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勾股定理典型例题归类总结

9.已知Rt △A ＢC 的周长为,其中斜边，求这个三角形的面积。

10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广。 (１）如图，以R ｔ△ABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系?并说明理由。

(2）如图,以Rt △A ＢＣ的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系？

(3)如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°,请探讨两个阴影部分的面积之和及直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙"）

题型二:利用勾股定理测量长度

例1．如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？跟踪练习：

1。如图（8）,水池中离岸边Ｄ点1．５米的C 处,直立长着一根芦苇,出水部分BC 的长是0。5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC 。

２。一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为1３米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是( ）

A 、1２米

B 、13米

C 、14米

D 、15米

3.如图,有两颗树，一颗高１0米,另一颗高４米,两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）?

A 、8米Ｂ、10米 C 、12米 D 、1４米

题型三：勾股定理和逆定理并用—-

例3．如图３，正方形A ＢC Ｄ中，E 是ＢC 边上的中点，F 是AB 上一点,且AB FB 41 那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？

注：本题利用了四次勾股定理,是掌握勾股定理的必练习题。

跟踪练习：

1. 如图，正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，F 点CD 边上一点,且ＤF=3CF,求证:∠AEF=90°

题型四:利用勾股定理求线段长度——

例1. 如图4,已知长方形ＡBＣD中AB=８ｃm,BC=10ｃｍ，在边CD上取一点Ｅ,将△ADE折叠使点Ｄ恰好落在BC边上的点F,求CE的长．

跟踪练习：

1.如图，将一个有４5度角的三角板顶点Ｃ放在一张宽为3cm的纸带边沿上,另一个顶点B在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边及纸带的一边所在的直线成3０°角，求三角板的最大边AB的长.

2．如图,在△ABC中,AB=BＣ，∠ABC=90°，D为AＣ的中点,ＤE⊥DF，交AＢ于E，交BC于F，(１)求证:BＥ=ＣF；（2）若AE＝３,CＦ=1，求EＦ的长。

３.如图，CA＝CＢ,ＣD=CE,∠AＣB=∠ECＤ=90°,D为AB边上的一点．若AD＝1,ＢＤ=３，求ＣD的

长.?

题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直--

例１。有一个传感器控制的灯,安装在门上方，离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开,一个身高１.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开？

跟踪练习:

1．如图，每个小正方形的边长都是１,△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断△ABC的形状,并说明理由.（１)求证：∠ABD＝9０°；（2)求的值

2。下列各组数中,以它们边的三角形不是直角三角形的是（）

A、９，12,15 Ｂ、７，24，25 Ｃ、D、,，

3.在△ＡBC中,下列说法①∠B=∠C－∠A；②；③∠A：∠B：∠C=3：4:5;④a:b：c=

５：4:3；⑤：:=1:2:3,其中能判断△ABC 为直角三角形的条件有（ )

A 、2个

B 、3个

C 、4个

D 、5个

4.在△ABC 中，∠Ａ、∠B 、∠Ｃ的对边分别是a 、ｂ、c 。判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一个是直角？

(1）ａ=26,b=10,c=24；（２）a ＝５，b=７，c=9；（3）a=2，,

A 、２个Ｂ、3个 C 、４个 D 、5个 5。已知△ＡBC 的三边长为a 、ｂ、ｃ，且满足，则此时三角形一定是（）

A 、等腰三角形

B 、直角三角形Ｃ、等腰直角三角形 D 、锐角三角形

6.在△ＡＢC 中，若ａ＝12-n ,b=２ｎ,ｃ=12

+n ,则△A ＢC 是（ )

A 、锐角三角形

B 、钝角三角形

C 、等腰三角形

D 、直角三角形７．如图，正方形网格中的△ＡBC 是（）?

