行列式习题讲解
1.计算下列三阶行列式．
（1）
2
011411
8
3
--- （2）
3
212321
2
3
（3）
111a b c a b c a
b
c
+++ （4）
a b a b b a b a a b
a
b
+++
解
（1）2
011
411
8
3
--- 2(4)3181(1)(1)01(4)(1)(1)82310=?-?+??+-?-?-?-?---??-??
248041604=-++-+-=-．
（2）3212
3227443121281
2
3=++---=.
（3）111a
b c a b c a
b
c
+++12311111a b c
b c c c c a b c
b c a b c
b
c
+++++++++++++
1
(1)1
11
1b c a b c b c b c
=+++++1
00(1)1
1011
1
a b c a b c =+++=+++.
（4）a
b a b b a b a a b
a
b
+++3
3
3
3
3
3()()2()ab a b a b a b a b =+-+--=-+.
2.求解下列线性方程组． （1）121223,23 4.
x x x x +=??
+=? （2）co s sin ,sin co s .
x y a x y b θθθθ-=??
+=?
（3）12312312322,231,0.x x x x x x x x x -+=-??+-=??-+-=? （4）1
312312321,241,83 2.
x x x x x x x x -=??
+-=??-++=?
解 （1）因为系数行列式12102
3
D =
=-≠,从而计算
13214
3
D =
=,21322
4
D =
=-，
所以，方程组的唯一解为111D x D
=
=-,222D x D
=
=.
（2）因为系数行列式2
2
co s sin co s sin 10sin co s D θθθθθ
θ
-=
=+=≠,
1sin co s sin co s a D a b b
θθθθ
-=
=+,2co s co s sin sin a D b a b
θθθθ
=
=-， 所以，方程组的唯一解为1co s sin D x a b D
θθ==+,2co s sin D y b a D
θθ=
=-.
（3）因为系数行列式121
2
1312613450111D -=-=-+-++-=-≠--，从而计算 12
2111321006250
1
1
D --=
-=++---=--，
212121310610410101D -=
-=-+-+--=---，
31
2221104221051
10
D --==-+---=--，
所以，方程组的解为111D x D
==，222D x D
=
=，331D x D
=
=.
（4）因为系数行列式201
241241604160200183D -=-=-+-+-=≠-，从而计算 1131
01
01011410415204
1
2
8
3
5
8
3
D c c ---=
-+-=?=-，
22
11
2110123D -=
-=-， 3212
01201212410404201
2
1
8
21
82D r r =-=?
=---，
所以，方程组的解为111D x D
==，220D x D
=
=，331D x D
=
=.
3.确定下列排列的逆序数，并确定排列的奇偶性.
（1）1 4 2 3； （2）2 5 1 4 3； （3）6 5 7 3 4 1 2；
（4）1 3 5 （2n -1）2 4 6 （2n ）.
解 (1)τ（1 4 2 3）00112=+++=，偶排列. （2）τ（2 5 1 4 3）002125=++++=，奇排列.
（3）τ（6 5 7 3 4 1 2）010335517=++++++=，奇排列.
（4）τ（1 3 5 （2n -1）2 4 6 （2n ））(1
)123
212
n n n n n -=-+-+-+???++=，
当4n k =或41k +时，为偶排列；当42n k =+或43n k =+时，为奇排列.
