函数奇偶性和单调性的判断方法和应用
讲解新课： 函数的奇偶性 （一） 主要知识：
1.函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数；
2.奇偶函数的性质：
()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；
()2()f x 是偶函数?()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数?()f x 的图象关于原点对称； ()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的 单调性.
3.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ?=-=．
4.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．
（二）主要方法：
1.判断函数的奇偶性的方法：
()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，
则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式；
()2图象法；
()3性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D = 上：奇
±奇=奇，偶±偶=偶，奇?奇=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇；
②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；
2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，
()
1()
f x f x =±-． （三）典例分析：
1、下列函数是否具有奇偶性.
(1) ; (2) ;
(3)
; (4)
(5)
2、函数 在 上是减函数,求 的取值集合 。
3、若函数f(x)=ax 73
++bx ,有f(5)=3则f (－5)= 。
4、设f(x)是R 上的偶函数，且在[ 0, + ∞ )上递增，则f(--2) 、f(--π) 、f(3)的大小顺序是 。
5、f(x)是[－2，2]上的奇函数，若在[0，2]上f(x)有最大值5，则f(x)在[－2，0]上有最 值 。
6、已知函数f(x)=ax 2
+bx+3a+b 为偶函数，其定义域为 [ a —1, 2a ],则函数的值域为 。
7、若二次函数f(x)=ax 2+bx+c 是偶函数，则g(x)=ax 3+bx 2
+cx 是 函数。
8、已知定义在（-∞，∞）上的奇函数f(x)，当x > 0 时f(x)=3 x – 1,求f(x)的解析式。
9、若函数 在
上是奇函数,试确定
的解析式
问题1．判断下列各函数的奇偶性：
()1 ()(f x x =- ()2 2lg(1)
()|2|2
x f x x -=--；
()3 ())f x x =；
则()f x 的解析式为
()2(04上海)设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-
()f x 的图象如右图,则不等式()0f x <
6.（05北京西城模拟）已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，
()1求证：()f x 为奇函数；()2若(3)f a -=，用a 表示(12)f .
()2已知函数21
()ax f x bx c
+=
+（a 、b 、c Z ∈）为奇函数，又(1)2f =，(2)3f <， 求a 、b 、c 的值 .
问题4．()1已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，
若120,0x x <>，且12||||x x <，则
A .12()()f x f x ->-
B .12()()f x f x -<-
C .12()()f x f x ->-
D . 12()()f x f x -<-
（四）巩固练习：
1.已知函数2()f x ax bx c =++,[]23,1x a ∈--是偶函数,则a b +=
2.已知1
()21
x
f x m =
++为奇函数，则(1)f -的值为 3.已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ， 则=)7(f _______
4.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于 .A x 轴对称 .B y 轴对称 .C 原点对称 .D 以上均不对
5.函数)0)(()1
22
1()(≠-+
=x x f x F x
是偶函数，且)(x f 不恒等于零，则)(x f .A 是奇函数 .B 是偶函数
.C 可能是奇函数也可能是偶函数 .D 不是奇函数也不是偶函数
（五）课后作业：
1.判断下列函数的奇偶性：
1.11()212x
f x =+-； 2.()
3()log 132
x x
f x -=++；
2（06上海春）已知函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数.当(),0x ∈-∞时，
4()f x x x =-，则当()0,x ∈+∞时，()f x =
3.已知()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，1()3x
f x ??
= ???
