2021届陕西省西安中学高三上学期第一次摸底考试数学(理)试题
2018届陕西省西安中学高三上学期第一次摸底考试数学（理）
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合{
}3x
M y y ==，{N x y ==
，则M
N =（ ）
A ．10,3
??????
B ．10,3
?? ???
C ．(0,)+∞
D ．1,3
??-∞ ??
?
2．下面说法正确的是（ ）
A ．命题“存在x ∈R ，使得210x x ++≥”的否定是“任取x ∈R ，使得210x x ++≥”；
B ．实数x y >是
11
x y
<成立的充要条件； C ．设p 、q 为简单命题，若“p 或q ”为假命题，则“p ?或q ?”也为假命题； D ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为假命题.
3．若函数()y f x =是函数x
y a =(0a >，且1a ≠)的反函数，其图象经过点)a ，
则()f x =( ) A ．2log x
B ．12
log x
C ．
1
2
x D ．2x
4．下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)内单调递减的函数是( ) A ．12
log y x =
B ．1y x
=
C ．3y x =
D ．
5．已知函数()26
log f x x x
=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A ．0,1
B ．1,2
C ．
()2,4 D ．()4,+∞
6．已知函数1
()||f x x x
=+
，则函数()y f x =的大致图像为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
7．已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()
21
f x
g x x =-的定义域为（） A ．[)
(]0,11,2
B ．[)
(]0,11,4
C ．[)0,1
D ．(]
1,4
8．已知13
12a -??
= ???
，13
35b -??= ???
，5
2
3
log 2
c =则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．c b a <<
C ．a b c <<
D ．b a c <<
9．已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=-，且当[
)0,2x ∈时，2()log (1)=+f x x ，则(2017)f -=（ ） A ．－2
B ．－1
C ．2
D ．1
10．函数20173()lg 23x
f x x x
+=++-，则()2log 4(2)f f +-的值为( ) A ．4
B ．－4
C ．2017
D ．0
11．设函数()()21
2
log ,0,log ,0.x x f x x x >??
=?--,则实数的a 取值范围是
( )
A ．()()1,00,1-?
B ．()(),11,-∞-?+∞
C ．()()1,01,-?+∞
D ．()(),10,1-∞-?
12．已知函数()()sin 1,
02log 0,1,0a
x x f x x a a x π???
-
??>≠>?且的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ）
A
．? ??
B
．,15??
? ???
C
．3??
? ???
D
．0,5??
???
二、填空题
13．函数f （x ）=|2x+4|+5的单调增区间为____________．
14．已知:0p a <，2:q a a >，则p ?是q ?的__________条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）
15．若函数()f x ax b =+，[4,]x a a ∈-的图像关于原点对称，则函数()a
g x bx x
=+
，[4,1]x ∈--的值域为__________．
16．已知定义在(0,)+∞上的单调函数()f x ，对任意的(0,)x ∈+∞，都有
[]5()log 4f f x x -=，则函数()f x 的图像在1
ln 5
x =
处的切线的斜率为__________.
三、解答题
17．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2
2
n a n b n -=+，求12310b b b b +++???+的值．
18．如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长为4的正三角形，PA PC ==，侧面PAC 垂直于底面ABC ，M 、N 分别是AB 、PB 的中点.
（1）求证：AC PB ⊥；
（2）求平面CNM 与平面ABC 的夹角的余弦值.
19．随机抽取某厂的某种产品400件，经质检，其中有一等品252件、二等品100件、三等品40件、次品8件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润（单位：万元）为X . （1）求X 的分布列和1件产品的平均利润（即X 的期望）；
（2）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.75万元，则三等品率最多是多少？
20．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为1
2
，直线0x y +=过其短轴的一个端点.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若过点(2,1)P 的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标.
21．设函数3
1()3
f x x bx c =
-+（,b c R ∈）. （1）若()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为21y x =+，求b ，c 的值； （2）若1b =.1
3
c =
，求证：()f x 在区间(1,2)内存在唯一零点； （3）若0c
，求()f x 在区间[]0,1上的最大值()g b .
22．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2(cosθ+sinθ)． (1)求C 的直角坐标方程；
(2)直线l ：{x =1
2t
y =1+√3
2
t
(t 为参数)与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于E ，求|EA|+|EB|的值．
23．已知函数()||f x x a =-.
(1)若不等式()3f x ≤的解集为{|15}x x -≤≤，求实数a 的值；
(2)在(1)的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.
