哈工程大物习题册(113-128) 第五次答案
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113. 波长为λ的单色光照射某金属表面发生光电效应，发射的光电子（电量绝对值为e ，质量为m ）经狭缝后垂直进入磁感应强度B 为的均匀磁场（如图示），今已测出电子在该磁场中作圆周运动的最大半径为R 。求：
（1） 金属材料的逸出功？ （2） 遏止电势差？
? ? ?
? ? ? ? ?
解：(1) 由 R m eB /2
v v = 得 m R e B /)(=v ，
代入 A m h +=
22
1
v ν 可得 222221m
B e mR hc A ?-=λ m B e R hc 22
22-=λ (2) 2
2
1v m U e a =
m
eB R e m U a 222
22==v 114. 图中所示为在一次光电效应实验中得出的曲线
(1)求证：对不同材料的金属 , AB 线的斜率相同 . (2)由图上数据求出普朗克恒量 h . |U
a
( ×10 14Hz)
解：(1) 由 A h U e a -=ν 得 e A e h U a //-=ν e h U a /d /d =ν (恒量) 由此可知，对不同金属，曲线的斜率相同．
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(2) h = e tg θ 14
10)0.50.10(0
0.2?--=e
=6.4×10-
34 J ·s 115. 已知x 射线光子的能量为0.6MeV ，若在康普顿散射中，散射光子的波长变化了20%，试求：反冲电子的动能？
解：设散射前电子为静止自由电子，则反冲电子的动能E K =入射光子与散射光子能量之差=εε-0
入射X 射线光子的能量 000/λνεhc h == 00/ελhc = 散射光子的能量 00)2.1/1()20.1/(/ελλε===hc hc 反冲电子的动能
=-=-=00)2.1/11(εεεK E 0.10 MeV
116. 假定在康普顿散射实验中, 入射光的波长λ0=0.0030nm , 反冲电子的速度 v = 0.6c , 求：散射光的波长λ .
解：根据能量守恒,有 2
2
0mc h c m h e +=+νν 这里 2
)
/(11c m m e
v -=
∴ 2
0c m h h e +=νν])/(11
1[2
c v --
则
20c m hc
hc e +=λλ])
/(111[2c v -- 解得： )
/(11
1[1200
c h c m e v --+=
λλλ= 0.00434 nm
117. 如果室温下（t=270C ）中子的动能与同温度下理想气体分子的平均平动动能相同，
则中子的动能为多少？其德布罗意波长是多少？ 解：J 1021.623
21-?==
kT E k m 10465.1210-?===
k
mE h P
h λ
118. 能量为15eV 的光子 , 被处于基态的氢原子吸收 , 使氢原子电离发射一个光电子 , 求：此光电子的德布罗意波长 .
解：远离核的光电子动能为
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4.16.131521
2=-==v e K m E eV 则
==
e
K
m E 2v 7.0×105 m/s 光电子的德布罗意波长为 ===
v
e m h p h λ 1.04×10-9 m =10.4 ?
119、根据玻尔理论，(1)、计算氢原子中电子在量子数为n 的轨道上作圆周运动的频率；(2)、计算当该电子跃迁到(n-1)的轨道上时所发出的光子的频率；(3)、证明当n 很大时，上述(1)和(2)结果近似相等。)
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120、
解：从题设可知，若圆周半径为r ，则有λn r =π2，这里n 是整数，λ是电子物质波的波长。根据德布罗意公式：)v /(m h =λ 得： )v /(2m nh r =π 于是： nh rm =v 2π
这里m 是电子质量，v 是电子速度的大小，v rm 为动量矩，以L 表示, 则上式为：
)2/(π=nh L 这就是玻尔的动量矩量子化条件。
121. 实验发现基态氢原子可吸收能量为12.75eV 的光子. (1)试问氢原子吸收该光子后将被激发到哪个能级?
