高考数学解析几何题型与方法(文科)
专题五：解析几何题型与方法（文科）
一、考点回顾 1．直线
(1).直线的倾斜角和斜率 (2) .直线的方程
a.点斜式：)(11x x k y y -=-；
b.截距式：b kx y +=；
c.两点式：
121121x x x x y y y y --=--； d.截距式：1=+b
y
a x ；
e.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0. (3).两直线的位置关系
两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.
(4).简单的线性规划．
①存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x 、y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.
②都有一个目标要求，就是要求依赖于x 、y 的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是x 、y 的一次解析式，就称为线性目标函数.
③求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题. 2. 圆
(1).圆的定义 (2).圆的方程
a.圆的标准方程，
b.圆的一般方程，
c.圆的参数方程 (3).直线与圆 3.圆锥曲线
(1).椭圆的性质
离心率e (0e 1)
＝＜＜c
a
准线方程l l 12x x ：＝；：＝-a c a c
22
l l 12y y ：＝；：＝
-a c a c
22
焦点半径
|MF 1|＝a ＋ex 0，|MF 2|＝a －ex 0
|MF 1|＝a ＋ey 0，|MF 2|＝a －ey 0
点和椭圆的关系
＞
外
在椭圆上
＜
内
x a y b x y 022
022
001+
=?(,)(k 为切线斜率)，y kx ＝±a k b 222
+(k 为切线斜率)，
y kx ＝±b k a 222
+切线方程
x x a y y b 02
02
＋
＝1
(x 0，y 0)为切点
x x b y y a 02
02
＋
＝1
(x 0，y 0)为切点切点弦方 程
(x 0，y 0)在椭圆外x x a y y
b
0202＋＝1(x 0，y 0)在椭圆外
x x b y y
a
0202＋＝1弦长公式
|x x |1+k |y y |1+
1k 212122
－或－其中(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为割弦端点坐标，k 为割弦所在直
线的斜率
(2)双曲线的性质
条件
P ＝{M|MF 1|－|MF 2|＝2a ，a ＞0，2a ＜|F 1F 2|}．
P {M|
|MF |M l |MF |
M l e e 1}1122＝点到的距离＝点到的距离
＝，＞．
标准方程
x a y b 2222－＝＞，＞1(a 0b 0)y a x b 2222－＝＞，＞1(a 0b 0)顶点
A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)A 1(0，－a)，A 2(0，a)轴
对称轴：x 轴，y 轴，实轴长|A 1A 2|＝2a ，虚轴长|B 1B 2|＝2b 焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)
F 1(0，－c)，F 2(0，c)
焦距|F 1F 2|＝2c(c ＞0)，c 2＝a 2＋b 2
离心率
e (e 1)
＝＞c
a
准线方程l l 12x x ：＝－；：＝a c a c
22
l l 12y y ：＝－；：＝
a c a c
22
渐近线方 程y x(0)
＝±或－＝b a x a y b 2
222y x(0)
＝±或－＝a b y a x b 222
2共渐近线的双曲线系方程x a y b
2
222－＝≠k(k 0)y a x b
222
2－＝≠k(k 0)焦点半径
|MF 1|＝ex 0＋a ，|MF 2|＝ex 0－a |MF 1|＝ey 0＋a ，|MF 2|＝ey 0－a y kx ＝±a k b 222-(k 为切线斜率)
k k ＞或＜－
b a b a y kx ＝±b k a 222-(k 为切线斜率)
k k ＞或＜－
a b a
b x x a y y
b
0202－＝1((x 0，y 0)为切点
y y a x x
b
0202－＝1((x 0，y 0)为切点
切线方程xy a a ((x y )2200＝的切线方程：
＝，为切点x y y x
002
+
(3).抛物线中的常用结论
①过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的弦AB 长的最小值为2p
②设A(x1，y)，1B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上的两点，则AB过F的充要条件是y1y2＝－p2
③设A，B是抛物线y2＝2px上的两点，O为原点，则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点
(2p，0)
(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义
与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0＜e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线，当e＝1时，是抛物线．
4. 直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）
(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的
a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).