参考答案
1．B 【分析】
首先确定集合,M N 中的元素，然后由交集定义求解． 【详解】
由题意{
}3
(0,)x
M y y ===+∞，{1
{|130}(,]3
N x y x x ==
=-≥=-∞，
∴1(0,]3
M
N =．
故选：B ． 【点睛】
本题考查集合的交集运算，考查指数函数的性质，掌握指数函数的值域是解题关键． 2．D 【分析】
根据命题的否定，充要条件，复合命题的真假及四种命题的关系判断． 【详解】
命题的否定必须否定结论，A 结论和原命题一样，错；
x y >与
11
x y
<之间没有必然联系，相互都不能推出，B 错； “p 或q ”为假命题，则,p q 都是假命题，“p ?或q ?”是真命题，C 错；
若2320x x -+=，则1x =或2x =，因此命题“若2320x x -+=，则1x =”是假命题，其逆否命题也是假命题．D 正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查命题的真假判断，掌握命题的否定，充要条件，复合命题的真假及四种命题的关系是解题基础． 3．B 【解析】
试题分析：函数x
y a =(0a >，且1a ≠)的反函数是()log a f x x =，由1log 2
a
a ==
得
12
()log f x x =.
考点：反函数. 4．B 【解析】
奇函数的B 、C 、D ，在区间(0,1)内单调递减的函数是B 5．C 【详解】
因为(2)310f =->，3
(4)202
f =
-<，所以由根的存在性定理可知：选C. 考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键. 6．B 【分析】
可分类讨论，分别判断． 【详解】
0x >时，1
()f x x x =+
是对勾函数，排除C ，D ， 0x <时，1
()f x x x
=-+是减函数，排除A ，
只有B 符合题意． 故选：B ． 【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，研究特殊的函数值，函数值的正负与变化趋势利用排除法选择正确结论． 7．C 【分析】
根据()f x 的定义域，计算()2f x 定义域，再考虑分母不为0，计算得到答案. 【详解】
函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()
21
f x
g x x =
-有意义,需使()2f x 有意义且
10x -≠ .所以10
022x x -≠??
≤≤?
解得01x ≤< 故答案为C 【点睛】
本题考查了函数定义域，属于简单题. 8．B 【分析】
,a b 由幂函数性质比较，并与1比较，c 与1比较．
【详解】
由1
3
y x -=在(0,)+∞上是减函数得113313()()25-->，且1
33()15->，而5
2
3log 12<，∴c b a <<． 故选：B ． 【点睛】
本题考查比较幂、对数的大小，幂的大小比较，可利用指数函数（同底数的幂）或幂函数（同指数的幂）的性质比较大小，同底数的对数函数的性质比较大小，不同类型的数可借助中间值如0，1，2等等比较． 9．D 【分析】
根据已知确定在0x ≥时，函数()f x 具有的周期性，然后结合偶函数定义可把自变量的绝对值变小到已知解析式的区间上． 【详解】
∵0x ≥，都有(2)()f x f x +=-，∴(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即在0x ≥时，函数()f x 具有周期性，且周期为4，
又()f x 是偶函数，
∴2(2017)(2017)(20161)(1)log (11)1f f f f -==+==+=． 故选：D ． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性与周期性，确定0x ≥时的周期性是解题关键． 10．A
【分析】
构造新函数2017
3()()2lg 3x g x f x x x
+=-=+-，是一个奇函数，由奇函数性质可求值． 【详解】
设2017
3()()2lg
3x g x f x x x
+=-=+-， 20172017
33()lg
()lg ()33x x g x x x g x x x
-+-=+-=--=-+-，()g x 是奇函数， ∴(2)(2)0g g +-=，即(2)2(2)20f f -+--=，(2)(2)4f f +-=． ∴2(log 4)(2)(2)(2)4f f f f +-=+-=． 故选：A ． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性，考查对数的运算，构造奇函数是本题的解题关键． 11．C 【详解】
因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >??
=?--,所以220log log a a a >??>-?或
()()122
log log a a a
?->-??，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-?+∞，故选C. 12．D 【分析】
本题首先可以求出函数()()
sin 102
f x x x π
??
=-< ???
关于y 轴对称的函数()g x 的解析式，然后根据题意得出函数()g x 与函数()()log 0a f x x x =>的图像至少有3个交点，最后根据图像计算得出结果． 【详解】
若0x >，则0x -<，
因为0x <时，() sin 12
f x x π??
=- ???
， 所以()
sin 1sin 122
f x x x ππ
????
-=--=-- ? ?????
， 所以若()() sin 102
f x x x π
??
=-<
???
关于y 轴对称， 则有()()sin 12
f x x f x π??-=--=
???，即()sin 102
y x x π??
=--> ???
， 设()()sin 102
g x x x π??
=-->
???
，画出函数()g x 的图像，
结合函数的单调性和函数图像的凹凸性可知对数函数与三角函数在点()5,2P -处相交为临界情况，
即要使()()sin 102
g x x x π??
=-->
???
