函数及其表示
第二章函数及其表示板块一函数的概念
题型一函数的定义
【例1】判断以下是否是函数：
⑴2
45
y x
=-；⑵y x
=±；
⑶y；⑷229
x y
+=．
【例2】函数()
y f x
=的图象与直线1
x=的公共点数目是（）A．1B．0C．0或1D．1或2
【例3】如图所示，能表示“y是x的函数”的是．
①
【例4】如下图（1）（2）（3）（4）四个图象各表示两个变量,x y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有．
【例5】{|02},{|03}
M x x N y y
=≤≤=≤≤给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的
函数关系的有（）
A、0个
B、1个
C、2个
D、3个
【例6】以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？如果是映射，是不是一一映射．
⑴集合{|
A P P
=是数轴上的点}，集合R
B=，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
⑵集合{|
A P P
=是平面直角坐标系中的点}，集合{(,)|,}
B x y x y
=∈∈
R R，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
(4).
(3).
(1).(2).
⑶集合{|
A x x
=是三角形}，集合{|
B x x
=是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
⑷集合{|
A x x
=是华星中学的班级}，集合{|
B x x
=是华星中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．
【例7】下列对应中有几个是映射？
【例8】已知
12
{,}
A a a
=，
12
{,}
B b b
=，则从A到B的不同映射共有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【例9】设:f A B
→是集合A到B的映射，下列说法正确的是（）
A、A中每一个元素在B中必有象
B、B中每一个元素在A中必有原象
C、B中每一个元素在A中的原象是唯一的
D、B是A中所在元素的象的集合
【例10】⑴若集合{1,0,1}
A=-，{2,1,0,1,2}
B=--，f：A→B表示A到B的一个映射，且满足对任意x A
∈都有()
x f x
+为偶数，则这样的映射有_______ 个．
⑵设:f A B
→是从集合A到B的映射，{}
(,),
A B x y x y
==∈∈
R R，
:(,)(,)
f x y kx y b
→+，若B中元素(6,2)在映射f下的原象是(3,1)，
则k，b的值分别为________．
【例11】已知集合{}
04
A x x
=≤≤，{}
02
B y y
=≤≤，下列从A到B的对应f不是映射的是（）A．
1
:
2
f x y x
→=B．
1
:
3
f x y x
→=
C．
2
:
3
f x y x
→=D．2
1
:
8
f x y x
→=
【例12】集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是__________.
【例13】已知集合{}{}
42
1,2,3,,4,7,,3
A k
B a a a
==+，且*,,
a N x A y B
∈∈∈使B中元素31
y x
=+和A中的元素x对应，则,a k的值分别为（）
A．2,3B．3,4C．3,5D．2,5
【例14】（09年山东梁山）设f、g都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）：映射f的对应法则是表1
映射g
则与)]1([g f 相同的是（ ）
A ．)]1([f g ；
B ．)]2([f g ；
C ．)]3([f g ；
D ．)]4([f g
【例15】（07年北京）已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出
则[(1)]f g 的值为
；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是
【例16】（06陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→
明文（解密），已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文
2,2,23,4.a b b c c d d +++例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ） A ．7,6,1,4；B ．4,6,1,7；C ．6,4,1,7；D ．1,6,4,7
【例17】已知{5,6,7,8,9}M N ==，规定M 到N 的一个映射为()f x =15x +??
?
9
9x x ≠=， ⑴如果[()]6f f a =，求a ； ⑵如果{[()]}6f f f b =，求b ； ⑶如果10{...()}6f f f c =次
，求c ．
题型二 函数的定义域
【例18】求下列函数的定义域
（1）1()2f x x =
-；（2）()f x =（3）1
()2f x x
-. 【例19】求下列函数的定义域： （1）1
21
y x =+-；（2）y .