b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离
c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性
(2).a.求弦所在的直线方程
b.根据其它条件求圆锥曲线方程
(3).已知一点A坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P、Q，且中点为A，求P、Q所在的直线方程
(4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或者是圆锥曲线上
否存在两点关于直线对称）
5.二次曲线在高考中的应用
二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题，给予较深入的剖析，这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。
(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。
(2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。
(3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。
(4).重视解析几何与立体几何的有机结合。
6.知识网络
二、经典例题剖析
考点一 曲线（轨迹）方程的求法
常见的求轨迹方程的方法：
（1）单动点的轨迹问题——直接法（五步曲）＋ 待定系数法（定义法）； （2）双动点的轨迹问题——代入法；
（3）多动点的轨迹问题——参数法 ＋ 交轨法。
例题1. 已知⊙M ：x Q y x 是,1)2(2
2
=-+轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，（1）如果
3
2
4||=
AB ，求直线MQ 的方程；
（2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程.
解析：（1）两点确定一条直线；（2）利用平面几何知识，找出关系。
曲线与方程
直线 直线的倾斜角和斜率 点斜式 两点式
一般式 直线方程的基本形式 在线外——点到直线的距离
在线上 点和直线的位置关系
相交 两条直线的位置关系 平行
重合
交点 夹角 简单的线性规划 二元一次不等式表示平面区域 线性规划 线性规划的实际应用
垂直 圆 圆的定义 圆的方程 标准式 一般式 参数式 点与圆的位置关系 位置关系 判定方法：点到圆心的距离与半径R 的比较
圆外
圆上 圆与圆的位置关系 外切、相交、内切、内含 应用两立方程的解式 圆心点与两半径和（差）比较 位置关系
判定方法：圆心距离与两半径和（差）的比较
直线与圆的位置关系
相交 相切——圆的切线
相等 交点 弦长 位置关系 判定方法：圆心到直线的距离d 与半径R 的比较
圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程 性质：对称性、焦点、顶点、 离率、准线、焦半径等 直线与圆锥曲线的位置关系
答案：（1）由324||=
AB ，可得,3
1
)322(1)2||(||||2222=-=-=AB MA MP 由射影定理，得 ,3|||,|||||2=?=MQ MQ MP MB 得 在Rt △MOQ 中，
523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ， 故55-==
a a 或，
所以直线AB 方程是
;0525205252=+-=-+y x y x 或
（2）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由 点M ，P ，Q 在一直线上，得
(*),2
2x
y a -=-由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ?=
24a +1（**） 把（*）及（**）消去a ，
并注意到2 1 )4 7 (2 2 ≠= -+y y x 点评：合理应用平面几何知识，这是快速解答本题的关键所在。 例题2. （湖北省十一校）在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A （0，－1），B （0， 1）平面内两点 G 、M 同时满足：①0GA GB GC ++= ， ②||MA ＝ ||MB ＝ ||MC ③GM ∥AB （1）求顶点C 的轨迹E 的方程 （2）设P 、Q 、R 、N 都在曲线E 上 ，定点F 的坐标为2， 0） ，已知PF ∥FQ ， RF ∥FN 且PF ·RF ＝ 0.求四边形PRQN 面积S 的最大值和最小值. 分析：本例（1）要熟悉用向量的方式表达点特征；（2）要把握好直线与椭圆的位置关系，弦长公式，灵活的运算技巧是解决好本题的关键。 