《点集拓扑学》第5章 §5.1 第一与第二可数性公理

第5章有关可数性的公理

§5.1第一与第二可数性公理

本节重点：

掌握满足第一与第二可数性公理的空间的定义及相互间的关系；

掌握满足第一与第二可数性公理的空间有关连续映射的不变性、有限可积性、可遗传性等问题；

掌握满足第一可数性公理的空间中在一点邻近的性质及序列的性质；

掌握常见的空间哪些空间是第一可数性公理空间,哪些是第二可数性公理空间．

从§2.6节的讨论可知，基和邻域基对于确定拓扑空间的拓扑和验证映射的连续性都有着重要的意义，它们的元素的“个数”越少，讨论起来越是方便．因此我们试图对拓扑空间的基或邻域基的元素“个数”加以限制，但又希望加了限制的拓扑空间仍能包容绝大多数常见的拓扑空间，如：欧氏空间、度量空间等．以下的讨论表明，将基或邻域基的元素的“个数”限定为可数是恰当的．

某拓扑空间的一个基或在某一点处的一个邻域基，如果是一个可数族，我们则分别称之为一个可数基和一个可数邻域基．

定义5.1.1 一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，或简称为空间．

定理5.1.1 实数空间R满足第二可数性公理

证明令B为所有以有理数为它的两个端点的开区间构成的族．显然B是一个可数族．

设U是R中的一个开集，对于每一个x∈U，存在实数>0，使得以x为中心以为半径的球形邻域

B（x,）=(x-,x+)U

选取有理数，使得

于是我们有．这也就是说U可以表示为B中某些成员之并．这证明了B是R的一个基．

R有可数基B，所以R满足第二可数性公理．

由于离散空间中的每一个单点子集都是开集，而一个单点集不能表为异于自身的非空集合的并，因此离散空间的每一个基必定包含着它的所有单点子集．所以包含着不可数多个点的离散空间是不满足第二可数性公理的空间．

定义5.1.2 一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间或简称为空间．

定理5.1.2 每一个度量空间都满足第一可数性公理．

证明设X是一个度量空间，x∈X则所有以x为中心以有理数为半径的球形邻域构成x 处的一个可数邻域基．

例5.1.1 不满足第一可数性公理的空间的例子．

设X是包含着不可数多个点的可数补空间．我们证明X在它的任一点处都没有可数邻域基．因此X不满足第一可数性公理．

用反证法来证明这一点．设X在点x∈X处有一个可数邻域基ψ．则对于任何y∈X,y≠x，

∵，，因此,将这个包含关系式的两边分别

对于X中所有的异于x的点求并，可见

由于X是一个不可数集，因此上式的左边是一个不可数集；由于ψ中只有可数个元素，并且每一个元素的补集都是可数集，因此上式的右边是一个可数集．矛盾．

定理5.1.3 每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理．

证明设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基．对于每一个x∈X，根据定理2.6.7，

={B∈B|x∈B}

是点x处的一个邻域基，它是B的一个子族所以是可数族．于是X在点x处有可数邻域基B．

定理5.1.3的逆命题不成立．因为任何一个离散空间显然满足第一可数性公理，而前面已经说过包含着不可数多个点的离散空间不满足第二可数性公理．

定理5.1.4 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y是一个满的连续开映射．如果X满足第二可数性公理（满足第一可数性公理），则Y也满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）．(这是关于连续映射下是否保持的性质)

证明设X满足第二可数性公理，是它的一个可数基．由于f是一个开映射，

={f(B)|B∈}是由Y中开集构成的一个可数族．只需证明是Y的一个基．设U是Y中

的一个开集，则(U)是X中的一个开集．因此存在

由于f是一个满射，我们有

即U是中某些元素的并．这完成是Y的一个基的证明．

本定理关于满足第一可数性公理的情形证明类似，请读者自己补证．

根据定理5.1.4可见，拓扑空间满足第一可数性公理和满足第二可数性公理的性质都是拓扑不变性质．

拓扑空间的某种性质称为可遗传性质，如果一个拓扑空间具有这个性质那么它的任何一个子空间也都具有这个性质．

例如离散性，平庸性都是可遗传的性质，但连通性却明显是不可遗传的．

拓扑空间的某种性质称为对于开子空间（或闭子空间）可遗传的性质，如果一个拓扑空间具有这个性质那么它的任何一个开子空间（闭于空间）也都具有这个性质．

例如，局部连通性虽然不是可遗传的性质，但对于开子空间却是可遗传的．（参见§4.4习题第3题）将来我们会接触到一些对闭子空间可遗传的性质．

紧接着的两个定理表明拓扑空间满足第一（或第二）可数性公理的性质是可遗传的，也是有限可积的．

定理5.1.5 满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间的任何一个子空间是满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间．

证明设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基．如果Y是X的一个子集，根据定理3.1.7，集族={B∩Y|B∈B}是子空间Y的一个基，它明显是可数族．本定理关于满足第一可数性公理的情形证明类似，请读者自己补证．

定理5.1.6 设是n个满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间．则积空间满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）．

证明我们只要证明n＝2的情形．

设都是满足第二可数性公理的空间，分别是它们的可数基．根据定理3．2．4，集族

是积空间的一个基，它明显是一个可数族．

本定理当n＝2时关于满足第一可数性公理的情形证明类似，请读者自己补证．

根据定理5.1.l，定理5.1.5和定理5.1.6，我们立即可知：（事实上，这个推论也容易直接证明（参见习题1）．）

推论5.1.7 n维欧氏空间的每一个子空间都满足第二可数性公理．

本节的余下部分我们讨论满足第一可数性公理的空间中序列的性质．读者将会看到在这种拓扑空间中序列的性质与我们在数学分析中见到过的有着较多的类似之处，特别是定理2.7.2和定理2.7.3的逆命题对于这类拓扑空间成立．