【例20】函数y 的自变量x 的取值范围是（ ）
A ．0x >
B ．1x >
C ．0x ≠
D ．0x ≥且1x ≠
【例21】函数22
4
x y x -=
-的定义域 ．
【例22】
函数0y =
___________．
【例23】
求函数()f x =
的定义域． 【例24】（2008年全国I
卷文理）函数y = ）
A ．{|0}x x ≥
B ．{|1}x x ≥
C ．{|1}{0}x x ≥
D ．{|01}x x ≤≤
【例25】求下列函数的定义域
⑴y
⑵y =
；⑶1111
1y x x
=
-
-
-．
【例26】若(2)y f x =+的定义域是(1,3]，求()y f x =的定义域．
【例27】已知函数(1)y f x =+定义域是[2,3]-，则(21)y f x =-的定义域是（ ）
A ．5
[0]2
， B ．[14]-， C ．[55]-， D ．[37]-，
【例28】(1)已知已知函数f （x ）
的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．a ＞13
B ．－12＜a ≤0
C ．－12＜a ＜0
D ．a ≤1
3
【例29】（1
）求下列函数的定义域：0()f x =
（2）已知函数()f x 的定义域是(,)a b ，求函数()(31)(31)F x f x f x =-++的定义域．
【例30】(1)函数()f x 的定义域为(0,1),求函数2()f x 的定义域;
(2)已知函数(21)f x +的定义域为(0,1),求()f x 的定义域; (3)已知函数(1)f x +的定义域为[2,3]-,求2(22)f x -的定义域.
【例31】求下述函数的定义域：
（1
）0()(32)f x x =
-； （2）22()lg()lg().f x x ka x a =-+-
【例32】已知函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
(1) 2
()23f x +；
(2)2y =
。
题型三 函数的值域
【例33】求下列函数的值域：（1）y=-3x 2+2;（2）≥-1). 【例34】函数2()1f x x x =+-的最小值是_________________．
【例35】求函数y =
【例36】求下列函数的值域：（1）y=21
x x ++（2）y=2211x x -+.
【例37】求函数. 【例38】求函数y =
2
34
x
x +的最值． 【例39】利用判别式方法求函数22223
1
x x y x x -+=-+的值域．
【例40】若（)=0,求x-y 的最大、最小值．
【例41】求函数的值域．
【例42】求函数y=2x x
e e -+(x ＞0)的值域．
【例43】求函数y=25
243
x x -+的值域.
【例44】求下列函数的值域：
⑴34x y x
+=- ⑵25243y x x =-+ ⑶y x =．
【例45】求下列函数的值域：
（1）2
42(14)y x x x =-+-≤≤；（2）2sin 2sin x y x -=+；（3）22436x x y x x ++=+-．
【例46】求下列函数的值域⑴1
y x x
=+；⑵y x =+．
【例47】求下列函数的值域：
（1）4y =； （2）y x =+
（3）221
223
x x y x x -+=-+； （4）y =；
【例48】求下列函数的定义域与值域：（1）32
54x y x
+=-； （2）22y x x =-++.
【例49】求下列函数的值域
⑴ 23
1
x y x -=+；⑵ 21y x =--， [1,3]x ∈-；
⑶ 2234y x x =---；⑷ 5y = 【例50】求下列函数的值域：
（1）232y x x =-+；（2）y =（3）31
2
x y x +=
-；
函数的概念与表示法
函数的概念和函数的表示法 考点一：由函数的概念判断是否构成函数 函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有 唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。 例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（ ） ① A={x x ∈Z}，B={y y ∈Z}，对应法则f ：x →y= 3 x ; ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈R}，对应法则f ：x →2y =3x; ③ A=R,B=R, 对应法则f ：x →y=2 x ; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ） ① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（ ） ①22x y +=2 1= ③ A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 变式3. 已知函数y=f （x ），则对于直线x=a （a 为常数），以下说法正确的是（ ） A. y=f （x ）图像与直线x=a 必有一个交点 B.y=f （x ）图像与直线x=a 没有交点 C.y=f （x ）图像与直线x=a 最少有一个交点 D.y=f （x ）图像与直线x=a 最多有一个交点 变式4.对于函数y ＝f(x)，以下说法正确的有…( ) ①y 是x 的函数 ②对于不同的x ，y 的值也不同 ③f(a)表示当x ＝a 时函数f(x)的值，是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 变式5．设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( ) A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③ D ．② 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例2. 下列哪个函数与y=x 相同（ ） ①. y=x ②.y = ③. 2 y = ④.y=t ⑤.3 3x y = ；⑥.2x y =
第一节 函数的概念及其表示
