经济数学基础积分学之第2章定积分
第一单元 定积分的定义
一、学习目标
通过本节课的学习，了解定积分的概念．
二、内容讲解
定积分的定义：
三、例题讲解
例题1计算定积分
?1
d x
x ．
分析：利用定积分的定义，为计算方便，可将区间]1,0[等分．
解：将区间]1,0[n 等分，每个小区间的长度为n 1
，取i ξ为每个小区间的右端点，得积分
和∑=?n
i n n i 1
1
计算积分和得∑∑
===?n
i n
i i n n n i 1
21112)1(1
2
n n n +=（等差数列求和公式．）
n 2121+
=
由此得
21
)2121(lim 1lim 1=+=?∞→=∞→∑n n n i n n
i n 由定积分的定义可知
21
d 10
=
?
x x
第二单元 N-L 公式
一、学习目标
通过本节课的学习，理解并能熟练运用N-L 公式．
二、内容讲解
1.N-L 公式：
若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则
b
a
b
a
x F a F b F x x f )()()(d )(简记为-=?
对于N-L 公式作几点说明：
①定积分是一个确定的数值，它不依赖于对原函数的选取， 即:若)(x F ,)(x G 均为)(x f 的原函数，则
b
a
b a b
a
x G x F x x f )()(d )(==?
②在公式
)
()(d )(a F b F x x f b
a
-=?
中如果把b 换成x ，就得到)
()(d )(a F x F x x f x
a
-=?
由此结果看出，定积分和变上限x 之间有确定的对应关系，这就是一个函数，即定积分
可以看作积分上限的函数．
在上式左端，积分上限x 与积分变量x 的含义是不同的．
再由等式右端可知?x a
x
x f d )(是被积函数)(x f 的一个原函数．
③
?b a
x
x f d )(与
?b a
t
t f d )(完全一样，因为
??
===b
a
b
a b a b
a
t
t f t F x F x x f d )()()(d )(
说明定积分与积分变量选取的字母无关．
④由N ——L 公式可得
??
-=a
b
b
a
t
t f x x f d )(d )(
d )(=?
a
a
x x f
三、例题讲解 例1计算
?
1
2d x
x ．
解：因为2
)(x x f =，它的一个原函数为
3
31)(x
x F =
，
得
3
13
1d 1
31
2
=
=?x x x
若将原函数换为
231)(3
+=
x x F ，同样得
31
)231(d 1
310
2
=+=?x x x
例2 计算
?-2
1
d e x
x ．
解：因为x x f e )(=，它的一个原函数为x
x F e )(=，得
1
221
2
1
e e e
d e ----==?
x x
x
例3 计算
?--1
1
2d e x
x ．
解：c x x x +-=---?21
12e 21d e
1
1
21
1
2e 2
1d e -----=?x x
x )
e (e 21
22--=-
例4 计算
?+2
32d 1x
x x ．
解：
c
x x x x ++=+?23
33
2
)1(92
d 1
20
233
20
32)1(9
2d 1+=
+?
x x x x 952=
例5计算
?
2
1
d e x
x x ．
解：c
x x x x x
+-=?
e )1(d e
21
2
1
e )1(d e x
x x x x -=?
2e =
例6 计算
?e 1
d ln x
x ．
解：c
x x x x +-=?
)1(ln d ln
e
1
e
1
)1(ln d ln -=?
x x x x 1=
四、课堂练习与作业
1．设
?
=x
t
t x F 0
2
d sin )(，求
)4(π
F '. 2．利用N-L 公式计算下列定积分：
（1）
?1
2
d x
x ；（2）
?2
1
2
d x
x ；（3）
?1
d e 2
x
x x ；（4）
?20
d cos π
x
x x .
第三单元 定积分的性质
一、学习目标
通过本节课的学习，不定积分的性质，熟悉定积分的直接积分法．
二、内容讲解
1.先回顾不定积分的性质 性质1.???
±=±x x g x x f x x g x f d )(d )(d )]()([
性质2. ??