，那么1()2f 的值为
.A
.B
.C
.D 9
4.若()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且1
()()1
f x
g x x +=-，则()f x = ，
()g x =
5.定义在)1,1(-上的函数1
)(2+++=nx x m
x x f 是奇函数，则常数=m ____,=n _____
单调性
（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1
注意：
○
1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○
2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1 （3）设复合函数y = f [g(x )]，其中u =g(x ) , A 是y = f [g(x )]定义域的某个区间，B 是映射g : x →u =g(x ) 的象集： ①若u =g(x ) 在 A 上是增（或减）函数，y = f (u )在B 上也是增（或减）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是增函数； ②若u =g(x )在A 上是增（或减）函数，而y = f (u )在B 上是减（或增）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是减函数。 （4）判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： ○1任取x1，x2∈D，且x1 ○2作差f(x1)－f(x2)； ○3变形（通常是因式分解和配方）； ○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。 （5）简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内： 增函数+ g是增函数； (x (x ) f增函数) 减函数+ (x g是减函数； f减函数) ) (x 增函数- (x g是增函数； (x ) f减函数) 减函数- (x g是减函数。 f增函数) ) (x 2．最值 （1）定义： 最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。 最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。 注意： ○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M； ○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。 （2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法： ○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○2利用图象求函数的最大（小）值； ○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增则函数y =f (x )在x =b 处有最小值f (b )； ★典例讲解： 题型一：判断证明函数的单调性 常见函数单调性 例1、讨论函数f(x)=1 1 2++x x 的单调性。 例2．（1）求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间； 例4. （广东省揭阳二中2009届高三上学期期中考试） 已知函数()f x 的定义域为 {} ,0x x R x ∈≠且对定义域内的任意1x 、2x ，都有 1212()()(), 1() 0,(2)1. f x x f x f x x f x f ?=+>>=且当时 （1）求证：()f x 是偶函数； （2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数； （3）解不等式2(21) 2.f x -< 题型二：单调性的应用： 1．利用函数的单调性求参数的取值范围 已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题。这类问题能够加深对概念、性质的理解。 例 1.函数f(x)是定义在（-1，1）上的增函数，且f(a-2)-f(4-a 2)<0, 那么a 的取值范围为____________; 例2.函数f(x)=ax 2-(5a-2)x-4在[)+∞,2上是增函数, 则a 的取值范围是______________. 总结：1.函数y=-f(x)与函数y=f(-x)的单调性相反。 2.函数y=f(x)+c 与函数y=f(x)的单调性相同。 3.当c ＞0时，函数y=cf(x)与函数y=f(x)的单调性相同，当c ＜0时，函数y=cf(x)与函数y=f(x)的单调性相反。 4.若f(x)≠0,则函数f(x)与) (1 x f 具有相反的单调性。 5.若f(x)≥0，则函数f(x)与 )(x f 具有相同的单调性。 6.对于函数f(x)与g(x)可以总结为： 增+增＝增，增—减＝增，减+减＝减，减—增＝减 7.当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y=f ［g(x)］是增函数； 当函数f(x)和g(x)的单调性相反时，复合函数y=f ［g(x)］是减函数。 简称为口诀“同增异减”。 练习： 1．已知y=f(x)与y=g(x)均为增函数，判断下列函数在公共定义域内的单调性。 （1） y=-2f(x) （2） y=f(x)+2g(x) 2. 求函数y=x +1-x 的最小值。 题型四、抽象函数的单调性 没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，根据题目研究抽象函数的单调性，是一类重要的题型，证明抽象函数的单调性常用定义法；还有一类型的题目是利用抽象函数的单调性求参 数范围。 例1、定义域在（0,+∞）上的函数f(x)满足:（1）f(2)=1; (2) f(xy)=f(x)+f(y); (3) 当x＞y 时，有f(x)＞ f(y),若f(x)+f(x-3)≤2,求x的取值范围。 例2. 函数f (x )对任意的m、n∈R, 都有f (m＋n )＝f (m)＋f (n)－1, 并且x＞0时, 恒有f (x )＞1. (1) 求证: f (x )在R上是增函数; (2 ) 若f (3 )＝4, 解不等式f (5 +)＜2. a a2- 函数奇偶性的判定方法 函数奇偶性的判定方法较多，下面把常见的判定方法分类加以研究分析． 1．定义域判定法 例1 判定()(1)2f x x x =-- 的奇偶性． 解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥， 定义域不关于原点对称， ∴原函数是非奇非偶函数． 评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数的奇偶性． 2．定义判定法 例2 判断()f x x a x a =++-和奇偶性． 解： 函数()f x x a x a =++-的定义域为R ，且 ()()()()f a x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数． 评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数的奇偶性． 3．等价形式判定法 例3 判定2211 ()11x x f x x x ++-=+++的奇偶性． 解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =， ∴图象过原点． 又0x ≠ 时，22 22 ()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--， (1)()f f x ∴-=-． 又(0)0f =，∴()f x 为奇函数． 评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1() f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或 ()1() f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法 例4 若0a >，()([])f x x a a ∈-，是奇函数，()() g x x ∈R 是偶函数，试判定()()()x f x g x ?= 的奇偶性． 函数的单调性及奇偶性 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知函数是上的增函数，若，则下列不一定正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 2.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若 ，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 3.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有 ．若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 4.函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D.无减区间 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 5.函数的单调递减区间是( ) A.