一元二次方程及应用[2011年数学真题分类汇编]

一元二次方程及应用

一、选择题

1. (2011贵州毕节,10,3分)广州亚运会期间,某纪念品原价168元,连续两次降价%

a 后售价为128元,下列所列方程正确的是( )

A .128%)1(1602=+a

B .128%)1(1602=-a

C .128%)21(160=-a

D .128%)1(160=-a 【答案】B

2. (2011黑龙江省哈尔滨市,5,3分)若x=2是关于x 的一元二次方程08mx x 2=+-的一个解,则m 的值是( )

A .6

B .5

C .2

D .-6【答案】A

3. (湖南湘西,12,3分)小华在解一元二次方程20x x -=时,只得出一个根x=1,则被漏掉的一个根是( )A.x=4 B.x=3 C.x=2 D.x=0【答案】D

4. (2011黑龙江省哈尔滨市,5,3分)若x=2是关于x 的一元二次方程08mx x 2=+-的一个解,则m 的值是( )A .6 B .5 C .2 D .-6

【答案】A

5. (2011湖北省随州市,7,4分)下列说法中正确命题有 ① 一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,则这两个角相等 ② 数据5,2,7,1,2,4的中位数是3,众数是2

③ 等腰梯形既是中心对称图形,又是轴对称图形 ④ Rt △ABC 中,∠C =90°,两直角边a 、b 分别是方程x 2-7x +7=0的两个根,则AB 边上的中

线长为

2

135( )

A .0个

B .1个

C .2个

D .3个【答案】C

6. (2011吉林,14,3分)某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃,它的长比宽多10米,设花圃的宽为x 米,则可列方程为( )

(A )x (x -10)= 200 (B )2x +2(x -10)= 200 (C )x (x +10)= 200 (D )2x +2(x +10)= 200【答案】C 7. (2011湖北鄂州,11,3分)下列说法中

①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,则这两个角相等

②数据5,2,7,1,2,4的中位数是3,众数是2 ③等腰梯形既是中心对称图形,又是轴对称图形

④Rt △ABC 中,∠C=90°,两直角边a ,b 分别是方程x 2-7x +7=0的两个根,则AB

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A .0个

B .1个

C .2个

D .3个【答案】C

8. (2011云南省昆明市,5,3分)若x 1,x 2是一元二次方程2x 2-7x +4=0的两根,则x 1+x 2与x 1·x 2的值分别是( )

A .-72,-2

B . -72,2

C .72,2

D .7

2

,-2【答案】C

9. (2011昭通,7,3)由于国家出台对房屋的限购令,我省某地的房屋价格原价为2400元/米2,通过连续两次降价%a 后,售价变为2000元/米2

,下列方程中正确的是( ) A .2000)1(24002=-a B .2400)1(20002=-a

C .2000)1(24002=+a

D .2000)1(24002=-a 【答案】D 10.(2011内蒙古包头,3,3分)一元二次方程0

412=+

+x x 的根的情况是( )

A .有两个不相等的实数根

B .有两个相等的实数根

C .无实数根

D .无法确定【答案】B

11. (2011四川自贡,4,3分)已知1x 、2x 是方程2630x x ++=的两个实数根,则

211

2

x x x x +的值等于 ( )A. 6 B.-6 C. 10 D. -10【答案】C 12. (2011山东淄博,10,3分)已知a 是方程012=-+x x 的一个根,则

a

a a --

-2

2

11

2的

值为( )A

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2 B .2

5

-

C .-1

D .1【答案】D

13. (2011年青海,17,3分)关于x 的一元二次方程x 2

+4x +k =0有实数解,则k 的取值范围是( ) A . k ≥4 B. k ≤4 C. k >4 D . k =4【答案】B 14. (2011广西柳州,3,3分)方程x 2-4=0的解是

A.x=2

B.x=-2

C.x=±2

D.x=±4【答案】C

15. (2011广西百色,11,3分)某工厂今年元月份的产量是50万元,3月份的产值达到了72万元。若求2、3月份的产值平均增长率,设这两个月的产值平均月增长率为x ,依题意可列方程

A.72(x+1) 2=50

B.50(x+1) 2=72

C.50(x-1)2=72

D.72(x-1)2=50【答案】:B 16. (2011广西百色,13,3分)关于x 的方程x 2+mx-2m 2=0 的一个根为1,则m 的值为 A.1 B.