A 、直角三角形

B 、锐角三角形

C 、钝角三角形Ｄ、锐角三角形或钝角三角形

8。已知在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、ｃ，下列说法中，错误的是( )

A 、如果∠C －∠B=∠A ，那么∠C=90° Ｂ、如果∠C=90°,那么

Ｃ、如果(a+b ）(a —ｂ）=,那么∠A=90° Ｄ、如果∠A ＝30°，那么AC ＝2ＢＣ

9。已知△ABC 的三边分别为a ，ｂ，c ，且a ＋b ＝3，ab=1,，求的值，试判断△A ＢC 的形状,并说明理由

10。观察下列各式：，,，……,根据其中规律,

写出下一个式子为____＿______＿_ 11．已知，m>n ，m 、n 为正整数，以,2mn,为边的三角形是___三角形.

1２.一个直角三角形的三边分别为ｎ+1,n —1,８，其中n+1是最大边，当n 为多少时，三角形为直角三角形? 题型六:旋转问题：

例题6. 如图，P 是等边三角形ABC 内一点,PA=2，ＰB ＝23，PC=4，求△ABC 的边长。

跟踪练习

1．如图,△ABC 为等腰直角三角形，∠BA Ｃ=９０°，Ｅ、F 是BC 上的点,且∠EAF=45°，试探究222BE CF EF 、、间的关系,并说明理由。

题型七:关于翻折问题

例题7．如图,矩形纸片A ＢCD 的边ＡB=10ｃｍ，ＢC=6ｃｍ，Ｅ为B Ｃ上一点，将矩形纸片沿AE 折叠,点B 恰好落在CD 边上的点G 处,求B Ｅ的长。

跟踪练习

1．如图,A Ｄ是△ＡBC 的中线，∠ADC=45°,把△A ＤC 沿直线ＡD 翻折，点Ｃ落在点Ｃ’的位置,B Ｃ=4,求BC'的长.

(一) 折叠直角三角形

１.如图,在△AB Ｃ中，∠A = 90°，点Ｄ为AB 上一点,沿ＣＤ折叠△ABC ，点A 恰好落在BC 边上的'

A 处,A

B ＝4,AC=3,求ＢD 的长。

2。如图，Ｒt△AＢＣ中，∠B=90°,AB＝3,ＡC=５。将△ＡＢC折叠使C及A重合，折痕为DE，求BE 的长.

(二）折叠长方形

１.如图，长方形ＡBCD中,AB=4,BＣ=5，F为ＣD上一点，将长方形沿折痕AF折叠,点D恰好落在BC上的点E处，求CF的长。

２。如图,长方形ABCD中，AD=8cm，AB＝4ｃm，沿EF折叠,使点D及点B重合,点C及C＇重合。（1)求DE的长；(２）求折痕EF的长.

3。（2０13?常德)如图，将长方形纸片ＡBCＤ折叠,使边ＣD落在对角线AC上，折痕为ＣE,且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为( ）

4. 如图,长方形ABCD中，AＢ=6，AD=8，沿BD折叠使A到A′处DA′交BC于Ｆ点．（１）求证：F Ｂ=FE

（2)求证:CＡ′∥BD

（3）求△DＢF的面积

7．如图,正方形ABCD中，点Ｅ在边CD上,将△AＤE沿AE对折至△AFE，延长ＥＦ交边BC于点Ｇ,G 为ＢC的中点,连结ＡG、CF。（１)求证：AG∥CF;（2）求的值．

题型八：关于勾股定理在实际中的应用:

例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点Ａ处有一所中学，ＡP=160米,点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围１０0米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MＮ上沿PＮ方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由;如果受到影响，已知拖拉机的速度是1８千米／小时,那么学校受到影响的时间为多少?

例2。一辆装满货物高为1.8米,宽１。５米的卡车要通过一个直径为5米的

半圆形双向行驶隧道，它能顺利通过吗?

