实变函数积分理论部分复习题(附答案版)
2011级实变函数积分理论复习题
一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例）
1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1
()()n
n f x f
x ∞
==∑是[0,1]上的Lebesgue
可积函数。（×）
2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1
()()n
n f x f
x ∞
==∑是[0,1]上的Lebesgue
可测函数。（√）
3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则
[0,1][0,1]
lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞
→∞
=?
?
。
（×）
4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{}
()k n f x ，使得，
[0,1][0,1]
lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞
→∞
?
。
（×，比如{}()n f x 为单调递增时，由Levi 定理，这样的子列一定不存在。） 5、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{}
()k n f x ，使得，
[0,1][0,1]
lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞
→∞
=?
?
。
（×，比如课本上法都引理取严格不等号的例子。） 6、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则
[0,1][0,1]
lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞
→∞
≤??
。
（√）
7、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则
[0,1][0,1]
lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞
→∞
≥?
?
。
（×）
8、设()f x 是[0,1]上的黎曼可积函数，则()f x 必为[0,1]上的可测函数。 （√，Lebesgue 积分与正常黎曼积分的关系）
9、设()f x 是[0,)+∞的上黎曼反常积分存在，则()f x 必为[0,)+∞上的可测函数。 （√，注意到黎曼反常积分的定义的前提条件，对任意自然数0n >，()f x 在[0,]n 上
黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1[0,)[0,]n n ∞
=+∞=
U 上的可测函数）
10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在
[0,1]上的下方图形，()lim ()n n
f x f x =，则()[0,1],n G f 单调递增，且
()()()1
lim [0,1],[0,1],[0,1],n n
n
n G f G f
G f ￥
==
=U ，()()[0,1],lim [0,1],n n
mG f mG f =。 （√，用集合关系的定义，单调递增可测集列的极限性可以证明。）
二、叙述题（请完整地叙述以下定理或命题） （自己在书上找答案，务必要跟书上一模一样）
1、单调收敛定理（即Levi 定理）
2、Fatou 引理（法都引理）
3、非负可测函数的Fubini 定理和Lebesgue 可积函数的Fubini 定理
4、Lebesgue 控制收敛定理（两个）
5、Lebesgue 基本定理（即非负可测函数项级数的逐项积分定理）
6、积分的绝对连续性
三、计算题（请完整写出计算过程和结果）
1、设0D 为[0,]π中的零测集，30
sin ,(),x x x D f x e x D ???=?∈?? ，求
[0,]
()d f x x π?
。
解：由题设()sin f x x =，..a e 于[0,]π，而sin x 在[0,]π上连续，
于是由积分的惟一性和L 积分与R 积分的关系得
[0,]
[0,]
()d sin d ()sin (cos )
2f x x x x R xdx x π
π
ππ===-=?
?
?。
2、设Q 为[0,+)∞中有理数全体，2
3
sin ,
[0,)\(),x x x
xe x Q f x e
x Q
-?∈+∞?=?∈?? ，求
[0.)
()d f x x +∞?
。
解：因为Q 为可数集，所以0mQ =，从而2
()x f x xe -=，..a e 于[0,)+∞，而2
x xe
-在
[0,)+∞上非负连续，且220
11()()d ()d 2
2x x
R f x x R xe x e +∞+∞--+∞==-=
?
?， 所以由积分的惟一性和L 积分与R 积分的关系得
2
22
[0.)
[0.)
11()d d ()d 2
2
x x x
f x x xe
x R xe x e +∞---+∞+∞+∞===-=
?
?
?
。
3、设P 为[0,1]上的Cantor 三分集，2
,[0,)\()sin(),x x xe x P
f x e x P
-?∈+∞?=?∈?? ，求[0.)
()d f x x +∞?。
解：因为0mP =，所以2
()x f x xe -=，..a e 于[0,)+∞，而2
x xe -在[0,)+∞上非负连续，
且
220
11()()d ()d 2
2
x x
R f x x R xe x e +∞+∞--+∞==-=
?
?
， 所以由积分的惟一性和L 积分与R 积分的关系得
2
22
[0.)
[0.)
11()d d ()d 2
2
x x x
f x x xe x R xe x e +∞---+∞+∞+∞===-=
?
?
?
。
4、计算20lim
(1)d n
n x n x e x n
-→∞+?。
解： 令2[0,]()(1)()n x
n n x f x e x n
χ-=+，易见()n f x 在[0,)+∞非负可测，且()n f x 单调上
升lim ()x
n n f x e
-→∞
=，故由单调收敛定理
20
0lim (1)d d 1n x x n x
e x e x n
+∞+∞--→∞
+==?
?。
5、积分计算
（1）设¤为全体有理数所成的集合，在[0,1][0,1]E =?上函数f 定义如下：
1,
,(,)sin ,.xy
x y f x y x y e x y +??=?
++∈?
¤¤ 求 ()d E
f z z ?
。
（2）设¤为全体有理数所成的集合，在[0,1][0,1]E =?上函数f 定义如下：
sin ,
(,),(,)ln(1||),(,).
x
x y x y f x y e xy x y ???=?++∈??いい 求 ()d E
f z z ?
。
解：（1）记
12{,,}r r =，令{(,):}k k A x y E x y r =?=，则()0,k m A =故
10,k k m A ￥=骣÷?=÷÷?桫
U 从而(,)1f x y =几乎处处于E 。显然，1是E 上的连续函数，从而在E 上有界且Riemann 可积，故由Riemann 积分与Lebesgue 积分的关系定理，1在E 上Lebesgue 可积且
1d (R)1d d 1.E
E
z x y ==蝌
由于(,)1f x y =几乎处处于E ，故由积分的基本性质 .(d )d 11E
E
f z z z ==??