定理5.1.8 设X是一个拓扑空间．如果在x∈X处有一个可数邻域基，则在点x

处有一个可数邻域基使得对于任何i∈有，即

证明设{}是点x∈X处的一个可数邻域基．对于每一个i∈，令

容易直接验证便是点x处的满足定理要求的一个可数邻域基．

(即是个邻域基套,一个套一个的．这个定理常用来选取趋向于x的序列中的点．)

定理5.1.9 设X是一个满足第一可数性公理的空间，A X．则点x∈X是集合A 的一个凝聚点的充分必要条件是在集合A－{x}中有一个序列收敛于x．

证明定理的充分性部分的证明已见于第二章定理2.7.2，以下完成必要性部分的证明．

设x∈X是集合A的一个凝聚点，并且根据定理5.1.8可设是点x处的一个可数邻域基套，满足条件：对于每一个，i∈，,由于，可选取．序列{}是在A一{x}中的．我们证明lim =x(x→∞)如下：如果U是x的一个邻域，则由于是x处的一个邻域基套，所以存在N＞O使得．于是当i≥N时，我们有

定理5.1.10 设X和Y是两个拓扑空间，其中X满足第一可数性公理；x∈X．则映射f:X→Y在点x∈X处连续的充分必要条件是：如果X中的序列{}收敛于x，则Y 中的序列{f()}收敛于f(x)．

证明定理的必要性部分的证明已见于定理2.7.3，以下完成充分性部分的证明．假设定理中陈述的条件成立，我们要证明映射f:X→Y在点x处连续．用反证法．假设映射f在点x处不连续，这也就是说f(x)有一个邻域V,使得（V）不是x的邻域．而这又意味着，x的任何一个邻域U都不能包含在（V）中，即对于x的任何一个邻域U，包

含关系不成立，也就是说

总括上一段的论证可见：f（x）有一个邻域V使得对于x的任何一个邻域U有

现在设是点x处的一个可数邻域基，满足条件：对于每一个i∈，

．选取使得f()∈f(U)∩，即．明显地，序列{}

收敛于x．然而序列{f()}在f（x）的邻域V中却没有任何一个点，所以不收敛于f（x）．这与反证假设矛盾．因此反证假设不成立，所以映射f在点x处连续．

定理 5.1.11 设X和Y是两个拓扑空间，其中X满足第一可数性公理．则映射

f:X→Y是一个连续映射的充分必要条件是：如果X中的序列{}收敛于x∈X，则Y中的序列{f()}收敛于f（x）．

证明这是因为一个映射是一个连续映射当且仅当这个映射在它的定义域的每一个点处连续．（参见定理2.3.5．）

作业:

P139 1． 6．

定义定理公理定律的区别

定义、定理、定律和定则 表面上看定义、定理和定律都是由一些文字性的叙述加上数学表达式所组成，形式上确实差别不大，而老师上课往往会注重了它们在应用方面的讲授，忽略了其内在的区别和联系， 造成很多学生从初中到高中甚至大学，尽管会用其去解决问题，但对三者之间的区别依然一 知半解；甚至有部分教师在课堂教学中对此也存在着模糊的认识，滥用定义；误把定律当定 理或者定理当定律的事情都常有发生。下面笔者结合自己的体会，谈谈在高中物理教学中应 如何讲清它们的一些特点和联系。 对于每一个概念，我们不妨先从词典里对它的解释入手来看问题，然后再辨析一下与它相近的概念，便于对比和理解。 1定义：定义是对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延的确切而简要的说明。如果用通俗的说法，对某个概念的“定义”告诉我们的是：“什么是”这个量，而我们常见的“物理意义”告诉我们的是：这个量“是什么”。举个最常见的例子，如速度，定义：速度表示单位时间内通过的位移，物理意义：速度表示物体运动的快慢。 在物理学中，定义是有实际用处的，定义一个量，表面上似乎有一些任意性，但如果是为了解决生产实际的问题，那就要求定义出来的量有意义，有实际用处。所以没有人随便找 几个物理量来乘乘除除，起个名字，创造个新的物理量出来。假设我们定义一个质点的动能和动量分别为E k = mv和P= ,如果撇开动能定理和动量定理来说它是否正确，就没有什么意义了，因为离开了用到它的场合，就等于失去了检验它的标准，而成为没有实际意义的游戏。而动能和动量为什么是我们熟知的E k =mV和P = mv呢？原因在于我们可以通过这样的定义，寻找到某种等量关系，即动能定理和动量定理，并可以运用它来帮助我们解决实际问题。 其次定义的另一个特点在于简化公式或定理，使定理的文字叙述和公式表达更易于理解 和便于记忆，也使定理的物理意义更加明确。例如：定义冲量等于力乘以力所作用时间的乘 积，即I = f ? t，又定义动量是物体的质量与物体速度的乘积，即P = mv,而动量定理正 是I = P2 - R,这样动量定理的表述就更加简洁明了。 定义某个物理量时，都有对应的表达式，或称其为定义式，在定义式中，被定义的量是不能独立地确定的，而要靠其他物理量来确定。如：真空中点电荷Q的电场强度，我们可以 定义为的形式。因为F和q可以独立地确定，但E却不能，它就是由来确定的。 并不是什么物理量都有定义的，例如最常见的力，“力是物体之间的相互作用”，显然不是对力的定义，充其量只是一种说明。还有我们熟悉的“能”的概念，具有做功本领的物体就具有能，这也不是对“能”的定义。 2 ?定理：定理是建立在公理和假设基础上，经过严格的推理和证明得到的，它能描述事物之间内在关系，定理具有内在的严密性，不能存在逻辑矛盾。比如：勾股定理，隐含公理是平直的欧几里得空间，假设是直角三角形。 要明白定理的来源，首先我们必须了解公理，公理是不证自明的真理，是建立科学的基 础，欧几里得《几何原本》就是建立在五条公理基础上严密的逻辑体系。公理和定理的区别 主要在于：公理的正确性不需要用逻辑推理来证明，而定理的正确性需要逻辑推理来证明。 在物理学中而定理是通过数学工具（如微积分）推理得来的，如动能定理；定律是由实验得出或