， B.， C.， D.， 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 6.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 7.若是奇函数，则实数a的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.±1 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 8.若是定义在上的偶函数，则a的值为( ) A.±1 B.1 C.-1 D.-3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 9.设是定义在[-2，2]上的奇函数，若在[-2，0]上单调递减，则使成立的实数a的取值范围是( ) A.[-1，2] B. C.(0，1) D. 第三讲 函数的单调性、奇偶性 一、知识点归纳 函数的单调性 （1）定义：设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 第11招 如何判断函数的奇偶性？ 判断函数的奇偶性（有的还牵涉三角函数）是高考中常考的知识点，一般以选择题形式出现. 解法指导与经典范例 （一） 判断函数奇偶性的方法 1. 定义法 这是最常用的方法.其解法步骤如下：（1）确定函数的定义域是否是关于原点的对称区间.若不是，可判断该函数是非奇非偶函数.若是，再按下列步骤继续进行.（2）在定义域内任取x ，以-x 代换f(x)中的x 得f(-x).(3)依据定义得出结论. 注意：（1）既是奇函数又是偶函数的函数只能是f(x)=0. （2）若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0.(如例6证一) 【例1】函数 ()()是x x x x f +-? +=11（ ）. A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D0非奇非偶函数 解 (]()() 的奇偶性】判断函数【例原点对称的区间由于这定义域不是关于想）的定义域为函数得?????>+-<+=-≤<-≥+-00)(2. .1,19,1101122x x x x x x x f f x x x 解 当x<0时，-x>0,()()() ().)(22x f x x x x x f -=+-=-+--=-∴ 而当x>0时，-x<0,()()()()x f x x x x x f -=-=-+-=-∴22 ()()()()().,,00,为奇函数故都有对任意x f x f x f x =-+∞∞-∈∴ 【例3】2002.北京文三（22）已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a 、b R ∈都满足：()()().a bf b af b a f +=? (1) 求f(0)、f(1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论. 解（1）()()()()()()=?==?+?=?=111.00000000f f f f f f ()()1111f f ?+? ()f f ∴=,12（1）=0. （2）f(x)是奇函数.证明如下： ()()()[]()()()()().01.01,1211111=-∴=--=----=-?-=f f f f f f f 而 又 ()()()()()().,11是奇函数x f x f xf x f x f x f ∴-=-+-=?-=- 2. 利用定义的等价命题来判断 ()()()()()().00是偶函数是奇函数；x f x f x f x f x f x f ?=--?=-+ 或：当()()()()()() ().110是偶函数是奇函数；时， x f x f x f x f x f x f x f ?=-?-=-≠ 1 函数单调性(一) (一)选择题 1．函数x x f 3 )(= 在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1 B ．x y 2 = C ．y ＝x 2－4x ＋5 D ．y ＝｜x －1｜＋2 3．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 4．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( ) A ．必是增函数 B ．不一定是增函数 C ．必是减函数 D ．是增函数或减函数 (二)填空题 5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______． 6．若函数x a x f = )(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 7．函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 8．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)4 3(f 的大小关系是______。 *9．若函数f (x )＝｜x －a ｜＋2在x ∈[0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． (三)解答题 10．函数f (x )，x ∈(a ，b )∪(b ，c )的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断： 甲说f (x )在定义域上是增函数； 乙说f (x )在定义域上不是增函数，但有增区间， 丙说f (x )的增区间有两个，分别为(a ，b )和(b ，c ) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。 11．已知函数.21 )(-= x x f (1)求f (x )的定义域； (2)证明函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 12．已知函数| |1)(x x f = ． (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式； 函数的奇偶性的归纳总结 考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。 教学目标：1、理解函数奇偶性的概念； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法； 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法； 4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。 教学重点：1、理解奇偶函数的定义； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。 教学难点：1、对奇偶性定义的理解； 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。 教学过程： 一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。 理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类： 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象： 奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a 单调性与最大（小）值 要点一、函数的单调性 1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间D A ?： 如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-， 0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-， 0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2 )(，（2）x x x f -=3 )( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3 )(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2 )(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在(x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时， ) () (x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时， ) () (x g x f 是偶函数。 （6）常函数()()为常数c c x f =是偶函数，()f x =0既是偶函数又是奇函数。 （7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数()()[]x g f x F =；若()x g 为偶函数, ()f x 为奇（偶）函数，则()x F 都为 经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三： 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数， 在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，； 函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 2.