第二章函数 第一节函数的概念及其表示 高考试题 考点一函数的定义域 1.(2013年重庆卷,文3)函数y= 21 log(2) x- 的定义域是( ) (A)(-∞,2) (B)(2,+∞) (C)(2,3)∪(3,+∞) (D)(2,4)∪(4,+∞) 解析:要使函数有意义,则x满足 20, 21, x x -> ? ? -≠ ? 解得x>2且x≠3.故选C. 答案:C 2.(2013年陕西卷,文10)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,有( ) (A)[-x]=-[x] (B) 1 2 x ?? + ?? ?? =[x] (C)[2x]=2[x] (D)[x]+ 1 2 x ?? + ?? ?? =[2x] 解析:取特殊值进行排除: 当x=1.3时,[-x]=[-1.3]=-2,-[x]=-1,选项A错. 当x=1.5时, 1 2 x ?? + ?? ?? =2,[x]=[1.5]=1, [2x]=3,2[x]=2,选项B、C错.故选D.答案:D 3.(2013年山东卷,文5)函数 的定义域为( ) (A)(-3,0] (B)(-3,1] (C)(-∞,-3)∪(-3,0] (D)(-∞,-3)∪(-3,1] 解析:由f(x)= 得 120, 30, x x ?-≥ ? +> ? 则-3 4.(2013年广东卷,文2)函数f(x)= lg(1)1x x +-的定义域是( ) (A)(-1,+∞) (B)[-1,+∞) (C)(-1,1)∪(1,+∞) (D)[-1,1)∪(1,+∞) 解析:由题意得10,10,x x -≠??+>? 即x>-1且x ≠1.故选C. 答案:C 5.(2012年山东卷,文3)函数f(x)= ()1ln 1x + 的定义域为( ) (A)[-2,0)∪(0,2] (B)(-1,0)∪(0,2] (C)[-2,2] (D)(-1,2] 解析:由210,11,40,x x x ?+>?+≠??-≥? 得1,0,22,x x x >-??≠??-≤≤?∴-1 第二节（2-3个课时） 第一课时 1、如下图，求出A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 点的坐标. 2、若点A 的坐标为（2，-3），则它在第 象限内，它关于x 轴的对称点的坐标为 ；在第_____________象限．它关于y 轴的对称点的坐标为 ；它关于原点的对称点的坐标为 ；点（3-，π-）在＿＿＿＿＿＿＿＿，点（3，0）在＿＿＿＿＿＿＿＿，点（0，－5）在＿＿＿＿＿＿. 3、请在下图中建立直角坐标系，并写出图中各点的坐标： A ：（ ， ） B ：（ ， ） C ：（ ， ） D ：（ ， ） 4．下列各点，在第三象限的是（ ） A ．(2, 4) B ．(2, -4) C ．(-2, 4) D ．(-2, -4) 5、已知点P 在第二象限内，且到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为3，则点P 的坐标为 ； 6. 若点P 在x 轴的下方, y 轴的左方, 到每条件坐标轴的距离都是3,则点P 的坐标为( ) A. (3,3) B. (-3,3) C. (-3,-3) D. (3,-3). 7. 点A 在y 轴上，距离原点4个单位长度，则A 点的坐标是（ ） . 8. 在坐标系中, 点C(-2,3)向左平移3个单位长度后坐标为（ ） 9. 点P(x ，y)在第四象限，｜x ｜=1，｜y ｜=3，则P 点的坐标是 ( ) A.(1，3) B. (-1，3) C. (-1，-3) D. (1，-3) [B 组] 9、 4. 已知A(a –1,3)在y 轴上，则a = . 10、 13、在直角坐标系中，点(2x －6，x －5)在第四象限，则x 的取值范围是＿＿。A 、3＜x ＜5 B 、－3＜x ＜5 C 、－5＜x ＜3 D 、－5＜x ＜－3 11、(1)在平面直角坐标系中的点与有序实数对之间成＿＿＿关系． （2）如果点P （x ，y ）的坐标满足xy ＞0,那么点P 在＿＿ 象限，如果满足xy= 0,那么点P ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. (3)如果点P(m －2,m －3)在第四象限，那么m 的取值范围是＿＿＿＿ ． (4)若点(m,2)与(3, n)关于原点对称，则m+n 的值是 ＿＿＿＿ ． (5) 已知线段AB 的两个端点的坐标分别是A(3,4),B(－2，1)，求： ①把线段AB 向右平移2个单位后的线段的两个端点坐标；＿＿ ②线段AB 关于x 轴对称图形的两个端点的坐标；＿＿ ③线段AB 关于Y 轴对称图形的两个端点的坐标；＿＿ [C 组] 12.平面直角坐标系内，已知点P （a ,b ）且ab ＜0，则点P 在第＿＿象限。 13、如果点M(a ＋b ，ab)在第二象限，则点N(a ，b)在第＿＿象限。 14、平面直角坐标系中，点A （n ，1-n ）一定不在（ C ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 15：已知：点A 、B 、C 的坐标分别为)3,0(A 、)5,0(-B 、)0,6(C ，求△ABC 的面积. 16、若点P （a ，b ）在第四象限，则点M （b －a ，a －b ）在第＿＿象限。 17、已知点P 在第二象限，它的横坐标与纵坐标的和为1，点P 的坐标可以是＿＿（填上一个你认为正确的即可） 第二课时 1、画出函数3 21 +-=x y 的图象， 函数的表示方法 1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数； 2、 了解简单的分段函数，并能简单应用； 一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法 如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。 例如，s =602t ，A =π2 r ，2S rl π=,2)y x = ≥等等都是用解析式表示函 数关系的。 特别提醒： 解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。 解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。 2、列表法： 通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。 例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的. 特别提醒： 列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格 常常应用到实际生产和生活中。 列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。 3、图象法： 用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。 