与()()log 0a f x x x =>的图像至少有3个交点，
需要01a <<且满足()()55g f <，即2log 5a -<，解得0a <<，故选D ． 【点睛】
本题考查的是函数的对称性、对数函数以及三角函数的相关性质，主要考查如何根据函数对称性来求出函数解析式，考查学生对对数函数以及三角函数的图像的理解，考查推理能力，考查数形结合思想，是难题． 13．[)2,-+∞ 【解析】
利用零点分段法化简函数的解析式，进而可得答案． 【详解】
函数f （x ）=|2x+4|+5=212
292x x x x -+<-??+≥-?
，，，故函数f （x ）的单调增区间为[–2，+∞），
故答案为：[–2，+∞） 【点睛】
本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调区间，属于基础题． 14．必要不充分 【分析】
确定p ?与q ?对应的集合，根据集合的包含关系判断． 【详解】
由题意:0p a ?≥，由2a a >得1a >或0a <，因此:01q a ?≤≤，而[0,1][0,)+∞，
∴p ?是q ?的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分． 【点睛】
本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键． 15．1
[2,]2
-- 【解析】
函数f （x ）=ax+b ，x ∈[a ﹣4，a]的图象关于原点对称，f （x ）是奇函数． 可得：a ﹣4+a=0，且f （﹣x ）=﹣f （x ），即﹣ax+b=﹣ax ﹣b ， ∴a=2，b=0． 那么g （x ）=
2x
． 根据反比例的性质可得：x ∈[﹣4，﹣1]上，g （x ）是递减函数． ∴g （﹣1）≤g （x ）≤g （﹣4），即﹣2≤g （x ）≤1
2
-， 故答案为[﹣2，12
-]． 16．1
利用单调性求出函数解析式．然后求导数得出切线斜率． 【详解】
∵()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，
∴满足()4f x =的x 只有一个．即由[]5()log 4f f x x -=可设5()log f x x m -=，
()4f m =，5()log f x x m =+，5()log 4f m m m =+=，
∵5()log g x x x =+是增函数，且(1)1,(5)6g g ==，因此()g m m =有唯一解0m ，
∴50()log f x x m =+，1()1ln 5
f x x '=+，∴11
()1
1ln 5ln 5ln 5
f '==?．
故答案为：1． 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性，利用函数单调性确定()f x k =只有唯一解是解题关键．
17．（1）3(1)12n a n n =+-?=+；（2）2101 【解析】
（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．
由已知得()()1114{3615
a d a d a d +=+++=， 解得13{
1
a d ==．
所以()112n a a n d n =+-=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2n
n b n =+．
所以()()()()
2
3
10
12310212223210b b b b +++???+=++++++???++
()
()2310222212310=+++???+++++???+
(
)()10
2121101012
2
-+?=
+-
()
112255=-+ 112532101=+=．
考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．
18．（1）见解析；（2）1
3
【分析】
（1）取AC 中点为O ，连接,OP OB ，可证AC ⊥平面PBO ，从而得线线垂直； （2）以,,OA OB OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦值． 【详解】
（1）如图，取AC 中点为O ，连接,OP OB ， ∵,PA PC BA BC ==，所以,AC PO AC BO ⊥⊥， 而BO
PO O =，所以AC ⊥平面PBO ，
又PC ?平面PBO ，所以AC PB ⊥．
（2）由（1）∵侧面PAC 垂直于底面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ，
以,,OA OB OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
由PA PC ==，4AC BC BA ===，
得(2,0,0),(2,0,0),(0,(0,0,A C B P -，又,M N 分别是,AB PB
中点，则
M
，N
，CM =
，(2,CN =，
设平面CMN 的一个法向量为(,,)m x y z
=
，则3020
m CM x m CN x ??==???=++=?