（2）解：因()0,m ?い从而(,)sin f x y x y =几乎处处于E 。显然，sin x y 是E
上的连续函数，从而在E 上有界且Riemann 可积，故由Riemann 积分与Lebesgue 积分的关系定理，sin x y 在E 上Lebesgue 可积且
110
1
sin d(,)(R)sin d d d sin d (1cos1).2
E
E
x y x y x y x y x x
y y ==
=
-蝌
蝌 由于(,)sin f x y x y =几乎处处于E ，故由积分的基本性质 1
sin d(,)(1co ()d s1).2
E E
f x y z y x z =-=??
三、证明题（请完整地写出以下命题的证明）
1、用Fubini 定理证明：若(,)f x y 为2
R =(,+)(,+)-∞∞?-∞∞上的非负可测函数，则
d (,)d d (,)d x y
x f x y y y f x y x +∞+∞+∞=?
??
?
。 证明：记00{(,)
}{(,)
}0x y D x y x y y x
y x ≤<+∞≤<+∞==≤≤≤≤+∞
，
令(,),(,)(,)0,
(,)f x y x y D
F x y x y D ∈?=?
??，
由题设易知(,)F x y 也是2
R 上的非负可测函数，于是，由非负可测函数的Fubini 定理
2
d (,)d d (,)d (,)d d x R x f x y y x F x y y F x y x y +∞+∞+∞-∞
-∞
==
?
??
?
?
d (,)d d (,)d y
y F x y x y f x y x +∞
+∞
+∞+∞-∞
-∞
==?
?
??
。
2、设E 是R n
中的可测集，若（1）1
k k E E ∞
==?，其中k E 为可测集，12E E ??L ；
（2）()f x ，()n f x (12)n =L 都是E 上的可测函数，且lim ()()n n f x f x →∞
= ..a e 于E ；
（3）存在E 上的Lebesgue 可积函数()F x ，使得n ?，()()n f x F x ≤ ()x E ∈。 证明：()f x 在E 上也Lebesgue 可积，且 lim
()d ()d n
n n E E
f x x f x x →∞
=??。
证明：记μ()()()n n n E f x f x x χ=?，由题设知μ
lim ()()n n f x f x →∞
= ..a e 于E （事实上x E ?∈，存在0n ，当0n n ≥时，总有n x E ∈，从而()1n E x χ=，于是μ()()()()n n n E n f x f x x f x χ=?=。）
又 μ
()()()()()n n n E n f x f x x f x F x χ=?≤≤，()F x 在E 上Lebesgue 可积 所以 由Lebesgue 控制收敛定理，并注意到μ
()()()()n n
n n E n E
E
E f x dx f x x dx f x dx χ=?=
???
可
得
μlim ()lim ()()n
n n n n E E
E
f x dx f x dx f x dx →∞
→∞
==???。
3、设E 是Lebesgue 可测集，()n f x (12)n =L ，()f x 都是E 上的Lebesgue 可积函数，若
lim ()()n n f x f x →∞
= ()x E ∈，且lim ()d ()d n n E
E
f x x f x x →∞
=??，
证明：（1）()()()()()n n n F x f x f x f x f x =+--在E 上非负可测；
（2）用Fatou 引理证明：lim
()()d 0n n E
f x f x x →∞
-=?
。
证明：（1）由可测函数的运算性质得 ()()()()()n n n F x f x f x f x f x =+--是E 上可测函数，
又 ()()()()n n f x f x f x f x -≤+，从而()0n F x ≥，
所以 ()()()()()n n n F x f x f x f x f x =+--在E 上非负可测。
（2）由题设lim ()2()n n F x f x →∞
=，再由Fatou 引理得
2()lim ()lim [()()()()]n n n n n E
E E
f x dx F x dx f x f x f x f x dx →∞
→∞
=≤+--???
2()lim ()()]n n E
E
f x dx f x f x dx →∞
=--??，
即lim
()()]0n n E
f x f x dx →∞-≤?
，
从而 0lim ()()]lim ()()]0n n n n E
E
f x f x dx f x f x dx →∞
→∞
≤-≤-≤?
?
故 lim
()()d 0n n E
f x f x x →∞
-=?
。
4、设()f x 是定义在[0,)+∞上的实值函数，满足0a ?>，()f x 在[0,]a 上黎曼可积（即
()()d a R f x x ?
存在）
，若()f x 在[0,)+∞上的广义黎曼积分绝对收敛（即0
()()d R f x x
+∞?绝对收敛），证明：()f x 在[0,)+∞上Lebesgue 可积，且
[0,)
()()()()d L f x dx R f x x +∞+∞=?
?
。
。 证明：由题设知()f x 是[0,)+∞上的可测函数，从而()f x 是[0,)+∞上的可测函数，于是，
由非负可测函数L 积分的完全可加性以及L 积分与黎曼正常积分的关系，并注意到
1
[0,)[1,)n n n ∞
=+∞=?-可得
[0,)
[1,)
[1,)
1
1
()()()()lim ()()n
n n k k n n k L f x dx L f x dx L f x dx ∞
+∞--→∞
====∑∑?
?
?
[0,)
lim()()lim()()()()n
n n n L f x dx R f x dx R f x dx
+∞
→∞
→∞
===?
??
（注：以上证明也可利用Levi 定理得到）
又()f x 在[0,)+∞上的广义黎曼积分绝对收敛，即0
()
()d R f x x +∞<+∞?
从而[0,)
()
()L f x dx +∞<+∞?
，即()f x 在[0,)+∞上Lebesgue 可积。
由于1
[0,)[0,]n n ∞
=+∞=?且[0,]n 单调递增，记[0,]()()()n n f x f x x χ=，易知
()()n f x f x →
且()()n f x f x ≤，于是，由L —控制收敛定理得()f x 在[0,)+∞上Lebesgue 可积，且
[0,)
[0,]
[0,]
()()lim()()lim()()n n n n n L f x dx L f x dx L f x dx +∞→∞
→∞
==?
?
?
lim()()()()d n
n R f x dx R f x x +∞→∞
==??
。
5、设(),()n f x f x （1,2,n =L ）都是[0,1]上的Lebesgue 可积函数，且
[0,1]
lim ()()d 0n n f x f x x →∞
-=?
