寒假第7讲动量守恒

冰面推人

在冰面上有两个静止的小伙伴A 和B ，A 推了一下B ，在B 向后退的过程中，A 发现自己也在向后退。

试着结合上一节的内容，解释一下这个现象。

动量守恒定律

当一个系统不受外力或所受外力之和为零时，这个系统的总动量保持不变，这就是动量守恒定律。 最早关注这个问题的是法国哲学家、科学家笛卡尔（R.Descartes ，1596－1650）。笛卡尔从哲学

动量守恒

小故事

第7讲 动量守恒

层面建立了一个物理量来表示宇宙间的运动量，而运动量就是质量与速率的乘积。

1666年，荷兰物理学家、天文学家、数学家惠更斯（C.Huygens，1629－1695）向英国皇家学会提交报告，定义动量为质量和速度矢量的乘积，并完善地分析了物体在弹性碰撞中动量转移和守恒的问题。这就是我们今天的动量守恒定律。

17世纪末，德国数学家莱布尼兹（G.Leibniz，1646－1716）曾挑起动量定义之争，批判惠更斯将动量定义为矢量是错误的。1738年，荷兰数学家伯努利（D.Bernoulli，1700－1782）将莱布尼兹的表述应用到流体力学，得到了现今流体力学中最基础的伯努利方程。