第3章-2：分离紧可数性

第3章几类重要的拓扑性质 3.1 可度量性 3.2 连通性 3.3 道路连通性 3.4 分离性 定义3.4.1 设X是拓扑空间. 如果X中任意两个不同点的每一点都有一个邻域不包含另外一点, 则称X满足T1分离公理或X是T1空间. 并非任一空间都是T1空间. X={a, b}, T={, {a}, X} 定理3.4.1 对拓扑空间X, 下列条件等价: (1) X是T1空间; (2) X中的单点集是闭集; (3) X中的有限子集是闭集. 定理3.4.2 设X是T1空间. 若AX且xX, 则x是A的聚点当且仅当x的每个邻域都包含A的无限个点. 定义3.4.2设X是拓扑空间. 如果X中任意两个不同点有不相交的邻域, 则称X满足T2分离公理或X是T2空间.T2空间也常称为Hausdorff空间. 例3.4.1 设X是包含无限个元素的有限补空间. 由于X的有限集都是闭集, 所以X是T1空间. 而X中任意两个非空开集都相交. 事实上, 假设A, B是X的两个非空开集, 则X-A, X-B都是有限集, 所以 X-(A∩B)=(X-A) ∪(X-B) 是有限集, 从而A与B相交. 因此X不是Hausdorff空间. 定理3.4.3 如果X是Hausdorff空间, 则X中的每个序列至多收敛于一点. 定义3.4.3 设X是T1空间. (1) 如果对任意的xX及X中不包含x的闭集F, 存在X的不相交的开集U, V分别含有x与F, 则称X满足正则分离公理或X是正则空间. (2) 如果对X中的任意不相交的闭集A, B, 存在X的不相交的开集U, V

分别含有A, B则称X满足正规分离公理或X是正规空间. 例3.4.2 Smirnov删除序列空间R K是Hausdorff空间, 但不是正则空间. 定理3.4.4若X是T1空间. 则X是正则的当且仅当对任意xX及x的任意邻域U, 存在x的开邻域V使得cl(V)U. 定理3.4.5 若X是T1空间. 则X是正规的当且仅当对X中的每个闭集F 及包含F的任意一个开集U, 存在包含F的开集V使得cl(V)U. 定理3.4.6 度量空间是正规的. 可度量性是遗传性, 连通性是有限可积性. 定理3.4.7 良序空间是正规的. 定理3.4.8 T1、T2和正则分离公理都具有遗传性. 定理3.4.9 T1、T2和正则分离公理都是有限可积性. 例3.4.3下限拓扑空间R l是正规的, 但它的积空间R l2不是正规的. 补充: 定理3.4.10 T1、T2、正则性、正规性都是拓扑性质. 3.5 Urysohn引理与Tietze扩张定理 定理3.5.1 (Urysohn引理, 1925) 设X是正规空间. 若A, B是X中不相交的闭集, 则存在连续函数f: X[0, 1], 使得当xA时, f(x)=0; 当xB时, f(x)=1. 定义3.5.1 设X是拓扑空间, A, BX. 如果存在连续函数f: X[0, 1], 使得当xA时, f(x)=0; 当xB时, f(x)=1, 则称A与B能用连续函数分离. 定义3.5.2 设X是T1空间. 如果对任意xX及X中任意不包含x的闭集A, {x}与A能用连续函数分离, 则称X满足完全正则分离公理, 也称X是完全正则空间或Tychonoff空间. 定理3.5.2 完全正则性是遗传性和有限可积性. 例3.5.1 下限拓扑空间R l的积空间R l2是非正规的完全正则空间. 定理3.5.3 (Tietze扩张定理, 1925) 设X是正规空间. 若A 是X的闭子集, 则任何连续函数f: A[a, b]都存在连续扩张g: X[a, b]. 推论3.5.1 设X是正规空间. 若A 是X的闭子集, 则任何连续函数f: A R 都存在连续扩张g: X R.

度量空间中的紧致性

定义7.5.1 定理7.5.2 作业 §7.5度量空间中的紧致性 本节重点:掌握度量空间中的紧致空间、可数紧致空间、序列紧致空间、列紧空间之间的关系． 由于度量空间满足第一可数性公理，同时也是空间，所以上一节中的讨论（参见表7.2）因此我们，一个度量空间是可数紧致空间当且仅当它是列紧空间，也当且仅当它是序列紧致空间．但由于度量空间不一定就是Lindeloff空间，因此从定理7.4.2并不能断定列紧的度量空间是否一定就是紧致空间．本节研究这个问题并给出肯定的回答． 定义7.5.1 设A是度量空间（X，ρ）中的一个非空子集．集合A的直径diam（A）定义为 diam(A)=sup{ρ(x,y)|x,y∈A}若A是有界的 diam(A)=∞ 若A是无界的 定义7.5.2 设（X，ρ）是一个度量空间，A是X的一个开覆盖．实数λ＞0称为开覆盖A的一个Lebesgue数，如果对于X中的任何一个子集A，只要diam（A）＜λ，则 A包含于开覆盖A的某一个元素之中． Lebesgue数不一定存在．例如考虑实数空间R的开覆盖 {(-∞,1)}∪{(n-1/n,n+1+1/n) |n∈Z+} 则任何一个正实数都不是它的Lebesgue数．（请读者自补证明．） 定理7.5.1[Lebesgue数定理] 序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有一个Lebesgue数． 证明设X是一个序列紧致的度量空间，A是X的一个开覆盖．假若开覆盖A没有Lebesgue 数,则对于任何i∈Z+,实数1/i不是A的Lebesgue数，所以X有一个子集E,使得diam（E）＜1/i并且Ei不包含于A的任何元素之中．

