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高一数学基础知识讲义函数及其性质

第二讲函数及其性质

函数及其相关概念 ⑴映射：设

,A B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f

，对于集合

A 中的任何一个元素，在集合

B 中都有唯一的元

素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A 到集合B 的映射。

记作：

:f A B →。

⑵象与原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈，如果,a b 对应那么元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫

做元素b 的原象。 ⑶一一映射：设,A B 是两个非空集合，:f A B →是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任意一个元素，在集

合

A 中都有且只有一个原象，把这个映射叫做从集合A 到集合

B 的一一映射。

⑷函数：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f

，都有唯一确定的数

y 与它对应，则这种对应

关系叫做集合

A 上的一个函数，记作：(),y f x x A =∈这里x 叫自变量，自变量的取值范围叫做这个函数的定义域，所

有函数值构成的集合，叫做这个函数的值域。

这里可以看出一旦一个函数的定义域与对应法则确定，则函数的值域也被确定，所以决定一个函数的两个条件是：定义域和对应法则。

⑸函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。 ⑹区间：

定义

名称符号

{}x a x b ≤≤ 闭区间 [],a b {}x a x b << 开区间 (),a b

{}x a x b ≤< 半开半闭区间 [),a b {}x a x b <≤

半开半闭区间

(],a b

闭区间是包括端点，开区间不包括端点。实数集R 可以表示为(),-∞+∞，

“∞”读作“无穷大”，例如：“3x ≥”可以表示为

[)3,+∞，

“4x <-”可以表示为(),4-∞-。高考要求：

了解映射的概念，理解函数的有关概念，掌握对应法则图像等性质，能够熟练求解函数的定义域、值域。

例题讲解：夯实基础

一、判断下列关系哪些是映射。

1）

,,:A Z B Z f ==平方； 2）,,:A R B R f +==平方；

3）{}11,,:A x x B R f =-≤<=求倒数；

4）{},0,1,:A N B f ==当n 为奇数时，1n →；当n 为偶数时，0n →；

5）

{},Z A C Z B -==正奇数，

:21,f n m n →=-其中,n A m B ∈∈；二、已知

()23

x f x x +=

-求()(),2f t f x +。 ()()()23

()1

223

21t f t t x x f x x x +=

-++++==

++-解：

三、求下列函数的定义域。

23y x x =+- 2230(3)(1)031

x x x x x x +-≠+-≠∴≠-≠解：且

3）

1x y

+={}

110110x 110x x x x x x x ?≠-?-≥?≤?=≠∴≤≠-≠解： 0且且四、求函数解析式：

1）已知

1)1(2

x x x f -=求)(x f 。 2）已知569)13(2

+-=+x x x f ，求)(x f 。 22

1()11()1()1

x f x x

f x x x

f x x =-∴=

∴=-解：

221

313

(1)1

()96593212254848

t x t t t f x t t t t t x x -+=--∴=?-?+-+-++-+-+解： x=

= = =

3）已知

)(x f 是二次函数，且满足,2)()1(,1)0(x x f x f f =-+=求)(x f 。

222(0)(0)1(1)(1)2211

x bx c a f C

x b x c x bx c x x bx a b bx x a b -+≠∴==+-++---=+++-=∴==-解：设a a a 2a 2()1f x x x =-+

4）若函数

)(x f 满足方程a x R x ax x

f x af ,0,,)1()(≠∈=+为常数，且1±≠a ，求)(x f 。

222222211()()(1)1()()(2)a ()()a af f x a x x

a f x af a x x f x a x a a x a

f x x

+=???

?+=??

=--=

解：（-1）（-1）

注意：求函数的解析式大致有如下几种方法：

①拼凑法；②换元法；③待定系数法；④解析法。注意因题型而选择方法。

小结：求函数的定义域，就是求使得该函数表达式有意义自变量的范围，大致有如下几种方法：①一次函数、二次函数的定义域是全体实数；

②函数表达式形式是分式的，分母不为0；

③函数表达式形式是根式的，如果开偶次方根，被开方式要大于等于零；如果开奇次方根，被开方式可以取全体实数； ④零指数幂与分数指数幂的底数不能为零；

⑤在有实际意义的解析式中，一定要由实际问题决定其定义域； ⑥多个限制条件取交集。

五、求下列函数的值域

()()4113(1)4115(3)43111

f x x x f f =-+-≤≤-=-?-+==-?+=-解： ()[]

222()241234

(2)224211(3)2343171,7f x x x x x f f y =-+≤≤=

=?=?-?+==?-?+=∴∈解：

）

y =

=∴≤解： 0y

）

y x =-

2222220

1()24

11()44

{}4

t x t x t t y t t t t t t y y =≥∴-==--

+=--=--+=--++∴≤

=1-

注意：函数的值域一定是在其定义域下控制的值域，随着所给函数定义域的不同，相同表达式的函数的值域也互不相同。在今后我们将会学习更多的新的函数和相关性质，也会对其定义域和值域在进一步探讨。知识要点二：函数性质 ⑴函数的单调性： ①定义：一般地，设