动量守恒定律是自然界中最重要最普遍的守恒定律之一，它适用于从微观粒子到宏观物体、从低速到高速运动的各种情况。

【观察与思考】

问题1：站在光滑的冰面上，小孩推了大人一把，他们各向相反的方向滑去，谁的速度更快些？ 问题2：加入你置身于一望无际的冰面上，冰面绝对光滑，你能想出脱身的办法吗？

试着计算一下，当两个物体相互作用时总动量会有什么变化呢？ 【笔记】

小球m1以速度v1碰撞m2，碰后它们的速度分别变为v1’和v2’，求两小球前后动量之和的

变化

动量守恒定律：一个 不受外力或者所受外力之和为零，这个 的总动量保持不变．

p p '= 或 112211

22m v m v m v m v ''+=+ 或 120p p ??+=

【讨论与交流】

观察以下图片，讨论下面情况是否动量守恒

课堂探究

最新式的榴弹炮打台球喷气式飞机

【笔记】动量守恒定律的适用条件：

（1）：

（2）：

（3）：

应用动量守恒定律的一般步骤：

（1）分析题意，明确研究对象．

（2）受力分析，判断动量是否守恒．

（3）明确相互作用的过程，写出初末状态的动量表达式．

（4）建立动量守恒方程，代入已知量求解．

基础演练

【例1】关于牛顿运动定律和动量守恒定律的适用范围，下列说法正确的是（）A．牛顿运动定律也适合解决高速运动的问题

B．牛顿运动定律也适合解决微观粒子的运动问题

C．动量守恒定律既适用于低速，也适用于高速运动的问题

D．动量守恒定律适用于宏观物体，不适用于微观物质

【例2】关于系统动量守恒的条件，下列说法正确的是：（）

A．只要系统内存在摩擦力，系统的动量的就不守恒

B．只要系统中有一个物体具有加速度，系统的动量就不守恒

C．只有系统所受的合外力为零，系统的动量就守恒

D．只要系统所受外力的冲量的矢量和为零，系统的动量就守恒

【例3】分析下列情况中系统的动量是否守恒

A．如图2所示，小车停在光滑水平面上，车上的人在车上走动时，对人与车组成的系统

B ．子弹射入放在光滑水平面上的木块中对子弹与木块组成的系统（如图3）

C ．子弹射入紧靠墙角的木块中，对子弹与木块组成的系统

D ．斜向上抛出的手榴弹在空中炸开时

【例4】 如图所示，光滑水平面上停放着A 、B 两车，其间夹有一压缩弹簧，用手抓住小车使它们处

于静止状态，则下列说法中正确的是：（ ）

A ．若两手同时放开A 、

B 两车，则系统的动量守恒，且总为零 B ．若两手同时放开A 、B 两车，弹簧所受冲量为零

C ．若先放开右边的B 车，后放开左边的A 车，则从放开A 车后，系统的动量守恒，总动量等于零

D ．若先放开右边的B 车，后放开左边的A 车，在此运动过程中系统动量不守恒，但机械守恒

【例5】 如图所示，质量为M 的小车在光滑平地面上以速度0v 匀速向右运动。当车中的砂子从底部的

漏斗中不断流下时，车子速度将（ ）

A ．减小

B ．不变

C ．增大

D ．无法确定

【例6】 一只小船静止在水面上，一个人从小船的一端走到另一端，不计水的阻力，以下说法中正确

的是

A ．人在小船上行走，人对船的冲量比船对人的冲量小，所以人向前运动得快，小船后退得慢

B ．人在小船上行走，人的质量小，它们受的冲量大小是相等的，所以人向前运动得快，小船后退得慢

C ．当人停止走动时，因为小船惯性大，所在小船要继续向后退

D ．当人停止走动时，因为总动量守恒，所以小船也停止后退

【例7】 把一支枪水平固定在小车上，小车放在光滑水平地上，枪射出一颗子弹时，关于枪、弹、车，

下列说法正确的是（ ） A ．枪和弹组成的系统动量守恒 B ．枪和车组成的系统动量守恒

C ．因为枪、弹和枪筒之间的摩擦力很小，可以忽略不计，故三者组成的系统动量近似守恒

D ．三者组成的系统动量守恒

【例8】

一个航天飞行器甲在高空绕地球做匀速圆周运动，若它沿与运动方向相反的方向发射一枚火

箭乙，则（ ）

A ．甲和乙都可能在原高度绕地球做匀速圆周运动

B ．甲可能在原高度绕地球做匀速圆周运动，乙不可能在原高度做匀速圆周运动

C ．甲和乙都不可能在原高度绕地球做匀速圆周运动

D ．乙可能在原高度绕地球做匀速圆周运动，甲不可能在原高度做匀速圆周运动

【例9】 小车在水平地面上匀速前进，某时刻将质量相等的两个物体以相同的对地速率水平抛出，其

中一个抛出方向与车的运动方向相同，另一个抛出方向与车的运动方向相反，则抛出两物体后，小车的速度将：

A ．不变

B ．变大

C ．变小

D ．无法判断车速的变化

【例10】 如图6所示，A 、B 两物体的质量分别为3kg 与1kg ，相互作用后沿同一直线运

动，它们的s t -图像如图6所示,则A 物体在相互作用前后的动量变化是______/kg m s ?，B 物体在相互作用前后的动量变化是______/kg m s ?，相互作用前后A 、B 系统的总动量______。

【例11】 两球在光滑的水平面上相向运动，发生正碰后，两球均静止，由此可知两球在碰撞前一定有

（ ）

A ．大小相等的反向速度

B ．大小相等的反向动量

C ．相等的质量

D ．大小相等的反向加速度

【例12】 将质量为m 的铅球以大小为0v ，沿仰角为θ的方向抛入一个装着

砂子的总质量为M 的静止砂车中，如图53-2所示，设车与地面间的摩擦可忽略，则球落入砂车后，车的速度多大？

课堂探究

【观察与思考】

静止在水面上的船，人在船上移动，则会出现人动船动；人停船停；人快船快；人慢船慢。

若一个长为L、质量为M的小船停在静水中，一个质量为m的人站在船头，若不计水的阻力，当

人从船头走到船尾的过程中，船和人对地面的位移s

1和s

2

各是多少？

【笔记】

【讨论与交流】

若一个系统存在全过程动量守恒，则系统的平均动量是否守恒？

【笔记】人船模型

（1）移动距离问题分析

①若一个原来静止的系统的一部分发生运动，则根据动量守恒定律可知，另一部分将向相反方向运动．

11220m v m v -=，则2

121

m v v m =

经过时间的积累，运动的两部分经过了一段距离，同样的，有2

121

m x x m =

． ②当符合动量守恒定律的条件，而仅涉及位移而不涉及速度时，通常可用 求解．解此类题通常要画出反映位移关系的草图． （2）人船模型中，人的位移与船的位移分别为：

【例13】 有一条捕鱼小船停靠在湖边码头，小船又窄又长，一位同学想用一个卷尺粗

略测定它的质量，他进行了如下操作：首先将船平行码头自由停泊，然后他轻轻从船尾上船，走到船头后停下，而后轻轻下船，用卷尺测出船后退的距离d ，然后用卷尺测出船长L 。已知他自身的质量为m ，则渔船的质量为 A ．