例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。 特别提醒： 图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。 图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。 二、函数图像： 1、判断一个图像是不是函数图像的方法： 要检验一个图形是否是函数的图像，其方法为：任作一条与x轴垂直的直线，当该直线保持与x轴垂直并左右任意移动时，若与要检验的图像相交，并且交点始终唯一的，那么这个图像就是函数图像。 2、函数图像的作图方法大致分为两种： （1）描点作图法。步骤分三步：列表，描点，连线成图。 （2）图像变换法。利用我们熟知基本初等函数图像，将其进行平移、对成等变换，从而得到我们所求的函数图像的方法。 三、根据函数图像确定函数的定义域和值域： 1、由函数图像来确定函数的值域的方法是看函数图像在y轴上的正投影所覆盖的区域； 2、由函数图像来确定函数的定义域的方法是看函数图像在x轴上的正投影所覆盖的区域； 四、分段函数图像： 有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数。由此可知，作分段函数的图像时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出。 全方位教学辅导教案姓名性别年级高一 教学 内容 函数与映射的概念及其函数的表示法 重点难点教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念 教学目标1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法 3.了解映射的概念及表示方法 4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象. 5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念 教学过程课前检 查与交 流 作业完成情况： 交流与沟通 针 对 性 授 课 一、函数的概念 一、复习引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的 值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做 函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数 的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 问题1：（）是函数吗？ 问题2：与是同一函数吗？ 观察对应： 30 45 60 90 2 1 2 2 2 3 9 4 1 1 -1 2 -2 3 -3 3 -3 2 -2 1 -1 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 (1)(2) (3)(4) 开平方求正弦 求平方乘以2 A A A A B B B B 1 二、讲解新课： 函数的概念及表示 一、选择题 1．下列对应f ：A →B 是从集合A 到集合B 的函数的是( ) A ．A ＝{x |x >0}， B ＝{y |y ≥0}，f ：y ＝1x B ．A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y >0}，f ：y ＝x 2 C ．A ＝{x |x 是三角形}，B ＝{y |y 是圆}，f ：每一个三角形对应它的外切圆 D ．A ＝{x |x 是圆}，B ＝{y |y 是三角形}，f ：每一个圆对应它的外切三角形 2．函数f (x )＝ lg 2＋x －x 2|x |－x 的定义域为( ) A ．(－2,0) B ．(－1,0) C ．(－1,2) D ．(－1,0)∪(0,2) 3．已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f ? ????x ＋12＋f ? ?? ??x －12的定义域是( ) A.???? ??12，1 B.??????12，2 C.???? ??12，32 D.??????1，32 4．已知函数f (x )＝????? 2x ，x ≥2，f x ＋2，x <2，则f ? ????log 218等于( ) A ．3 B ．8 C ．9 D ．12 5．若函数f (x )满足关系式f (x )＋2f ? ?? ??1x ＝3x ，则f (2)的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－32 D.32 6．已知函数f (x )＝????? log 21－x ＋1，－1≤x <0，x 3－3x ＋2，0≤x ≤a 的值域是[0,2]，则实数a 的取值范 围是( ) A ．(0,1] B ．[1，3] C ．[1,2] D ．[3，2] 7．已知f (x 3－1)＝x ＋1，则f (7)的值为( ) A.37－1 B.3 7＋1 C ．3 D ．2 8．已知函数f (x )＝1lg[ 25x －4·5x ＋m ]的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(5，＋∞) B ．(－∞，5) 题型一 求函数值 【例1】若函数()f x 满足(21)1f x x -=+，则(1)f = ． 【例2】（2006年安徽高考） 函数()f x 对于任意实数x 满足条件1 (2)() f x f x += ，若(1)5f =-，则((5))f f = ． 【例3】若函数2(21)2f x x x +=-，则(3)f = ． 【例4】已知函数2 2(),1x f x x R x = ∈+. （1）求1()()f x f x +的值；（2）计算：111 (1)(2)(3)(4)()()()234 f f f f f f f ++++++. 【例5】已知,a b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++求5a b -的值． 典例分析 板块二.函数的表示法 【例6】若函数2()f x x =，则对任意实数12,x x ，下列不等式总成立的是（ ） A ．12()2x x f +≤12()()2f x f x + B ．12()2x x f +<12()() 2f x f x + C ．12( )2x x f +≥12()()2f x f x + D ．12()2x x f +>12()() 2 f x f x + 【例7】（2006．