跟踪练习：

1.某市气象台测得一热带风暴中心从Ａ城正西方向30０kｍ处,以每小时

26kｍ的速度向北偏东６0°方向移动,距风暴中心200km的范围内为受

影响区域.试问A城是否受这次风暴的影响?如果受影响,请求出遭受风暴影响的时间;如果没有受影响,请说明理由。

2。一辆装满货物的卡车,其外形高2.５米，宽1.6米，要开进厂门形状如下图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？

３.有一个边长为５0dｍ的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数)

４．如图，铁路上Ａ，B两点相距25km,C，D为两村庄,DA⊥AB于Ａ,CＢ⊥AB于B，已知DA=１5ｋｍ,C Ｂ=１0kｍ,现在要在铁路ＡB上建一个土特产品收购站Ｅ,使得Ｃ,Ｄ两村到E站的距离相等，则E站应建在离Ａ站多少kｍ处？

题型九:关于最短性问题

例1、如右图1-１9,壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿Ａ处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意，它故意不走直线,而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐。请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？(π取3。1４，结果保留1位小数，可以用计算器计算）

例2．

跟踪练习:

1.如图为一棱长为3cｍ的正方体,把所有面都分为９个小正方形,其边长都是１cm，假设一

只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面Ａ点沿表面爬行至右侧面的B点,最少要花几秒钟？

２。如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5ｃm,３cm和1cｍ，A和Ｂ是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到Ｂ点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？

3。一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm，6cm，1２cm,一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少?

4。如图将一根１3.5厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为４厘米、3厘米和１２厘米的长方体无盖盒子中，能全部放进去吗？

题型十:勾股定理及特殊角

（一）直接运用３０°或45°的直角三角形

１．如图,在△ABC中，∠Ｃ＝９0°，∠B ＝30°，AＤ是△ＡBC的角平分线,若AＣ=23，求AD的长。

2．如图，在△ABC中，∠ＡCＢ= ９0°，AD是△ABC的角平分线，CＤ⊥AＢ于D,∠A= 30°，CD=2,求AB的长。

3.如图,在△ABＣ中，ＡD⊥BC于D，∠B= ６０°,∠，C= 45°，AC=2，求BD的长。

（二）作垂线构造30°或4５°的直角三角形

（1）将１０５°转化为45°和６0°

1。如图,在△ＡBC中，∠B= 45°，∠A＝10５°,ＡC=2，求ＢC的长.

A 5

A A

？

2．如图,在四边形ＡBCD 中，∠Ａ=∠C= ４５°，∠ADB=∠ABC ＝1０5°,⑴若AD=２，求ＡＢ的长；⑵若A Ｂ+C Ｄ=

23+2

，求ＡB 的长。

（2）将７5°转化为３0°和45°

3。如图，在△ABC 中，∠B= 45°，∠ＢAC ＝7５°,AB=6 ，求BC 的长。

题型十一:运用勾股定理列方程

（一)直接用勾股定理列方程

１. 如图,在△ＡBC 中，∠C= 90°，ＡD 平分∠CAB 交CB 于D,CD=3,BD=５,求AD 的长.

２. 如图，在△A ＢC 中，A D ⊥BC 于Ｄ,且∠ＣA Ｄ=2∠B ＡD,若BD=3,ＣＤ＝8,求AB 的长。

（二）巧用“连环勾"列方程１。如图,在△ＡB Ｃ中，AB ＝5，ＢＣ=７,AC=24,求ABC S 。

2。如图,在△ABC 中,∠AC Ｂ= 90°，C Ｄ⊥ＡB 于Ｄ，AC=3，BC=4,求AD 的长.

A B D

3．如图，△ABC中，∠ACB=90°,ＣD⊥AB于Ｄ，ＡD=1，BD=４,求AC的长

4．如图，△ABC中,∠ACＢ=９0°，CＤ⊥AB于D，ＣD=3，BD=４，求ＡD的长

题型十二:勾股定理及分类讨论

（一）锐角及钝角不明时需分类讨论

1.在△ABC中，AB=ＡC＝5，，求BC的长

2.在△AＢC中，AB=1５，AC=13，ＡD为△ABC的高,且ＡD=12，求△ＡBC的面积。

（二）腰和底不明时需分类讨论

3。如图1,△AＢC中，∠ACＢ=90°，AC=6,ＢC=8，点D为射线AC上一点,且△ABD是等腰三角形，求

△ABD的周长.?