()m L d d ?+ B ．

()m L d d ?- C ．m L d ? D ．()

m L d L ?+

【例14】 质量为M 的斜面体B 置于光滑的水平地面上，斜面体底边长为b,在其斜面上

放有一质量为m 的与斜面体相似的物块，其上边长为a ，且与水平面平行.系统处于静止状态，如下图所示.在物块A 从B 的顶端下滑到接触地面的过程中，斜面体B 后退的距离为( ) A ．

m M mb + B ． m M Mb + C ．m M a b m +-)( D ．m

M a b M +-)(

【例15】 载人气球原静止于高h 的高空，气球质量为M ，人的质量为m ．若人沿绳梯滑至地面，则绳

梯至少为多长？

【例16】 某人在一只静止的小船上练习射击，船、人连同枪（不包括子弹）及靶的总质量为M ，枪内

装有n 颗子弹，每颗子弹的质量均为m ，枪口到靶的距离为l ，子弹水平射出枪口时相对于地的速度为v ．在发射后一颗子弹时，前一颗子弹已射入靶中，在发射完n 颗子弹时，小船后退的距离等于（ ） A ．0 B ．

(1)nml M n m +- C ．nml

M nm

+ D ．(1)nml m n m ++

基础演练

【例17】 如图所示，AB 为一光滑水平横杆，杆上套一质量为M 的小圆环，环上系一长为L 质量不计

的细绳，绳的另一端拴一质量为m 的小球，现将绳拉直，且与AB 平行，由静止释放小球，则当线绳与AB 成θ角时，圆环移动的距离是多少？

【例18】 如图55-2所示，质量均为M 的小车A 、B ，B 车上挂有

质量为

4

M

的金属球C ，C 球相对B 车静止，若两车以相等的速率1.8/m s 在光滑的水平面上相向运动，相碰后连在一起，则碰撞刚结束时小车的速度多大？C 球摆到最高点时C 球的速度多大？

【例19】 如图所示，三辆完全相同的平板小车a b c 、、成一直线排列，静止在光滑水平面上．c 车上有

一小孩跳到b 车上，接着又立即从b 车跳到a 车上．小孩跳离c 车和b 车时对地水平速度相同．他跳到a 车上相对a 车保持静止．此后（ ）

A ．a b 、两车运动速率相等

B ．a c 、两车运动速率相等

C ．三辆车的速率关系c a b v v v >>

D ．a c 、两车运动方向相同

【例20】 在光滑的水平冰面上，甲、乙二人各乘一小车，两人质量相等，甲手中另持一小球．开始时

甲、乙均静止，甲向正东方将球沿冰面推给乙，乙接住后又向西方回推给甲．如此推接数次后，甲又将球推出，球在冰面上向东运动，但已无法追上乙，此时甲的速度v 甲、乙的速度v 乙、球的速度v 三者大小关系为（ ）

A ．v v v =乙甲≥

B ．v v v <<甲乙

C ．v v v <乙甲≤

D ．v v v <乙甲≤

【例21】 如图5－7所示，有A 、B 两质量为100M kg =的小车，在光滑水平面以相同的速率02/v m s

=在同一直线上相对运动，A 车上有一质量为50m kg =的人至少要以多大的速度(对地)从A 车跳到B 车上，才能避免两车相撞？

1． 自地面上高度为H 的一点下落一物体，不计空气阻力，物体与地面碰撞后又弹回到同样的高度，

则全过程中物体的动量随时间变化的函数关系是图中的（以向下方向为正方向）?（ ）

2． 一辆小车在光滑的水平上匀速行使，在下列各种情况中，小车速度仍保持不变的是

A ．从车的上空竖直掉落车内一个小钢球

B ．从车厢底部的缝隙里不断地漏出砂子

课后练习

C ．从车上同时向前和向后以相同的对地速率扔出质量相等的两物体

D ．从车上同时向前和向后以相同的对车速率扔出质量相等的两物体

3． 一个质量为M 的平板车以速度v 在光滑水平面上滑行，质量为m 的烂泥团从离车h 高处自由下

落，恰好落到车面上，则小车的速度大小是 A ．仍是v B ．M m Mv + C ．M m gh m +2 D ．M

m gh

m Mv ++2

4． 如图所示，质量为m 、半径为R 的小球，放在半径为2R ，质量为2m 的大空心球内。大球开始静

止在光滑的水平面上，当小球从图示位置无初速度地沿大球壁滚到最低点时，大球移动的距离是多少?