=x
x f k x x kf d )(d )(
定积分与原函数有着密切的关系，显然定积分也有类似的性质． 2.定积分的性质： 性质1.
???
±=±b
a
b a
b
a
x
x g x x f x x g x f d )(d )(d )]()([
性质2.
??=b a
b
a
x
x f k x x kf d )(d )(
性质3.
???
+=b c
c
a
b
a
x
x f x x f x x f d )(d )(d )(
证：设)(x F 是)(x f 的一个原函数，由N ——L 公式
)()(d )(a F b F x x f b
a -=? )()(d )(a F c F x x f c
a -=?
)
()(d )(c F b F x x f b
c
-=?
)]()([)]()([d )(d )(c F b F a F c F x x f x x f b
c
c
a
-+-=+??
?=-=b a
x
x f a F b F d )()()(
这个性质对计算定积分是非常重要的．性质中的c 可以在区间],[b a 内，也可以在区间
],[b a 外．
三、例题讲解
例1计算
?+π
2d )cos 2(x
x x ．
解：
???
+=+π
π
π
20
2d cos 2d d )cos 2(x
x x x x x x
??+=π
π0
02d cos 2d x x x x π
π
00
3sin 231x x
+=3
31π=
例2
求
?-2
d 1x
x ．
解：
??
?<-≥-=-1,11,11x x x x x ???
-+-=-2
1
10
2
d 1d 1d 1x
x x x x x
??-+-=2
1
10d )1(d )1(x x x x 2
1
2
1
2
2
)1(2)1(-+
--=x x 12121=+=
四、课堂练习与作业
1．计算下列定积分 （1）
?
--21
d 1x
x ；（2）
?
+1
2d )2(x
x x ．
2．设函数????
?≤≤<≤-=10,301,)(2
x x x x x f ，求?-11)d (x x f ．
第四单元 定积分的换元积分法
一、学习目标
通过本节课的学习，掌握定积分的换元积分法．
二、内容讲解
定积分换元积分法
若??'=b
a
b
a
x
x u x u f x x f d )())((d )(1
且当a x =时，α=u ；当b x =时，β=u ．则
??
=β
α
u
u f x x f b
a
d )(d )(1
三、例题讲解
例1计算
?
-2
1
d 131
x x ．
解：
?
-2
1
d 131x x ?'--=21d )13(131
31x
x x
?--=21)13(d 13131x x ?=-52d 13113u
u u x 5
2ln 31u =)2ln 5(ln 31-=
例2计算
?-1
32d 34x
x x ．
解：令u x =-3
34，
x x u d 9d 2-= ?
-1
32
d 34x x x
?-?=1
4
)d 91(u u ?-=14
d 91u u 27
1432911
4
23=
?-=u
例3计算
)
0(d 0
22>-?a x x a a ．
分析：设法去掉被积函数的根号，将根号下的表达式用变量替换变成完全平方．用三角
公式替换．
解：令t a x sin =，t t a x d cos d =，且当0=x 时，0=t ；当a x =时，
2π
=
t ．
得
?
-a
x x a 0
2
2
d ??-=20
2
2
2
d cos sin πt t a t a a ?
=2
22
d cos π
t
t a
?
+=20
2d )2cos 1(2
π
t
t a （三角公式
22cos 1cos 2θ
θ+=
）
4)2sin 21
(2220
2
a t t a ππ
=+?= 四、课堂练习
计算下列不定积分：
（1）
?
e
1
2d ln x x x ；（2）?-202
d 4x x x ．
五、课后作业
计算下列定积分：
（1）
?
--2
2
2
7d e
x
x ；（2）
?
-
2
1
21
d e x x x
；（3）?-1
02
d 1x x x ；
（4）?32d
ln
1
x
x
x；（5）
?-
a
x
x
2d
4
.
第五单元定积分的分部积分法一、学习目标
通过本节课的学习，掌握定积分的分部积分法．
二、内容讲解
1.不定积分分部积分公式：
?
?'
-
=
'x
u v
uv
x
v u d
d
?