解：（1）设C ( x ， y )， 2GA GB GO +=，由①知2GC GO =-，∴G 为 △ABC 的重心 ， ∴ G(3 x ，3 y ) 由②知M 是△ABC 的外心，∴M 在x 轴上 由③知M （ 3 x ，0）， 由|| ||MC MA = 2 22()1()3 3 x x x y += -+ 化简整理得：2 213x y +=（x ≠0）。 （2）F 2，0 ）恰为2 213 x y +=的右焦点 设PQ 的斜率为k ≠0且k ≠± 2 2 ，则直线PQ 的方程为y ＝ k ( x 2) 由2222 2 2 (2)(31)62630330 y k x k x k x k x y ?=-??+-+-=?+-=?? 设P(x 1 ， y 1) ，Q (x 2 ，y 2 ) 则x 1 ＋ x 2 ＝ 22 6231k k + ， x 1·x 2 ＝226331 k k -+ 则| PQ | 21k + · 21212()4x x x x +- ＝ 2 1k +·22222 6263 ()43131 k k k k --?++ ＝ 223(1) k + RN ⊥PQ ，把k 换成1 k -得 | RN | ＝ 22 3(1)3k k ++ ∴S ＝ 1 2 | PQ | · | RN | ＝22 226(1)(31)(3) k k k +++ ＝2 28 213()10 k k - ++) 22183()102k k S ∴+ +=- 221k k +≥2 ， 82S ∴-≥16 3 2 ∴≤ S < 2 ， (当 k ＝ ±1时取等号) 又当k 不存在或k ＝ 0时S ＝ 2 综上可得 3 2 ≤ S ≤ 2 ∴S max ＝ 2 ， S min ＝ 32 点评：本题考查了向量的有关知识，椭圆与直线的基本关系，二次方程的根与系数的关系及不等式，转化的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。 考点二 圆锥曲线的几何性质 例题3．设F 1、F 2为椭圆14 92 2=+y x 的两个焦点，P 为上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF 1｜＞｜PF 2｜，求 | || |21PF PF 的值. 分析：由已知，F 1不是直角顶点，所以只要对P 、F 2中哪一个是直角顶点分两种情况即可. 解法1：由已知，｜PF 1｜＞｜PF 2｜，｜PF 1｜＋｜PF 2｜＝6，｜F 1F 2｜＝52， 若∠PF 2F 1为直角，则｜PF 1｜2＝｜PF 2｜2＋｜F 1F 2｜2，可解得：｜PF 1｜＝ 314，｜PF 2｜＝3 4 ，这时2 7 ||||21=PF PF . 若∠F 2PF 1为直角，则｜PF 1｜2＋｜PF 2｜2＝｜F 1F 2｜2，可解得：｜PF 1｜＝4，｜PF 2｜＝2，这时 2| || |21=PF PF . 解法2：由椭圆的对称性，不妨设P(x ，y)（其中x>0，y>0），)0,5(),0,5(21F F -.若∠PF 2F 1为直角，则P （ 34, 5），这时｜PF 1｜＝314，｜PF 2｜＝3 4 ，这时 27||||21=PF PF .若∠PF 2F 1为直角，则由???????-=-?+=+1 5 51492 2x y x y y x ，解得：)554,553(P . 于是｜PF 1｜＝4，｜PF 2｜＝2，这时 2| || |21=PF PF . 点评：由椭圆的方程，熟练准确地写出其几何性质（如顶点，焦点，长、短轴长，焦距，离心率，焦半径等）是应对考试必备的基本功；在解法2中设出了P 点坐标的前提下，还可利用｜PF 1｜＝a ＋ex ，｜PF 2｜＝a －ex 来求解. 例题4．（2006年湖北省高考题）设,A B 分别为椭圆 22 221(,0)x y a b a b +=>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x =为它的右准线 （Ⅰ）、求椭圆的方程； （Ⅱ）、设P 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点， 若直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点 M N 、，证明：点B 在以MN 为直径的圆内 分析：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力 解：（Ⅰ）依题意得 a ＝2c ，c a 2 ＝4，解得a ＝2，c ＝1，从而b 3 故椭圆的方程为 13 42 2=+y x （Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0） 设M （x 0，y 0） ∵M 点在椭圆上，∴y 0＝ 4 3 （4－x 02） ① 又点M 异于顶点A 、B ，∴－2 2 600 +x y ） 从而BM ＝（x 0－2，y 0）， BP ＝（2， 2 600 +x y ） ∴BM ·BP ＝2x 0－4＋2602 0+x y ＝2 2 0+x （x 02－4＋3y 02） ② A B (4,0) M N P o y x 将①代入②，化简得BM ·BP ＝ 2 5 （2－x 0） ∵2－x 0>0，∴BM ·BP >0，则∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角， 