(1)周期函数 对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．(√) (6)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√) (7)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×) (8)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√) (9)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．(√) (10)若某函数的图象关于y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√) 考点一 判断函数的奇偶性 函数奇偶性的判定方法 山东 刘海 函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法． 1．定义域判定法 例1 判定()(1)f x x =- 解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥， 定义域不关于原点对称，∴原函数是非奇非偶函数． 评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数具有奇偶性． 2．定义判定法 例2 判断()f x x a x a =++-的奇偶性． 解： 函数()f x x a x a =++-的定义域为R ， 且 ()()()()f x x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数． 评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性． 3．等价形式判定法 例3 判定()f x =的奇偶性． 解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =，∴图象过原点． 又0x ≠ 时，22 22()(1)(1)1()(1)(1) f x x x f x x x -+-+==-+--，()()f x f x ∴-=-． 又(0)0f =，()f x ∴为奇函数． 评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1() f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或 ()1() f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法 例4 若0a >，[]()()f x x a a ∈-，是奇函数，()() g x x ∈R 是偶函数， 试判定()()()x f x g x ?= 的奇偶性． x x x f 1)(+ =1 )(2+= x x x f x x f 1)(= 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-， 0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-， 0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴ x x x f +=2 )(，（2） x x x f -=3 )( （3） ()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3 )(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2 )(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时， ) () (x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时， ) () (x g x f 是偶函数。 （6）常函数()()为常数c c x f =是偶函数，()f x =0既是偶函数又是奇函数。 1文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑. 函数单调性 证明格式： ① 取任意两个数12,x x 属于定义域D ，且令12x x <（反之亦可）； ② 作差12()()f x f x -并因式分解； ③ 判定 12()()f x f x -的正负性，并由此说明函数的增减性； 例 1 用定义法判定下列函数的增减性： ① y x =； ②2y x =； ③3y x =； ④y = ⑤1 y x = ； 练习：1. 判断函数()f x = 2.证明函数 3()f x x x =+在R 上是增函数； 例 2 已知函数 1 ()(0)f x x x x =+>，求证：函数的单调减区间为(0,1]，增区间为[1,)+∞，并画出图像； 练习：证明函数 x x x f 2 )(+ =在),2(+∞上是增函数。 3.复合函数的单调性 复合函数的单调性判断（同增异减）：构造中间过度函数，按定义比较函数大小并确定函数的单调性； 例 3 判断函数的单调性： （1 ） ()f x = （2 ）()f x =； （3） 2 1 ()2 f x x = +； 练习：① y = ②2 13y x = -； ③ 2 154y x x = +-； ④ y ； 4.函数的单调性的等价关系 设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --时，()1f x >且对任意的,a b 都有()()()f a b f a f b +=? (1)求证： (0)1f = ； (2)求证：对任意的x R ∈恒有 ()0f x > ； (3)求证：f(x)是R 上的增函数 ； (4)若2()(2)1f x f x x ?->,求x 的取值范围 相关练习 1、设 ()f x 的图像关于原点对称，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ?<的解集是………………( ) A {}|303x x x -<<>或 B {}|303x x x <-<<或 C {}|33x x x <->或 D {}|3003x x x -<<<<或 2、若 )(x f 的图像关于y 轴对称，且在[)+∞,0上是减函数，则235()(2)2 2 f f a a -++与的大小关系…( ) A )2 3(-f >)25 2(2++a a f B )23 (-f <)25 2(2++a a f C ) 23 (-f ≥ )2 5 2(2++a a f D 3() 2f -≤25(2)2 f a a ++ 函数的单调性和奇偶性 例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间． 解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数． 评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上． （2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围． 分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征． 解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x ＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3． 评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合． 例2判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝- （2）f（x）＝（x-1）． 解：（1）f（x）的定义域为R．因为 f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜ ＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）． 所以f（x）为奇函数． （2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数． 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： （1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称． （2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性． 例3已知函数f（x）＝． （1）判断f（x）的奇偶性． （2）确定f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数?在区间（0，+∞）上呢?证明你的结论． 解：因为f（x）的定义域为R，又 f（-x）＝＝＝f（x）， 所以f（x）为偶函数． （2）f（x）在（-∞，0）上是增函数，由于f（x）为偶函数，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数． 其证明：取x1＜x2＜0， f（x1）-f（x2）＝- ＝＝． 因为x1＜x2＜0，所以 x2-x1＞0，x1+x2＜0， x21+1＞0，x22+1＞0， 得f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）． 