，
证明：（1）()()n f x f x ?于[0,1]；（2）
()
()
221sin ()()1
2
1cos ()()n n f x f x f x f x +-?
+-于[0,1]。 证明：（1）记[0,1]E =，对任意0δ>，由
[()()]
[0,1]
[()()]()()d ()()d 0.
n n n mE x f x f x n mE x f x f x f x f x x
f x f x x δδδ-≥-≥≤-≤-→?
?
得lim [()()]0n n mE x f x f x δ→∞
-≥=，即()()n f x f x ?于[0,1]。
（2）因为22
1sin 1cos y y
++在1
R 上连续，且[0,1]1m =<+∞，由（1）()()0n f x f x -?于[0,1]，所以用反证法，并注意到Reisz 定理和Lebesgue 定理可证
()
(
)222
21sin ()()1sin 011cos 02
1cos ()()n n f x f x f x f x +-+?=++-。
6、设()n f x （1,2,n =L ），()f x 都是R p 上的Lebesgue 可积函数，且满足：
（1）lim ()()n n f x f x →∞
=..a e 于R p
；
（2）存在R p
上的Lebesgue 可积函数()n g x （1,2,n =L ）和()g x ，使得，
R lim ()()d 0p
n n g x g x x →∞
-=?
，且()()n n f x g x ≤..a e 于R p ，
证明：（1）R lim
()()d 0p
n n f x f x x →∞-=?； （2）(0,)
R
lim
()d ()d p
n B n n f x x f x x →∞=??
，其中{}(0,)R p B n x x n =∈<。
证明：（1）R lim
()()d 0p
n n f x f x x →∞
-=?
； （2）(0,)
R lim
()d ()d p
n B n n f x x f x x →∞
=?
?
，其中{
}
(0,)R p B n x x n =∈<。
证明：（1）由条件（2）可得()()n g x g x ?于R p ，R R lim
()d ()d p
p
n n g x x g x x →∞
=?
?
，由
Reisz 定理和条件（1）并注意到()()n n f x g x ≤..a e 于R p 得，()()f x g x ≤..a e 于R p
。
倘若R lim
()()d 0p
n n f x f x x →∞-≠?
，可得存在00ε>和{()n f x }的子列不妨仍记为
{()n f x }，使得对每个n 都有
0R ()()d p
n f x f x x ε->?
。 （*）
由()()n g x g x ?及Reisz 定理得，存在子列()()i n g x g x →..a e 于R p
取()()()()()i i i n n n F x g x g x f x f x =+--，易见()0i n F x ≥..a e 于R p
，由Fatou 定理，
R R R R R 2()d lim ()d lim ()d 2()d lim ()()d p
p p
i i p
p
i n n i i n i g x x F x x F x x
g x x f x f x x
→∞→∞
→∞=≤=--?
?
?
?
?
所以R lim
()()d 0p
i n i f x f x x →∞
-=?
，从而R lim ()()d 0p
i n i f x f x x →∞
-=?
这与（*）矛盾。
（2）由（1）并注意到
(0,)
R ()()d ()()d p
n n B n f x f x x f x f x x -≤-?
?
得
(0,)
lim ()()d 0n B n n f x f x x →∞
-=?
，从而(0,)(0,)lim ()d ()d 0n B n B n n f x x f x x →∞??-=????
??，
记(0,)()()n B n x f x ?χ=?，再注意到Lebesgue 控制收敛定理得，
(0,)
(0,)
R R lim ()d lim ()d lim ()d ()d p
p
n n B n B n n n n f x x f x x x x f x x ?→∞
→∞
→∞
===?
?
?
?
。
7、若()f x 是1
R 上的实值可测函数，则(,)()g x t f x t =+是2
R 上的可测函数。
证明：对于任意实数a ，记{}
1R ()A x f x a =∈>，由题设，易见A 为1R 上的可测集。 记(,)h x t x t =+，易见(,)h x t x t =+为2
R 上的连续函数，于是
{}{}2
21(,)R
(,)(,)R ()x t g x t a x t x t A h A -∈>=∈+∈=
下证1
()h A -为可测集即可。
事实上，因(,)h x t 连续，所以当A 为G δ型集时，1
()h A -也为G δ型集，从而可测。 当A 为零测集时，存在G δ型集G ，使得A G ?，0mG mA ==。因1
()h G -为可测集，由Fubini 定理
1
12
111111()
()R ()(,)d d d (,)d d d ()d d 0
h
G h G R
R
R
G t
R
R
mh G x t x t t x t x
t x m G t t mG t χχ----====-==?
????
??
注意到1
1
()()h A h G --?，得1()0mh A -=，从而1
()h A -为可测集。
当A 为可测集时，由可测集与G δ型集的关系，存在存在G δ型集G 和零测集Z ，使得
\A G Z =，
所以由上面已证的两种情形得，1
1
1
()()\()h A h G h Z ---=为可测集。
8、设R q E ?是可测集，{}()n f x 为E 上的一列可测函数，且对任意n ，存在零测集n E E ?，使得，10()()n n f x f x +≤≤于n E E -，证明：存在E 上的一个非负可测函数()f x ，使得
lim ()d ()d n E
E
n f x x f x x →∞
=?
?
。
证明：令1
n n A E ∞
==U ，则0mA =，且在E A -上，对任意n ，10()()n n f x f x +≤≤，由Levi
定理，存在E A -上的一个非负可测函数°
()f x ，使得 °lim ()d ()d n E A
E A
n f x x f x x --→∞
=?
?
。
令°(),()0,
f x x E A
f x x A
?∈-?=?
∈??，则()f x 是E 上的一个非负可测函数，且注意到零测集上的
任意可测函数的积分都是零，有
°lim ()d lim ()d ()d ()d n n E
E A E A E
n n f x x f x x f x x f x x --→∞
→∞
===?
?
?
?
。证毕。
9、设R q E ?是可测集，{}()n f x 为E 上的一列可测函数，且对任意n ，存在零测集n E E ?，使得，()0n f x ≥于n E E -，证明：
lim ()d lim ()d n n E E
n n f x x f x x →∞
→∞
≤?
