )?2f(x 3) x = （A ）?2f ′(0) （B ?f ′ (0) （C ）f ′(0) （D ） 3.设f (x )，g (x )连续x →0时，f (x )和g (x )为同阶无穷小则x →0时，∫f (x ?t )?t x 0为 ∫xg (xt )?t 1 0的 （A ）低阶无穷小 （B ）高阶无穷小 （C ）等价无穷小 （D ）同阶无穷小 4.设正数列{a n } 满足lim n→∞ ∫x n ?x a n 0 =2 则lim n→∞ a n = （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1 2 5.x →1时函数x 2?1 x?1? 1x?1 的极限为 （A ）2 （B ）0 （C ）∞ （D ）不存在，但不为∞ 6.设f (x ) 在x =0的左右极限均存在则下列不成立的为 （A ）lim x→0+ f (x ) = lim x→0 ?f (?x ) （B ） lim x→0 f (x 2) = lim x→0 +f (x ) （C ）lim x→0 f (|x |) = lim x→0 +f (x ) （D ）lim x→0 f (x 3) = lim x→0 +f (x ) 6. 极限lim x→∞?sin 1 x ?1(1+1x )α ?(1+1x ) =A ≠0的充要条件为 （A ）α>1 （B ）α≠1 （C ）α>0 （D ）和α无关 7. .已知lim x→∞[x 21+x ?ax ?b ]=0，其中a,b 为常数则 a,b 的值为 （A ）a =l ，b =1 （B ）a =?1 ，b =1 （C ）a =1，b =?1 （D a =?1，b =?1