5． 将两条完全相同的磁铁（磁性极强）分别固定在质量相等的小车上，水平面光滑．开始时甲车速

度大小为3m/s ，乙车速度大小为2m/s ，方向相反并在同一直线上，如图所示： （1）当乙车速度为零时，甲车的速度多大？方向如何？

（2）由于磁铁磁性极强，故两车不会相碰，那么两车的距离最近时，乙车的速度是多大?方向如何？

物理名人

沃尔夫冈·泡利

沃尔夫冈·泡利（Wolfgang Pauli，1900.4.25－1958.12.15），奥地利理论物理学家，是量子力学研究先驱者之一。1945年，他因发现泡利不相容原理而获得诺贝尔物理学奖，这一原理涉及到自旋的理论，这是理解物质结构甚至化学的基础。

早期经历

他就读于维也纳的一所文理中学（D?blinger-Gymnasium），1918年以优秀的成绩毕业。毕业仅两个月后，神童泡利就发表了他的第一份科学论文，这篇论文是关于阿尔伯特·爱因斯坦的广义相对论。他进入慕尼黑大学，他的博士导师是物理大师阿诺·索末菲。在索末菲的严格督导下，泡利专心研究关于电离化氢分子的量力理论。1921年7月，泡利获得哲学博士学位。

索末菲很看重泡利的能力，他要求泡利为《数学科学百科全书》（Encyklop?die der mathematischen Wissenschaften）写一篇关于相对论的评审文章。在获得博士学位两个月之后，泡利完成了这篇一共有237页长的文章。爱因斯坦对这篇文章高度赞赏，并将它出版为书。直到今天，这篇文章依然是相对论最经典的参考文献。

此后一年，泡利在哥廷根大学马克斯·玻恩手下做助手，然后他又在哥本哈根的理论物理研究所工作了一年，这研究所后来变为尼尔斯·波耳研究所。从1923年到1928年，他成为汉堡大学的讲师。在这段时间里，他发展出许多现代量子力学的关键理论，尤其是提出了泡利不相容原理和非相对论性自旋理论。

科学成就

泡利在物理学上，尤其在量子力学方面，做了许多非常重要的贡献，但是泡利很少发表论文，他比较喜欢与同行（比如与他往来非常密切的尼尔斯·玻尔和沃纳·海森堡）交换漫长的信件。他的许多主意从未被发表过，而只有在他的书信中出现。他的收信人总是将他的信拷贝后给其他同行们看。泡利显然并不是很关心他的发现，因此后来没有归功于他。以下是他研究出来的，需归功于他最重要的结果：

1924年泡利提出了一个新的量子自由度（或量子数），有两个可能的值，以解释观测到的分子光谱和发展中的量子力学之间的矛盾。他还提出了泡利不相容原理，这可能是他最重要的成果了。这个原理指出任何两个电子无法同时存在于同一个量子状态。确立了四个量子数包含新的二值自由度。这个想法源自于自旋和拉尔夫·克罗尼格。一年后乔治·尤金·乌伦贝克和塞缪尔·高德斯密特证实电子自旋就是泡利所提出的新的自由度。

1926年海森堡发表了量子力学的矩阵理论后不久泡利就使用这个理论推导出了氢原子的光谱。这个结果对于验证海森堡理论的可信度非常重要。

1927年他引入了2× 2泡利矩阵作为自旋操作符号的基础，由此解决了非相对论自旋的理论。泡利的结果引发了保罗·狄拉克发现描述相对论电子的狄拉克方程式。虽然狄拉克说，他发明了这些相同的矩阵自己独立的时候，没有受泡利的影响。