?
。
证明：令1
n n A E ∞
==U ，则0mA =，且在E A -上，对任意n ，()0n f x ≥，由Fatou 引理，
lim ()d lim ()d n n E A E A
n n f x x f x x --→∞
→∞
≤?
?
，
注意到零测集上的任意可测函数的积分都是零，有
lim ()d lim ()d n n E E A n n f x x f x x -→∞
→∞
=?
?
，()d ()d n n E
E A
f x x f x x -=?
?
，
故lim ()d lim ()d n n E E
n n f x x f x x →∞
→∞
≤?
?
。证毕。
10、证明1/1
1/2
e lim
sin(e )d 01x
x n
n x n x
-=+ò
。 证：因为
1/1/1/1/
22
2e e sin(e )e 111x x x
x n n n n x n x
n x --＃?+++
在[0,1]上Lebesgue 可积，又1/1/2e lim sin(e )0,(0,1].1x
x n n x n x -="?+ 由Lebesgue 控制收敛定理知
1/1
1/2
e lim sin(e )d 01x
x n
n x n x
-=+ò
。
11、设E 是n
?
中的可测集，()f x 是E 上的Lebesgue 可积函数。证明：
（1）若()0f x 3于E ，则存在E 上的非负简单函数列{()}n s x 使得
lim |()()|d 0n E
n f x s x x →∞-=?；
（2）存在E 上的简单函数列{()}n S x 使得lim
|()()|d 0n
E
n f x S x x →∞-=?。
证：（1）因为f 非负可测，故在E 上存在非负简单函数列{()}n s x ，使得()()n s x f x -。而
|()()||()||()|2()n n f x s x f x s x f x -??，
故由Lebesgue 控制收敛定理知lim
|()()|d 0n E
n f x s x x →∞-=?。
(2) 设,f f +
-
分别是f 的正部和负部，则,f f +
-在E 上都非负可积，从而应用（1）的结论知，存在E 上的非负简单函数列1
{()}n s x 和2
{()}n s x ，使得
12
lim |()()|d 0,
lim |()()|d 0.n n E E
n n f x s x x f x s x x +-→∞→∞-=-=?? 令12
()()()n n n S x s x s x =-, 则()n S x 是E 上的简单函数，且由不等式
()()12
12
|()()|()()()()()
()()()
n n n n n f x S x f x s x f x s x f x s x f x s x +-+--=
---?+-知lim |()()|d 0n
E
n f x S x x →∞-=?。
12、设函数()f x 是n
?中的有界可测集E 上的Lebesgue 可积函数，且0|()|d 1E
f x x <
<ò。
证明：
（1）(0,)
()|()|d E B r F r f x x ?=
ò
是[0,)+?上的连续函数，其中(0,)B r 是以原点为中
心以r 为半径的开球。
（2）存在可测集12,E E ，使得1212,E E E E E ==?U I 且1
|()|d ,1,22
i
E f x x i <
=ò
。 证：（1）设(0,)E B R ì，记||d E
f x l =
ò，
则(0)0,()(0,1),F F R l ==? 且F 在[0,)+?上单调递增，而
((0,)\(0,))
()()||d .E B r r B r F r r F r f x ?D +D -=
ò
因为f 在E 上可积，由积分的绝对连续性知，当0r D ?时，
(((0,)\(0,)))0m E B r r B r ?D ?，从而()()F r r F r +D ?。
于是F 在[0,)+?上是连续函数。
（2）因F 在闭区间[0,]R 上连续，故由介值定理知存在0(0,)r R ?使得0().2
F r l
= 记1021(0,),\E E B r E E E =?，则1212,E E E E E ==?U I
且1
|()|d ,1,222
i
E f x x i l =
<=ò
。 13、设E 是n
?
中的可测集，1{()}n n f x ∞
=是E 上的一列非负可测函数，若()()n f x f x ?于E 。
试证明
()d lim ()d n E
E
n f x x f x x →∞≤?
?。
证：由下极限的定义，存在子列{()}k n f x 使得lim
()d lim ()d .k n n E
E
k n f x x f x x →∞→∞=?? 因
()()n f x f x ?于E ，所以子列{()}k n f x 也在E 上依测度收敛于()f x 。由F. Riesz 定
理，存在{()}k n f x 的子列{()}k j
n f x ，使得lim ()(),j n j
f x f x = a.e. 于E 。由Fatou 引
理，
()d lim
()lim ()d d .k j
n E
E
n j
E
n
f x x f x x x x
f ?
蝌ò
14、设n E R ?，mE <+∞，(,)f x y 为1
R E ?上的实函数，
（1）若对几乎所有的x E ∈，(,)f x y 都是y 在1
R 上的连续函数；对任取的1
R y ∈，
(,)f x y 都是x 在E 上的可测函数，
证明：对于任何E 上的实值可测函数()g x ，()(,())F x f x g x @也是E 上的可测函数。 （2）设(,)f x y 还满足：存在常数0C ≤<+∞，使得，对任意1
,x E y R ∈∈，
()(,)1f x y C y ≤+，
若(),()n g x g x 是E 上的可积函数，lim ()()n n g x g x →∞
=..a e 于E ，且
lim ()d ()d n E
E
n g x x g x x →∞
=?
?
，
证明：
()()lim ,(),()d 0n E
n f x g x f x g x x →∞
-=?
。
证明：（1）由条件可得存在一个零测集0E E ?，使得任取0x E E ∈-，(,)f x y 是y 在
1R 上的连续函数。由可测函数与简单函数的关系，存在E 上的一列简单函数{()k x ?}，使得()lim ()k k g x x ?→∞
=..a e 于E ，故存在零测集F E ?，使得任取x E F ∈-，有
()lim ()k k g x x ?→∞
=。
由条件可得，对每个k ，(,())k f x x ?为E 上的可测函数。（因为1
()()i
m
k i E i x c x ?χ
==∑，
其中
1
m
i i E E ==U ，i E 可测且两两不交，所以由（2）
，在每个i E 上，(,())(,)k i f x x f x c ?=为可测函数）
任取()0x E E F ∈-U ， (,())lim (,())k k f x g x f x x ?→∞
=。故
所以，由可测函数的极限性，()(,())F x f x g x @是E 上的可测函数。 （2）反证：设存在00ε>和{}i n ，使得
()
()0,(),()d i n E
f x
g x f x g x x ε-≥?