4.下列乘积中，哪些可以构成相应阶数的行列式的项？ (1)34214312a a a a ； (2)12233414a a a a ； (3)4132231455a a a a a ； (4)4132231255a a a a a ．
解 因为n 阶行列式的项是一切可能取自不同行不同列的n 个元素的乘积，所以(1)，(3)可以构成,(2),(4)不可以．
5.确定下列五阶行列式的项所带的符号． (1)1223344155a a a a a ； （2）3142241355a a a a a ．
解 因为n 阶行列式121212()
12(1)
n n
n
i i i i i n i i i i D a a a τ=
-∑
，所以 （1）1223344155a a a a a 所带的符号为(23415)
(1)
τ-=0+0+0+3+0
3
(1)
(1)1-=-=-；
（2）3142241355a a a a a 1324314255a a a a a =所带的符号为
(34125)
0+0+2+2+0
4
(1)
(1)
(1)1τ-=-=-=．
6.在函数
10123()2321
1
2
x x x f x x x
=
中，3x 的系数是什么？
解 根据行列式的定义，仅当12213344a a a a ，，，四个元素相乘才能出现3
x ，此时该项列标排列的逆序数为τ（2 1 3 4）01001=+++=，故3
x 的系数是（－１）．
7.写出四阶行列式含有23a 且带正号的项．
解 11
1213142122232443132333441
42
43
44
a a a a a a a a D a a a a a a a a =中含有23a 的项为11233244a a a a ，11233442a a a a ，
12233144a a a a ，12233441a a a a ，14233142a a a a ，14233241a a a a ，其中带正号的项为11233442a a a a ，12233144a a a a ，14233241a a a a ．
8.用定义计算行列式．
（1）
1
233100060009
2
6
5
- （2）
121
1
n
n n a a a -
解 （1）考虑非零项，第二行中，仅有21a 不为零，第三行中，仅有31a 不为零，从而0D =． （2）考虑非零项，(,1,,1)
1211(1)
n n n n n D a a a τ--=- 1231
1211(1)
n n n n a a a ++++--=-
(1)
2
1211(1)
n n n n n a a a --=- ．
9.利用行列式的性质证明：
（1）
a b b c c a b c c a a b c a
a b
b c
------=---；
（2）
111111
11222222223
33333
3
3c a kc b la a b c c a kc b la a b c c a kc b la a b c ++++=
++；
（3）
2
2
2
2222
2
2
2
2
2
1
11(1)(1)(1)4(2)(2)(2)a
b
c
a b c a b c a b c a
b
c
+++=-+++；
（4）
2
2
2
22
2sin co s co s 2sin co s co s 20sin co s co s 2α
αα
βββγγ
γ
＝．
证明
（1）1230000a b
b c c a b c
c a a b r r r b c c a a b c a
a b
b c
c a
a b
b c
------++---=------；
（2）11111111111112
222222222
2223333333333
3
33
c a kc b la c a b la c kc b la c a kc b la c a b la c kc b la c a kc b la c a b la c kc b la ++++++=
+++++++
1111111112222
222223
33
33
33
33
c a b c a la a b c c a b c a la a b c c a b c a la a b c =
+=
．
（3）2
2
2
2
2
2
2222
2
2
2
2
2
2
2
2
(1)
(1)(1)212121(2)
(2)(2)4444
44
a
b
c
a
b
c
a b c a a b b c c a b c a a b b c c +++=+++++++++++++++
2
2
2
22
2
213231
21212122121214444442
22
a
b
c
a
b c
r r a b c r r a b c r r a b c -+++-+++-+++ 2
2
2
2
2
2
231
2
31312
22
2
2
1
11221
21214
(4)
11111
1
a
b
c
a b
c
r r r a b c a b c r r a b c r a
b
c
-?
+++?-?
．
（4）2
2
2
2
22
212
22
sin co s co s 2sin co s 2co s 2sin co s co s 2sin co s 2co s 20sin co s co s 2sin co s 2co s 2c c α
ααα
ααβ
βββ
ββγ
γ
γ
γ
γ
γ
-=． 10.计算行列式
（1）
1
111111111111
1
1
1
--- （2）
1
324213132142
1
1
（3）
12341258012113510-------- （4）
a b c d a d c b c d a b c
b
a
d
（5）
12222
22222322
2
2
n
（6）
1231
231231
2
3
n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλ
++++
解
（1）
213
3141
1
111111*********(2)81111002011110002
r r r r r r ----=-=------；
（2）
12241324
5124221310031321412142
1
010
1
c c c c ------5120031
2
1
--=
--
23
513(1)1
2
+--=?---(3)(101)27=-?-=-；
（3）2141123412341
258002120
121012113510
112
14
r r r r ----+-----------
2302120
2122121210
0131260
13
1
2
14
1
2
14
r r ---=
--+=?