台湾） 将正整数18分解成两个正整数的乘积有：118?，29?，36?三种，又36?是这三种分解中两数的差最小的，我们称36?为18的最佳分解．当p q ?()p q ≤ 是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数()p F n q = ，例如31 (18)62 F ==，下列有关函数()F n 的叙述，正确的序号为 （把你认为正确的序号都写上） ⑴(4)1F =；⑵3(24)8F =；⑶1 (27)3 F =； ⑷若n 是一个质数，则()F n 1 n = ；⑸若n 是一个完全平方数，则()1F n = 【例8】设函数3 (100)(),(89).[(5)](100)x x f x f f f x x -≥?=? + 一、函数的概念及其表示 函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。 函数的共同特征： （1）都包含两个非空数集，用A 、B 来表示； （2）都有一个对应关系； （3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数级A 中的任意一个数x ，按照对应关系，在数集B 中都有唯一确定的数y 和它对应。 事实上，除了解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法。为了表示方便，我们引进符号f 统一表示对应关系。 一般地，设A 、B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合b 的一个函数，记作 ().,A x x f y ∈= 其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}A x x f ∈|叫做函数的值域。 我们所熟悉的一次函数y=kx+b ，k ≠0的定义域是R ，值域也是R 。对应关系f 把r 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数kx+b 。二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的定义域是R ，值域是B 。当A>0时，B=??????-≥a b ac y y 44|2；当A<0时，B=? ?????-≤a b ac y y 44|2。对应关系f 把R 中任意一个数x,对应到B 中唯一确定的数)0(2≠++a c bx ax 。 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系 和值域。因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数。 函数的三种表示方法：解析法、列表法和图象法。 解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； 列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； 图象法，的就是用图象表示两个变量之间的对应关系。 这三种方法是常用的函数表示法。 函数及其表示法要点归纳 一、 学习目标 1．理解函数概念，明确函数的三个要素，会求简单的函数的定义域和值域； 2．了解映射的概念，理解和熟悉映射的表示方法； 3．掌握函数的三种表示方法，能利用这些方法表示函数。 二、重难点归纳 1．学习函数概念一定要注意理解其实质． ⑴由于函数实质上是非空数集之间的对应关系。按照函数定义，可以是“一对一”的，即不同的自变量的值，有不同的函数值与之对应，例如“y = 2x +1 ”，“y = x 3－3”等；也可以是“多对一”的，即多个自变量的值，有同一个函数值与它们对应，例如“y = x 2，x ∈R ”，“y = 5，x ∈R ”等等．但决不允许有“一对多”的情况出现，即不允许一个自变量的值与多个函数值相对应，例如“y =±x ，x ＞0”就不是函数关系式，因为它不满足对于定义域内任意一个．．实数x ，在函数值的集合中都有唯一．． 确定的数()f x 与之对应，比如，当x = 4时，(4)f =2或(4)f =－2． ⑵函数的实质取决于定义域和对应法则，函数的核心是对应关系．在函数符号y =()f x 中，f 是表示函数的对应关系，等式y =()f x 表明，对于定义域中的任意x ，在“对应法则f ”的作用下，即可得到y ．因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径，也是区分两个函数是否相同的一个重要因素。()f x 可以是解析式，也可以是图象或数表．符号()f x 与()f a 既有区别又有联系．()f a 表示当自变量x = a 时函数f (x)的值，是一个常量；而()f x 是自变量x 的函数，在一般情况下，它是一个变量．()f a 是()f x 的一个特殊值． ⑶等式y =()f x 还表明，对于定义域中的任意x ，在对应关系f 的作用下，可得到y ．因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径．所以，给定一个函数， D C B A 1.2.2 函数的表示方法 第一课时 函数的几种表示方法 【教学目标】 1．掌握函数的三种主要表示方法 2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系 3．会画简单函数的图像 【教学重难点】 教学重难点：图像法、列表法、解析法表示函数 【教学过程】 一、复习引入： 1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？ 2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？ 3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？ 二、讲解新课：函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种. ⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式. 例如，s=602 t ，A=π2 r ，S=2rl π,y=a 2 x +bx+c(a ≠0),y= 2-x (x ≥2)等等都是用解析 式表示函数关系的. 优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数. ⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. 