12

. C.1或12

. D.1或-12

.【答案】:D

17. (2011广西贵港,5,3分)若关于x 的一元二次方程x 2-mx -2=0的一个根为-1,

则另一个根为(A)1 (B)-1 (C)2 (D)-2【答案】C 18. (2010乌鲁木齐,8,4分)关于x 的一元二次方程2

(1)||10a x x a -++-=,则实数a 的值为 A.-1 B.0 C.1 D.-1或1 【答案】A

19. (2011张家界,5,3分)已知1是关于x 的一元二次方程(m-1)x 2

+x+1=0的一个根,则m 的值是( )A.1 B.-1 C.0 D.无法确定【答案】B 20.(2011贵州黔南,13,4分)已知三角形的两边的长分别为3和6,第三边是方程x 2

-6x+8=0的解,则这个三角形的周长是( )

A.11

B.13

C.11或13

D.11和13【答案】B 21. (2011辽宁本溪,4,3分)一元二次方程x 2

-x +

4

1=0的根是( )

A .x 1=

2

1,x 2=-

2

1 B .x 1=2,x 2=-2

C .x 1=x 2=-2

1 D .x 1=x 2=

2

1【答案】D

二、填空题

1. (2011江苏常州,12,2分)已知关于x 的方程260x mx +-=的一个根为2,则m=_____,另一根是_______.【答案】1,-3

2. (2011辽宁大连,13,3分)某家用电器经过两次降价,每台零售价由350元下降到299元。若两次降价的百分率相同,设这个百分率为x ,则可列出关于x 的方程为_________. 【答案】350(1-x )2=299

3. (2011山西,15,3分)“十二五”时期,山西将建成中西部旅游强省,以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的主要动力. 2010年全省全年旅游总收入大约1000亿元,如果到2012年全省全年旅游总收入要达到1440亿元,那么年平均增长率应为__________.【答案】20%

4. (2011四川达州,10,3分)已知关于x 的方程02=+-n mx x 的两个根是0和3-,则m = ,n = .

【答案】3-=m ,0=n 5. (2011湖南娄底,13,4分)如果方程x 2

+2x + a =0有两个相等的实数根,则实数a 的值

为 .【答案】1

6. (2011内蒙古呼和浩特市,15,3分)若0132=+-x x ,则12

42

++x x x

的值为

________________.【答案】81

7. (2011广西梧州,15,3分)一元二次方程x 2+5x +6=0的根是________. 【答案】x 1=-2,x 2=-3

8. (2011黑龙江绥化,7,3分)一元二次方程0742

=--a a 的解为 . 【答案】112,11221-=+=a a

9. (2011江西b 卷,12,3分)试写一个..有两个不相等实根的一元二次方程: 【答案】如:2

450x x +-=

10.(2011江苏徐州,15,3分)若方程2

x kx 9=0++有两个相等的实数根,则k= . 【答案】6±.

11. (2011山东济南,18,3分)方程220x x -=的解为__________________. 【答案】10x =,22x =

12. (2011四川眉山,17,3分)已知一元二次方程y 2

-3y+l =0的两个实数根分别为y 1、y 2,则(y 1-l)(y 2-l)的值为 .【答案】-1

13. (2011广西来宾,17,3分)已知一元二次方程2

20x mx +-=的两个实数根分别是1,2x x 。

则12x x = 【答案】—2

14. (2011年铜仁地区,17,4分)当k 时,关于x 的一元二次方程063622=+++k kx x 有两个相等的实数根;【答案】1±=

15. (2011?泸州,16,3分)已知关于x 的方程x 2+(2k+1)x+k 2﹣2=0的两实根的平方和等于11,则k 的值为 .【答案】k=1.

16. (2011山东淄博,14,4分)方程x 2―2=0的根是 .【答案】x 1x 2=2-

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17. (2011新疆维吾尔自治区,新疆生产建设兵团,12,5分)若关于x 的一元二次方程

2

20x x a ++=有实数根,则a 的取值范围____________;

【答案】1a ≤ 18. (2011黑龙江黑河,7,3分)一元二次方程a 2

-4a -7=0的解为 . 【答案】a 1=2+11,a 2=2-11 三、解答题

1. (2011广西桂林,23,8分)某市为争创全国文明卫生城,2008年市政府对市区绿化工

程投入的资金是2000万元,2010年投入的资金是2420万元,且从2008年到2010年,两年间每年投入资金的年平均增长率相同.