=--；
（4）
13
240a b c d a c b d c d c c a d c b a c
b d
c b c
d a b a c b d a b c c c b a d a c b d a d
+++++=+++++；
（5）12322
122210002
22222222
23200102
2
2
2
n r r r r r r n
n -----
22220
100(1)(1)2(2)!(2)(2)!0
0200
2
n n n =-?=-??-=---
；
（6）
1231
231231231
23
n n n n n a a a a a a a a a a a a c c c c a a a a λλλλ++++++++
23123
1231
2
3
1
n
i n i n
i n i n
i
n i n
i n i a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλ
====++++
++
+∑
∑
∑
∑
2323231
231
1
()11
n n n
i
n i n a a a a a a a
a a a a a a λλλλ=+=+
++∑
2
32131
1
1
1
0()0000
n n
i
i n a a a r r r r a
r r λ
λλ
λ
=--+
-∑
1
1
()n
n i
i a
λλ
-==+
∑．
11.用克拉默法则求解下列线性方程组．
（1）1231231232431,5229,310.
x x x x x x x x x ++=??
++=??
-+=?
（2）123123123325,231,
23 1.
x x x x x x x x x ++=??
++=??
++=?
（3）1234234234
1
344760,28,32,1.
x x x x x x x x x x x x x +-+=??
++=-?
?
++=-??+-=?
（4）123412
4234
1
234322,2613,238,435 1.
x x x x x x x x x x x x x x
-++=??
++=??
-+=?
?-++=?
解 （1）计算系数行列式
12451212012122102703
1
1
D =
=-+-+-=-≠-，故方程组有唯一解．
131
24960
291293027548110111011D -=
==--=---， 21
3141190
52921
9099910831013101
D --=
=-=--=-， 32
31231
7
051
7515
1298039(1)(1)2734081358
393
1
10
3
110
D +===-?-?=-=---，
所以，方程组的解为：113D x D
==，224D x D
==，335D x D
=
=．
（2）计算系数行列式
321
2
31272463121202
1
3
D ==++---=≠，故方程组有唯一解． 1521
1
31451235634113D ==++---=， 2351
2
119210233014213D ==++---=-， 3325
2
3191043034142
1
1
D ==++---=-， 所以，方程组的解为：11176
D x D =
=，2276
D x D
=
=-
，3376
D x D
=
=-
．
（3）计算系数行列式
14
14760
48702110211r 0113011310111
011D r --=
---41
4871(1)
2
111
1
3
+-=?-? (121487448)550=-+---+=-≠，故方程组有唯一解．
31
1410
4760
47682118
2972113
2
1311011
1
c c D c c ------=
--+-41
4
761(1)2971
3
1
+-=?-?-
(363649548414)165=-++-++=-，
241
1
0761
076081108110213021311110187
D r r ----=
-----8112131
8
7
-=
--
56163119214220=-+-+-=，
314
1
4060
41702810281012301231011101
1D r r ---=
-----41
4
171(1)
2
811
2
3
+-=?-?-- (962815686)55=----+++=，
441
1
4701
470
02180218011201
121
1
10
4
81
D r r ----=
----2181124
8
1
-=
--
26483232155=-+-+-=-， 所以，方程组的解为：113D x D
=
=，224D x D
=
=-，331D x D
=
=-，441D x D
=
=．
（4）计算系数行列式
32421132111521206124001230100343514
3
1
10
c c D c c --+=
-----＝32
1151(1)
1
404
1
10
+?-?-
＝(405080010)550--+---=≠，故方程组有唯一解.