故点B 在以MN 为直径的圆内 解法2：由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0） 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则－2 2 1x x +，221y y +）， 依题意，计算点B 到圆心Q 的距离与半径的差 2 BQ － 2 41MN ＝(221 x x +－2）2＋（221y y +）2－4 1[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2] ＝（x 1－2) (x 2－2)＋y 1y 1 ③ 又直线AP 的方程为y ＝ )2(211++x x y ，直线BP 的方程为y ＝)2(2 22 --x x y ， 而点两直线AP 与BP 的交点P 在准线x ＝4上， ∴ 26262211-=+x y x y ，即y 2＝2 )2311 2+-x y x （ ④ 又点M 在椭圆上，则1342 12 1=+y x ，即)4(4 32 121x y -= ⑤ 于是将○4、○5代入○3，化简后可得2 BQ －2 41MN ＝0)2)(24 521<-x x －（ 从而，点B 在以MN 为直径的圆内 点评：本题关键是联系直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力 考点三 有关圆锥曲线的定义的问题 利用圆锥曲线的第一、第二定义求解 例题5．已知某椭圆的焦点F 1（－4，0），F 2（4，0），过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个焦点为B ，且＝10，椭圆上不同两点A （x 1，y 1），C(x 2，y 2)满足条件｜F 2A ｜，｜F 2B ｜，｜F 2C ｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC 中点的横坐标. 分析：因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离，所以可以从椭圆的定义入手. 解：（1）由椭圆的定义及已知条件知：2a ＝｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10，所以a ＝5， 又c ＝3，故b ＝4.故椭圆的方程为 19 252 2=+y x . 由点B （4，y 0）在椭圆上，得｜F 2B ｜＝｜y 0|＝59，因为椭圆的右准线方程为425=x ，离心率5 4=e .所以根据椭圆的第二定义，有,5 4 5)425(54||112x x A F -=-= 22254 5)425(54||x x C F -=-=.因为｜F 2A ｜，｜F 2B ｜，｜F 2C ｜成等差数列， 于是1545x -＋5 9 25452?=-x ，所以： x 1＋x 2＝8， 从而弦AC 的中点的横坐标为 42 2 1=+x x 。 点评：涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错. 考点四 直线与圆锥曲线位置关系问题 利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明. 例题6．（2007江西吉安）已知双曲线的两条渐近线方程为直线x y l x y l 3:3:21-==和，其焦点在x 轴上，实轴长为2. （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与双曲线相切于点M 且与右准线交于N ，F 为右焦点，求证：∠MFN 为直角. 分析：将直线方程和抛物线方程组成的方程组转化为一元二次方程，用韦达定理来求解. 解：（Ⅰ）由题意，设双曲线方程为 13 )0(32 2 2 2 =- ? >=-λ λ λλy x y x 又123213 122=?==?=∴=?=a a a λλ ，∴方程为13 2 2 =-y x （Ⅱ）由消去y 得24 3003042)3(2222 2 ±=???? ??=≠????=?≠-=---k k k k kx x k ，由 当k ＝2时得 )3,2( ,3122--∴-=+=-=M y x y x M M 得，代入 )2,21(21 1 2N x x y ??? ? ??=+= )3,4()0,2(--=?F ⊥?=-=??-=066)2,2 3 ( 当k ＝－2时同理得)0,21 (),3,2(N M - FN FM FN FM FN FM F ⊥?=??-=-=?0)0,2 3 (),3,0()0,2( 综上：∠MFN 为直角. 点评：解析几何解题思维方法比较简单，但对运算能力的要求比较高，平时练习要注意提高自己的运算能力. 考点五 圆锥曲线在高考中的应用 （1）．圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 例题7．