2017-2018学年江西省上饶市上饶县中学惟义、特零班高二(上)第一次月考数学试卷
2017-2018学年江西省上饶市上饶县中学惟义、特零班高二（上）
第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）
A．1365石B．338石C．168石D．134石
2．（5分）下列命题正确的是（）
A．y=x+的最小值为2
B．命题“?x∈R，x2+1＞3x”的否定是“?x∈R，x2+1≤3x”
C．“x＞2“是“＜”的充要条件
D．?x∈（0，），（）x＜log x
3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S8≤6，S11≥27，则S19的最小值是（）
A．95 B．114 C．133 D．152
4．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．
5．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）
A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+
C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜
6．（5分）过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作平面α，使得正方体的各棱与平面α所成的角均相等，则满足条件的平面α的个数是（）
A．1 B．4 C．6 D．8
7．（5分）阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（）
A．39 B．21 C．81 D．102
8．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线
的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）
A．B．C．D．
9．（5分）已知F为抛物线C：y2=8x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）
A．32 B．24 C．16 D．12
10．（5分）三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC满足BA=BC，，P在面ABC
的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P 到面ABC的距离为（）
A．2 B．3 C．D．
二、填空题（每小5分，满分20分）
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（4，2）和N（﹣3，6），则△OMN的面积为．
12．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果=2cos （B+C），B=30°，那么角A等于．
13．（5分）两人约定：在某一天同去A地．早上7点到8点间在B地会和，但先到达B地者最多在原地等待10min．如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B地的时间是随机的，独立的，等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地的概率是．
14．（5分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上
恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是．
三、解答题（本大题共8小题，每题10分，解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.）
15．（10分）已知函数f（x）=x2+（3﹣a）x+2+2a+b，a，b∈R．
（1）关于x的不等式f（x）≤b在[1，3]上有解，求实数a的取值范围．
（2）若关于x的不等式f（x）＜12+b的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围．
16．（10分）已知命题p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p 是￢q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣n，（n∈N*）
（1）证明：{a n+1}是等比数列；并求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n=（2n+1）a n+2n+1，求数列{b n}的前n项和为T n．
18．（10分）某市为了引导居民合理用水，居民生活用水实行二级阶梯水价计量办法，具体如下：第一阶梯，每户居民月用水量不超过12吨，价格为4元/吨；第二阶梯，每户居民月用水量超过12吨，超过部分的价格为8元/吨．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[0，2]，（2，4]，…，（14，16]分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求频率分布直方图中字母a的值，并求该组的频率；
（Ⅱ）通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的中位数m的值（保留两位小数）；
（Ⅲ）如图2是该市居民张某2016年1～6月份的月用水费y（元）与月份x的散点图，其拟合的线性回归方程是=2x+33，若张某2016年1～7月份水费总支出为312元，试估计张某7月份的用水吨数．
19．（10分）已知双曲线C：﹣y2=1，P是C上的任意点．
（1）求证：点P到C的两条渐近线的距离之积是一个常数；
（2）设点A的坐标为（5，0），求|PA|的最小值．
20．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
21．（10分）在四边形ABCD中，A，B为定点，C，D是动点，且AB=，BC=CD=AD=1．若△BCD与△BAD的面积分别为T与S．
（1）求S2+T2的取值范围；
（2）求S2+T2取最大值时，∠BCD的值．
22．（10分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．
2017-2018学年江西省上饶市上饶县中学惟义、特零班高二（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）
A．1365石B．338石C．168石D．134石
【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．
【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1524×=168石，
故选：C．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．
2．（5分）下列命题正确的是（）
A．y=x+的最小值为2
B．命题“?x∈R，x2+1＞3x”的否定是“?x∈R，x2+1≤3x”
C．“x＞2“是“＜”的充要条件
D．?x∈（0，），（）x＜log x
【分析】A，x＜0时，y=x+≤﹣2；
B，命题“?x∈R，x2+1＞3x”的否定是“?x∈R，x2+1≤3x”；
C，“x＞2“时“＜”成立，“＜”时，x＞2，或x＜0；
