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大学物理1 刚体的转动

刚体

如果研究物体的转动就必定涉及物体的空间方位，此时，质点模型已不适用，因为一个点是无方位可言的。若在所研究的问题中，物体的微小形变可以忽略不计时，则可以引入刚体模型。

刚体，是指在任何情况下，都没有形变的物体。也可以把刚体看作一个各质元之间无相对位置变化且质量连续分布的特殊质点系。

（附图）

刚体定轴转动的描述

在物体运动过程中，如果物体上的所有质元都绕某同一直线作圆周运动，这种运动就称之为转动，这条直线称为转轴 (这根轴可以在物体之内，也可以在物体之外的某固定处)。若转轴的方向或位置在物体运动过程中变化，这个轴在某个时刻的位置便称为该时刻的转动瞬轴。若转动轴固定不动，即既不改变方向又不平移，则这个转轴称为固定轴，这种转动称为定轴转动。（附图）

平动和转动是刚体运动中两种基本形式．无论刚体作多么复杂的运动，总可以把它看成是平动和转动的合成运动。例如一个车轮的滚动可以分解为车轮随着车轴的平动和整个车轮绕着车轴的转动。定轴

转动是刚体运动中最简单的运动形式之一。

为了研究刚体的定轴转动，定义：

垂直于固定轴的平面为转动平面。研究

刚体的定轴转动时，可以任取一个转动

平面来讨论。以转轴与转动平面的交点

为原点，则该转动平面上的所有质元都

绕着这个原点作圆周运动。

在转动平面内过原点作一射线作为参考方向(或称极轴)，转动平面上任一质元P 对O 点的位矢r 与极

轴的夹角θ称为角位置。引入角速度、角加速度，由于刚体是个特殊质点组，即各质元之间没有相对移动，因此，在同一转动平面上，它们的角量(即角位移、角速度、角加速度)都相同，但由于各质元到轴的距离不同，因此各质元的线量(即线位移、线速度、线加速度)不同。

dt d θω= 22dt d dt d θωβ==

ωR v = βτR a = 2

ωR R v a n == 刚体作定轴转动时，每个质元的转动方向只有两种可能，如果

以转轴为z 轴，则质元的角速度方向要么与所选z 轴正向相同，要么与所选z 轴正向相反．因此，刚体定轴转动时所有角量的方向，都可用标量前的正负号表示。

速度和角速度的关系可以用矢量式表示。

r v ?=ω

转动惯量的计算

dm r I ?=Ω2

单个质点的转动惯量为2mr I =

质点系的转动惯量为∑=i i i r m I 2

质量连续分布的刚体的转动惯量为dm r I ?=Ω2

以上各式中的r 均为质点(或质元)到转轴的距离。

转动惯量的单位：千克二次方米。

影响刚体转动惯量的大小的因素：

(1)刚体的总质量；

(2)刚体质量对轴的分布，质量分布离轴越远，转动惯量越大；

(3)轴的位置有关，对质量分布均匀的物体，其对中心轴的转动惯量最小。

注意：

（1）计算方法只适用于有规则几何图形的刚体。对于形状不规则的刚体则可用实验方法测定。

（2）转动惯量具有可加性。即一个具有复杂形状的刚体，如果可以分割成若干个简单部分，则整个刚体对某一轴的转动惯量等于各个组成部分对同一轴转动惯量之和。

（举例）（附图）

定轴转动的动能定理转动动能

刚体绕定轴转动时的动能，称为转动动能。

设刚体以角速度ω绕定轴转动，其中每一质元都在各自转动平面内以角速度ω作圆周运动。设第i 个质元质量为i m ?，离轴的距离为i r ，它的线速度为ωi i r v =，则i 质元的动能为

2222121i i i i i r m v m ω??= 整个刚体的转动动能为 2

222221)(2121ωω?ω?I r m r m E n i i i n i i i k ===∑∑

刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。

与物体的平动动能(即质点的动能)比较，转动动能

221ωI E k = 平动动能

221mv E k =

力矩的功

在转动平面内的外力i F 作用于P 点(注：此处之所以不考虑内力的功，是因为一对内力功之和仅与相对位移有关，而刚体各质元之间不存在相对位移，内力功之和始终为零。) 。（附图）