（*）
由条件易知()
(),(),()0i n f x g x f x g x -→..a e 于E 。
又由条件知：()
()()
,(),()2()()i i n n f x g x f x g x C g x g x -≤++，
令()
()
()()2()(),(),()0i i i n n G x C g x g x f x g x f x g x =++--≥，则由Fatou 引理
()()
()
()()
()
()()()
()22()d lim ()d lim ()d lim 2()(),(),()d lim 2()()d lim ,(),()d 22()d lim ,(),()d .
i i i i i i i E
E E
i i n n E i n n E
E
i i n E
E
i C g x x G x x G x x
C g x g x f x g x f x g x x
C g x g x x f x g x f x g x x
C g x x f x g x f x g x x →∞
→∞
→∞→∞
→∞
→∞
+=≤??=++--?
?=++--=+--?
?????
??
由于mE <+∞，且()g x 是E 上的可积函数，故()
()lim
,(),()d 0i n E
i f x g x f x g x x →∞-≤?
，
从而与（*）矛盾。故结论成立。证毕。
实变函数论课后答案第三章1
实变函数论课后答案第三章1 第三章第一节习题 1.证明：若E 有界，则m E *<∞. 证明：若n E R ?有界，则存在一个开区间 (){}120,,;n M n E R I x x x M x M ?=-<< . （0M >充分大）使M E I ?. 故()()()111 inf ;2n n n n m n n i m E I E I I M M M ∞∞ * ===??=?≤=--=<+∞????∑∏ . 2.证明任何可数点集的外测度都是零. 证：设{}12,,,n E a a a = 是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零， 故{}{}{}()12111 ,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞ ∞ ∞ * * * *===??==≤== ???∑∑ . 3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ，只要 0m E μ*≤≤，就有1E E ?，使1m E μ*=. 证明：因为E 有界，设[],E a b ?（,a b 有限）， 令()(),f x m E a x b *=?<< ， 则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=?=?=== . 考虑x x x +?与，不妨设a x x x b ≤≤+?≤， 则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +?=+?=+????? . 可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E ** +?≤++??? ()[]()(),f x m x x x f x x *≤++?=+?.
实变函数试题库(5)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（5） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立） 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ） （A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则 （ ） （A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点 ，则（ ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点
实变函数论课后答案第五章1
实变函数论课后答案第五章1 第无章第一节习题 1.试就[0,1]上 的D i r i c h l e 函数()D x 和Riemann 函数()R x 计算[0,1] ()D x dx ? 和 [0,1] ()R x dx ? 解:回忆1 1()0\x Q D x x R Q ∈?=?∈?即()()Q D x x χ= (Q 为1 R 上全体有理数之集合) 回忆: ()E x χ可测E ?为可测集和P129定理2:若E 是n R 中测度有 限的可测集, ()f x 是E 上的非负有界函数,则_ ()()() E E f x dx f x dx f x =???为E 上的可测函数 显然, Q 可数，则*0m Q =，()Q Q x χ可测，可测，有界,从而Lebesgue 可积 由P134Th4(2)知 [0,1] [0,1][0,1][0,1][0,1]()()()10c c Q Q Q Q Q Q Q x dx x dx x dx dx dx χχχ????= + = + ? ? ? ? ? 1([0,1])0([0,1])10010c m Q m Q =??+??=?+?= 回忆Riemann 函数()R x :1:[0,1]R R 11,()0[0,1]n n x m n m R x x x Q ?= ??==??∈-?? 和无大于的公因子1 在数学分析中我们知道, ()R x 在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在[0,1]上Riemann 可积, ()0 .R x a e =于[0,1]上,故()R x 可
测(P104定理3),且 [0,1] ()R x dx ? [0,1]()()Q Q R x dx R x dx -= +? ? 而0()10Q Q R x dx dx mQ ≤≤==??(Q 可数,故*0m Q =)故 [0,1] [0,1][0,1]()()00Q Q R x dx R x dx dx --= = =? ? ? 2.证明定理1(iii)中的第一式 证明:要证的是:若mE <+∞,(),()f x g x 都是E 上的非负有界函数,则 ()()()E E E f x dx f x dx g x dx --≥+??? 下面证明之: 0ε?>,有下积分的定义,有E 的两个划分1D 和2D 使 1 ()()2 D E s f f x dx ε -> - ? ,2 ()()2 D E s g g x dx ε -> - ? 此处1 ()D s f ,2 ()D s g 分别是f 关于1D 和g 关于2D 的小和数,合并12 ,D D 而成E 的一个更细密的划分D ,则当()D s f g +为()()f x g x +关于D 的小和数时 12(()())()D D D D D f x g x dx s f g s f s g s f s g - +≥+≥+≥+? ()()()()22E E E E f x dx g x dx f x dx g x dx εε ε----≥ -+-=+-? ???(用到下确界的性 质和P125引理1) 由ε的任意性,令0ε→,而得(()())()()E E f x g x dx f x dx g x dx - --+≥+??? 3.补作定理5中()E f x dx =+∞?的情形的详细证明 证明 :令 {} |||||m E E x x m =≤,当 ()E f x dx =+∞ ?时, ()lim ()m m E E f x dx f x dx →∞ +∞==?? 0M ?>,存在00()m m M N =∈,当0m m ≥时,
实变函数测试题1-参考答案
本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联系 1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ，集{} ()E x f x c =≥和 {}1()E x f x c =≤都是闭集。 3、设n R E ?是任意可测集，则一定存在可测集 δ G 型集 G ，使得 E G ?,且 ()0=-E G m 4、设,n A B R ?，A B ?可测，且()m A B ?<+∞，若()**m A B m A m B ?=+， 则,A B 皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设)(x f 是E 上的可测函数，G 为开集，F 为闭集，试问])(|[G x f x E ∈与 ])(|[F x f x E ∈是否是可测集，为什么？ 7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0，而在0P 的余集中长为1 3n 的构成区间上定义为n （1,2,3,=L n ）,试证()f x 可积分，并求出积分值。 8、设{}n f 为E 上非负可积函数列，若lim ()0,n E n f x dx →∞=? 则()0n f x ?。 9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数，+∞
实变函数论试题及答案