?-
=u
v
uv
v
u d d
2.定积分有类似的分部积分公式
?
?'
-
=
'b
a
b
a
b
a
x
v
u
uv
x
v u d
d
或
?
?-
=b
a
b
a
b
a
u
v
uv
v
u d
d
三、例题讲解
例1计算?21d e x x x
．
解：
?
?'
=2
1
2
1
d
)
e(
d
e x
x
x
x x
x??
-
=2
1
2
1
1d
e
e x
x x
x
例2计算?e1d
ln x
x
．
解
?
?'
?
=e
1
e
1
d
)
(
ln
d
ln x
x
x
x
x??
-
=e
1
e
1
d
1
ln x
x
x
x
x
1
)1
e(
e=
-
-
-
=
例3计算?20d2
sin
3
π
x
x
x
．
解：
?
?-
=2
2
d)
2
cos
2
1
(
3
d
2
sin
3
π
π
x
x
x
x
x
x
?
+
-
=2
2
d
2
cos
2
3
2
cos
2
3π
π
x
x
x2
2
sin
4
3
4
3
π
πx
+
=π
4
3
=
四、课堂练习
设
?
=x
x x x x F 0
d cos )(．试求（1）)(πF '；（2）
)2()(π
πF F F -=?．
因为
x
x x x x x F x
cos )d cos ()(0
='='?，所以ππππ-=='cos )(F ．
五、课后作业
计算下列定积分： （1）
?
3
1
2d e x
x x
；（2）
?
5
1
d ln x
x ；（3）
?
e
1
3d ln x
x x ；
（4）
?2
d 2cos π
x
x x ；（5）
?
e e
1d ln x
x .
第六单元 广义积分
一、学习目标
通过本节课的学习，了解无穷积分及收敛、发散的概念．
二、内容讲解
定积分是在有限区间],[b a 上讨论的积分问题，但有的积分问题需要在无穷区间上讨论，这就是广义积分：
广义积分（或称无穷积分）
?
?
∞+?
+∞
→=a b a b x x f x x f d )(d )(lim
?
?∞
-?
-∞
→=b b a
a x
x f x x f d )(d )(lim
在上两个定义式中，若左端的极限存在，则称右端的无穷积分收敛；若左端的极限不存在，则称右端的无穷积分发散．
三、例题讲解
例1计算广义积分
?
∞
+1
2d 1x x ．
解：
?
∞
+1
2d 1x x ?+∞→=b b x x 12d 1lim b
b x 1)1(lim -=+∞→1)11(lim =+-=+∞→b b
例2计算广义积分
?
∞
+-0
2d e x
x ．
解：?∞+-0
2d e x x ?-+∞→=b x b x 02d e lim b
x b 02e 21lim -+∞→-=21)e 1(21lim 2=-=-+∞→b b 例3计算广义积分
?∞
--0
d e
2
x
x x ．
解：
?∞--0d e 2x x x ?--∞→=0d e lim 2a x a x x ?--=--∞→0
2)(d e 2
1lim 2a x a x 0
2
e 21lim a
x a --∞→-=
21)e (121lim 2
-=--=--∞→a a
四、课堂练习
计算下列广义积分积分：
（1）
?∞
+-0
22d e
3
x
x x
；（2）
?
∞
+1
3
2
d 1x
x
．
对于无穷积分
?∞
+a
x
x f d )(，先求
?b a
x
x f d )(，再求
?+∞
→b
a
b x
x f d )(lim ，若此极限存在，它就是所求的积
分值．若此极限不存在，则
?∞
+a
x
x f d )(发散．
五、课后作业
求下列广义积分：
（1）
?∞
+-0
d e
2
x
x x ；
（2）
?
