2019-2020年高中数学 推理与证明 板块二 直接证明与间接证明完整讲义(学生版)

2019-2020年高中数学 推理与证明 板块二 直接证明与间接证明完整讲

义（学生版）

题型一：综合法

【例1】若,则下列结论不正确的是 ( )

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

【例2】如果数列是等差数列，则（ ）。

（A ） （B ）

（C ） （D ）

【例3】在△ABC 中若,则A 等于( )

(A) (B) (C) (D)

【例4】下列四个命题：①若,则;②若,则;③若x 、y R ，满足,则的最小值是；④若a 、b R ，

则。其中正确的是（ ）。

(A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④

【例5】下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②；③ ；④()()

()22222bd ac d c b a +≥+?+.其中不成立的有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

【例6】已知且，则在①；②；

③；④这四个式子中，恒成立的个数是 （ ）

A 1个

B 2个

C 3个

D 4个

【例7】已知均大于1，且，则下列各式中，一定正确的是 （ ）

A B C D

【例8】已知不等式对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是（ ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

【例9】、为锐角，，则a 、b 之间关系为 （ ）

A ．

B ．

C ．

D ．不确定

典例分析

【例10】设M 是内一点，且，，定义，其中m 、n 、p 分别是，，的面积，若，则的最小

值是 （ ）

A ．8

B ．9

C ．16

D ．18

【例11】若函数是偶函数，则，（a ∈R ）的大小关系是 .

【例12】设≥++=++>>>c

b a

c b a c b a 111,1,0,0,0则若

【例13】函数在（0，2）上是增函数，函数是偶函数，则,,的大小关系是 .

【例14】已知 ，向量的 夹角为，则=

【例15】定义运算，例如，，则函数的最大值为．

【例16】若，，且恒成立，则的最大值是 。

【例17】已知集合M 是满足下列条件的函数f （x ）的全体：

①当时，函数值为非负实数；

②对于任意的，都有

在三个函数)1ln()(,12)(,)(321+=-==x x f x f x x f x 中，属于集合M 的

是 。

【例18】给出下列四个命题：

①若，则；

②若，则；

③若，则；

④若，，且，则的最小值为9.

其中正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上）

【例19】如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件

（或任何能推导出这个条件的其他条件，例如ABCD 是正方形、菱形等）时，有A 1C ⊥B 1D 1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）

【例20】用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使

这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应为 .

【例21】若，求证：()()()abc a b c b c a a c b +-+-+-≥．

【例22】若，求证：

【例23】已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证

3>-++-++-+c

c b a b b c a a a c b

【例24】证明：已知：，求证：

【例25】已知求的最大值。

【例26】设，求证：．

【例27】某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的

总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 吨．

【例28】在锐角三角形中,求证:C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++

题型二：分析法

【例29】设，，，则x 与y 的大小关系为（ ）。

（A ）； （B ）； （C ）； （D ）

【例30】已知1,c a b >== ）。

(A) (B) (C) (D)a 、b 大小不定

【例31】设a 、b 、m 都是正整数，且a ＜b ，则下列不等式中恒不成立的是（ ）。

(A) (B)

(D) (D)

【例32】已知，且，则不能等于（ ）。

(A)f （1）+2f （1）+…+nf （1） (B)

(C)n （n +1） (D)n （n +1）f （1）

【例33】的大小关系是__________.

【例34】在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码xx

折合成十进制为 。

【例35】设26,37,2-=-==R Q P ，那么P, Q, R 的大小顺序

是 。

【例36】有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌

手，甲说：“是乙或丙获奖。”乙说：“甲、丙都未获奖。”丙说：“我获奖了。”丁说：“是乙获奖。”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是

【例37】若是△的三边长，求证：4442222222()a b c a b b c c a ++<++

【例38】△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，

求证：。

【例39】用分析法证明：若a>0，则。

【例40】设 a c bx ax x f )0()(2≠++=若函数与的图象关于轴对称，求证为偶函数。

【例41】自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其

再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用表示某鱼群在第年年初的总量，，且＞0.不考虑其它因素，设在第年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数.