《点集拓扑学》第5章 §5.2 可分空间

§5.2可分空间 本节重点: 掌握可分空间的定义及可分空间与第二可数性公理空间的关系,与度量空间的关系； 掌握稠密子集的定义及性质. 定义5.2.l 设X是一个拓扑空间，D X．如果D的闭包等于整个拓扑空间X，即=X，则称D是X的一个稠密子集. 以下定理从一个侧面说明了讨论拓扑空间中的稠密子集的意义． 定理5.2.1 设X是一个拓扑空间，D是X中的一个稠密子集．又设f,g：X→Y都是连续映射．如果，则f=g(本定理说明两个映射只须在稠密子集上相等,就一定在整个空间相等) 证明设．如果f≠g，则存在x∈X使得 f(x)≠g（x）．令：ε=|f(x)-g(x)|， 则ε＞0．令 ＝（f(x)-ε/2,f(x)+ε/2) ＝（g(x)-ε/2,g(x)+ε/2) 则根据映射f和g的连续性可知都是x的邻域，从而U ＝也是x的一个邻域．由于子集D是稠密的，所以U∩D≠．对于任意一个y∈U∩D，我们有， f（y）=g（y）∈，矛盾． 我们也希望讨论有着较少“点数”稠密子集的拓扑空间，例如具有有限稠密点集的拓扑空间．但这类拓扑空间比较简单，大部分我们感兴趣的拓扑空间都不是这种情形，讨论起来意思不大．例如一个度量空间如果有一个有限的稠密子集的话，那么这个空间一定就是一个离散空间．相反，后继的讨论表明，许多重要的拓扑空间都有可数稠密子集．

定义5.2.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间． 定理5.2.2 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间． 证明设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基．在B中的每一个 非空元素B中任意取定一个点∈B．令 D={|B∈B，B≠} 这是一个可数集．由于X中的每一个非空开集都能够表示为B中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D有非空的交，所以可数集D是X的一个稠密子集． 包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分的．这是因为在这样一个拓扑空间中，任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间． 可分性不是一个可遗传的性质，也就是说一个可分空间可能有子空间不是可分的．例子见后面的例5.2.1．然而由于满足第二可数性公理是一个可遗传的性质，因此根据定理5.2.2我们立即得到： 推论5.2.3 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分空间． 特别，n维欧氏空间中的每一个子空间（包括它自己）都是可分空间． 例5.2.1 设(X，T)是一个拓扑空间，∞是任何一个不属于X的元素（例如我们可以取∞=X）．令X*=X∪{∞}和T*={A∪{∞}|A∈T}∪{}．容易验证（请读者自己证明）（X*,T*）是一个拓扑空间． 我们依次给出以下三个论断： （1）（X*，T*）是可分空间．这是因为∞属于（X*，T*）中的每一个非空开集，所以单点集{∞}是（X*，T*）中的一个稠密子集． （2）（X*，T *）满足第二可数性公理当且仅当（X，T）满足第二可数性公理． 事实上，B是（X，T）的基当且仅当B*={B∪{∞}|B∈B}是（X*，T*）的一个基，而B 与B*有相同的基数则是显然的． （3）（X，T）是（X*，T*）的一个子空间．因为T*T.

第一可数性公理的推广

第一可数性公理的推广 数学与计算机科学学院 数学与应用数学 105012005036 阮玉兰 指导教师：朱金才 【摘要】列举论证了更多的第一可数性公理的性质,并定义了条件较弱的三个序列空间,论证了 空间与序列空间 之间的关系,并将第一可数性公理的若干性质推广到了三个序列空间中. 1A 【关键词】序列空间;第一可数性公理;性质;收敛. 1. 引言 众所周知,在函数的范畴中, 我们可以用收敛点列来定义函数的连续性与点集的聚点,这说明了一个重要的事实,即：点列的收敛性可以完全决定欧氏空间的拓扑,而这些性质的理论基础就是第一可数性公理．第一可数性公理是在1914年由豪斯多夫在他的著作《集论基础》中提出的,在欧氏空间的子集类中,康托尔曾导入并研究过开集、闭集、闭包、内部等概念,豪斯多夫将它们推广于抽象空间,并建立了两个可数性公理．第一可数性公理针对每一点,要求空间中的每一点都要存在可数的邻域基；第二可数性公理的条件则比较强,要求空间具有可数的拓扑基．在第一可数性公理下，一些拓扑问题可以借助于点列收敛来描述，这是因为此时的网收敛就是通常的点列收敛．比如，对于闭集的刻划可以写成其中任一点均存在收敛的点列收敛于该点；从第一可数空间到拓扑空间的映射在某一点连续，对任一收敛于该点的序列的像也收敛于该点的像，这就是映射保持性．对于拓扑学中考虑的绝大多数空间，这一点均是成立的．但第一可数性公理是给出空间的局部信息，而第二可数性公理给出了整体的信息． 第一可数性公理在拓扑学中扮着重要角色，有着广泛的应用．在熊金城老师编著的《点集拓扑讲义》里是这样定义满足第一可数性公理的空间的： 定义1.1 一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间或简称为空间．其中邻域基的定义是：对于拓扑空间[1]1A X ，x X ?∈，x 都有一个邻域基，即：x μ为x 的邻域系，x μ的子族x υ满足以下条件：对于任何x U μ∈，存在x V υ∈使得. V U ?2. 空间的性质 1A 2.1 空间的一般性质 1A 第一可数性公理作为拓扑学中的重要定理，满足第一可数性公理的空间即空间必然具备了许多性质. 1A 定理 每一个度量空间都满足第一可数性公理. [1] 2.1.1定理 设[1]2.1.2X 和Y 是两个拓扑空间, :f X Y →是一个满的连续开映射.如果X 满足第一