12
1321320681231
3
5
1D -=
--123242
232c c c c c c +++0100172610101155
345-----
＝12
17
610(1)(1)
10
155
4
5
+-?-?---＝7
205
305
4
5
----- ＝33
(5)(1)
(2110)55+-?-?-+=，
21
2411
2321232113060
11340823408234
1
5
10
7
7
7
r r D r r --=
------11348237
7
7
-=
----
1
11(7)(1)82311
3
4
=-?-?--1
1
170
1057000
14
7=?--=?=--，
21
3411
1221122121360
311401830183443110
177r r D r r ---=
----31141831
7
7
=
--372515101
= 7012555=-=-，
214411
1321132120130
3311012840
1284
3
5
10
17
7
r r D r r ----=
------33111281
7
7
-=---0183205151
7
7
=-- 270160110=-=，
所以，方程组的解为：111D x D
==，220D x D
==，331D x D
=
=-，442D x D
=
=
上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练：复数与行列式
上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练 复数与行列式 一、复数 1、（2018上海高考）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 2、（2017上海高考）已知复数z 满足3 0z z +=，则||z = 3、（2016上海高考）设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =__________________ 4、（宝山区2018高三上期末）若i z i 23-+= （其中i 为虚数单位），则Imz = ． 5、（崇明区2018高三上期末（一模））若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= ． 6、（奉贤区2018高三上期末）复数 i +12 的虚部是________. 7、（静安区2018高三二模）若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z = 8、（普陀区2018高三二模）已知i 为虚数单位，若复数2(i)i a +为正实数，则实数a 的值为……………………………（ ） )A (2 ()B 1 ()C 0 ()D 1- 9、（青浦区2018高三二模）若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 10、（青浦区2018高三上期末）已知复数i 2i z =+（i 为虚数单位），则z z ?= ． 11、（松江、闵行区2018高三二模）设m ∈R ，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴 上，则m = ． 12、（松江区2018高三上期末）若i -2是关于x 的方程02 =++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q p ∈,），则q 的值为 A. 5- B. 5 C. 3- D. 3 13、（杨浦区2018高三上期末）在复平面内，复数2i z i -= 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14、（浦东新区2018高三二模）已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ，若12||1x x -=，则实数p 的值为（ ） A. 3± B. 5± C. 3，5 D. 3±，5± 15、（浦东新区2018高三二模）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212||||||z z z z +≤+；（2）1212||||||z z z z ?=?；（3）123123()()z z z z z z ??=??，相应的在向量运算中，下列式子：（1）
行列式练习题及答案资料
一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题 1.由定义计算行列式n n 0 0000010 020 001000Λ ΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛ -= （ ）. （A ）!n （B ）!)1(2 ) 1(n n n -- （C ）!) 1(2) 2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n -- 2．在函数x x x x x x f 2 1 1 232 3 21 01)(= 中，3x 的系数是（ ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）3 3．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8. 三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列； 2． 各项以列标为标准顺序排列； 3． 各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.
一、填空题 1．若D=._____324324324,133 32 3131 232221211312111113332 31 232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程 2 2 913 2 5 1 3 232213211x x --=0的根为___________ . 二、计算题 1． 817116045153016 9144 3 1 2 ----- 2．d c b a 100 1100 11001--- 3．a b b b a b b b a D n Λ ΛΛΛΛΛΛ=
(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式
行列式经典例题及计算方法
行列式的例题 1.已知方程 01125208 42111111154115 21211111154113 21111113 23232=+ + -x x x x x x x x x ，求x 。 解：由行列式的加法性质，原方程可化为 32321 12520842111111154118 4211111x x x x x x + 3 232 2781941321111112793184 211111x x x x x x = = =(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0 得x=1或x=2或x=3。 2.计算：（化三角形法） 3.拆行列法 42031 2852 51873 121D =