(1)求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率;

(2)若投入资金的年平均增长率不变,那么该市在2012年需投入多少万元? 【答案】解:(1)设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为x ,则 2000(1+x )2=2420.

解得:x =10%(负值已舍).

即该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为10%. (2)2012年需投入的资金为24202(1+10%)2=2928.2万元. 2. (2011湖北十堰,20,6分)请阅读下列材料:

问题:已知方程x 2+x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍。 解:设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=y 2 .

把x=y 2 代入已知方程,得(y 2 )2+y

2 -1=0.

化简,得y 2+2y-4=0. 故所求方程为y 2+2y-4=0。

这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”。

请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式);

(1)已知方程x 2+x-2=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为: ;

(2)已知关于x 的一元二次方程ax 2

+bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数。 【答案】解:(1)y2-y-2=0.

(2)设所求方程的根为y ,则y= 1x (x≠0). 于是x=1

y (y≠0)

把x=1y 代入方程ax2+bx+c=0,得a ????1y 2+b?1

y +c=0

去分母,得a+by+cy 2

=0.

若c=0, 有ax2+bx=0,于是方程ax 2

+bx+c=0有一个根为0,不符合题意。 ∴c≠0,

故所求方程为:cy 2

+by+a=0(c≠0)

3. (2011湖北襄阳,22,6分)

汽车产业是我市支柱产业之一,产量和效益逐年增加.据统计,2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆,到2010年,该品牌汽车的年产量达到10万辆.若该品牌汽车

年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变,则该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆?

【答案】

设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x ,由题意得

10

)1(4.62

=+x ··················································································································· 2分

解之,得25.225.021-==x x , .··············································································· 4分

∵025.22<-=x ,故舍去,∴x =0.25=25%. ····················································· 5分

103(1+25%)=12.5

答:2011年的年产量为12.5万辆.

6分

4. (2011广东清远,18,5分)解方程:2

410x x --= 【答案】 解:因为a=1,b=-4,c=-1

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所以422

x ±=

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即12x =+22x =-

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5. (2011湖北潜江天门仙桃江汉油田,17,6分)若关于x 的一元二次方程0342

=-+-k x x 的两个实数根为1x 、2x ,且满足213x x =,试求出方程的两个实数根及k 的值. 【答案】解:由根与系数的关系得:421=+x x ① ,=?21x x 3-k ②,

又∵213x x =③,联立①、③,解方程组得??

?==1

321x x ,

∴6313321=+?=+=x x k .

答:方程两根为12=3,=1;=6x x k .

6. (2011内蒙古赤峰,19,10分)益趣玩具店购进一种儿童玩具,计划每个售价36元,

能盈利80﹪,在销售中出现了滞销,于是先后两次降价,售价降为25元。 (1)求这种玩具的进价。

(2)求平均每次降价的百分率(精确到0.1﹪)

【答案】解:(1)设这种玩具的进价是x 元,根据题意得: x (1+80﹪)=36 解之得:x=20

答:这种玩具的进价为20元。

(2)设平均每次降价的百分率为y ,根据题意得: 2

36(1)2

5y

-= 解之得: 121116.76

y ==﹪,y (不合题意,舍去)

∴y=16.7﹪

答:平均每次降价的百分率为16.7﹪

7. (2011四川自贡,24,10分)阅读下面例题的解答过程,体会、理解其方法,并借鉴该例题的解法解方程.