学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高 125 135 140 156 138 172 167 158 169 用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表 优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本 中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的. 优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质. 三、例题讲解 例1某种笔记本每个5元，买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y （元），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像 解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为 y=5x ，x ∈{1,2,3,4}. 函数的概念与表示 知识领航 1．函数的定义 一般地：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数() f x和它对应，那么就称(): f x A B →为从集合A到集合B的一个函数，记作：(), y f x x A =∈. 注意：函数概念中的关键词 (1) A，B是非空数集. (2)任意的x∈A，存在唯一的y∈B与之对应. 2. 函数的定义域、值域 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{()|} f x x A ∈叫做函数的值域. 3. 函数的三要素 定义域、值域和对应法则. 4. 相等函数 如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等； 这是判断两函数相等的依据. 5. 区间的概念 设,a b是两个实数，而且a b<.我们规定： （1）满足不等式a x b ≤≤的实数x的集合叫做闭区间，表示为[,] a b. （2）满足不等式a x b <<的实数x的集合叫做开区间，表示为(,) a b. （3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[,) a b，(,] a b. 这里的实数都叫做相应区间的端点. 实数R可以用区间表示为(,) -∞+∞.“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们可以把满足x a≥，x a>，x b≤，x b<，的实数x的集合分别表示为[,) a+∞，(,) a+∞，(,]b -∞，(,)b -∞. 6. 函数的表示法 （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法. （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法. （3）图像法: 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法. 用描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线). 7.求函数的解析式的方法 （1）待定系数法: 适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等. （2）换元法: 适用于已知(()) f g x的解析式,求() f x. （3）消元法: 适用于同时含有() f x和1() f x ，或() f x和() f x-. 函数及其表示方法 编稿：丁会敏审稿：王静伟 【学习目标】 (1)会用集合与对应的语言刻画函数，会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用. (2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. (3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用． 【要点梳理】 要点一、函数的概念 1．函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数. 记作：y=f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 要点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示． 区间表示： <<= {x|a≤x≤b}=[a，b]； x a x b a b {|}(,); (] x a x b a b ≤<=； {|}, x a x b a b {|}, <≤=；[) (][) x x b b x a x a ≤=∞≤=+∞. {|}-,; {|}, 要点二、函数的表示法 1．函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 要点三、映射与函数 1.映射定义： 设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B. 象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a 授课主题函数1----概念及其表示 教学目的①理解函数的概念，了解构成函数的要素. ②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方表示函数. ③了解简单的分段函数，并能简单应用 教学重点求函数的解析式及值域 教学内容 1．函数的基本概念 (1)函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． (3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 2．映射的概念 设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射． 3．