狄拉克发明类似，但更大的（4 × 4）旋转矩阵使用在他的相对论治疗费米子的自旋。

1930年，泡利认为问题的β衰变。在12月4日在一封给莉泽·迈特纳的信中向莎莉迈特纳等人，泡利提出了一个到此为止电中性迄今观测到的一个小肿块、不大于1％的质子质量来解释β衰变的连续光谱。1934年恩里科·费米将这个粒子加入他的衰变理论并称之为中微子。把他的理论的β衰变。该实验首次证实中微子是在1959年中微子被实验证实，由Frederick Reines和克莱德考恩，两年半的时间才泡利的死亡。在接到消息后，他回答了一封电报：“感谢您的消息，一切涉及到他谁知道如何等待。圣保利。”

1940年泡利证明带半数自旋的粒子是费米子，带整数的自旋的粒子是玻色子。

1949年，他发表了一篇论文在泡利 - 维拉尔规范化：规范化是长远的技术，使它们在有限的计算中，有着无限的数学积分的修改。这样一方面可以识别无限量的本质理论（质量，电荷，波函数）是否形成一个有限的、可计算的设置，可以重新定义他们的实验条件值，这被称为重整化标准，并删除从量子场论无穷，而且重要的是可以计算高阶修正的微扰理论。

奇闻轶事

在物理上泡利是一个完美主义者，这不光涉及他自己的工作，也涉及到他人的工作。泡利的这种刻薄的挑剔被玻尔称为“物理学的良知”，他的同行非常尊重他的评论。他可以在他的严厉中解雇任何理论，在他的评论中为最不完善的，他最著名的评价是“完全错误”（德语：Ganz falsch）。不过有一次他对针对某位年轻物理学家的一篇论文发表的评价是“这论文不只不正确，它甚至连错误都算不上（Not even wrong）”，成为了一句物理学家中的内行笑话。后来有人将“Not even wrong”引申为与科学哲学上的可证伪性原理（principle of falsifiability）相联系的概念：从可证伪性原理的角度上讲，错误好歹算是被证伪的东西，“Not even wrong”则是连可证伪性都不具有，因而连错误都不如。

一次，意大利物理学家塞格雷做完报告，离开会议室时，泡利对他说：“我从来没听过这么糟糕的报告。”说完，泡利突然回过头，对同行的瑞士物理化学家布瑞斯彻说：“我想如果你做报告的话，情况可能更糟糕。”另一次，泡利想去一个地方，但不知道怎么走，一位同事告诉了他。后来这位同事问他那天是否找到想去的地方，他不仅没有表达谢意，反而讽刺地说：“在不谈论物理学的时候，你的思路很清晰。”

因为他的敏锐、谨慎和挑剔，使他具有一眼就能发现错误的能力。物理学界笑谈存在一种泡利效

应——泡利出现在哪里，那里的人不管是理论推导会出岔子甚至实验设备都会遭殃的奇特现象。泡利意识到此现象，对于泡利效应很欣喜。这些奇怪的事件符合他对超心理学的研究，特别是他与荣格合作的同步性概念。

他在会议时虚构的发言，另一个领先的物理学家保罗艾伦费斯特，说明了嚣张泡利的这个概念。两个人的第一次相遇，是在某一次的会议上。艾伦费斯特对泡利的论文很熟悉，而且有着相当深刻的印象。经过几分钟的交谈，艾伦费斯特说：“我想我相较于你的百科全书文章[关于相对论的]来说更喜欢你，”泡利回话说，“真是奇怪，你对于我来说，刚好相反。从此两人成了很好的朋友。

1958年泡利获颁马克斯·普朗克奖章。同年，他被发现患有胰腺癌。泡利一生始终感到奇怪，为什么单位的精细结构常数的值近似1/137。他进入苏黎世的红十字会医院后，有一次他的助手查尔斯。恩斯（Charles Enz）去看望他，泡利就问他的助手：“你看到这间房的号码了吗？”他的病房的号码是137。终其一生，泡利时常会思考一个奇异的问题──为什么无量纲的精细结构常数具有近似1/137的数值？1958年12月15日，泡利在这间病房中往生，年仅58岁。