实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ，0 2E ，2E 。 解：(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤， (){}222,1E x y x y =+< ， (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?，12 m E =。 解：在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ，接下来在剩下的两个闭区间 分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时， 一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间，剩下的n 2个闭区间，如此重复 下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。
实变函数试题库(4)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（4） 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =
实变函数引论参考答案 曹怀信 第二章
。习题2.1 1．若E 是区间]1,0[]1,0[?中的全体有理点之集，求b E E E E ,,,' ． 解 E =?；[0,1][0,1]b E E E '===?。 2．设)}0,0{(1sin ,10:),( ???? ??=≤<=x y x y x E ，求b E E E E ,,,' ． 解 E =?；{(,):0,11}.b E E x y x y E E '==-≤≤== 3．下列各式是否一定成立? 若成立，证明之，若不成立，举反例说明． (1) 11n n n n E E ∞ ∞=='??'= ???； (2) )()(B A B A ''=' ； (3) n n n n E E ∞=∞==? ??? ??1 1 ； (4) B A B A =； (5) ???=B A B A )(； (6) .)(? ??=B A B A 解 (1) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1 ( )n n E ∞=''==Q R , 而1.n n E ∞ ='=?但是，总有11 n n n n E E ∞∞=='??'? ???。 (2) 不一定。如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=? 而.A B ''=R R =R (3) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则 1 n n E ∞===Q R , 而 1 .n n E ∞ ==Q 但是，总有11 n n n n E E ∞∞ ==??? ???。 (4) 不一定。如(,)A a b =，(,)B b c =，则A B =?，而{}A B b =。 (5) 不一定。如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b =, (,)B b c =，而 ()(,)A B a c =，(,)\{}A B a c b =. (6) 成立。因为A B A ?, A B B ?, 所以()A B A ?, ()A B B ?。因此， 有()A B A B ?。设x A B ∈, 则存在10δ>，20δ>使得1(,)B x A δ?且2(,)B x B δ?,令12min(,)δδδ=,则(,)B x A B δ?。故有()x A B ∈，即 ()A B A B ?。因此，()A B A B =. 4．试作一点集A ，使得A '≠?，而?='')(A ． 解 令1111 {1,,,,,,}234A n =，则{0}A '=，()A ''=?. 5．试作一点集E ，使得b E E ?． 解 取E =Q ，则b E =R 。 6．证明：无聚点的点集至多是可数集． 证明 因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集，所以只要证明：任一只有孤立点的点集A 是最多可数。对任意的x A ∈，都存在0x δ>使得(,){}x B x A x δ=。有理开球（即中心为有理点、半径为正有理数的开球）(,)(,)x x x B P r B x δ?使得(,)x x x B P r ∈，从而 (,){}x x B P r A x =。显然，对于任意的,x y A ∈，当x y ≠时，有(,)(,)x x y y B P r B P r ≠， 从而(,)(,)x x y y P r P r ≠。令()(,)x x f x P r =，则得到单射:n f A + →?Q Q 。由于n + ?Q Q 可
(完整版)《实变函数及泛函分析基础》试卷及答案
试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有
(0195)《实变函数论》网上作业题及答案
[0195]《实变函数论》 第一次作业 [单选题]1.开集减去闭集是（） A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]2.闭集减去开集是（） A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集 参考答案：B [单选题]3.可数多个开集的交是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]4.可数多个闭集的并是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]6.可数集与有限集的并是（） A:有界集 B:可数集 C:闭集 参考答案：B
[判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。 参考答案：正确 [单选题]8.可数多个有限集的并一定是（） A:可数集 B:有限集 C:以上都不对 参考答案：C [单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数，则f(x)的间断点集是（）A:开集 B:闭集 C:可数集 参考答案：C [单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数，E=R(f>0),则E是 A:开集 B:闭集 C:有界集 参考答案：A [单选题]10.波雷尔集是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。 参考答案：正确 [单选题]1.开集减去闭集是（）。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]5.可数多个开集的并是（） A:开集 B:闭集
C:可数集 参考答案：A [判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。 参考答案：错误 [判断题]6.闭集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]10.开集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]4.连续函数一定是可测函数。 参考答案：错误 [判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。 参考答案：正确 [判断题]2.有界集合的测度一定是实数。 参考答案：正确 [判断题]1.可数集合是零测集 参考答案：正确 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 第二次作业 [单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：C [单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：A [单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（） A:0 B:1
实变函数习题解答