函数解析式的求法 求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R . (4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R . (5)y ＝tan x 的定义域为? ??? ??x |x ∈R 且x ≠k π＋π 2，k ∈Z . (6)函数f (x )＝x α的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f (x )＝x 2 x 与g (x )＝x 是同一个函数． ( × ) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等． ( × ) (3)若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，则函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <5}．( × ) (4)f (x )＝??? 1－x 2 (－1≤x ≤1) x ＋1 (x >1或x <－1)， 则f (－x )＝? ?? 1－x 2 (－1≤x ≤1) －x ＋1 (x >1或x <－1). ( √ ) (5)函数f (x )＝x 2＋4＋1的值域是{y |y ≥1}． ( × ) (6)函数是特殊的映射． ( √ ) 2．(2013·江西)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为 ( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1] 答案 B 解析 由??? 1－x >0 x ≥0得，函数定义域为[0,1)． 3．(2012·安徽)下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是 ( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x 答案 C 解析 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等． 对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )； 对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )； 函数及其表示方法 一、目标认知 学习目标： (1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用. (2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； (3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用． 重点: 函数概念的理解，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法． 难点: 对函数符号)(x f y =的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰当”？分段函数解析式的求法． 二、知识要点梳理 知识点一、函数的概念 1．函数的定义 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：)(x f y =，x A ． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示． 区间表示： {x|a ≤x ≤b}=[a ，b]； ； ； . 函数的概念及表示方法 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 数)(x y ?=的图象与直线a x =的交点个数为（ ） A 、必有1个 B 、1个或2个 C 、至多1个 D 、可能2个以上 2、 下列四组中的函数 )(x f 与)(x g ，表示相同函数的一组是（ ） A 、2)()(,)(x x g x x f == B 、1)(,11)(2-=-+=x x g x x x f C 、 x x x g x x f ==)(,)(0 D 、2)(,)(x x g x x f == 3、 下列选项正确的是（ ） （1）x x y -+-= 12可以表示函数 （2）521=-+-y x 可以表示函数（3）122=+y x 可以表示函数 （4）12=+y x 可以表示函数 A 、 （2）（4） B 、（1）（3） C 、（1）（2） D 、（3）（4） 4、下列关于分段函数的叙述正确的是（ ） （1） 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集 （2）分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应法则，但它们是同一个函数 （3）若21,D D 分别是分段函数的两个不同对应法则的值域，则Φ=21D D I A 、 （1） B 、（2）、（3） C 、（1）、（2） D 、（1）、（3） 5、设2:x x f →是集合A 到B 的映射，如果{}2,1=B ，那么B A I =( ) A 、 Φ B 、 {}1 C 、Φ 或{}2 D 、Φ或{}1 6、若函数)(x f 满足),)(()()(R y x y f x f y x f ∈+=+，则下列各项不恒成立 的是（ ） A 、0)0(=f B 、)1(3)3(f f = C 、)1(2 1)21(f f = D 、0)()(<-x f x f 7、将x y 1=的图像变换至函数23++=x x y 的图像，需先向 平移 个单位，再向 平移 个单位（ ） A 、左,2，上，1 B 、左，2，下，1 C 、右，2，上，1 D 、右，2，上，1 8、已知函数)(x f 的定义域是),(b a ，其中b>a+2,则)13()13()(+--=x f x f x f 的定义域是（ ） 函数及其表示法要点归纳 一、学习目标 1．理解函数概念，明确函数的三个要素，会求简单的函数的定义域和值域； 2．了解映射的概念，理解和熟悉映射的表示方法； 3．掌握函数的三种表示方法，能利用这些方法表示函数。 二、重难点归纳 1．学习函数概念一定要注意理解其实质． ⑴由于函数实质上是非空数集之间的对应关系。按照函数定义，可以是“一对一”的，即不同的自变量的值，有不同的函数值与之对应，例如“y = 2x +1 ”，“y = x 3－3”等；也可以是“多对一”的，即多个自变量的值，有同一个函数值与它们对应，例如“y = x 2，x ∈R ”，“y = 5，x ∈R ”等等．但决不允许有“一对多”的情况出现，即不允许一个自变量的值与多个函数值相对应，例如“y =±x ，x ＞0”就不是函数关系式，因为它不满足对于定义域内任意一个．．实数x ，在函数值的集合中都有唯一．． 确定的数()f x 与之对应，比如，当x = 4时，(4)f =2或(4)f =－2． ⑵函数的实质取决于定义域和对应法则，函数的核心是对应关系．