（三）直角边和斜边不明时需分类讨论

1。已知直角三角形两边分别为2和3,则第三边的长为＿＿＿________＿＿

２。在△ABC中，∠ＡCB=9０°,AC＝4,BC=2，以ＡB为边向外作等腰直角三角形AＢD,求CD的长

3。如图,Ｄ(2,1)，以OＤ为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个？写

出落在ｘ轴上的顶点坐标．

题型十三：或问题的证明

１.如图1，△ABC中，ＣA=CＢ,∠ＡＣＢ=90°，D为AＢ的中点，M、N分别为ＡC、BC上一点，且DM ⊥ＤＮ．(1）求证:CＭ+ＣN=ＢD

（2）如图2,若M、N分别在AＣ、CＢ的延长线上，探究CＭ、CN、BD之间的数量关系式.

2。已知∠ＢCＤ＝α,∠ＢAD=β,CB=CD.（１）如图１，若α=β=９０°，求证：AB＋AＤ=AC；（2)如图２，若α=β=９0°，求证：AB-AD＝AC；(3）如图3，若α=1２0°，β＝60°,求证：ＡB＝AD=ＡC；（４）如图3,若α=β=1２0°，求证：ＡB-AD=AC；

题型十四：问题的证明

1．如图，ＯA＝OＢ，OC=ＯＤ，∠ＡOB＝∠ＣOD＝９0°,M、N分别为AC、ＢD的中点，连MN、ON。求证：MN=ＯＮ．

2.已知△ABC中,AB＝AC，∠BAC=90°，D为BＣ的中点，AＥ=CＦ,连DE、EF。（1）如图1，若E、F分别在AB、ＡC上，求证：EＦ＝DＥ;（2)如图2，若E、F分别在ＢA、AC的延长线上,则(1）中的结论是否仍成立？请说明理由。

3。如图,△ＡBD中，O为AB的中点，C为DO延长线上一点，∠ＡCO=1３５°,∠ＯDＢ=４5°探究ＯＤ、

ＯC、AＣ之间相等的数量关系.?

4。如图，△ABD是等腰直角△，∠BAD＝90°,BC∥AD，ＢC=2AＢ,CE平分∠BＣD，交AB于E，交BD

于H．求证：?

（1）DＣ=ＤＡ；（2）BE=DH

题型十五:勾股定理（逆定理)及网格画图

1．如图，每个小正方形的边长为1,A、Ｂ、C是小正方形的顶点，则∠ABＣ的度数为．?2．如图,每个小正方形的边长都是1,在图中画一个三角形,使它的三边长分别是3，２，，且三角形

的三个顶点都在格点上．?

3。如图，每个小正方形的边长都是１，在图中画一个边长为的正方形，且正方形的四个顶点在格点上．

４.在图中以格点为顶点画一个等腰三角形,使其内部已标注的格点只有3个．

5.如图，在4个均匀由１6个小正方形组成的网格正方形中,各有一个格点三角形,那么这4个三角形中,及众不同的是______＿__＿中的三角形,图4中最长边上的高为__＿_______＿＿＿

6.如图,正方形网格中的每个小正方形边长都为１，每个小正方形的顶点叫格点,以格点为顶点分别按下列要

勾股定理典型分类练习题

勾股定理典型分类练习题题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∠=?． C ?中，90 ⑴已知6 BC=．求AB的长 AC=，8 ⑵已知17 AC=，求BC的长 AB=，15 ，变式1：已知，△ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试说明△ABC 是等腰三角形。 } 变式2：已知△ABC的三边a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13, △ABC是否是直角三角形你能说明理由吗题型二：利用勾股定理测量长度）例1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米例2如图，水池中离岸边D点米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.

| 题型三：勾股定理和逆定理并用例3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4 1 那么 △DEF 是直角三角形吗为什么 ~ 题型四：旋转中的勾股定理的运用：例4、如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与 △ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。 — 变式：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长. 分析：利用旋转变换，将△BPA 绕点B 逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形. * P A P C B

A B D E 10 15 题型五：翻折问题例5：如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿 AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长. ! 变式：如图，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. ( 题型6：勾股定理在实际中的应用：例6、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少 % 变式：如图，铁路上A 、B 两点相距25km, C 、D 为两村庄，若DA=10km,CB=15km ， * DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等.求E 应建在距A 多远处 —