第一章习题解答 1、证明 A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 证明：设x∈A Y(B I C)，则x∈A或x∈(B I C)，若x∈A，则x∈A Y B，且 x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A I C)。若x∈B I C，则x∈B且x∈C，于是x∈A Y B 且x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A Y C)，因此 A Y(B I C) ? (A Y B)I(A Y C) (1) 设x∈(A Y B) I(A Y C)，若x∈A，则x∈A Y(B I C)，若x∈A，由x∈A Y B 且x∈A Y C知x∈B且x∈C，所以x∈B I C，所以x∈A Y(B I C)，因此 (A Y B)I(A Y C) ? A Y(B I C) (2) 由(1)、(2)得，A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A I B)＝(A Y B)－B ②A I(B－C)＝(A I B)－(A I C) ③(A－B)－C＝A－(B Y C) ④A－(B－C)＝(A－B)Y(A I C) ⑤(A－B)I(C－D)＝(A I C)－(B Y D) (A－B)＝A I B A－(A I B)＝A I C(A I B)＝A I(CA Y CB) ＝(A I CA)Y(A I CB)＝φY(A I CB)＝A－B (A Y B)－B＝(A Y B)I CB＝(A I CB)Y(B I CB) ＝(A I CB)Yφ＝A－B ②(A I B)－(A I C)＝(A I B)I C(A I C) ＝(A I B)I(CA Y CC)＝(A I B I CA)Y(A I B I CC)＝φY[A I(B I CC)]＝ A I(B－C) ③(A－B)－C＝(A I CB)I CC＝A I C(B Y C) ＝A－(B Y C) ④A－(B－C)＝A I C(B I CC)＝A I(CB Y C) ＝(A I CB) Y(A I C)＝(A－B)Y(A I C) ⑤(A－B)I(C－D)＝(A I CB)I(C I CD) ＝(A I C)I(CB I CD)＝(A I C)I C(B Y D)
实变函数论考试试题及答案
实变函数论考试试题及答案 证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。
实变函数试题库及参考答案
实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ??是可数集，则*m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ?∈?，()E x f x a ??≥??是 ，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是 函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题 1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ?是开集，则（ ） 3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ??是无限集，则（ ） A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ） A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限
4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ） A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数 四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. （ ） 2. 可数个可测集的并是可测集. （ ） 3. 相等的集合是对等的. （ ） 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？ 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??，其中E 为[]0,1中有理数集，求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ，求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U 2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞ =，则 实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题
实变函数历年考试真题汇总
第 1 页 共 6 页 陇东学院2011—2012学年第一学期实变函数(A) 一．填空.（每空2分，共20分） 1给出自然数集+N 与整数集Z 之间的一一对应关系 . 2设B A ,是两集合，B A <是指 . 3?? ?????????????=≠==0,00,1sin ),(x x x y y x E ,在2 R 内求= E ,='E ， 4.设, ,(),[0,1]\. x x x P f x e x P ∈?=? ∈?其中P 是Cantor 集,则[] =?1,0)(dx x f ________. 5.设n E R ?,则称E 是L 可测的是指: . 6.设()sin f x x =,[0,2]x π∈,则()f x + = ; ()f x -= . 7.称)(x f 为可测集E 上的简单函数是指 8.设⑴mE <∞;⑵ {}()n f x 是 E 上一列几乎处处有限的可测函数;⑶ lim ()()n n f x f x →∞ =..a e 于E ,且()f x <∞..a e 于E .则0δ?>,E E δ??,使得 mE δδ<,而{}()n f x 在 上一致收敛于()f x . 二.选择（每题2分，共10分） 1.若A 是有限集或可数集,B 是不可数集,则以下不对的是（ ）. A .A B 是可数； B .A B 是不可数； C .A B c =； D .A B B = 2.设E 是任一可测集,则( )． A .E 是开集; B .0ε?>,存在开集G E ?,使得(\)m G E ε<; C .E 是闭集; D . E 是 F σ型集或 G δ型集. 3.下列关系式中成立的是（ ） ①()A B B A =\ ，②()A B B A = \，③()B A B A ''=' ， ④() B A B A =，⑤()B A B A =，其中B A ,是二集合. A .①② B .③④⑤ C .③⑤ D .①②③④⑤ 4. 设n E R ?,mE <+∞,{}()n f x 在E 上几乎处处收敛于()f x .则( ). A ．{}()n f x 在E 上处处收敛于()f x ; B ．存在{}()n f x 的子列{}()i n f x ,使得{} ()i n f x 在E 上一致收敛于()f x . C . {}()n f x 在E 上一致收敛于()f x ; D . {}()n f x 在 E 上依测度收敛于()f x ; 5.设q R E ?为可测集，{}()n f x 是E 上的一列非负可测函数，则（ ） A ??∞→∞ →≤E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim B ??∞→∞ →≥E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim C ??∞→∞ →=E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim D ??∞→∞ →=E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim 三．判断题(每题2分，共10分) 1. 0mE =E ?是有限集或可数集. （ ） 2. 若开集1G 是开集2G 的真子集,则12mG mG < （ ） 3. 直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并 （ ） 4. 设()f x ,()g x 是可测集E 上的可测函数,则()()f x g x 也是E 上的可测函数 （ ） 5.可测函数)(x f 在E 上L 可积?)(x f 在E 上L 可积 （ ） 四．证明题(每题8分，共40分) 1.证明： 设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数,则a R ?∈,{} ()E x f x a =>是 试 卷 密 封 装 订 线 院 系 班 级 姓 名 学 号
实变函数测试题与答案
实变函数测试题 一,填空题 1. 设1,2n A n ??=????, 1,2n =L , 则lim n n A →∞ = 、 2. ()(),,a b -∞+∞:,因为存在两个集合之间的一一映射为 、 3. 设E 就是2R 中函数1cos ,00,0 x y x x ?≠?=?? =?的图形上的点所组成的 集合,则E '= , E ?= 、 4. 若集合n E R ?满足E E '?, 则E 为 集、 5. 若(),αβ就是直线上开集G 的一个构成区间, 则(),αβ满足: , 、 6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集, 则mE = 、 7. 若()n mE f x →()0f x ??=?? , 则说{}()n f x 在E 上 、 8. 设n E R ?, 0n x R ∈,若 ,则称0x 就 是E 的聚点、 9. 设{}()n f x 就是E 上几乎处处有限的可测函数列, ()f x 就是E 上 几乎处处有限的可测函数, 若0σ?>, 有 , 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x 、