经dt 时间后P 点沿一圆周轨道移动i ds 弧长，半径i r 扫过θd 角，由功的定义式有

θθττd M d r F ds F dA i i i i i i ===

对i 求和，有

θθMd d M dA i ==∑)( 式中M 为作用于刚体上外力矩之和。

即力矩所作元功等于力矩和角位移的乘积。

当刚体在力矩作用下，由1θ转到2θ时，力矩的功为

?=2

1θθθMd A

力矩的功率 ωθM dt d M dt dA P ===

当输出功率一定时，力矩与角速度成反比。

刚体定轴转动的动能定理

将转动定律写成如下形式

dt d I dt d d d I dt d I I M ωωθθωωβ==== 所以

2122212121ωωθθθI I Md -=

即合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量，这就

是刚体定轴转动时的动能定理。

刚体对轴的角动量守恒定律刚体对轴的角动量

刚体作为一个特殊质点系，当它作定轴转动时，所有质元均绕同一轴以相同的角速度ω转动，因此刚体对轴的角动量为

ωωI m r v m r L i i i i i i ===∑∑2

刚体定轴转动的角动量定理 12122

1ωωI I L L Mdt t t -=-=?

?21Mdt

称为冲量矩，它表示合外力矩在21t t →时间内的积累效应。上式说明定轴转动刚体的角动量增量等于合外力矩的冲量矩，这就是刚体定轴转动角动量定理的积分形式。显然，若0=M ，则有12ωωI I =

即，外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同一轴的角动量守恒，这就是对轴的角动量守恒定律。

说明：

1、对于定轴转动的刚体，在转动过程中，若转动惯量I 始终保持不变，只要满足合外力矩等于零，则刚体转动的角速度也就不变。即原来静止的保持静止；原来作匀角速转动的仍作匀速转动。

例如，在飞机、火箭、轮船上用作定向装置的回转仪就是利用这一原理制成的。

2、对于定轴转动的非刚性物体，物体上各质元对转轴的距离是可以改变的。即转动惯量I 是可变的．当满足合外力矩等于零时，物体对轴的角动量守恒，即=ωI 常矢量．这时ω与I 成反比，即I 增加时，ω就变小；I 减少时，ω就增大。

例如一人站在可绕竖直光滑轴转动的凳上，两手各握一个哑铃，两臂伸开时让他转动起来，然后他收拢双臂。在此过程中，对竖直轴而言，没有外力矩作用，转台和人这一系统对竖直轴的角动量守恒．所以，当双臂收拢后I 变小了，旋转角速度就增加了．如果将两臂伸开，I 增大了，旋转角速度又会减少。同样，花样滑冰运动员、芭蕾舞演员在表演时，也是运用角动量守恒定律来增大或减少身体绕对称竖直轴转动的角速度，从而做出许多优美而漂亮的舞姿。

《大学物理》课后解答题第三章刚体定轴转动

第三章刚体定轴转动一、思考讨论题 1、刚体转动时，若它的角速度很大，那么作用它上面的力是否一定很大？作用在它上面的力矩是否一定很大？解：刚体转动时，它的角速度很大，作用在它上面的力不一定大，作用在它上面的力矩也不一定大。 ω增大，则增大增大， M ， βω I dt d I ==，又?= 更无直接关系。与无直接关系，则有关，与与ωωβF M 2、质量为m =4kg 的小球，在任一时刻的矢径j t i t r 2)1(2 +-=，则t s =3时，小球对原点的角动量=？从t =1s 到t s =3的过程中，小球角动量的增量=？。解：角动量)22(]2)1[(2 t m j t i t dt d m m +?+-=?=?= t s =3 j i t m j t i t 80)26(4)68()22(]2)1[(2 3-=+?+=+?+-== j t m j t i t 16)22(42)22(]2)1[(2 1 -=+?=+?+-== 64)16(8013-=---==?== 3、如图5.1，一圆形台面可绕中心轴无摩擦地转动，有一辆玩具小汽车相对于台面由静止开始启动，绕作圆周运动，问平台面如何运动？若经过一段时间后小汽车突然刹车，则圆台和小汽车怎样运动？此过程中，对于不同的系统，下列表中的物理哪些是守恒量，受外力，合外力矩情况如何？解：平台绕中心轴转动，方向与小车转动方向相反。小车突然刹车，圆台和小车同时减速、同时静止。分别考虑小车和圆台在垂直和水平方向的受力。图 5.1 t f n 小车圆台