（Ⅰ）求与的关系式；

（Ⅱ）猜测：当且仅当，满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）

【例42】设函数.

（1）证明：Z k x k x f k x f ∈=-+,sin 2)()2(ππ；

（2）设为的一个极值点，证明.

【例43】已知二次函数,

（1）若且,证明:的图像与x 轴有两个相异交点;

（2）证明: 若对,, 且，,则方程必有一实根在区间 (,) 内;

（3）在(1)的条件下,是否存在,使成立时,为正数.

题型三：反证法

【例44】下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：

请将错误的一个改正为 =

【例45】用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确

的是（ ）

( A ) 假设三内角都不大于60°； (B) 假设三内角都大于60°；

(C) 假设三内角至多有一个大于60°； (D) 假设三内角至多有两个大于60°。

【例46】已知＝2，关于p ＋q 的取值范围的说法正确的是

（ ） （A ）一定不大于2 （B ）一定不大于

（C ）一定不小于 （D ）一定不小于2

【例47】否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是 ( )

（A ）有一个解 （B ）有两个解 （C ）至少有三个解 （D ）至少有两个解

【例48】设大于0，则3个数：，，的值 ( )

（A ）都大于2 （B ）至少有一个不大于2

（C ）都小于2 （D ）至少有一个不小于2

【例49】已知α∩β＝l ，a α、b β，若a 、b 为异面直线，则 ( )

（A ） a 、b 都与l 相交 （B ） a 、b 中至少一条与l 相交

（C ） a 、b 中至多有一条与l 相交 （D ） a 、b 都与l 相交

【例50】用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反设正确的

是（ ）

A 、假设三内角都不大于60度；

B 、 假设三内角都大于60度；

C 、假设三内角至多有一个大于60度；

D 、 假设三内角至多有两个大于60度。

【例51】命题“关于x 的方程的解是唯一的”的结论的否定是 （ ）

A 、无解

B 、两解

C 、至少两解

D 、无解或至少两解

【例52】用反证法证明命题“如果那么”时，假设的内容应为_____________.

【例53】用反证法证明“，求证：中至少有一个不小于”时的假设为

【例54】用反证法证明“若＞0，则 ”时的假设为

【例55】用反证法证明命题“可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除。”那么假

设的内容是

【例56】证明：不能为同一等差数列的三项.

【例57】对于直线l ：y =kx +1，是否存在这样的实数k ，使得l 与双曲线C ：3x －y =1的

交点A 、B 关于直线y =ax （a 为常数）对称？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

【例58】已知，求证：

【例59】若均为实数，且62,32,22222πππ+-=+-=+-=x z c z y b y x a 。

求证：中至少有一个大于0。

【例60】求证：形如的正整数不能写成两个整数的平方和

【例61】若、，

(1)求证：；

(2)令，写出、、、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；

(3)证明：存在不等于零的常数p ，使是等比数列，并求出公比q 的值.

【例62】设，函数在上是单调函数.

（1）求实数的取值范围；

（2）设≥1，≥1，且，求证：.

【例63】设集合由满足下列两个条件的数列构成：

①；

②存在实数，使．（为正整数）

⑴在只有项的有限数列，中，其中123451,2,3,4,5a a a a a =====；

123451,4,5,4,1b b b b b =====；试判断数列是否为集合的元素；

⑵设是各项为正的等比数列，是其前项和，，，

证明数列；并写出的取值范围；

⑶设数列且对满足条件的的最小值，都有．

求证：数列单调递增．

【例64】设是定义在上的函数，若存在，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为上

的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为含峰区间. 对任意的上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度的方法.

（1）证明：对任意的，，若，则为含峰区间；若，则为含峰区间；

（2）对给定的，证明：存在，满足，使得由（1）所确定的含峰区间的长度不大于；

（3）选取，，由（1）可确定含峰区间或，在所得的含峰区间内选取，由与或与类似地可确定一个新的含峰区间.在第一次确定的含峰区间为的情况下，试确定，的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02,且使新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）

【例65】已知数列满足：， ，；数列满足：

．

⑴求数列，的通项公式；

⑵证明：数列中的任意三项不可能成等差数列．