（河南省开封市2007届高三年级第三次质量检测）设P 是双曲线 116 42 2=-y x 右支上任一点. （1）过点P 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为E ，F ，求||||PF PE ?的值； （2）过点P 的直线与两渐近线分别交于A 、B 两点，且AOB ?=求,2的面积. 分析：（1）要求椭圆的方程及离心率，很重要的一点就是要熟悉这种二次曲线的标准方程的中心、长轴长、 短轴长、焦点坐标、标准方程、离心率、焦距等有关概念及几何性质 解：（I ）设16414 ),,(2 0202000=-?=y x x y x P 则 ∵两渐近线方程为02=±y x 由点到直线的距离公式得 .5 16 5|4|||||2020=-=?∴y x PF PF …………7分 （II ）设两渐近线的夹角为α， ,5 3tan 11cos ,34|4122| tan 2 =+==-+=ααα则 5 4sin = ∴α , 136 8,136)2(36)2(, 1164,342,32, 2.5||||)(,5||,5||),2,(),2,(,212212212221 021*********==+-+=-??? ????-=+=∴==?∴==∴--=∠∴x x x x x x y x x x y x x x x x OB OA AB P x OB x OA x x B x x A AOB 即得代入又的内分点是设 απ 29 21=∴x x 95 4 29521)sin(||||21=???=-?=?απOB OA S AOB 点评：本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及相关概念，直线方程、平面向量的坐标表示和向量的数量积，多元二次方程组解法、曲线和方程的关系、直线与椭圆相交等解析几何的基础思想方法，以及分析问题和综合解题能力。 把两个向量之间的关系，转化为两个向量坐标之间的关系，再通过代数运算的方法来解决有关向量的问题是一种常用的解题手段。 例题8．（江苏卷）已知2||||),0,2(),0,2(2121=--PF PF P F F 满足点，记点P 的轨迹为E. （1）求轨迹E 的方程； （2）若直线l 过点F 2且与轨迹E 交于P 、Q 两点. （i ）无论直线l 绕点F 2怎样转动，在x 轴上总存在定点)0,(m M ，使MQ MP ⊥恒成立，求实数m 的 值. （ii ）过P 、Q 作直线21 = x 的垂线PA 、OB ，垂足分别为A 、B ，记| |||||AB QB PA +=λ，求λ的取值范围. 解析：（1）由||2||||2121F F PF PF <=-知，点P 的轨迹E 是以F 1、F 2为焦点的双曲线右支，由 3,22,22 =∴==b a c ，故轨迹E 的方程为).1(13 2 2 ≥=-x y x （2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为),(),,(),2(2211y x Q y x P x k y -=，与双曲线方程联立消y 得0344)3(2 2 2 2 =++--k x k x k ， ??? ? ??? ??>-+=?>-=+>?≠-∴0 3340340 0322212 2212k k x x k k x x k 解得k 2 >3 （i ）2121))((y y m x m x +--=? 212122222 12122 2 2 2 2222 222 ()()(2)(2)(1)(2)()4(1)(43)4(2)4333(45).3 x m x m k x x k x x k m x x m k k k k k m m k k k m k m k =--+--=+-+++++++=-++---+=+- 0,=?∴⊥MQ MP ， 故得0)54()1(32 2 2 =--+-m m k m 对任意的 32 >k 恒成立， .1,0 540 12 2 -=?????=--=-∴m m m m 解得 ∴当m ＝－1时，MP ⊥MQ. 当直线l 的斜率不存在时，由)0,1()3,2(),3,2(--M Q P 及知结论也成立， 综上，当m ＝－1时，MP ⊥MQ. （ii ）21 ,2,1= ∴==x c a 直线 是双曲线的右准线， 由双曲线定义得：||2 1 |||,|21||1||222QF QB PF PF e PA ===， 方法一：| |2||1||2| |12122y y x x k AB PQ --+= =∴λ .1 121||21|)(|2||12212122k k k x x k x x k +=+=--+= 33 21,3110,32 2 <<<< ∴>λ故k k ， 注意到直线的斜率不存在时，2 1 |,|||= =λ此时AB PQ ， 综上，.33,21??? ? ???∈λ 方法二：设直线PQ 的倾斜角为θ，由于直线PQ 与双曲线右支有二个交点， 3 23π θπ < <∴ ，过Q 作QC ⊥PA ，垂足为C ，则 .sin 21 )2 cos(21||2||||2|||,2|θθπλθπ=-===∴-=∠CQ PQ AB PQ PQC 由 ,1sin 2 3,323 ≤<< <θπθπ 得 故：.33,21??? ? ???