第一与第二可数性公理

定义5.1.1 定义5.1.2 定理5.1.5 作业 第5章有关可数性的公理 §5.1第一与第二可数性公理 本节重点： 掌握满足第一与第二可数性公理的空间的定义及相互间的关系； 掌握满足第一与第二可数性公理的空间有关连续映射的不变性、有限可积性、可遗传性等问题； 掌握满足第一可数性公理的空间中在一点邻近的性质及序列的性质； 掌握常见的空间哪些空间是第一可数性公理空间,哪些是第二可数性公理空间． 从§2.6节的讨论可知，基和邻域基对于确定拓扑空间的拓扑和验证映射的连续性都有着重要的意义，它们的元素的“个数”越少，讨论起来越是方便．因此我们试图对拓扑空间的基或邻域基的元素“个数”加以限制，但又希望加了限制的拓扑空间仍能包容绝大多数常见的拓扑空间，如：欧氏空间、度量空间等．以下的讨论表明，将基或邻域基的元素的“个数”限定为可数是恰当的． 某拓扑空间的一个基或在某一点处的一个邻域基，如果是一个可数族，我们则分别称之为一个可数基和一个可数邻域基． 定义5.1.1 一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，或简称为空间． 定理5.1.1 实数空间R满足第二可数性公理 证明令B为所有以有理数为它的两个端点的开区间构成的族．显然B是一个可数族．

设U是R中的一个开集，对于每一个x∈U，存在实数>0，使得以x为中心以为半径的球形邻域 B（x,）=(x-,x+)U 选取有理数，使得 于是我们有．这也就是说U可以表示为B中某些成员之并．这证明了B是R的一个基． R有可数基B，所以R满足第二可数性公理． 由于离散空间中的每一个单点子集都是开集，而一个单点集不能表为异于自身的非空集合的并，因此离散空间的每一个基必定包含着它的所有单点子集．所以包含着不可数多个点的离散空间是不满足第二可数性公理的空间． 定义5.1.2 一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间或简称为空间． 定理5.1.2 每一个度量空间都满足第一可数性公理． 证明设X是一个度量空间，x∈X则所有以x为中心以有理数为半径的球形邻域构成x 处的一个可数邻域基． 例5.1.1 不满足第一可数性公理的空间的例子． 设X是包含着不可数多个点的可数补空间．我们证明X在它的任一点处都没有可数邻域基．因此X不满足第一可数性公理． 用反证法来证明这一点．设X在点x∈X处有一个可数邻域基ψ．则对于任何y∈X,y≠x， ∵，，因此,将这个包含关系式的两边分别 对于X中所有的异于x的点求并，可见 由于X是一个不可数集，因此上式的左边是一个不可数集；由于ψ中只有可数个元素，并且每一个元素的补集都是可数集，因此上式的右边是一个可数集．矛盾． 定理5.1.3 每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理．

《点集拓扑讲义》第六章 分离性公理 学习笔记

第6章分离性公理 §6.1,Hausdorff空间 本节重点: 掌握空间的定义及它们之间的不同与联系； 掌握各空间的充要条件； 熟记常见的各种空间. 与前两章的连通性公理和可数性公理一样，分离性公理也是拓扑不变性质。 回到在第二章中提出来的，“什么样的拓扑空间的拓扑可以由它的某一个度量诱导出来”这一问题． 为了回答这个问题势必要求我们对度量空间的拓扑性质有充分的了解．我们将会发现，本章中所提到的诸分离性公理，实际上是模仿度量空间的拓扑性质逐步建立起来的．对诸分离性的充分研究使我们在§6.5中能够对于前述问题作一个比较深刻的（虽然不是完全的）回答． 引入： 例对于度量空间X，如果x，y∈X，?x、y ，当x ≠y时，x、y之间应该有一个距离，这个距离用d(x,y)表示， 定义6.1.1设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一个点（即如果x，y∈X，x≠y,则或者x有一个开邻域U使得y U,或者y有一个开邻域V使得x V)，则称拓扑空间X 是一个空间．

拓扑空间自然不必都是空间，例如包含着不少于两个点的平庸空间就不是空间． 定理6.1.1 拓扑空间X是一个空间当且仅当X中任意两个不同的单点 集有不同的闭包．（即如果x，y∈X，x≠y，则．） 证明充分性:设定理中的条件成立．则对于任何x，y∈X，x≠y，由于 ，因此或者成立，或者成立．当前者成立时，必定有．（因为否则).这推出x 有一个不包含y的开邻域．同理，当后者成立时，y有一个不包含x的开邻域．这证明X是一个空间． 必要性:设X是一个空间．若x，y∈X，x≠y，则或者x有一个开邻域U 使得或者y有一个开邻域V使得．若属前一种情形，由于 ，若属后一种情形，同样也有．定义6.1.2设X是一个拓扑空间．如果X中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一个点，则称拓扑空间X是一个空间． 空间当然是空间．但反之不然．例如设X={0,1}，T={,{0},X},则T 是X的一个拓扑，并且拓扑空间(X，T)是的但不是的．（请读者自己验证，） 定理6.1.2 设X是一个拓扑空间，则以下条件等价： （1）X是一个空间； （2）X中每一个单点集都是闭集；