(2)受激发的氢原子向低能级跃迁时 , 可能发出哪几条谱线 ? 请画出能级图(定性) , 并将
这些跃迁画在能级图上 . (1)
11(2n Rhc E
-
=?75.1211(6.132
=-=n eV n =4
(2) 可以发出λ41、λ31、λ21、λ43、λ42、λ32六条谱线．
能级图如图所示．
122. 已知第一玻尔轨道半径 a , 试计算当氢原子中电子沿第 n 玻尔轨道运动时 , 其相应的德布罗意波长是多少? E e v 0
λ43 λ42
λ41
λ32
λ31 λ21
n =432
1
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解： )/(/v m h p h ==
因为若电子在第n 玻尔轨道运动，其轨道半径和动量矩分别为 a n r n 2
= )2/(π==nh r m L n v 故 )2/(na h m π=v 得 na m h π==2)/(v λ
123. 已知粒子在无限深势阱中运动 , 其波函数为：
)0()
/sin(/2)(a x a x a x ≤≤=ψπ
求：发现粒子几率最大的位置 . 解：先求粒子的位置概率密度
)/(sin )/2()(22
a x a x π=ψ)]/2cos(1)[2/2(a x a π-=
当 1)/2c o s (-=πa x 时， 2
)(x ψ有最大值．在0≤x ≤a 范围内可得 π=πa x /2 ∴ a x 2
1
=
． 124、一维无限深方势阱中的粒子，其波函数在边界处为零，这种定态物质波相当于两端固定的弦中的驻波，因而势阱的宽度a 必须等于德布罗意波半波长的整数倍。试利用这一条件求出能量量子化公式
22
2
8n ma
h E n = 解：据已知条件 2/λn a = ① 又据德布罗意公式 v m h /=λ
得 λ/h m =v ②
无限深势阱中粒子的能量为 22
1
v m E =
即 mE m E
m m 22==v ③ 由②、③式解得 2
2/2λh mE =
以①代入得 2
2
242n a h mE n = ∴ 2
2
28n ma
h E n =
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125、
解：把运动的粒子看作在题所给区域内的驻波，则x = 0和x = a 两点应该是波节，因而满足这边界条件的德布罗意波的波长应为：
,3,2,1/2==n n a n λ
而： n n p h /=λ
故粒子的动量只能取： a nh h p n n /21
/==λ
粒子的能量： )(22x V m
p E n
n += 在a x <<0区域内势能为0，所以：
m p E n n 22= ,3,2,182
2
2==n ma
h n 126、质量为m 的粒子在外力场中作一维运动，外力场的势能分布为：在0 < x < a 区域 U = 0；在x ≤ 0和x ≥a 区域 U = ∞，即粒子只能在0 < x < a 的区域内自由运动，求粒子的能量和归一化的波函数．
解：设粒子能量为E , 根据一维定态薛定谔方程
ψψ
E x m =-2
22d d 2 令 2
2/)2( mE k = 上面方程可改写为 0d d 22
2=+ψψ
k x
方程的解为 kx B kx A sin cos +=ψ
由题意 x ≤0 ψ = 0
x ≥a ψ = 0
可得 A = 0 , B sin ka = 0 . 因为B 不可能等于0，所以必须 sin ka = 0 则 ka = n π，k = n π/a ，
n 不能取零值，如果n = 0，导则k = 0，ψ(x )在0 < x < a 区间各处都为零，与原
题不合．故 ψ = B sin(n πx /a ) n = 1，2，……
粒子能量
)8/()(222ma h n E n = n = 1，2，……
根据归一化条件
1d 0
2
=?∞
x ψ
可得
1d )/(sin 0
22=?a
x x a x n B π
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所以粒子的归一化波函数为 a
x n a π=
s i n 2ψ 127、原子内电子的量子态由n 、l 、m l 及m s 四个量子数表征。当n 、l 、m l 一定时，不同的
量子态数目是多少？当n 、l 一定时，不同的量子态数目是多少？当n 一定时，不同的量子态数目是多少？
答案：(1) 2 (2) 2(2l +1) (3) 2n 2
128、答案： 2-， -，0， ， 2