例: 解方程 2|1|1

x x ---= 解:(1)当10x -≥即1x ≥时,|1|1x x -=-

原方程化为2(1)10x x ---=,即2

0x x -= 解得10x =,21x =

1x ≥ 故0x =舍去,1x =是原方程的解. (2)当10x -<即1x <时,|1|(1)x x -=--

原方程化为2

(1)10x x +--=,即2

20x x +-= 解得11x =,22x =-

1x < 故1x =舍去,2x =-是原方程的解. 综上所述,原方程的解为11x =,22x =-. 解方程:2

2|2|40x x ++-=

【答案】解:(1)当20x +≥即2x ≥-时,|2|2x x +=+

原方程化为22(2)40x x ++-=,即220x x += 解得10x =,22x =-

2x ≥- 故0x =舍去,2x =-是原方程的解. (2)当20x +<即2x <-时,|2|(2)x x +=-+

原方程化为22(2)40x x -+-=,即2280x x --= 解得14x =,22x =-

2x <- ∴ 14x =,22x =-均舍去 综上所述,原方程的解为2x =-

8. (2011广西玉林、防港,20,6分)已知:12,x x 是一元二次方程2410x x -+=的两个实数根,

求2121

2

11()(

)x x x x +÷+的值。

【答案】解:由根与系数的关系得

{

12124

1

x x x x +==

原式=22

12121212121

2

12

11()(

)()()414x x x x x x x x x x x x x x +÷+

=+=+=?=+

9. (2011广西贵港,24,10分)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展,汽

车已越来越多地进入普通家庭。据某市交通部门统计,2008年底该市汽车拥有量为75万辆,而截止到2010年底,该市的汽车拥有量已达108万辆。 (1)求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率;

(2)为了保护城市环境,缓解汽车拥堵状况,该市交通部门拟控制汽车总量,要求到

2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆;另据估计,从2011年初起,该市

此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%。假设每年新增汽车数量相同,请你计算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆。

【答案】

(1)设2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x 。

由题意得75(1+x )2=108

1+x =±1.2

∴x 1=0.2=20%,x 2=-2.2(不合题意,舍去)

答:2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%。 (2)设从2011年初起每年新增汽车数量为y 万辆,由题意得 (10830.9+y )30.9+y ≤125.48 解得:y ≤20

答:从2011年初起每年新增汽车数量最多不能超过20万辆。

10.(2011张家界,23,8分)阅读材料:

如果12,x x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根,那么1212,b c x x x x a

a

+=-?=

这就是著名的韦达定理.现在我们利用韦达定理解决问题: 已知m 与n 是方程22630x x -+=的两根 (1)填空:m+n= ,m 2n= . (2)计算

11m n

+的值

【答案】(1)3,32

(2)

113232

n n m n m n

++===

11. (2011湖南郴州市,18,6分)当t 取什么值时,关于x 的一元二次方程2220x tx ++=有两个相等的实数根.

【解】因为a=2,b=t ,c=2,

2

2

2

442216b ac t t -=-??=-

令2160t -=,解得4t =±

所以当4t =或4t =-时,原方程有两个相等的实数根

12. (2011福建漳州,24,10分)2008年漳州市出口贸易总值为22.52亿美元,至2010年

出口贸易总值达到50.67亿美元,反映了两年来漳州市出口贸易的高速增长。 (1)求这两年漳州市出口贸易的年平均增长率;

(2)按这样的增长速度,请你预测2011年漳州市的出口贸易总值。

(温馨提示:2254=4×563,5067=9×563)

【解】(1)设年平均增长率为x ,依题意得:222.52(1)50.67x +=

1 1.5x +=±

120.5, 2.5()x x ∴==-舍去

答:这两年漳州市出口贸易的年平均增长率为50%

(2)50.67×(1+50%)=76.005(亿元)

答:预测2011年漳州市的出口贸易总值为76.005亿元

13. (2011贵州六盘水,22,14分)小明家有一块长8m 、宽6m 的矩形空地,妈妈准备在该空地上建造一个花园,并使花园面积为空地面积的一半,小明设计了如下的四种方案供妈妈挑选,请你选择其中的一种..

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方案帮小明求出图中的x 值。

方案一

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方案二

方案三

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方案四

【答案】解:据题意,得6821)6)(8(??=--x x

解得:x 1=12,x 2=2 x 1不合题意,舍去 ∴x =2

14. (2011青海西宁,27,10分)国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》,从2011

年5月1日起商品房销售实行一套一标价.商品房销售价格明码标价后,可以自行降价、打折销售,但涨价必须重新申报.某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售,由于新政策的出台,购房者持币观望.为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过两次下调后,决定以每平方米4050元的均价开盘销售. (1)求平均每次下调的百分率;

(2)某人准备以开盘价购买一套100平方米的房子,开发商还给予以下两种优惠方案

以供选择:

①打9.8折销售;②不打折,送两年物业管理费,物业管理费是每平方米每月1.5

元.请问哪种方案更优惠?

x

【答案】解:(1)设平均每次下调的百分率为x,根据题意得:5000(1-x)2=4050,

解此方程得:x1=1

10x2=

19

10

(不符合题意,舍去)

∴x=10%.

答:平均每次下调的百分率为10%.

(2)方案一:10034050398%=396900(元),

方案二:10034050-1.5310031232=401400(元),∴方案一优惠.

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