中考数学勾股定理知识点-+典型题及解析

中考数学勾股定理知识点-+典型题及解析一、选择题 1．图中不能证明勾股定理的是（） A ． B ． C ． D ． 2．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( ) A ．121 B ．110 C ．100 D ．90 3．如图，在ABC 中，90A ∠=?，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( )

A ．2 B ．2 C ．3 D ．4 4．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的面积是( ) A ．2n ﹣2 B ．2n ﹣1 C ．2n D ．2n+1 5．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE 2+BG 2=2a 2+2b 2，其中正确结论有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是l3，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么()2 a b +值为（） A ．25 B ．9 C ．13 D ．169 7．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（） A ．6 B ．2 C ．8 D ．10 8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）

新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分析

新人教版八年级下册勾股定理典型例习题一、经典例题精讲题型一:直接考查勾股定理例１.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理 222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二:利用勾股定理测量长度例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米? 解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,．已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理! 根据勾股定理AC 2+BC 2＝AB 2，即ＡＣ2+9２=1５2,所以AC ２ =144,所以AC=12. 例题２如图(8），水池中离岸边D 点１.5米的C 处,直立长着一根芦苇，出水部分B Ｃ的长是0.５米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC. 解析:同例题１一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2. 由题意可知△AC Ｄ中,∠ACD=90°,在Ｒt △ACD 中,只知道CD ＝１．5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下(仅供参考）: 解:如图2,根据勾股定理，AC 2+CD 2=A Ｄ2 设水深AC= x 米，那么AD ＝A Ｂ=AC+CB ＝x +0.5 ｘ２+1．52=( x ＋0.5）2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三:勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ＡＢCD 中，E 是ＢC 边上的中点,F 是AB 上一点，且AB FB 4 1= 那么△ＤEF 是直角三角形吗?为什么? C B D A

(完整版)勾股定理典型题总结(较难)(可编辑修改word版)

勾股定理一．勾股定理证明与拓展模型一 . 图中三个正方形面积关系思考：如下图，以直角三角形 a 、b 、c 为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积有和关系？例 1、有一个面积为 1 的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图 1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了 4 个正方形（如图 2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了 2017 次后形成的图形中所有正方形的面积和是 . 变式 1：在直线 l 上依次摆放着七个正方形(如图 1 所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1，1. 21，1. 44，正放置的四个正方形的面积依次是S 1 ， S 2， S 3， S 4 ，则 S 1 S 4 = .

变式2：如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC 为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，求S2. （变式2）（变式3）变式3：如图，Rt△ABC的面积为10cm2，在AB 的同侧，分别以AB，BC，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为．（难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB＝90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点G 落在HI 上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则阴影部分面积模型二 A D H G B C 外弦图 E F 内弦图例题2.四年一度的国际数学大会于 2002 年8 月20 日在北京召开，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13 ，每个直角三角形两直角边的和是5 。求中间小正方形的面积为;

(完整版)勾股定理典型例题详解及练习(附答案)

典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A.CD、EF、 GH C. AB、CD GH B.AB、EF、GH D. AB、CD EF 愿路分乐屮 1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠 2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断?』解答过整屮在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇 EF = Q抡於十￡尸° = Q +F二艮同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5 计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. * 縮題后KJ思专：* 1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形? 因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口* 2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6

"不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐

3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一 ①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过程.a 4?在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初例玉如圏，有一块直角三角形?椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m?现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、* C/) "禎 B. 3cm G-Icni n題童分析，本题着查勾股定理的应用刎：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ?进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸九4 解龜后的思琴尸勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解决问题等。例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。” “是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！” “但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？” 占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角

初二上勾股定理(经典题型)

初二上勾股定理(经典题型) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

- 2 - 第十九章几何证明 ——勾股定理及两点之间的距离公式【知识回顾】 1、勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。） 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 有关系，222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 4、常见的勾股数：（3n,4n,5n ）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)….. 5、勾股定理的证明图 6、两点之间的距离公式：2 122 12)()(y y x x AB -+-= 【例题讲解】例题1、细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题（1）请用含n （n 是整数数）的等式表示上述变化规律；