∞
+1
2d ln x x x ；（3）
?∞+4
d 1x x ．
几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法 摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计 算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明. 关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形 Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid
1. 引言 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数 )(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况: (1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ?-1 02 , ? 1 sin dx x x 等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。 (2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较． 2.几何意义上的数值算法 s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计 算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间 ,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中n a b h -= 表示小区间的长度. 2.1矩形法
定积分在经济学中的应用
定积分在经济学中的应用 摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。 关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余 引言 积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。
1 利用定积分求原经济函数问题 在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。 设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有 dx x u u x u x )()0()(0?'+= 例1 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本 C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。 解 总成本函数 dx x c c x c x ?'+='0)()0()( =dx x x x )100143(1000002+-+? =x x x x 02_3|]1007[10000++ =x x x 10071000023+-+ 2 利用定积分由变化率求总量问题 如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。 例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+=' ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。 解 所求的总产量为 dt t Q Q ?'=0 5)( 650)150200()600400(|)640()1220(10 5210 5=+-+=+=+=?t t dt t (件) 3 利用定积分求经济函数的最大值和最小值 例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为
(完整版)定积分在经济中的应用
定积分在经济中的应用 一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量 根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分： ()()()b a R b R a R x dx '-=? （1） ()()()b a C b C a C x dx '-=? （2） ()()()b a L b L a L x dx '-=? （3） 例1 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/t ），边际成本为5（万元/t ），求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ，总成本C ()x ，利润 ()I x 的改变量（增量） 。 解 首先求边际利润 ()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+ 所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出： 300 250 (300)(250)()R R R x dx '-=?300250(0.0825)x dx =-+?=150万元 300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==? ?=250万元 300 300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+??=-100万元 二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率 设某经济函数的变化率为()f t ，则称 2 121 ()t t f t dt t t -? 为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率。 例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数：