()f x 的定义域为I ：

如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当1

2x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数

()f x 在区间D 上是增函数；区间D 称为单调递增区间。

如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当1

2x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数

()f x 在区间D 上是减函数；区间D 称为单调递减区间。

②复合函数的单调性：同增异减 ⑵函数的奇偶性 ①设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，

且

()()f x f x -=-，则这个函数叫奇函数。

（如果已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出()00f =）

设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，

若()()g

x g x -=，则这个函数叫偶函数。

从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对称。也就是说当

x 在其定义域内时，x -也应在其定义域内有意义。

②图像特征

如果一个函数是奇函数?这个函数的图象关于坐标原点对称。如果一个函数是偶函数?这个函数的图象关于y 轴对称。

③复合函数的奇偶性：同偶异奇。

高考要求：掌握函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。

命题趋向：这一部分历来是考试重点，在函数的对应法则、定义域、值域，判断函数的单调性，奇、偶性考查较多，而且对这部分知识的考查有深度有力度，在客观题中主要考查一、两个性质，解答题中的综合运用往往是学生解题能力的体现，在这里也容易拉开学生的档次。例题讲解：夯实基础

一、判断下列函数的单调性。

()1

0,y x x

∈+∞当 121212211212

12,(0,)()()1101

()()x x x x f x f x x x x x x x f x f x y x

∈+∞>---=<∴<∴=↓证明：任取

= 是

(

)f x =[)1,x ∈-+∞

[(

)(

)()(

)()()[1212121221

1212,1,)1011

0()1,)x x x x f x f x f x f x x x x

x f x f x f x ∈-+∞>≥-==-=-++

+∴-<∴-+∞↓

证明：任取

在是 3）

()231

f x x -=

-在（11x -<<）

二、判断下列函数的奇、偶性。 1）

33y x x =-+ 奇函数

2）

()(1f x x =-

1010111x

x x x +≥-≠-∴-≤∴ 关于原点不对称. 非奇非偶

()0f x =

既是奇函数，又是偶函数.

()???≤+>+-=)0()0(2

2x x x x x x x f 2222∴解： x>0 -x<0

f(x)=-x +x f(-x)=x -x

f(x)=f(-x)

f(0)=0

x<0 -x>0

f(x)=x +x f(-x)=-x -x f(-x)=-f(x)

5）

()2

212

-+-=

x x x f (

)()2220

1x x f x f x ≥+-≠∴≤≤≠≠∴=≠解：

1-x 0 -1 x -4 x 0 x 0

为奇函数

结论：函数就奇、偶性来划分可以分成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数也是偶函数。三、已知

()y f x =是奇函数，当0x >时，()221f x x x =-+，求当0x <时，()f x 得解析式。解：设0x <，则0x ->

当0x

>时，()221f x x x =-+

()()()2

22121f x x x x x ∴-=---+=++

()y f x =是奇函数，

()()()222121f x f x x x x x ∴=--=-++=---为所求0x <时()y f x =的解析式。

能力提升一、已知函数

()1

f x a =-

+，若()f x 为奇函数，求实数a 的取值。解：首先考虑定义域，知x R ∈，由奇函数的定义

()()f x f x -=-建立等式求解计算起来就比较麻烦，我们还知道已知

函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出()00f =，()00f ∴=易得1

a =

。二、、已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且()()1

1f x g x x +=

-，试求()()f x g x 与的表达式。解：令()()1

f x

g x x +=

-的x 取x -得()()1

f x

g x x -+-=

()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，

()()()(),,f x f x g x g x ∴-=-=-()()()()1111f x g x x f x g x x ?

-=??--∴?

?+=?-?

两式相加得()()222

111121

2,11111x x f

x f x x x x x x --++=

+==∴=+---- 两式相减得()()

222111122,11111

x x x x

g x g x x x x x x -++-=-==∴=-+--- 三、设()x f y =的定义域是R ，对于任意y x ,都有()()()0,>+=+x y f x f y x f 时()()12,0-=

①

()x f y =的奇、偶性并加以证明；②()x f y =在R 上的单调性并加以证明。③求在[]6,6-上的最值。

0-==∴-=∴解：（1）令y=-x 则有f(0)=f （x ）+f(-x) f(0)f （x ）f （-x ） f(0)

f （x ）f （-x ） y=f （x ）是奇函数。

解：在定义域任取21,x x ，且21

x x >

那么令

)(0)()()(,21212121212

1<-∴>->-+=-∴-==x x f x x x x x f x f x x f x y x x 且又上是单调递减

在是奇函数

又R x f x x x f x f x f x f x x f x f x f x f )()()(0

)()()()()()(2

121212122∴><∴<-=--=-

第三讲基本初等函数

一次函数与二次函数知识点的回顾

（表一）

（表二）指数与指数函数

⑴a 的n 次方根的定义：一般地，如果n

a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈

当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根是负数表示为n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，

这两个数互为相反数可以表示为±

负数没有偶次方根。 0的任何次方根都是0。式子

n 叫做根指数，a 叫做被开方数。

⑵n 次方根的性质：①当n 为奇数时，

a =；当n 为偶数时，

,0,

,0;

a a

a a a ≥?==?