2.2.2公理、定理

2.2.2公理、定理 （第8课时） 教学目标 1、知识与技能：了解命题、公理、定理的含义；理解证明的必要性。 2、过程与方法：结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识。 3、情感、态度与价值观：初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。 重点与难点 1、重点：知道什么是公理，什么是定理。 2、难点：理解证明的必要性。 教学过程 一、复习引入教师讲解：前一节课我们讲过，要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例就行了。这节课，我们将探究怎样证明一个命题是真命题。 二、探究新知 （一）公理教师讲解：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。我们已经知道下列命题是真命题： 一条直线截两条平行直线所得的同位角相等； 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； …… 在本书中我们将这些真命题均作为公理。 （二）定理 教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的。从而说明证明的重要性。 1、教师讲解：请大家看下面的例子： 当n=1时，（n2-5n+5)2=1; 当n=2时，（n2-5n+5)2=1； 当n=3时，（n2-5n+5)2=1。 我们能不能就此下这样的结论：对于任意的正整数（n2-5n+5)2的值都是1

呢？ 实际上我们的猜测是错误的，因为当n=5时，（n2-5n+5)2=25。 2、教师再提出一个问题让学生回答：如果a=b,那么a2=b2.由此我们猜想：当a＞ b时，a2＞ b2。这个命题是真命题吗？ ［答案：不正确，因为3＞ -5，但3 2 ＜（-5）2］ 教师总结：在前面的学习过程中，我们用观察、验证、归纳、类比等方法，发现了很多几何图形的性质。但由前面两题我们又知道，这些方法得到的结论有时不具有一般性。也就是说，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题。 教师讲解：数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。 我们把经过证明为真的命题叫做定理。 如“三角形的内角和等于180度”称为“三角形内角和定理” 定理也可以作为判断其他命题 (三）例题与证明 例如，有了“三角形的内角和等于180°”这条定理后，我们还可以证明刻画直角三角形的两个锐角之间的数量关系的命题：直角三角形的两个锐角互余。 教师板书证明过程。 教师讲解：此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理。 定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据。 三、随堂练习课本P55 练习1、2、3。 四、课时总结 1、在长期实践中总结出来为真命题的命题叫做公理。 2、用逻辑推理的方法证明它们是正确的命题叫做定理。 五、布置作业 P59 习题2.2 A组第3题。 教学后记：

《点集拓扑学》第5章 §5.3 Lindeloff空间

§5.3Lindeloff空间 本节重点: 掌握Lindeloff空间的定义； 掌握Lindeloff空间与第一(二)可数性公理空间、可分空间的关系； 掌握Lindeloff空间的遗传性、关于连续映射的是否可保持性． 我们先引进一些术语． 定义5.3.1 设A*是一个集族，B是一个集合．如果则称集族A*是集合B 的一个覆盖，并且当A*是可数族或有限族时，分别称集族A*是集合B的一个可数覆盖或有限覆盖． 设集族A是集合B的一个覆盖．如果集族A的一个子族也是集合B的覆盖，则称集族是覆盖A（关于集合B）的一个子覆盖． 设X是一个拓扑空间．如果由X中开（闭）子集构成的集族A是X的子集B的一个覆盖，则称集族A是集合B的一个开（闭）覆盖． 在数学分析中读者所熟知的Heine－Borel定理告诉我们：实数空间R的子集A是一个有界闭集当且仅当A的每一个开覆盖都有有限子覆盖．因而具有“每一个开覆盖都有有限子覆盖”的拓扑空间自有其重要性．对于这类拓扑空间我们将要在第七章中称之为“紧致空间”并且用整章的篇幅加以讨论．但是另一方面，正如所知，连实数空间本身都不能包容在这类拓扑空间之中．这使我们有必要放松一点限制． 定义5.3.2 设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindeloff空间． 包含着不可数多个点的离散空间不是一个Lindeloff空间．这是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖，这个开覆盖没有任何可数子覆盖． 定理5.3.l[Lindeloff定理] 任何一个满足第二可数性公理的空间都是 Lindeloff空间． 证明设拓扑空间X满足第二可数性公理，B是它的一个可数基．

点集拓扑学期末复习材料

第五章 有关可数性的公理 ① 几种可数性的关系 定理 每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理。 证明：设X 是一个满足第二可数性公理的空间，Β是它的一个可数基。对于每一个 x ∈X ，根据定理，x B ={B ∈B | x ∈B}是点x 处的一个邻域基，它是B 的一个子族所以是可数族．于是 X 在点x 处有可数邻域基x B ． 定理 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间． 证明：设X 是一个满足第二可数性公理的空间，B 是它的一个可数基．在B 中的每一个 非空元素B 中任意取定一个点B x B ∈. 令D={∈B x B | B |}φ≠B 这是一个可数集．由于X 中的每一个非空开集都能够表示为B 中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D 有非空的交，所以可数集D 是X 的一个稠密子集． 定理 （Lindel?ff 定理）任何一个满足第二可数性公理的空间都是 Lindel?ff 空间． ② 可数性的定义 定义 一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空 间，或简称为2A 空间。 定义 一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足 第一可数性公理的空间或简称为1A 空间。 定义 设X 是一个拓扑空间，X D ?．如果X D =，则称D 是X 的一个稠密子集． 定义 设X 是一个拓扑空间，如果X 中有一个可数的稠密子集，则称X 是一个可分空间． 定义 设A 是一个集族，B 是一个集合．如果B A A ??A ∈则称集族A 是集合B 的一 个覆并且当A 是可数族或有限族时，分别称集族A 是集合B 的一个可数覆盖或 有限覆盖．