在函数符号y =()f x 中，f 是表示函数的对应关系，等式y =()f x 表明，对于定义域中的任意x ，在“对应法则f ”的作用下，即可得到y ．因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径，也是区分两个函数是否相同的一个重要因素。()f x 可以是解析式，也可以是图象或数表．符号()f x 与 ()f a 既有区别又有联系．()f a 表示当自变量x = a 时函数f (x)的值，是一个常量；而()f x 是自变量x 的函数，在一般情况下，它是一个变量．()f a 是()f x 的一个特殊值． ⑶等式y =()f x 还表明，对于定义域中的任意x ，在对应关系f 的作用下，可得到y ．因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径．所以，给定一个函数，若给定了该函数的定义域和对应法则，其值域应有它的定义域和对应法则唯一确定．所以，对应法则和定义域是确定函数的两个基本要素．如果两个函数的定义域和对应法则完全相同，它们就表示一个函 函数及其表示 [考纲传真]1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用． 【知识通关】 1．函数与映射的概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (4)函数的表示法： 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． [常用结论] 简单函数定义域的类型 (1)f (x )为分式型函数时，分式分母不为零； (2)f (x )为偶次根式型函数时，被开方式非负； (3)f (x )为对数型函数时，真数为正数、底数为正且不为1； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1； (6)正切函数y ＝tan x 的定义域为xx ≠k π＋π 2 ，k ∈Z . 【基础自测】 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( ) (2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( ) (3)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( ) (4)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．函数y ＝2x －3＋1 x －3 的定义域为( ) A .?????? 32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C .?????? 32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞) C 3．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( ) B 4．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝3 x 3与g (x )＝x 2 B ．f (x )＝|x |与g (x )＝(x )2 C ．f (x )＝x 2－1 x －1 与g (x )＝x ＋1 【课题】 3.1 函数的概念及其表示法 【教学目标】 知识目标： (1) 理解函数的定义；(2) 理解函数值的概念及表示； (3) 理解函数的三种表示方法；(4) 了解利用“描点法”作函数图像的方法． 能力目标： (1) 通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力； (2) 通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能； (3) 会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力． 【教学重点】 (1) 函数的概念；(2) 利用“描点法”描绘函数图像． 【教学难点】 (1) 对函数的概念及记号)(x f y =的理解；(2) 利用“描点法”描绘函数图像． 【教学设计】 （1）从复习初中学习过的函数知识入手，做好衔接； （2）抓住两个要素，突出特点，提升对函数概念的理解水平； （3）抓住函数值的理解与计算，为绘图奠定基础； （4）学习“描点法”作图的步骤，通过实践培养技能； （5）重视学生独立思考与交流合作的能力培养. 【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】 *揭示课题 3.1函数的概念及其表示法 *创设情景 兴趣导入 学校商店销售某种果汁饮料，售价每瓶2.5元，购买果汁饮料的瓶数与应付款之间具有什么关系呢？ 设购买果汁饮料x 瓶，应付款为y ，则计算购买果汁饮料应付款的算式为 2.5y x =． 因为x 表示购买果汁饮料瓶数，所以x 可以取集合{}0,1,2,3,中的任意一个值，按照算式法则 2.5y x =，应付款y 有唯一的值与之对应． 两个变量之间的这种对应关系叫做函数关系． *动脑思考 探索新知 在某一个变化过程中有两个变量x 和y ，设变量x 的取值范围为数集D ，如果对于D 内的每一个x 值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的值与它对应，那么，把x 叫做自变量，把y 叫做x 的函数． 将上述函数记作()y f x =． 变量x 叫做自变量，数集D 叫做函数的定义域． 当0x x =时，函数()y f x =对应的值0y 叫做函数()y f x =在点0x 处的函数值．记作()00y f x =. 函数值的集合(){}|,y y f x x D =∈叫做函数的值域． 函数的定义域与对应法则一旦确定，函数的值域也就确定了．因此函数的定义域与对应法则叫做函数的两个要素． 定义域与对应法则都相同的函数视为同一个函数，而与选用的字母无关．如函数y =与s =表示的是同一个函数． 例如，函数2 x y x =的定义域为{|0}x x ≠，函数y x =的定义域为R ．它们的定义域不同，因此不 是同一个函数；函数,0, ,0x x y x x ?=?-函数及其表示法练习题
高一函数的表示方法
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函数及其表示 函数的表示法
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3.1函数的概念及其表示法