行列式的计算 （四）升级法（加边法） 112122 1212 ,0 n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++= ≠+ 1 21121221 21 1000n n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++ 解：1) 1 21121 1 00(2,31)10010 0n i n a a a b r r i n b b --=+-- 121 (1).n i n i i a b b b b ==+∑ 111 11100 (1,21)00 n i n i i i i n a a a b c b c i n b b =+++ =+∑ 行列式的计算 （二）箭形行列式 0121112 2,0,1,2,3. n n i n n a b b b c a D a i n c a c a +=≠= 解：把所有的第列的倍加到(1,,)i n = i i c a -1i +第1列，得： 11201()n i i n n i i b c D a a a a a +==-∑
行列式检验测试题(有规范标准答案)
第九讲 行列式单元测试题点评 一、填空题（每小题2分，满分20分） 1．全体3阶排列一共有 6 个，它们是123,132,213,231,312,321； 2. 奇排列经过奇数次对换变为偶排列，奇排列经过偶数次 对换变为奇排列； 3. 行列式D和它的转置行列式D'有关系式D D' =； 4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号； 5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这 个行列式等于零； 6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外边； 7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列） 的对应元素上，行列式的值不变； 8. 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的 代数余子式的乘积之和等于零； 9. 11121 222 1122 ; 00 n n nn nn a a a a a a a a a = L L K M M M M L
10.当 k=22 ±时，542k k k =。 二、判断题（每小题3分，满分24分） 1.1)(,)(31221±==k i i i i k i i i n n ΛΛππ则若 （∨） 的符号 的一般项则设n n j i j i j i nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛ M M M M ΛΛ2211D ,.221 2222111211= .)1() (21n j j j Λπ-是 （×） 3. 若n(n>2)阶行列式D=0,则D 有两行（列）元素相同. (×) 4．若n 阶行列式D 恰有n 个元素非0，则D ≠0. (×) 5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆法则求解。 （×） 6．若行列式D 的相同元素多于2n n -个，则D=0. (×) 7. 11 121313233321222312 222331 32 33 11 21 31 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = (×) 8.n 阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。 （×） 三、单项选择题（每小题4分，满分20分） 1．位于n 级排列12111k k n i i i i i -+L L 中的数1与其余数形成的反序个数为（ A ）
第一章行列式练习题目及答案
第一章 行列式 一、单项选择题 1．=0 001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 2. =0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 3. 若2 1 33 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 4．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 5． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 6. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 7. 若2 23 5 00 1 011110403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0
8. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 1. 行列式=0 100111010100111. 2．行列式 = -0 10000200 0010 n n . 3．行列式 =--0 01) 1(2211)1(111 n n n n a a a a a a . 4．如果M a a a a a a a a a D ==3332 31 232221131211 ，则=---=32 323331 2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D . 5．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为 . 6．行列式 = --+---+---111 1 111111111111 x x x x . 7．n 阶行列式=+++λλλ 111 1 11111 . 8．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3, 2, 1，则该行列式的值为 .
行列式经典例题
大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
行列式-矩阵练习题
行列式 矩阵练习题 一、单项选择题 1. 设行列式D=a 522315 21-=0，则a =( B ). A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 2. 设A 是k ×l 矩阵，B 是m ×n 矩阵，如果AC T B 有意义，则矩阵C 的为( B ). A. k ×m B. k ×n C. m ×l D. l ×m 3. 设A 、B 均为n 阶矩阵，下列各式恒成立的是( B ). A. AB=BA B. (AB)T =B T A T C. (A+B)2=A 2+2AB+B 2 D. (A+B)(A-B)=A 2-B 2 4. A 为n 阶方阵，下面各项正确的是( C ). A. |-A|=-|A| B. 若|A|≠0,则AX=0有非零解 C. 若A 2=A,则A=E D. 若秩(A)