D，根据指数函数，对数函数图象可判定?x∈（0，），（）x＜log x；【解答】解：对于A，x＜0时，y=x+≤﹣2，故错；
对于B，命题“?x∈R，x2+1＞3x”的否定是“?x∈R，x2+1≤3x”，故错；
对于C，“x＞2“时“＜”成立，“＜”时，x＞2，或x＜0，故错；
对于D，根据指数函数，对数函数图象可判定?x∈（0，），（）x＜log x，
正确；
故选：D．
【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．
3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S8≤6，S11≥27，则S19的最小值是（）
A．95 B．114 C．133 D．152
【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由S8≤6，S11≥27，利用求和公式可得：﹣8a1﹣28d≥﹣6，11a1+55d≥27，相加可得：a10≥7．再利用求和公式即可得出S19的最小值．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S8≤6，S11≥27，
∴d≤6，≥27，
∴﹣8a1﹣28d≥﹣6，11a1+55d≥27，
相加可得：3a1+27d≥21，即a1+9d=a10≥7．
则S19==19a10≥19×7=133．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
4．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．
【分析】先求出基本事件总数n=5×5=25，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片
上的数大于第二张卡片上的数的概率．
【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数n=5×5=25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
共有m=10个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p==．
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
5．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）
A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+
C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜
【分析】a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b=．代入计算即可得出大小关系．【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，
∴可取a=2，b=．
则=4，==，log2（a+b）==∈（1，2），
∴＜log2（a+b）＜a+．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（5分）过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作平面α，使得正方体的各棱与平
面α所成的角均相等，则满足条件的平面α的个数是（）
A．1 B．4 C．6 D．8
【分析】所作平面只须与AA1，AD，AB所成角相等即可．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
与AA1，AD，AB平行的直线各有4条，AA1=AD=AB，A1﹣BDC1是正三棱锥，
AA1，AD，AB与平面A1DB所成角相等，
∴正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等的平面有4个，
故选：B．
【点评】本题考查直线与平面所成角的判断，几何体的特征，考查空间想象能力．7．（5分）阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（）
A．39 B．21 C．81 D．102
【分析】用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，得到n=4时退出循环，
即可．
【解答】解：第一次循环，S=3，n=2；
第二次循环，S=3+2×32=21，n=3；
第三次循环，S=21+3×33=102，n=4；
第四次循环，不满足条件，输出S=21+3×33=102，
故选：D．
【点评】本题考查循环结构，判断框中n=4退出循环是解题的关键，考查计算能力．
8．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线
的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）
A．B．C．D．
【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后等到双曲线的方程．
【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），
可得c=2，，即，，
解得a=1，b=，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
9．（5分）已知F为抛物线C：y2=8x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值
为（）
A．32 B．24 C．16 D．12
【分析】方法一：设直线l1，l2的方程，则k1k2=﹣1，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及抛物线的焦点弦性质，即可求得|AB|+|DE|，利用基本不等式的性质，即可求得|AB|+|DE|的最小值；
方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，焦点弦长公式可得|AB|=
=，|DE|===，根据二倍角公式
及正弦函数的性质，即可求得|AB|+|DE|的最小值；
方法三：设直线l1：，代入抛物线的方程，根据抛物线的弦长公式，即可求得丨AB丨=丨t1﹣t2丨==，同理求得丨DE丨，利用基本不等式的性质，即可求得|AB|+|DE|的最小值；
方法四：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．
方法五：根据抛物线的定义及性质丨AF丨=，丨BF丨=，则丨AB丨=丨AF丨+丨BF丨=，同理可得丨DE丨=，
则|AB|+|DE|=+，利用柯西不等式即可求得|AB|+|DE|的最小值．【解答】解：方法一：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），设直线l1：y=k1（x﹣2），直线l2：y=k2（x﹣2），
由l1⊥l2，则k1k2=﹣1，
则，整理得：k12x2﹣（4k12+8）x+4k12=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2==4+，
设D（x1，y1），E（x2，y2），同理可得：x3+x4==4+，
由抛物线的性质可得：丨AB丨=x1+x2+p=8+，丨DE丨=x3+x4+p=8+，