（2）求出的值。例题3、已知等腰三角形的周长是16cm，底边上的高是4cm，根据这些条件是否能求出这个等腰三角形的腰长和腰上高的长？若能，请把它们求出来，若不能，要说明理由。例题2、如图所示，已知△ABC的三边 15= = =AC BC AB求△ABC , 20 25 , , 最长边上的高？例题4、已知如图△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且 ∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2． - 3 -

- 4 - 例题5、如图，已知0090,60=∠=∠=∠D B A ，AB=2，CD=1，求BC 、AD 的长。例题6、一只2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯脚移动的距离是多少？

勾股定理经典例题(含答案)

类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中，

. ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB2BE-CD2DE= 类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。（1）

勾股定理练习题及问题详解(共6套)

勾股定理课时练（1） 1. 在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2 2 2AC BC+ +的值是（） A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）. 3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？ 5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米. 6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米? 7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度. 8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求CD的长. 9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长. 10. 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北 7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？

(完整版)勾股定理经典例题(教师版)

勾股定理全章知识点和典型例习题一、基础知识点： 1?勾股定理内容：____________________________________________________________ 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b，斜边为c，那么__________________ 2 ?勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下： 3 ?勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C 90 , 则 __________________________________________ ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 4. 勾股定理的逆定理如果三角形三边长a , b , c满足a2 b2c，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以 a , b , c为三边的三角形是直角三角形；若 _________ ，时，以a , b , c为三边的三角形是钝角三角形；若__________________ ，时，以a , b , c为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a , b , c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a , b , c满足a2 c2 b2, 那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 5. 勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2 c2中，a , b , c为正整数时，称a , b , c为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13; 7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数： 2 2 n 1,2n,n 1 （n 2, n 为正整数）； 2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （n为正整数）m2 n2,2mn,m2 n2（m n, m , n为正整数）7 .勾股定理的应用

八年级下册勾股定理典型例题

D 人教版数学第十七章《勾股定理》必刷题如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米．（1）这个梯子底端离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． OA 22= 2 1+1=2，1S 1 ； OA 32=12+(2 2=3，2S 2 ； OA 42=12+(2 3=4，3S 3… （1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变规律：OA n 2= ；S n = ．（2）求出OA 10的长．（35，计算说明他是第几个三角形？（4）求出S 12+S 22+S 32+…+S 102的值．

如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了 1003km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度． 60° 30° D B A C

小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A 、B 两点，测量数据如图，其中矩形CDEF 表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A 、C 、D 、B 四点在同一直线上）问：（1）楼高多少米？（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由． 1.73 ≈1.41 ≈2.24） B A C 如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以15km/h 的速度移动，已知城市A 到BC 的距离AD=100km ．（1）台风中心经过多长时间从B 移动到D 点？（2）已知在距台风中心30km 的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D 的工作人员早上6： 00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？ B A

勾股定理经典例题(含答案)

勾股定理经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三【变式】如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少？【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32

=16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中，

. ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

勾股定理经典例题(含答案)

勾股定理经典例题类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 类型二：勾股定理的构造应用 2 、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 1、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（） A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 150° 20m 30m

【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。（1）求A、C两点之间的距离。（2）确定目的地C在营地A的什么方向。举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? （二）用勾股定理求最短问题 4、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，

初二数学经典讲义勾股定理(基础)知识讲解

勾股定理（基础）【学习目标】 1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题． 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．【要点梳理】【高清课堂勾股定理知识要点】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为 a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=. 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()2 22c a b ab =+-. 要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以. 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以. 要点三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为的线段. 【典型例题】类型一、勾股定理的直接应用 1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长．【答案与解析】解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13．（2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24，所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式．举一反三：【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）已知b ＝2，c ＝3，求a ；（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．【答案】解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝2，c ＝3， ∴ 2222325a c b =-=-；（2）设3a k =，5c k =． ∵ ∠C ＝90°，b ＝32， ∴ 222a b c +=．即222(3)32(5)k k +=．解得k ＝8． ∴ 33824a k ==?=，55840c k ==?=．类型二、勾股定理的证明