定积分在生活中的应用
PINGDINGSHAN UNIVERSITY 院系 : 经济与管理学院 题目 : 定积分在生活中的应用 年级专业: 11级市场营销班 学生姓名 : 孙天鹏
定积分在生活中的应用 定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。 一、定积分的概述 1、定积分的定义： 设函数()f x 在区间[],a b 上有界. ①在[],a b 中任意插入若干个分点011n n a x x x x b -=<< <<=,把区间[],a b 分成 n 个小区间[][][]01121,,,, ,,,n n x x x x x x -且各个小区间的长度依次为110x x x ?=-， 221x x x ?=-，…，1n n n x x x -?=-。 ②在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作函数()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积 ()i i f x ξ?（1,2, ,i n =） ， ③作出和 ()1 n i i i S f x ξ==?∑。记{}12max ,,,n P x x x =???作极限()0 1 lim n i i P i f x ξ→=?∑ 如果不论对[],a b 怎样分法，也不论在小区间[]1,i i x x -上点i ξ怎样取法，只要当 0P →时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()f x 在 区间[],a b 上的定积分（简称积分），记作()b a f x dx ?，即 ()b a f x dx ?=I =()0 1 lim n i i P i f x ξ→=?∑, 其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],a b ??叫做积分区间。
8第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法
泰山学院信息科学技术学院教案
第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法 一、不定积分 1不定积分的概念 原函数：若在区间 上)()(x f x F ='，则称)(x F 是的一个原函数. 原函数的个数: 若 是 在区间 上的一个原函数, 则对 ， 都是在区间 上的原函数；若 也是 在区间 上的原函数，则必有 . 可见，若 ，则 的全体原函数所成集合为{│ Ｒ}. 原函数的存在性: 连续函数必有原函数. 不定积分：的带有任意常数项的原函数称为的不定积分。记作 ?dx x f )( 一个重要的原函数：若)(x f 在区间上连续，I a ∈，则 ? x a dt t f )(是的一个 原函数。 2不定积分的计算 (1)裂项积分法 例1：dx x x dx x x dx x x )1 21(1211122 242 4???++-=++-=++ C x x x ++-=arctan 23 3 。 例2：???+=+=dx x x dx x x x x x x dx )sec (csc sin cos sin cos sin cos 222 22222 例3：22 22 22(1)(1)(1)dx x x dx x x x x +-==++??221arctan 1dx dx x C x x x -=--++?? (2)第一换元积分法 有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分cos 2xdx ? ，如果凑上一个常数因子2，使成为 ()11cos 2cos 2cos 2222xdx x xdx xd x = ?=???C x +=2sin 2 1
分段函数的原函数与导函数论文
数学与统计学学院 中期报告 学院: 数学与统计学学院 专业: 统计学年级:2009 题目: 分段函数的原函数与导函数学生姓名: 马颖峰学号:09063207 指导教师姓名:俞诗秋职称:副教授 2011年6月1日
目录 摘要 ........................................................................ 1 关键词 ...................................................................... 1 引言 ........................................................................ 2 1. 分段函数 ............................................................... 2 2. 分段函数的原函数 ....................................................... 2 2.1 分段函数()f x 在区间[,]a b 上连续的情形下的原函数问题 ................ 2 2.2 分段函数()f x 在区间[,]a b 上x c =点处具有第一类间断点的情形 ......... 3 2.3 分段函数()f x 在[,]a b , 上x c =处具有第二类间断点的情形[3] (4) 3. 关于分段函数求导问题的探究 ............................................. 5 3.1 函数在分界点处不连续的情况 ......................................... 5 3.2 函数在分界点处连续的情况 (5) 结论 ........................................................................ 9 参考文献 (9)