⑶分指数的意义：)0,,,1m n

a a m n N n =

>∈>；()10,,,1m n

m n

a m n N n a

>∈>

注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义。 ⑶有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈

①r

s r s a

a a += ②()r s rs a a = ③()r

r r ab a b =

⑷指数函数及其性质 ①一般地，函数

()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R 。

②通过描点我们得到指数函数在底数取不同范围时的大致图象，现将函数性质总结如下：

一点建议：学好函数一定要对函数的各个性质非常了解，死记硬背是不能达到掌握的要求的，那么在这里给同学们一点建议，准确掌握函数的基本图象，从图象中挖掘函数的相关性质。对数与对数函数 ⑴一般地，如果()0,1x

N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：log a x N =其中a 叫做对数的底

数，N 叫做真数。

根据对数的定义我们可以得到对数与指数间的关系：

0,1,log x a a a a N x N >≠=?=当时

这时我们可以看出负数和零没有指数，且log 10,log 1a a a ==。

⑵对数的运算性质：如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么

①()log log log ;a a a M N M N ?=+②log log log ;a

a a M

M N N

=- ③log log n a

a M n M =⑶指数函数及其性质log a y x =

①一般地，函数

()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞。

②通过描点我们得到对数函数在底数取不同范围时的大致图象，现将函数性质总结如下：

指数函数与对数函数是高中阶段的两个很重要的函数，在高考中历来都有题目出现对这两个的函数性质要做到掌握精准，运用熟练。

高考要求: 1）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和运算性质。 2）理解对数的概念，掌握对数的运算性质和对数函数的性质和图象。

3）能够利用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。例题讲解夯实基础一、选择题 1）集合

{}{}2223,,231,A y y x x x R B y y x x x R

==-+∈==-+∈则A B

?等于（

B ）

()(){}.1,5,2,3A - {}.2B y y ≥ 1.28C y y ??-≤≤???? 1.8D y y ??

≥-???

2）若函数

()2

f x ax ax =

++的定义域为R ，则a 的取值范围为（ C ） 16.,9A ??-∞ ??? 16.,9B ??+∞ ??? 16.0,9C ?????? 16.0,9D ??

???

二、计算

1）

()13

9110

(ab ab a b

== )

2）

21123

x y x x y y

-++112112333333

21123

1133

()()

x y x x y y x x y y

x y

-++++-=

三、比较大小 1）已知1.4

1.4,m

>则___m n 2）1133

m n

>，则___m n

3）已知0.60.6,m

n >则___m n 4） 2.531.7___1.7

5）0.3

0.20.8

___0.8-- 6）0.30.10.8___4.9--

参考答案：>,>,<,<,>，>.

四、设 1.5

0.90.48

12314,8,2y y y -??=== ?

，比较

123,,y y y 的大小。

解：

1.830.48 1.51232,2,2y y y ?=== 1.8 1.44 1.51232,2,2y y y ===

2x y =是增函数，132y y y ∴>>。

五、计算7

lg lg142lg lg 7lg183

=-+-中的x 。

解：7lg lg142lg lg 7lg183x =-+- 2

7lg14lg lg 7lg18

39147

49lg lg118

x ??

=-+- ?????==∴= 六、求2391x x y =?++的值域。

解：设3

t =>，2221(1)y t t t =?++=+，

而 {}0,01,1,|1t y y y >∴>-∴>∴>。

能力提升 1．求

()2log 34a y x x =--的单调区间。

解：先求定义域2

34014x x x x -->?<->或，

由于底数a 没有明确范围，∴要以底数a 分类。

设

2log ,34a y u u x x ==--，

1）01a <<， log a y u =为单调减函数，

234u x x =--在(),1-∞-，单调递减，复合后(),1-∞-为增区间， 234u

x x =--在()4,+∞，单调递增，复合后()4,+∞为减区间。

2）1a >，log a y u =为单调减增函数，

234u x x =--在(),1-∞-，单调递减，复合后(),1-∞-为减区间， 234u

x x =--在()4,+∞，单调递增，复合后()4,+∞为增区间。

2．已知函数

2log (3)y x ax a =-+在区间[)2,+∞单调递减，求a 的取值范围。

解：设2

ax a u -+=，对称轴2

a u =

，底数为

，∴应当按2

ax a u -+=的增区间，

∴只需2,42

a ≤≤；由定义域，当2x =时4-2a+3a>0，4a >-。 ∴44a -<≤。

3．若函数

()log (01)

a f x x a =<<在区间

[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，求a 。

解：由对数性质可知log 3log 2a

a a a =， 3(2)a a =，∴32218,81,,84

a a a a a ====±

0a >∴

a =

。

4．已知函数

11()log 1x

f x x x

--，（1）求函数

()f x 的定义域；

（2）讨论奇偶性；

（3）当(0,1)x ∈，讨论单调性。

解：（1）由0101x x x

≠??