行列式典型例题
第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 1 1 a a 解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --1n c c += 1 1 1 a a a +-=n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -+1 1 001 (1) 0n n a a +-- 而 1 1 001 (1) 0n n a a +--最后列展开 = 21 (1)n +-2 n a a -=2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ． 将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．
n D =2(2) (1)n --11a a a = 11a a 2 n a a -=n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ． 例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= + (120n b b b ≠) 解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 12112122 1 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++升阶 213111 n r r r r r r +---= 12121100 1001 n n a a a b b b --- 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= 1 1121 1 12100000000 n n a a a a a b b b b b + ++ =1 12 1 (1)n n n a a b b b b b + ++ 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +=1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来． 例2.3 计算n 阶行列式： 12111 1111 1 1n n a a D a ++= +
行列式典型例题
第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 11 a a O 解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - L O =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --O 1n c c += 1 1 1 a a a +-O =n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -O +1 1 001 0(1) 0n n a a +--L O O 而 1 1 01 0(1) 0n n a a +--L O O 最后列展开 =21 (1)n +-2 n a a -O =2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ． 将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．
n D =2(2) (1)n --11a a a O = 11a a 2 n a a -O =n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ． 例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= +L L M M M L (120n b b b ≠L ) 解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 121121 221 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L 升阶 213111 n r r r r r r +---= L 12121100100100n n a a a b b b ---L L L M M M M L 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= L 111211 1 2100 00000 n n a a a a a b b b b b + ++L L L L M M M M L =1121(1)n n n a a b b b b b + ++L L 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +L L M M M L =1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来． 例2.3 计算n 阶行列式：
线性代数习题册行列式-习题详解.doc
行列式的概念 一、选择题 1． 下列选项中错误的是 ( ) a b c d (B) a b d b (A) d a b ； c d c ； c a a 3c b 3d a b a b a b (C) c d c ； (D) c d c . d d 答案： D 2．行列式 D n 不为零，利用行列式的性质对 D n 进行变换后，行 列式的值（ ）． (A) 保持不变； (B) 可以变成任何值； (C) 保持不为零； (D) 保持相同的正负号． 答案： C 二、填空题 1. log a b 1 =. 1 log b a 解析： log a b 1 log a b log b a 1 1 1 0 . 1 log b a cos sin 2. 3 6 =. sin cos 3 6 cos sin 解析： 3 6 cos cos sin sin cos0 sin cos 3 6 3 6 2 3 6 2x 1 3 3. 函数 f (x) x x 1 中， x 3 的系数为 ； 2 1 x 2x 1 1 g( x) x x x 中， x 3 的系数为. 1 2 x 答案： -2 ； -2.