∈λ 点评：本题考查了双曲线的第二定义，垂直关系，韦达定理和求参数的范围． （2）。圆锥曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 例题9．已知).3)3),,1(),0,(a a y x -⊥+== （1）求点),(y x P 的轨迹C 的方程； （2）若直线1:-=kx y l 与曲线C 交于A 、B 两点，并且A 、B 在y 轴的同一侧，求实数k 的取值范围. （3）设曲线C 与x 轴的交点为M ，若直线1:-=kx y l 与曲线C 交于A 、B 两点，是否存在实数k ，使 得以AB 为直径的圆恰好过点M ？若有，求出k 的值；若没有，写出理由. 解：（1）由0)3()3(),3()3(=-?+-⊥+a a a a 得到 又),13(3,13(3),,1(),0,(y x a y x a y x --=-+=+==得 0)()13()13(=-?+-?+∴y y x x ，故所求的轨迹方程是1322=-y x （2）设),(11y x A 、),(22y x B ，把1312 2 =--=y x kx y 代入，得 366,003,022)3(222±≠<<->?≠-=-+-k k k kx x k 且得且由 ∵A 、B 在y 轴的同一侧，021>∴x x ，得到33>- 综上，得)6,3()3,6( --∈k . （3）由（2）得32221-=+k k x x …① 3 2 22 1-=k x x …② 1,12211-=-=kx y kx y ……③ ∵曲线C 与x 轴交点)0,33( 1M 、)0,3 3(2-M ，若存在实数k ，符合题意，则 ,⊥不妨取点0)3 3 ()33(,0,2121111=+-?- =?y y x x B M A M M 得 将①②③式代入上式，整理得到03322=--k k ，解得3(23=-=k k 舍去） 根据曲线的对称性，知存在实数2 3 ± =k ，使得以AB 为直径的圆恰好过M 点 点评：本题是向量，轨迹，直线与圆锥曲线的位置关系的有机结合。 考点六 求范围 例题10．设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，试求AP PB 的取值范围. 分析：本题中，绝大多数同学不难得到： AP PB ＝B A x x -，但从此后却一筹莫展， 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系. 解：当直线l 垂直于x 轴时，可求得 5 1 -=PB AP ; 当l 与x 轴不垂直时，设())(,,2211y x B y x A ，，直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得 () 045544922 =+++kx x k 解之得 .4 95 9627222 ,1+-±-=k k k x 因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形. 当0>k 时，4 95 96272 21+-+-=k k k x ，4959627222+---=k k k x ， 所以 21x x PB AP -=＝5929592922-+-+-k k k k ＝59291812-+-k k k ＝2 5 92918 1k -+-. 由 ( ) 049180)54(2 2 ≥+--=?k k ， 解得 9 52 ≥ k ， 所以 5 15 92918112 -<-+- ≤-k ， 综上 5 1 1-≤≤ -PB AP . 点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法. 例题11．已知动点P 与双曲线13 22 2=-y x 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值，且 21cos PF F ∠的最小值为9 1 -． （１）求动点P 的轨迹方程； （２）若已知)3,0(D ，M 、N 在动点P 的轨迹上且DM λ=，求实数λ的取值范围． 分析：为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方法有多种方法，诸如：判别式法、均值不等式法、有界性法等等． 解：(１)由题意52 =c ．设a PF PF 2||||21=+（5> a ），由余弦定理， 得 1| |||10 2||||2||||||cos 21221221222121-?-=?-+=∠PF PF a PF PF F F PF PF PF F ． 又||1PF ·22 212)2 ||||( ||a PF PF PF =+≤， 当且仅当||||21PF PF =时，||1PF · ||2PF 取最大值， 此时21cos PF F ∠取最小值11022 2--a a ，令91110222-=--a a ， 解得92 =a ，5= c ，∴42=b ， 故所求P 的轨迹方程为14 92 2=+y x . （２）设),(t s N ，),(y x M ，则由DM λ=，可得 )3,()3,(-=-t s y x λ， 故)3(3,-+==t y s x λλ. ∵M 、N 在动点P 的轨迹上， ∴ 1492 2=+t s 且14)33(9)(22=-++λλλt s ， 消去s 可得 22 2214 )33(λλλλ-=--+t t ，解得 λλ65 13-= t ， 又2||≤t ，∴2|6513|≤-λλ，解得55 1 ≤≤λ， 故实数λ的取值范围是]5,5 1 [． 