计算不定积分应该注意的几个问题
arccos求导目录 摘要 1 关键词 1 Abstract 1 Keywords 1 引言 1 1 基本概念、定理及公式 2 2 直接积分法易犯错误举例剖析 3 2.1 运算中漏掉“”、“” 3 2.2 自创运算法则致误 3 2.3 对公式的错误运用 4 2.4 对公式的错误运用 4 3 第一换元积分法应注意问题 5 3.1 牢记凑微分公式 5 3.2 注意解的不同表示方法 6 4 第二换元积分法中易犯错误剖析 6 5 分部积分法应注意事项 8 6 计算某类特殊积分注意事项 9 6.1 有理函数的不定积分 9 6.2 分段函数的不定积分 10 参考文献 12 致谢 13
计算不定积分应该注意的几个问题 关键词不定积分直接积分法换元积分法分部积分法特殊积分法 Indefinite Integral Calculation Should Be Noted That Several Issues Abstract Indefinite integral is a concept which is basic and important,we shoud use various techniques flexibily and the type of product function and features to calculate the indefinite integral, Integration becomes into an area of mathematics teaching which is rich in paper collates and analyzes the error-prone issues which we use various methods to calculate the indefinite integral, these issues are analyzed and as: direct integration method, integration by first substitution, integration by second substitution,division integral method,and special integral method. Key words Indefinite integral Direct integral method Integration by substitution 引言不定积分是求导的逆运算，对不定积分的理解和掌握不仅涉及到微积分本身的学习，而且影响到学习线积分、面积分及重积分等后继内容学习，我们在初学这些内容时容易出现一些普遍的错误，下面我们将对这些错误进行剖析，以便更好的掌握这部分知识. 定义1 设函数与在区间上有定义.若 则称为在区间上的一个原函数. 定义2 函数在区间上的全体原函数称为在上的不定积分,记作 其中称为积分号,为被积函数,为被积表达式,为积分变量. 注意函数不定积分是一个函数族,求函数的不定积分或原函数时,注意被积函数的定义域是很重要的因素,要引起足够的重视. 定理2 设是在区间上的一个原函数，则 也是在上的原函数，其中为任意常量函数； 在上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数. 定理3 若函数与在区间上都存在原函数，、为两个任意常数，则 上也存在原函数，且
2018考研数学中求分段函数的不定积分问题
2018考研数学中求分段函数的不定积分问题 来源：文都教育 2017考研初试已经落下帷幕，17的考生此时在为复试做准备，18的考生们，是时候开启自己的复习道路啦！文都考研数学老师认为，17年真题所考查的知识点，值得2018考研考生重点学习和记忆。今天文都考研数学老师针对2018考研数学中求分段函数的不定积分问题，为大家进行详细的解答，帮助2018年的考研学子把握复习备考的命题方向！ 一、解题思路分析 求分段函数的原函数（不定积分） 先考虑函数在分段点处的连续性，如果连续，可按下述步骤求之： （1）分别求出函数的各分段函数在相应区间内的原函数（不定积分）。 （2）因函数在分段点处连续，故在包含该分段点的区间内原函数存在。这时应根据原函数的连续性（或可导性）确定各区间上任意常数的关系，将各分段区间的原函数在分段点处连续地连接起来，将各段上的任意常数i C 统一成一个任意常数。先用分段积分法求出分段函数()x f 的一个原函数()()dt t f x F x a ?=，然后写出()x f 的原函数()()C x F dx x f +=?，其中C 为任意常数。 如果分段函数在分段点不连续，且分段点为函数的第一类间断点，则在包含 该点的区间内不存在原函数。这时函数的不定积分只能在不包含该点的各个分段区间内得到。 二、例题解析 例1 已知()?? ???>≤<+<=,1,2,10,1,0,132x x x x x x f 则求()dx x f ?. 解析：由题意得： 因()x f 在点0=x 处无定义，而()00+f 及()00-f 均存在，故0=x 为()x f 的第一类间断点，所以在()+∞∞-,内()x f 不存在原函数，而在点1=x 处()x f 连续，故()x f 的不定积分只能分别在区间()0,∞-()+∞,0内得到。 综上所述，()?????>+≤<++<+=?,1, ,10,3,0,34231x C x x C x x x C x dx x f 因()x f 在点1=x 处连续，故()x f 的原函数在点1=x 处也连续。于是有 ()()()() ,2lim lim 3lim lim 34112311C x x F C x x x F x x x x +==++=++--→→→→ 即223652134C C C +=-+=。 综上所述，()?????>++≤<++<+=?, 1,65,10,3,0,24231x C x x C x x x C x dx x f 其中1C 与2C 是两个独立的常数。
定积分的应用本科毕业论文开题报告