所以f（x）在（-∞，0）上为增函数． 评析奇函数在（a,b）上的单调性与在（-b,-a）上的单调性相同，偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单调性相反． 例4已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，试问F（x）＝在（-∞，0）上是增函数还是减函数?证明你的结论． 函数的奇偶性的典型例题 函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①、定义域是否关于原点对称； ②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2 432)(x x x f += ⑶、1 )(2 3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-= 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数 注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。 例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()() ()()()(,0,0) ()()(,0,0) (0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-== 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。 命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分 —函数的单调性和奇偶性 一、选择题： 1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ） A ．y =2x ＋1 B ．y =3x 2＋1 C ．y = x 2 D ．y =2x 2＋x ＋1 2．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数， 则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21 ++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0，21) B ．( 2 1 ，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数 7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4) C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D ．(－∞，－1］∪[2，＋∞） 8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5 －t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 （ ） A ．]1,(],0,(-∞-∞ B ．),1[],0,(+∞-∞ 函数的单调性和奇偶性 一、目标认知 学习目标： 1.理解函数的单调性、奇偶性定义； 2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性； 3.会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 4.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 重点、难点： 1.对于函数单调性的理解； 2.函数性质的应用. 二、知识要点梳理 1.函数的单调性 (1)增函数、减函数的概念 一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间 如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是增函数； 如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是减函数. 如果函数f(x)在区间M上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间M上具有单调性，M称为函数f(x)的单调区间. 要点诠释： [1]“任意”和“都”； [2]单调区间与定义域的关系----局部性质； [3]单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； [4]不能随意合并两个单调区间. (2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？ 基本方法：观察图形或依据定义. 2.函数的奇偶性 偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： [1]奇偶性是整体性质； [2]x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； [3]f(-x)=f(x)的等价形式为：， f(-x)=-f(x)的等价形式为：； 《函数的奇偶性》教案 授课教师 授课时间：授课班级： 教材：广东省中等职业技术学校文化基础课课程改革实验教材《数学》（广东高等教育出版社出版） 教材主要特点：这本教材注意与初中有关知识紧密衔接，注重基础，增加弹性，使用教材可以根据有关专业的特点，选用相关的章节，教学要求和练习内容分A、B两档，适应分层教学。练习A的题目主要是基础练习，供全体学生学习，也是最低的要求；练习B的题目为拓展延伸的练习，供学有余力并且准备进一步深造的学生学习。 教学要求：教师在授课时主要是探究用奇、偶函数的定义判断函数的奇、偶性，奇、偶函数的性质（课本不要求证明）是作为拓展延伸的内容，以学生自学为主，教师适当给予辅导。教材已经分层编写，有利于实施分层教学时可以不分班教学。 任教班级特点：会计072班共有学生62人，男生6人，女生56人。学生数学平均入学成绩为58.3分，上课纪律良好，学生上课注意力比较集中，使用了这本教材后，绝大多数学生喜欢学数学，学生的学习成绩越来越好。 教学目标 知识与技能目标：使学生了解奇函数、偶函数的概念，掌握判断函数奇偶性的方法，培养学生判断、推理的能力。 过程与方法目标：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想 情感、态度、价值观目标：通过数学的对称美来陶冶学生的情操.使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系。 教 学重点 用定义判断函数的奇偶性. 教 学难点 弄清的关系. 教 学手段 多媒体辅助教学(展示较多的函数图像) 【教学过程】： 一、创设情境，引入新课 [设计意图：从生活中的实例出发，从感性认识入手，为学生认识奇偶函数的图像特征做好准备] 对称性在自然界中的存在是一个普遍的现象．如美丽的蝴蝶是左右对称的（轴对称）。现实生活中有许多以对称形式呈现的事物，如汽车的车前灯、音响中的音箱，汉字中也有诸如“双”、“林”等对称形式的字体，这些都给以对称的感觉。函数里也有这样的现象。 提出问题让学生回答：1、中心对称图形的概念（提醒学生：中心对称——图 1.3《函数的单调性与奇偶性》教学设计 【教学目标】 1. 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 2. 理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义； 3. 理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性. 【导入新课】 1.通过对函数x y 2=、x y 3-=、x y 1=及2x y =的观察提出有关函数单调性的问题. 2．阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念. 3.实践活动：取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题： ① 以y 轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形； 问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？ 答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y 轴对称； （2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等. ② 以y 轴为折痕将纸对折，然后以x 轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形： 问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？ 答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称； （2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，－f(x)）也在函数图象上，即高中数学解题方法谈：函数奇偶性的判定方法
函数的单调性及奇偶性(含答案)
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