10. 设()()n f x f x ?,x E ∈, 则?{}()n f x 的子列{} ()j n f x , 使得 、 二, 判断题、 正确的证明, 错误的举反例、 1. 若,A B 可测, A B ?且A B ≠,则mA mB <、 2. 设E 为点集, P E ?, 则P 就是E 的外点、 3. 点集11,2,,E n ??=???? L L 的闭集、 4. 任意多个闭集的并集就是闭集、 5. 若n E R ?,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合、 三, 计算证明题 1、 证明:()()()A B C A B A C --=-U I 2、 设M 就是3R 空间中以有理点(即坐标都就是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集、 3、 设n E R ?,i E B ?且i B 为可测集, 1,2i =L 、根据题意, 若有 ()()*0,i m B E i -→ →∞, 证明E 就是可测集、 4. 设P 就是Cantor 集, ()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P ?+ ∈? =? ∈-?? 、 求1 0(L)()f x dx ?、 5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x , 而在0P 的余
第三版实变函数论课后答案
1. 证明：()B A A B -=的充要条件是A B ?. 证明：若() B A A B -=，则()A B A A B ?-?，故A B ?成立. 反之，若A B ?，则()()B A A B A B B -?-?，又x B ?∈，若x A ∈， 则 ()x B A A ∈-，若x A ?，则()x B A B A A ∈-?-.总有 () x B A A ∈-.故 ()B B A A ?-，从而有()B A A B -=。 证毕 2. 证明c A B A B -=. 证明：x A B ?∈-，从而,x A x B ∈?，故,c x A x B ∈∈，从而x A B ?∈-， 所以c A B A B -?. 另一方面， c x A B ?∈，必有,c x A x B ∈∈，故,x A x B ∈?，从而x A B ∈-， 所以 c A B A B ?-. 综合上两个包含式得c A B A B -=. 证毕 3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理 9. 证明：定理4中的（3）：若A B λλ?（λ∈∧），则 A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 证：若x A λλ∈∧ ∈，则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ?（?λ∈∧） 成立 知x A B λλ∈?，故x B λλ∈∧ ∈，这说明 A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 定理4中的（4）： ()()( )A B A B λ λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 证：若 () x A B λ λλ∈∧ ∈ ， 则 有 'λ∈∧ ，使 ''()( )()x A B A B λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈?. 反过来，若()( )x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈则x A λλ∈∧ ∈或者x B λλ∈∧ ∈ . 不妨设x A λλ∈∧ ∈，则有'λ∈∧使'' '()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈?? . 故( )()()A B A B λλλ λλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ? . 综上所述有 ()( )( )A B A B λ λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ = . 证：( )c x A λλ∈∧ ?∈，则x A λλ∈∧ ? ，故存在'λ∈∧ ，'x A λ?所以 'c c x A A λλλ∈∧ ?? 从而有( )c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 反过来，若c x A λλ∈∧ ∈ ，则'λ?∈∧使'c x A λ?，故'x A λ?， x A λλ∈∧ ∴? ，从而()c x A λλ∈∧ ∈
实变函数复习题
1.若E有界,则m*E<正无穷 2.可数点集的外测度为零 3.设E是直线上一有界集合,m*E>0,则对任意小于m*E的正数c,恒有E的子集E1,使m*E=c 4.设S1,S2,…，Sn是一些互不相交的可测集合，Ei包含于Si，i=1，2，3...n，求证m*（E1并E2并E3...并En）=m*E1+m*E2+…+m*En 5.若m*E=0，则E可测。
6.证明康托尔（Cantor）集合的测度为0 7.设A，B包含于Rp，且m*B<正无穷，若A是可测集，证明m*（A并B）=mA+m*B-m*（A 交B） 8.证明：若E可测，则对于任意e〉0，恒有开集G及闭集F，使F包含于E包含于G，而m （G-E）〈e，m（E-F）〈e
9.设E包含于Rq，存在两列可测集{An}，{Bn}，使得An包含于E包含于Bn且m（Bn-An）--> 0(n-->无穷)，则E可测。 10.设是一列可测集，证明和都是可测集且
11.设{En}是一列可测集，若求和m（En）<正无穷，证明m（En上极限）=0 12.设E是[0，1]中可测集，若m（E）=1，证明对任意可测集A包含于[0，1]，m（E交A）=m（A） 13.设{En}是[0，1]中可测集列，若m（En）=1，n=1，2，...，则 定理5.6设E是任一可测集，则一定存在型集G，使G包含E，且m（G-E）=0。 设E是任一可测集，则一定存在型集F，使F包含于E，且m（E-F）=0。 次可数可加性证明
卡拉泰奥多里条件：m*T=m*（T交E）+m*（T交Ec）极限的测度等于测度的极限
1.证明：f（x）在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r，E[f〉r]可测，如果集E[f=r]可测，问f（x）是否可测？
实变函数论与泛函分析曹广福1到5章课后答案
第一章习题参考解答 3．等式)()(C B A C B A --=?-成立的的充要条件是什么？ 解： 若)()(C B A C B A --=?-，则 A C B A C B A C ?--=?-?)()(. 即，A C ?. 反过来, 假设A C ?, 因为B C B ?-. 所以, )(C B A B A --?-. 故, C B A ?-)(?)(C B A --. 最后证，C B A C B A ?-?--)()( 事实上，)(C B A x --∈?, 则A x ∈且C B x -?。若C x ∈，则C B A x ?-∈)(；若C x ?，则B x ?，故C B A B A x ?-?-∈)(. 从而,C B A C B A ?-?--)()(. A A C B A C B A C =?-?--=?-?)()(. 即 A C ?. 反过来，若A C ?，则 因为B C B ?-所以)(C B A B A --?- 又因为A C ?，所以)(C B A C --?故 )()(C B A C B A --??- 另一方面，A x C B A x ∈?--∈?)(且C B x -?，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ?因为C B x -?，所以B x ?故B A x -∈. 则 C B A x ?-∈)(. 从而 C B A C B A ?-?--)()( 于是，)()(C B A C B A --=?- 4．对于集合A ，定义A 的特征函数为????∈=A x A x x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是 一集列 ，证明： （i ）)(inf lim )(inf lim x x n n A n n A χχ= （ii ）)(sup lim )(sup lim x x n n A n n A χχ= 证明：（i ）)(inf lim n n m N n n n A A x ≥∈??=∈?，N ∈?0n ，0n m ≥?时，m A x ∈. 所以1)(=x m A χ，所以1)(inf =≥x m A n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x m n A n m N b A n χχ
实变函数积分理论部分复习题(附答案版)
2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 （×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