+?>?-?，解得定义域为(1,0)(0,1)-?。

（2）

221111()log (log )()11x x

f x f x x x x x

-+-=--=-+=-+-， ∴函数()f x 为奇函数。

（3）在区间(0,1)内，任取12,(0,1)x x ∈，且设1

2x x >，

则

1212221122

111

1()()log log 11x x f x f x x x x x ++-=

-----

由

212112212111(1)(1)(1)(1)

11(1)(1)

x x x x x x x x x x +++--+--=----

12122112212121112()

0(1)(1)(1)(1)

x x x x x x x x x x x x x x -+--+-+-=

=>----

12()()0f x f x ->，∴在(0,1)单调递减，

因为是奇函数，所以()10f x -在（，）单调递减。

高一寒假讲义1 集合的概念及表示

集合的概念及表示含答案知识梳理 1、集合的概念：一般的我们把研究对象统称为，把一些元素组成的总体叫做。 2、集合的3个性质：?? ???的元素顺序无关无序性：集合与组成它元素是互不相同的互异性：集合中任两个必须是确定的确定性：集合中的元素 3、元素与集合的表示：我们通常用来表示集合，用来表示元素。 4、元素与集合的关系：①如果a 是集合A 的元素，就说a A ，记作：A a ∈ ②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作：注意：属于或不属于（?∈,）一定是用在表示元素与集合间的关系上。 5、集合的分类：（集合含有有限个元素）；无限集（集合含有个元素）；空集（不含任何元素的集合，用记号表示）。 6、常用集合的表示：自然数集（非负整数集）记作N ；正整数集记作()+N N *；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R 。注意：（这些特定集合外面不用加{}） 7、集合的表示：（1）：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来的表示方法。注意：一般用列举法，元素是有限的，在不产生歧义的情况下，无限集合也可以用列举法，例：正整数集合｛1，2，3，4，…｝．（2）：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例：{} 4>=x x B （如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。（3）：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。

知识典例题型一基本概念例1 下列各组对象中能构成集合的是（） A ．充分接近3的实数的全体 B ．数学成绩比较好的同学 C ．小于20的所有自然数 D ．未来世界的高科技产品【答案】C 巩固练习 1、判断下面例子能否组成集合？（1）大于3小于12的所有偶数；（2）我国的小河流。 2、判断下面例子能否组成集合？中国的直辖市；（2）身材较高的人 3、已知元素2x 在集合｛1，0，x ｝内，求实数x 的值 4、集合｛a ，b ，c ｝中元素是三角形三边，则这个三角形不可能是三角形．题型二元素与集合的关系例 2 用符号“∈”或“?”填空：（1）2_____N ；（2）3Q ；（3）13______Z ；（4）3.14______R ；（5）3-______N ；（69Q . 【答案】∈ ? ? ∈ ? ∈ 巩固练习 1、用符号“∈”或“?”填空（1）N __0 （2）Z _____14.3 （3）Q ______π （4）N _____14.3 2、下列写法正确的是（） A ．??{}0

高中数学函数常用函数图形及其基本性质

高中数学函数常用函数图形及其基本性质 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

常见函数性质汇总常数函数f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线一次函数f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓；图象及其性质：直线型图象。b=0；k>0；k<0 定义域：R 值域：R 单调性：当k>0时，当k<0时奇偶性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性；反函数：有反函数。K=±1、b=0的时候周期性：无补充：一次函数与其它函数之间的lianxi 1、与一元一次函数之间的联系 2、与曲线函数的联合运用反比例函数f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限；双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线；既是中心对成图形也是轴对称图形定义域：),0()0,(+∞-∞ 值域：),0()0,(+∞-∞ 单调性：当k>0时；当k<0时奇偶性：奇函数反函数：原函数本身周期性：无 x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b x y O f (x )=x k

补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个— —⑴直接带入，李永二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图）f (x )= d cx b ax ++(c ≠0且d ≠0) （对比标准反比例函数，总结各项内容）二次函数一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点当00时，函数图象与x 轴有两个交点（）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2≠++=a c bx ax x f 关系)0()(2≠=a ax x f 定义域：R 值域：当0>a 时，值域为（）；当0 a 时；当0