推荐下载 -一类参数取值范围问题的统一解法
一类参数取值范围问题的统一解法
在高考题中对导数有关知识的考查中总是伴随着一类求参数取值范围的问题，对此学生刚刚接触时往往不知所措.本文在此给出这类问题的一个统一解法.
一个重要结论
结论1设函数()f x 在(,)a b 内可导.若函数()f x 在(,)a b 内单调递增（减），则有''()0(()0)f x f x ≥≤.
两个重要方法 将上述问题转化为恒成立问题，进而
方法 1 运用分离参数法
方法 2 运用方程根的分布.
方法 3 运用分类讨论
运用以上结论及方法，我们便可以快速地解决这类问题了，下面以高考题为例加以说明.
例1、（2018.湖北.理17）已知向量2(,1),(1,)a x x b x t =+=-r r ，若函数()f x a b =r r g
在区间()1,1-上是增函数，求t 的取值范围.
解：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=
.23)(2t x x x f ++-='则
.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若
,
23)(,)1,1(,230)(22x x x g x x t x f -=--≥?≥'∴考虑函数上恒成立在区间,3
1)(=x x g 的图象是对称轴为由于开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在区间 （－1，1）上恒成立?.5),1(≥-≥t g t 即
.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t
5≥t t 的取值范围是故.
评注：以上方法在解决恒成立问题中用到了以下两个结论.
①[]max ()()a f x a f x ≥?≥；②[]min ()()a f x a f x ≤?≤
这两个结论在解决恒成立问题中较为常见，其同学们悉心体会. 例2、（2018.河南.文19）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 解：.163)(2-+='x ax x f 由()f x 为R 上是减函数，则要求'()0f x ≤在(),-∞+∞上恒成立从
而须且只需00a
a a
象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线.
（Ⅰ）用t 表示a ，b ，c ；
（Ⅱ）若函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，求t 的取值范围. 解：（I ）因为函数)(x f ，)(x g 的图象都过点（t ，0），所以0)(=t f ， 即03=+at t .因为,0≠t 所以2t a -=.
.,0,0)(2ab c c bt t g ==+=所以即
又因为)(x f ，)(x g 在点（t ，0）处有相同的切线，所以).()(t g t f '='
而.23,2)(,3)(22bt a t bx x g a x x f =+='+='所以 将2t a -=代入上式得.t b = 因此.3t ab c -==故2t a -=，t b =，.3t c -= （II ）解：3223()(),y f x g x x t x tx t =-=--+. 则2232y x tx t '=--
由题意，函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，则由结论1可得 '0y ≤在区间（－1，3）上恒成立.令'22()32y h x x tx t ==--，则问题转化为函数()h x 在区间(1,3)-上图像部分恒在x 轴下方.从而须且只需
(1)0(3)0h h -≤??≤?，即223202760
t t t t ?+-≤?--≤?，解之得93t t ≤-≥或. 所以t 的取值范围为(,9][3,)-∞-+∞U .
例4、（2018.浙江.文21）已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --=
若)(x f 在(,2]-∞-和[2，+∞）上都是递增的，求a 的取值范围。
解：423)(2--='ax x x f 的图象为开口向上且过点(0,4)-的抛物线, 由)(x f 在(,2]-∞-和[2，+∞）上都是递增的，则问题转化为函数'()f x 在区间(,2]-∞-和[2，+∞）上图像部分恒在x 轴上方.故须且只需
(2)0,(2)0
f f '-≥??'≥? 即{084.048≥+≥-a a ∴22a -≤≤ 所以a 的取值范围为[2,2]-. 例5、（2018.福建.理 21）已知f(x)=
2
22+-x a x (x ∈R)在区间[－1，1]上是增函数. 求实数a 的值组成的集合A ； 解：（Ⅰ）f ＇(x )=222)2(224+-+x x ax = 222)
2()2(2+---x ax x ， ∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立， 即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立.
方法一：分离参数法
当0x =时，显然成立；
当01x <≤时，x 2－ax －2≤0等价转化为2a x x
≥-在(0,1]上恒成立，易知函数2()x x x φ=-为(0,1]上的增函数，从而须且只需max ()1a x φ≥=-；
当10x -≤<时，x 2－ax －2≤0等价转化为2a x x
≤-在[1,0)-上恒成立，易知函数2()x x x
?=-为[1,0)-上的增函数，从而须且只需min ()1a x ?≤=.
综上，则有11a -≤≤，即A={a |11a -≤≤}.
方法二：方程根的分布
设h (x )=x 2－ax －2，则x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立转化为在[－1，1]上函数()h x 的图像恒在x 轴的下方，须且只需 (1)0(1)0h h -≤??≤?，即120120a a --≤??+-≤?
， 解之得11a -≤≤. 即A={a |11a -≤≤}.