《点集拓扑学》第5章 §5.1 第一与第二可数性公理

第5章有关可数性的公理 §5.1第一与第二可数性公理 本节重点： 掌握满足第一与第二可数性公理的空间的定义及相互间的关系； 掌握满足第一与第二可数性公理的空间有关连续映射的不变性、有限可积性、可遗传性等问题； 掌握满足第一可数性公理的空间中在一点邻近的性质及序列的性质； 掌握常见的空间哪些空间是第一可数性公理空间,哪些是第二可数性公理空间． 从§2.6节的讨论可知，基和邻域基对于确定拓扑空间的拓扑和验证映射的连续性都有着重要的意义，它们的元素的“个数”越少，讨论起来越是方便．因此我们试图对拓扑空间的基或邻域基的元素“个数”加以限制，但又希望加了限制的拓扑空间仍能包容绝大多数常见的拓扑空间，如：欧氏空间、度量空间等．以下的讨论表明，将基或邻域基的元素的“个数”限定为可数是恰当的． 某拓扑空间的一个基或在某一点处的一个邻域基，如果是一个可数族，我们则分别称之为一个可数基和一个可数邻域基． 定义5.1.1 一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，或简称为空间． 定理5.1.1 实数空间R满足第二可数性公理 证明令B为所有以有理数为它的两个端点的开区间构成的族．显然B是一个可数族． 设U是R中的一个开集，对于每一个x∈U，存在实数>0，使得以x为中心以为半径的球形邻域 B（x,）=(x-,x+)U 选取有理数，使得

于是我们有．这也就是说U可以表示为B中某些成员之并．这证明了B是R的一个基． R有可数基B，所以R满足第二可数性公理． 由于离散空间中的每一个单点子集都是开集，而一个单点集不能表为异于自身的非空集合的并，因此离散空间的每一个基必定包含着它的所有单点子集．所以包含着不可数多个点的离散空间是不满足第二可数性公理的空间． 定义5.1.2 一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间或简称为空间． 定理5.1.2 每一个度量空间都满足第一可数性公理． 证明设X是一个度量空间，x∈X则所有以x为中心以有理数为半径的球形邻域构成x 处的一个可数邻域基． 例5.1.1 不满足第一可数性公理的空间的例子． 设X是包含着不可数多个点的可数补空间．我们证明X在它的任一点处都没有可数邻域基．因此X不满足第一可数性公理． 用反证法来证明这一点．设X在点x∈X处有一个可数邻域基ψ．则对于任何y∈X,y≠x， ∵，，因此,将这个包含关系式的两边分别 对于X中所有的异于x的点求并，可见 由于X是一个不可数集，因此上式的左边是一个不可数集；由于ψ中只有可数个元素，并且每一个元素的补集都是可数集，因此上式的右边是一个可数集．矛盾． 定理5.1.3 每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理． 证明设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基．对于每一个x∈X，根据定理2.6.7， ={B∈B|x∈B} 是点x处的一个邻域基，它是B的一个子族所以是可数族．于是X在点x处有可数邻域基B． 定理5.1.3的逆命题不成立．因为任何一个离散空间显然满足第一可数性公理，而前面已经说过包含着不可数多个点的离散空间不满足第二可数性公理．

第5章点集拓扑学练习题参考答案

点集拓扑学练习题参考答案(第5章) 一、单项选择题 1、实数空间R( ) ①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理 ③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对 答案：③ 2、整数集Z作为实数空间R的子空间（） ①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理 ③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对 答案：③ 3、有理数集Q作为实数空间R的子空间（） ①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理 ③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对 答案：③ 4、无理数集作为实数空间R的子空间（） ①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理 ③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对 答案：③5. 实数集合R的可数补空间是 )3( )2( )1( 空间 A)4( T 可分空间 空间 空间Lindeloff 1 2 答案：(4) 6、2维欧氏间空间2R（） ①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理 ③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对 答案：③ 7、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（） ①平庸性②可分性 ③离散性④第一可数性公理

答案：② 8. 下列拓扑学的性质中，对开子空间不具有可遗传性的是（ ） ① 第一可数性公理 ② 第二可数性公理 ③ 可分性 ④ Lindelorff 答案：④ 二、填空题 1、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ?满足 ; 答案：第一可数性公理 2、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ; 答案：可遗传性质 3、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个 ； 答案：稠密子集 4、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个 ； 答案：可分空间 5、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一 个 ； 答案：Lindel ?ff 空间 6、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质 P 为 ; 答案：对于开子空间可遗传性质 7、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质 P 为 ; 答案：对于闭子空间可遗传性质 8. Lindelorff 空间的每一个 都是Lindelorff ；这说明Lindelorff 空间具有 . 闭子空间，闭遗传 9. 每一个可分的度量空间都满足 公理；每一个正则且正规的空间一定是 空间. 第二可数；完全正则