4、绕固定轴作匀变速转动的刚体，其中各点都绕轴作圆周运动，试问刚体上任一点是否具有切向加速度？是否具有法向加速度？法向加速度和切向加速度大小是否变化？解：刚体上的任何一点都有切向加速度。也有法向加速度。大小不发生变化。 5、在一物体系中，如果其角动量守恒，动量是否也一定守恒？反之，如果该系统的动量守恒，角动量是否也一定守恒？解：在一物体系中，角动量守恒，动量不一定守恒。例如题4中的小车与圆台组成的系统。反之，系统的动量守恒，角动量也不一定守恒，除非是单个质点。二、课堂练习 1、如图5.2所示，一轻绳绕过一质量为m/4，半径为R 的滑轮（质量分布均匀），一质量为m 的人抓住绳子的一端A ，绳子的另一端系一个质量为m/2的重物B ，绳子与滑轮无相对滑动，试求：（1 ）当人对绳子相对静止时，B 物上升的加速度；（2）当人相对于绳子以匀速u 上爬时，B 物上升的加速度；（3）当人相对于绳子以加速度a 0上爬时，B 上升的加速度。解：方法一、用隔离体法，分别研究人、物和滑轮的运动。（1）分别受力分析 A 、 B 、 a a a ==21 1T f =1 a mg 2 2a 1T 2 R a 2=

大学物理刚体部分知识点总结

一、刚体的简单运动知识点总结 1、刚体运动的最简单形式为平行移动与绕定轴转动。 2、刚体平行移动。 ·刚体内任一直线段在运动过程中,始终与它的最初位置平行,此种运动称为刚体平行移动,或平移。 ·刚体作平移时,刚体内各点的轨迹形状完全相同,各点的轨迹可能就是直线,也可能就是曲线。 ·刚体作平移时,在同一瞬时刚体内各点的速度与加速度大小、方向都相同。 3、刚体绕定轴转动。 ?刚体运动时,其中有两点保持不动,此运动称为刚体绕定轴转动,或转动。 ?刚体的转动方程φ=f(t)表示刚体的位置随时间的变化规律。 ?角速度ω表示刚体转动快慢程度与转向,就是代数量, 。角速度也可以用矢量表示, 。 ?角加速度表示角速度对时间的变化率,就是代数量, ,当α与ω同号时,刚体作匀加速转动;当α与ω异号时,刚体作匀减速转动。角加速度也可以用矢量表示, 。 ?绕定轴转动刚体上点的速度、加速度与角速度、角加速度的关系: 。速度、加速度的代数值为。 ?传动比。

二. 转动定律转动惯量转动定律力矩相同,若转动惯量不同,产生的角加速度不同与牛顿定律比较: 转动惯量刚体绕给定轴的转动惯量J 等于刚体中每个质元的质量与该质元到转轴距离的平方的乘积之总与。定义式质量不连续分布质量连续分布物理意义转动惯量就是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。它与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关。计算转动惯量的三个要素:

(1)总质量; (2)质量分布; (3)转轴的位置 (1) J 与刚体的总质量有关几种典型的匀质刚体的转动惯量平行轴定理与转动惯量的可加性 1) 平行轴定理设刚体相对于通过质心轴线的转动惯量为Ic,相对于与之平行的另一轴的转动惯量为I,则可以证明I 与Ic 之间有下列关系 2c I I md =+ 2)转动惯量的可加性对同一转轴而言,物体各部分转动惯量之与等于整个物体的转动惯量。三角动量角动量守恒定律 2 c I I md =+

大题工科物理大作业04-刚体定轴转动

04 04 刚体定轴转动班号学号姓名成绩一、选择题（在下列各题中，均给出了4个~5个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内） 1．某刚体绕定轴作匀变速转动，对刚体上距转轴为r 处的任一质元来说，在下列关于其法向加速度n a 和切向加速度τa 的表述中，正确的是： A ．n a 、τa 的大小均随时间变化； B ．n a 、τa 的大小均保持不变； C ．n a 的大小变化，τa 的大小保持恒定； D ．n a 的大小保持恒定，τa 大小变化。（C ） [知识点］刚体匀变速定轴转动特征，角量与线量的关系。 [分析与题解] 刚体中任一质元的法向、切向加速度分别为 r a n 2 ω=，r a τβ= 当恒量时，t βωω+=0 ，显然r t r a n 2 02)(βωω+==，其大小随时间而变， r a τβ=的大小恒定不变。 2. 两个均质圆盘A 和B ，密度分别为 A 和 B ，且B ρρ>A ，但两圆盘的质量和厚度相同。若两盘对通过盘心且与盘面垂直的轴的转动惯量分别为A I 和B I ，则 A ．B I I >A ； B. B I I ，所以2 2B A R R < 且转动惯量22 1 mR I = ，则B A I I <