新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题归类总结

勾股定理典型例题归类总结题型一:直接考查勾股定理例1.在ABC ?中，90C ∠=?． ⑴已知6AC =，8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长跟踪练习: 1.在ABC ?中,90C ∠=?. （1）若ａ=5,b=1２,则c= ; （2)若ａ：b=3：4,c ＝15，则a ＝ ,b ＝ . （3）若∠Ａ=30°,ＢC=2,则A Ｂ= ,AC= . 2. 在Ｒt △A ＢＣ中,∠C ＝90°,∠Ａ,∠Ｂ，∠C 分别对的边为a ，b ，c,则下列结论正确的是( ) Ａ、 B 、 C 、 D 、３.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为（ ) A 、2、4、6 B 、4、6、８ C 、6、8、10 D 、3、4、5 ４.等腰直角三角形的直角边为2，则斜边的长为（） A 、 B 、 C 、１ D 、2 ５.已知等边三角形的边长为2cm ，则等边三角形的面积为( ） A 、 B 、 C 、１ D 、６.已知直角三角形的两边为2和3，则第三边的长为_______＿___． 7．如图，∠AC Ｂ＝∠ABD=90°，AC=2，BC=1,,则ＢＤ=________＿_＿.? 8.已知△ＡＢC 中，AB=ＡC=1０,BD 是A Ｃ边上的高线，ＣD=２，那么BD 等于( ） A 、4 Ｂ、6 Ｃ、8 Ｄ、９.已知R ｔ△ＡBC 的周长为,其中斜边,求这个三角形的面积。 1０. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说,勾股定理可以推广．（1)如图,以Rt △ABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系？并说明理由。 (2)如图，以Ｒｔ△A ＢC 的三边长为直径作三个半圆,则这三个半圆的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系? (３）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°,请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）

勾股定理经典分类练习题

勾股定理常考习题勾股定理的直接应用： 1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（） A ：26 B ：18 C ：20 D ：21 2、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（） A ：3 B ：4 C ：5 D ：7 3.在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，点Q 的坐标是（7,8），则线段PQ 的长为_____. 4、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积是_________. > 5、直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积是___________. 6、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。 7．在△ABC 中，若∠A ＋∠B ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则AB ＝______，AB 边上的高CE ＝______． 8．在△ABC 中，若AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，则AC ＝______，AB 边上的高CD ＝______． 9．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______． 10、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 11．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )． > (A)7 (B)7或41 (C)24 (D)24或7 12．在△ABC 中，若∠ACB ＝120°，AC ＝BC ，AB 边上的高CD ＝3，则AC ＝______，AB ＝______，BC 边上的高AE ＝______． 13. 等边三角形的边长为2，它的面积是___________ 14、若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，则n____________。 15．在数轴上画出表示10 及13的点． 16、如图∠B =∠ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则AB 的长是多少 ~ 17．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( )． (A)4 (B)6 (C)8 (D)102 18.如图18－2－5，以Rt△ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、 S 3，且 S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________. { 18题图 19题图 20题图 19．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为( )． | (A)150cm 2 (B)200cm 2 (C)225cm 2 (D)无法计算 20．如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2，则正方形的边长是______． 21．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______．方程思想的应用： 1、如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，，求、、的值。

勾股定理经典例题详解

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勾股定理经典例题详解知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。（3）理解勾股定理的一些变式： c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab 知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。图（1）中，所以。方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。图（2）中，所以。方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）, 在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）, 所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：. 方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

，所以。知识点三：勾股定理的作用 1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系； 3．用于证明平方关系的问题； 4．利用勾股定理，作出长为的线段。 2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的： ①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 总结升华：有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.

《勾股定理》典型例题

《勾股定理》典型例题分析一、知识要点： 1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 a 2 + b 2= c 2。公式的变形：a 2 = c 2 - b 2， b 2= c 2-a 2 。 2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2 + b 2= c 2 ，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： ① 已知的条件：某三角形的三条边的长度. ②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角 . ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 3、勾股数满足a 2 + b 2= c 2 的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：（3，4，5）(5，12，13) (6，8，10) (7，24，25) (8，15，17 )(9，40，41 ) 4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积 1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆． 2. 如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（）A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 3、如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系． 4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。 S 3 S 2 S 1

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