阶行列式 D n中的n最小值是. 答案： 1. 1 2 3 5.三阶行列式0 2 4 中第2行第1列元素的代数余子式 3 1 1 等于. 答案： 5. 6.若 2x 8 0 ，则x= . 1 2 答案： 2. 7. 在n 阶行列式 D a ij 中，当 i 2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义 由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的矩形数表 ?? ?? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ?=)( 2．特殊矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下） 三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(; )(== 若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ===，则称A 与B 相等，记为A=B 。 2.1.2 矩阵的运算 1．加法 （1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)(==，则mn ij ij b a B A C )(+=+= （2）运算规律 ① A+B=B+A ； ②（A+B ）+C =A +（B+C ） ③ A+O=A ④ A +（-A ）=0， –A 是A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 （1）定义：设,)(mn ij a A =k 为常数，则mn ij ka kA )(= （2）运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA , ③ (KL ) A = K (LA ) 3．矩阵的乘法 （1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A ==则 ,)(mp ij C C AB ==其中∑== n k kj ik ij b a C 1 （2）运算规律 ①)()(BC A C AB =；②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( （3）方阵的幂 ①定义：A n ij a )(=，则K k A A A = ②运算规律：n m n m A A A +=?；mn n m A A =)( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ①BA AB ≠ ②;00,0===B A AB 或不能推出 ③k k k B A AB ?≠)( 4．矩阵的转置 线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）德蒙德行列式 数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解 （2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） 高等代数 《行列式》测 验 一 填空题（2'612'?=） 1. 六阶行列式的展开式共有（ ）项. （A ）120 （B ）60 (C) 720 (D) 240 2. 排列1 2345a a a a a 的逆序数为a ，则排列5 4321a a a a a 的逆序数为（ ）. (A) a - (B) 10a - (C) 10a - (D) 2 a -或a +2 3. 0001002003004 =( ). (A) 24 (B) -24 (C) 0 (D) 12 4. 已知11 121311111212132122232121222223313233313132323341 42 43 4141 42 42 43 , ,a a a b a a b a a a a b a a b a m n a a a b a a b a a a a b a a b a == 则行列式 11121311122122232122313233313241 4243 4142a a a b b a a a b b a a a b b a a a b b ++= ++（ ）. (A) m n + (B) n m - (C) m n - (D) () m n -+ 5. 已知2 31421,1 1 1 D =- i j A 为D 的元素ij a 的代数余子式，则（ ）. (A) 1112130 A A A ++= (B) 1121310 A A A ++= (C) (A),(B)都成立 (D) (A),(B)都不成立 6. 0001 00002000 10 n n =- ( ). (A) 1 (1) !n n +- (B) (1) 2 (1) !n n n -- (C) (1) 2 (1) !n n n +- (D)!n 二 填空题（2'816'?=） 1. 2011阶反对称行列式的值为 . 2. 13234425k l a a a a a 为五阶行列式ij D a =中带负号的项，则k = ， l = . 3. 排列(1)321n n - 的逆序数为 , 13(21)24(2) n n - 的逆序 数为 . 4. 线性方程组 1212040 x x x x λλ+=?? +=?有唯一解，则λ满足 . 5. 若n 阶行列式D 中等于0的元素个数大于2 n n -，则D = . 6. 2 1 1203101311 112 x x ----的展开式中2 x 的系数为 . 7. 1 1111234149161 8 27 64 = . 8. 已知四阶行列式D 的第3行元素为3,3,1,1--, 其对应的余子式的值 为1,2,5,4, 则行列式D = . 线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式: = 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++ 《线性代数》 (工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵 A 为 4 阶方阵，且 | A| =5，则 | A* | =__125____，| 2A| =__80___， | A1 |= 1/5 bx ay 0 、若方程组cx az b 有唯一解，则 abc≠ 2 cy bz a 3 、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式0 . x1 x2 x3 0 4 、当 a 为 1 or 2 时，方程组x1 2x2 ax3 0 有非零解. x1 4x2 a2 x3 0 3 1 2 5 、设 D 2 3 1 , 则2 A11 A21 4 A31 .0 01 4 二、单项选择题 a 11 a 12 a 13 4a11 2a11 3a12 a 13 1．设 D a 21 a 22 a 23 1, 则D 4a21 2a21 3a22 a 23 （ B ）a 31 a 32 a 33 4a31 2a31 3a32 a 33 （A)0 ；（B)―12 ；（C）12 ；（D）1 kx ky z 0 （ A ．设齐次线性方程组2x z 0 有非零解，则k = ）2 kx 2 y z 0 （A）2 （B）0 （C）-1 （D）- 2 2 0 8 3．设 A= 3 1 5 ，则代数余子式A 12 ( B ) 2 9 7 (A) 31 (B) 31 (C) 0 (D) 11 4．