点评：新教材的高考已经进行了５年，而解析几何解答试题和向量综合呈现了新高考的崭新亮点，体现了向量知识的工具性和广泛的应用性． 三、方法总结与2008年高考预测 （一）方法总结 1．求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的a ，b ，p 等.要充分认识椭圆中参数a ，b ，c ，e 的意义及相 互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关. 2．涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错. 3．直线与圆锥曲线的位置关系问题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明. 4．对于轨迹问题，要根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等. 5．与圆锥曲线有关的对称问题，利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明. （二）2008年高考预测 1．求曲线（轨迹）方程的常用方法（直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等）。 2．掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质，解答直线与圆的位置关系的思想方法。 3．解析几何是衔接初等数学和高等数学的纽带。 直线与圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。综观近几年的全国和部分省高考数学试题，本专题列出高考考查的热点内容有： （1）直线方程； （2）圆锥曲线的标准方程； （3）圆锥曲线的几何性质； （4）直线与圆锥曲线的位置关系； （5）求曲线（轨迹）方程。特别是求曲线（轨迹）方程和直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考解析几何问题的热中之热。 四、强化训练 （一）选择题 1．双曲线 22 22 1 x y b a -=的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（） （A）2 （B） 3 （C） 2 （D）3 2 2．椭圆短轴长是2，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆中心到其准线的距离是（） （A（B（C（D 3．θ是任意实数，则方程22 sin 4x y θ+=的曲线不可能是（ ） （A ）椭圆 （B ）双曲线 （C ）抛物线 （D ）圆 4．双曲线 22 14x y k +=的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是（ ） （A ）(,0)-∞ （B ）(12,0)- （C ）(3,0)- （D ）(60,12)-- 5．以 22 1412 x y -=-的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（） （A ） 2211612x y += （B ）22 11216x y += （C ） 221164x y += （D ）22 1416 x y += 6．22221x y a b -=与22 221x y b a -=(0)a b >>的渐近线（ ） （A ）重合 （B ）不重合，但关于x 轴对称 （C ）不重合，但关于y 轴对 （D ）不重合，但关于直线y x =轴对称 7．已知直线22:1=+ay x l ，直线12:2=+y ax l ，若21l l ⊥，则a 的值为（ ） A 、1 B 、0 C 、0或1 D 、—1 8. 设F （c ，0）为椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的右焦点，椭圆上的点与点F 的距离的最大值为M ，最小值 为m ，则椭圆上与F 点的距离是 )(2 1 m M +的点是（ ） A.（a b c ±,） B.（0，b ±） C.（a b c ±-,） D.以上都不对 9．已知圆的方程为：022 2 =++x y x ，则它关于直线x y =对称的圆的方程是（ ） A 、022 2 =-+x y x B 、01222 2 =---+y x y x C 、022 2 =++y y x D 、022 2 =-+y y x 10．点（3，1）和（—4，6）在直线023=+-a y x 的两侧，则a 的取值范围是（ ）
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