几种紧致性以及其间的关系

定义7.4.l 定理7.4.5 作业 §7.4几种紧致性以及其间的关系 本节重点:掌握新定义的几种紧致性的定义及它们之间的关系． 读者已从数学分析的学习中知道了以下命题：实数空间中的一个子集A如果满足以下条件（l）～（4）中的任何一条，则满足其他的几条． （l）A是一个有界闭集； （2）A的每一个开覆盖都有有限子覆盖； （3）A中的每一个无限子集都有凝聚点在A中； （4）A中的每一个序列都有收敛的子序列收敛于A中的点． 这几个条件的重要意义，读者应当早就有所体会了．不难发现这四条中以惟有（l）中涉及的概念有赖于度量，其余（2），（3）和（4）三条中所涉及的概念都只是牵连到拓扑．我们当然希望在一般的拓扑空间中还能建立条件（2），（3）和（4）的等价性；假如不能，讨论在何种条件下它们等价也是一件有意义的事．本节我们研究这个问题．为了研究问题时的方便，引进以下条件（5）作为讨论的中间站． （5）A的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖． 定义7.4.l 设X是一个拓扑空间．如果X的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个可数紧致空间． 以下两个定理的证明十分容易，请读者自己补证． 定理7.4.1 每一个紧致空间都是可数紧致空间． 定理7.4.2 每一个Lindeloff的可数紧致空间都是紧致空间． 定义7.4.2 设X是一个拓扑空间．如果X的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X是一个列紧空间．

定理7.4.3 每一个可数紧致空间都是列紧空间． 证明设X是一个可数紧致空间．为了证明它是一个列紧空间，我们只要证明它的每一个可数的无限子集都有凝聚点，现在用反证法来证明这一点．假设X有一个可数无限子集A 没有凝聚点．首先这蕴涵A是一个闭集．此外对于每一个a∈A，由于a不是A的凝聚点， 所以存在a的一个开邻域使得∩A={a}．于是集族{|a∈A}∪{}是X的一个 开覆盖．由于X是可数紧致空间，它有一个有限子覆盖，不妨设为{} 由 于与A无交，所以{}必定覆盖A．因此， A=()∩A={a1,a2,…an}是一个有限集．这是一个矛盾． 定义7.4.3 设是一个由集合构成的序列，如果它满足条件：对于每一个i∈Z+成立，即 则称序列是一个下降序列． 在某一个拓扑空间中的一个由非空闭集构成的下降序列也叫做一个非空闭集下降序列．引理7.4.4 设X是一个拓扑空间．则拓扑空间X是一个可数紧致空间当且仅当由 X中任何一个非空闭集下降序列，有非空的交，即 证明设可数紧致空间X中的非空闭集下降序列使得于是 是X的一个开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为{}由此可得 这是一个矛盾． 另一方面，设拓扑空间X中的每一个非空闭集下降序列都有非空的交．如果X不是一个可数紧致空间，则X有一个可数开覆盖，设为{ }，没有有限子覆盖．对于每一个i∈Z+，令

公理集合论

公理集合论 文章整理编辑：论文文库工作室（QQ1548927986）论文写作发表辅导原理简介 19世纪70 年代，德国数学家G.康托尔给出了一个比较完整的集合论，对无穷集合的序数和基数进行了研究。20世纪初，罗素悖论指出了康托尔集合论的矛盾。为了克服悖论，人们试图把集合论公理化，用公理对集合加以限制。第一个常用的公理系统是E.F.F.策梅洛和A.A.弗伦克尔等提出的ZF系统。这个系统中只有一个非逻辑二元关系符号∈，非逻辑公理有：外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离公理模式、替换公理模式、正则公理。如果加上选择公理就构成ZFC系统。利用公理可以定义出空集、序对、关系、函数等集合，还可以给出序关系、良序关系、序数、基数，也可以给出自然数、整数、实数等概念。集合论中有关集合的性质，在公理集合论中都可以得到证明。公理系统中还可以证明公理之间的相对和谐性和独立性，例如P.J.科恩于1960 年创立公理集合论中的力迫法，并用来证明ZFC与连续统假设CH独立。公理集合论发展很快，马丁公理、苏斯林假设等新公理新方法已被广泛使用，组合集合论、描述集合论、大基数、力迫法的研究已经渗透到数学的各个分支。 详细内容 一定要注意的一点：ZF公理系统中，集合的元素都是集合，自然数可用皮亚诺公理系统表示，如3={0,1,2}={{},{{}},{{},{{}}}}。ZF公理系统：(ZF1）外延公理：一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有同样的元素，则它们是相等的。(ZF2）空集合存在公理：即存在一集合s，它没有元素。(ZF3）无序对公理：也就是说，任给两个集合x、y，存在第三个集合z，而w∈z当且仅当w=x 或者w=y。(ZF4）并集公理：也就是说，任给一集合x，我们可以把x的元素的元素汇集到一起，组成一个新集合。准确的定义：“对任意集合x，存在集合y，使w∈y当且仅当存在z使z∈x且w∈z”。(ZF5）幂集公理：也就是说，任意的集合x，P（x）也是一集合。准确的定义：“对任意集合x，存在集合y，使z∈y当且仅当对z的所有元素w，w∈x”。(ZF6）无穷公理：也就是说，存在一集合x，它有无穷多元素。准确的定义：“存在一个集合，使得空集是其元素，且对其任意元素x，x∪{x}也是其元素。”根据皮亚诺公理系统对自然数的描述，此即：存在一个包含所有自然数的集合。(ZF7）替换公理模式：也就是说，对于任意的函数F（x），对于任意的集合t，当x属于t时，F（x）都有定义（ZF 中唯一的对象是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合s，使得对于所有的x属于t，在集合s中都有一元素y，使y=F（x）。也就是说，由F （x）所定义的函数的定义域在t中的时候，那么它的值域可限定在s中。(ZF8）正则公理：也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质，