已知四阶行列式 D中第三列元素依次为 -1 ，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4 ，则 D= ( A ) （ A） -15 （B） 15 （C） 0 （D） 1 三、计算行列式 1 第一章 行列式试题及答案 一 选择题 (每小题3分，共30分) ⑴ n 元排列 i 1 i 2… i n 经过相邻对换，变为i n … i 2 i 1，则相邻对换的次数为( ) (A) n (B) n /2 (C) 2n (D) n (n -1)/2 ⑵ 在函数()x x x x x x f 21421 12---=中，x 3的系数是( ) (A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4 ⑶ 若D n =det(a ij )=1，则det(－a ij ) = ( ) (A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D) (-1)n(n -1)/2 ⑷ 设 n n λλλλλλN O 21 2 1 = ，则n 不可取下面的值是( ) (A)7 (B) 2k +1(k ≥2) (C) 2k (k ≥2) (D) 17 ⑸ 下列行列式等于零的是( ) (A)100123123- (B) 031010300- (C) 100003010- (D) 2614226 13- ⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ⑺ =+++1 11 22 2c bc ac bc b ab ac ab a ( ) (A) 1 000100 01222 +c bc ac bc b ab ac ab a (B) 1111122222 +++++c bc ac bc b ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a (C) 101011122 22 2 +++++c bc bc b ac ab c bc ac bc b ab ac ab a (D) 1 1122 2 bc ac bc ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a + ⑻ 设a ,b ,c 两两不同，则02 22=+++c b a c b a b a a c c b 的充要条件是( ) (A) abc =0 (B) a+b+c =0 (C) a =1, b =-1, c =0 (D) a 2=b 2, c =0 ⑼ 四阶行列式 =4 4 3 322 1 1 a b a b b a b a ( ) (A) (a 1a 2- b 1b 2) (a 3a 4- b 3b 4) (B) (a 1a 4- b 1b 4) (a 2a 3- b 2b 3) (C) (a 1b 2- a 2b 1) (a 3b 4- a 4b 3) (D) (a 1b 4- a 4b 1) (a 2b 3- a 3b 2) ⑽ 齐次线性方程组??? ??=-+=+-=-+03020 223 21321321x x x x x x x x x λ只有零解，则λ应满足的条 件是( ) (A) λ=0 (B) λ=2 (C) λ=1 (D) λ≠1 二 填空 (每小题3分，共15分) ⑴ 在五阶行列式中，3524415312a a a a a 的符号是_________。 ⑵ 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 ⑶ 设7 3 4 369 02 111 1875 1----= D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。 ⑷ 若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 ⑸ 设x 1,x 2,x 3是方程x 3+px +q =0的根，则行列式=1 32213 3 21 x x x x x x x x x __。 三 计算行列式 (每小题6分，共30分) ⑴ 0 1 1 2 2 1032101132 221 13 132 11----- ⑵ ()()()()()()()()()()()()2 22 2 222222222222321321321321++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ⑶ y y x x -+-+11 1 1 111111111111 ⑷ a c b a c b a c b a c b a ⑸ x b b b a x b b a a x b a a a x D n Λ ΛM M O M M Λ Λ =(a ≠b ) 四 证明题 (每小题10分，共20分) ⑴ 用归纳法证明: 任意一个由自然数1,2,…,n 构成的n 元排列，一定可以经过不超过n 次对换变成标准排列12…n ⑵ 设平面上三条不同的直线为 000 =++=++=++b ay cx a cy bx c by ax ， 证明: 三条直线交于一点的充分必要条件是0=++c b a 大学——行列式经典例题 例 1计算兀素为a ij = | i — j|的n 阶行列式 解方法1 由题设知， an =0, a 〔2 1 , L ,a 1n n 1 丄 故 0 1 L n 1 0 1 L n 1 1 L n 2 r i r 1 1 1 L 1 D n M O i n ,n 1,L ,2 M O n 1 n 2 L 0 1 1 L 1 n 1 n L L n 1 2 L L 1 C j C n M O O L ( 1)n 12* 2 (n 1) j 1,L ,n 1 M 0 2 L 0 1 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行?第二步用的每列加第 n 列. 证明：考察范德蒙行列式： =(a 一②o -打)3 -刃3 一 (匚 -y) 1 L n 1 1 1 L 1 1 0 L n 2 r i r i 1 1 1 L 1 M O i 1,2,L ,n 1 M O n 1 n 2 L n 1 n 2 L 方法2 D n Cj q j 2,L ,n 例2. 1 1 M n 1 设a , 0 L 2 L O 2n 3 L b , c 是互异的实数 =0 =(1)n 12n 2(n 1) 的充要条件是a + c =0. =-1 ■■■■ J J - I .■- ■ ■ J I . 1 1 1 a b c 行列式云即为y2前的系数?于是 1 1 1 a b c 口m ={a-b)[a - e)(b-c){a-\-b-\-c) =0 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D a n 1 a n 2 a i 解：方法1递推法按第列展开, D n = x D n 1 + (-1) a n 由于D1 = x + a 1，D2 2 1+ a n=x(x D n 2+a n 1) + a n=x D n 2+ a2 a1 n 1 a n 必+ a n = L = x D 1+ a n 2X n + a n 1x + a n =x n a〔x L a n 1x a n 方法2第2列的x倍，第3列的x 倍, ，第n列的x n1倍分别加到第1列上 q XC2 D n a n xa n 1 a n 1 a n 2 K x a1矩阵典型习题解析
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