?，
取y =
1,x z ==
，即(1,3,m =， 易知平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =，
1
cos ,31m n m n m n
?<>=
=
=+． 所以平面CNM 与平面ABC 的夹角的余弦值为13
． 【点睛】
本题考查证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角的余弦．解题关键是建立空间直角坐标系．
19．（1）分布列见解析，() 4.34E X =；（2）1% 【分析】
（1）根据样本数据求出概率，得分布列，由期望公式可计算出期；
（2）设技术革新后的三等品率为x ，与（1）类似求出X 的期望值，由此期望值不小于4.75可得x 的最大值． 【详解】
（1）X 的所有可能取值有6，2，1，－2；
252
(6)0.63400P X ==
=， 100
(2)0.25400P X ===，
40
(1)0.1400P X ===，
8
(2)0.02400P X =-==
故ξ的分布列为：
()60.6320.2510.1(2)0.02 4.34E X =?+?+?+-?=
（2）设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为，
()60.72(10.70.01)(2)0.01 4.76E x x x x =?+?---++-?=-（00.29x ≤≤）
依题意，() 4.75E x ≥，即4.76 4.75x -≥，解得0.01x ≤所以三等品率最多为1%. 【点睛】
本题考查随机变量的概率分布列，考查随机变量的期望，属于基础题．
20．（1）22
143
x y +=；
（2）直线方程为2x =，(2,0)M 或240x y +-=，3(1,)2M ． 【分析】 （1）由离心率得
1
2
c a =
，由直线过短轴端点得b =a ，得椭圆方程； （2）分类讨论，斜率不存在的直线及斜率存在的切线，斜率存在的切线用0?=可求解． 【详解】
（1）直线l 与y
轴交点为(0,
，它是椭圆短轴端点，则b =
又12c e a ==，所以222
14
a b a -=，解得2a =． ∴椭圆方程为22
143
x y +=；
（2）过(2,1)P 斜率不存在的直线为2x =，是椭圆的切线，此时切点为(2,0)M ．
过(2,1)P 斜率存在的切线方程设为1(2)y k x -=-，由22
143
1(2)x y y k x ?+
=???-=-?
得2
2
2
(34)8(12)161680k x k k k k ++-+--=，
∴2222
64(12)4(34)(16168)96(21)0k k k k k k ?=--+--=-+=，12
k =-
， 此时121x x ==，1232
y y ==
，即3
(1,)2M ．
直线方程为1
1(2)2
y x -=-
-，即240x y +-=．
切线方程为2x =，(2,0)M 或240x y +-=，3
(1,)2
M ．
【点睛】
本题考查由离心率求椭圆方程，考查直线与椭圆的相切问题．过椭圆外一点作椭圆的切线有两条，要注意考虑斜率不存在的情形．特别是设斜率k 求解时只有一解，说明还有一条是斜率不存在的．
21．（1）1b =-，53c =；（2）见解析；（3）1
1,33
()10,3b b g b b ?-
??
【分析】
（1）求出导函数，(1)2f '
=，(1)3f =可得；
（2）由零点存在定理说明存在零点，再由导数证明函数在(1,2)上是单调的，则零点唯一；
（3）求出()f x '，按照b 分类讨论()f x '
的零点和()f x 的极值点，研究函数在[0,1]上的单
调性可得最大值． 【详解】
（1）2
()f x x b '=-，所以12b -=，得1b =-，又(1)213f =+=，所以
1
33
b x -+=得53
c =
故1b =-，53
c =； （2）311()33f x x x =-+，因为1
(1)(2)103
f f =-?<，所以()f x 在区间(1,2)内存在零点，
又当(1,2)x ∈时，2
()10f x x '=->，所以()f x 在(1,2)上递增，故()f x 在区间(1,2)内存
在唯一零点. （3）3
1()3
f x x bx =
-，2()f x x b '=-， i.当0b ≤时，在[]0,1上()0f x '≥，()f x 在[]0,1上递增，所以1
()(1)3
g b f b ==- ii.当0b >时，由()0f x '=
得x =
x =
由()(0)f x f =得0x =或x =11≥即1
3b ≥
时，()(0)0g b f == 21<即103b <<时，1
()(1)3
g b f b ==-
综上可知，11,33
()10,3b b g b b ?-
??
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查导数与函数的零点，用导数求函数的最值．解题关键是由导数确定函数的单调性．
22．（Ⅰ） (x －1)2＋(y －1)2＝2． （Ⅱ）|EA|＋|EB|＝
【解析】
分析：（1）根据ρ2=x 2+y 2,x =ρcosθ,y =ρsinθ将极坐标方程化为直角坐标方程（2）将直线参数方程代入圆方程，根据参数几何意义以及韦达定理求结果. 详解： (1)在ρ＝2(cos θ＋sin θ)中， 两边同乘ρ，得ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)， 则C 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝2x ＋2y ， 即(x －1)2
＋(y －1)2
＝2.
(2)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化简得t 2－t －1＝0， 点E 所对的参数t ＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝1，t 1t 2＝－1， 所以|EA |＋|EB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝＝
.
点睛：直线的参数方程的标准形式的应用
过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是{x =x 0+tcosα
y =y 0
+tsinα .(t 是参数，t 可正、可
负、可为0)
若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则
(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α). (2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.
(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1+t 22
，中点M 到定点M 0的距离
|MM 0|＝|t |＝|
t 1+t 22
|.
(4)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0.
23．(1) 2a =;(2) m 的取值范围(5]-∞，
. 【详解】
（1）∵|x-a|≤3 ，∴a-3≤x≤a+3， ∵f （x ）≤3的解集为[-1,5] ，∴
，∴a=2．
（2）∵f （x ）+f （x+5）=|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5 又f （x ）+f （x+5）≥m 恒成立 ,∴m≤5．