一、选题的性质 二、选题的目的和意义 选题目的：定积分作为函数的一种特定总和式的极限，是数学知识的重要基础。通过典型问 题，从不同角度，对定积分的特点进行整体把握，探讨定积分在几何学、物理学、以及经济学中 的应用，加强对定积分思想的认识，提供用定积分分析解决实际问题的方法 。 选题意义：定积分是与应用联系发展起来的，是微积分中的一个重要基本概念，是从实际问 题中抽象出来的数学概念，是解决许多实际问题的工具。 在数学方面如求解复杂图形，求数列极限，证明不等式等；而在物理方面，正是由于定积分 的产生与发展，才使得物理学中的精确计算成为可能，从而使物理学得到长足的发展，如：气象、弹道的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等，都要用的到积分；把定积分应用到经济 管理学中，可以使一些经济现象更明确，使管理更科学化。 三、与本课题相关的国内外研究现状，预计可能有所创新的方面 研究现状：牛顿，莱布尼茨以无穷思想为据，从不同的角度运用了定积分的思想方法创立了 微积分，在这新的领域上定积分的思想和方法展现出了勃勃生机，为定积分思想的进一步完善奠 定了坚实的基础。定积分理论的建立，使数学摆脱了许多与无穷有关的悖论和困扰，对于培养人 的思维方法，提高分析、解决问题方面有极好的促进作用。定积分作为微积分的重要组成部分， 在几何、物理、经济等方面有着广泛的应用，目前，探究定积分应用的文章非常之多，研究范围 也是相当广泛的。在几何学方面，可以用来计算平面图形面积，立体、旋转体的体积，弧长等； 在物理学方面，压力、引力，变力做工，运动轨迹的计算，运动状态分析等也都用到定积分知识； 在经济学方面可以用来解决消费过剩，收入流等实际问题。也正是因为这些应用，推动着积分学 的不断发展和完善。 预计创新方面：通过典型例题，从定积分的公式、性质及定积分中值定理出发，来介绍定积 分在几何、物理、经济等领域的应用，在前人的基础上对定积分的典型应用进行研究讨论，寻找 简单的用定积分解决实际问题的方法。 四、课题研究的可行性分析 定积分是函数的一种特定总和式的极限，是数学知识的基础，对定积分的一些公式、性质、 定积分中值定理已有深刻的理解，通过常见的定积分例题，从不同角度分析、研究定积分的特点，更容易把握和理解。再看近几年的几何、物理，经济等方面的研究，尤其是几何学，定积分在这 些研究中扮演着相当重要的角色，而事实也证明定积分的思想确实给相关研究带来很大的方便。 所以研究好定积分不单是数学界的问题，更是整个学术界共同的任务。而对其分析研究的结果也 必将给以后各方面的课题研究带来意想不到的便捷之处。
定积分在经济中的应用习题解答
定积分在经济中得应用习题解答 1．设商品的需求函数1005Q p =-（其中：Q 为需求，p 为单价）、边际成本函数 ()150.05C Q Q '=-且()012.5C = 问：当p 为什么值时？工厂的利润达到最大？试求出最大利润. 解 收益函数为 R (p ) = 100 p -5 p 2 成本函数为 0()(150.05)(0)Q C Q t dt C =-+? 21 1512.540 Q Q =-+ 由已知将Q = 100 - 5p 代入上式，得 25()501262.58C p p p = -+ 于是利润函数为 L (P )= R (p ) - C(p ) 2451501262.58 p p =- +- 令245'15004L p =-+= 12012045120,'()07727 p L ==-?<得 且 故当1207 p = 时利润达到最大，且最大利润 max L (1207)=23.12. 2. 某厂生产的某一产品的边际成本函数 ()231833C Q Q Q '=-+ 且当产量为3个单位时，成本为55个单位，求： (1) 成本函数与平均成本函数； (2) 当产量由2个单位增加到10个单位时，成本的增量是多少？ 解 (1) 因为 20()(31833)Q C Q Q Q d Q =-+? 32933Q Q Q C =-++ 由已知当产量Q 为3时，成本为55，代入上式得C = 10, 于是 成本函数为
32()93310C Q Q Q Q =-++ 平均成本函数为 2()10()933C Q C Q Q Q Q Q ==-++ (2) 当产量由2个单位增至10个单位时，成本的增量是 ?C (Q ) = C (10) – C (2) = 392. 3. 已知生产某产品的固定成本为6万元，边际收益与边际成本（单位:万元/百台）分 别为 '()338R Q Q =-，2()31836C Q Q Q '=-+ (1) 求当产量由1百台增加到4百台时，总收益与总成本各增加多少？ (2) 求产量为多少时, 总利润最大？ (3) 求最大总利润时的总收益、总成本、总利润. 解 (1)由公式得总收益与总成本的增量为 4 1(338)39Q dQ -=?(万元) 421(31836)36Q Q dQ -+=? (万元) (2)由极值存在的必要条件： 边际收益'()R Q ＝边际成本()C Q ' 即 338Q -＝231836Q Q -+ 解得121,33 Q Q ==，又由极值存在的充分条件： "()(338)'8R Q Q =-=-,2()"(31836)'618C Q Q Q Q =-+=- 显然，3Q =满足充分条件，即获得最大总利润的产量是3Q =百台. (3) 由公式得最大总利润总收益与总成本 3 0(338)63Q dQ -=? (万元) 320(31836)60Q Q dQ -+=? (万元) 所以
定积分概念说课稿
定积分的概念说课稿 一、教材分析 1、教材的地位和作用 本节课选自二十一世纪普通高等教育系列教材《高等数学》第三章第二节定积分的概念与性质，是上承导数、不定积分，下接定积分在水力学、电工学、采油等其他学科中的应用。定积分的应用在高职院校理工类各专业课程中十分普遍。 2、教学目标 根据教材内容及教学大纲要求，参照学生现有的知识水平和理解能力，确定本节课的教学目标为： （1）知识目标：掌握定积分的概念，几何意义和性质 （2）能力目标：掌握“分割、近似代替、求和、取极限”的方法，培养逻辑思维能力和进行知识迁移的能力，培养创新能力。 （3）思想目标：激发学习热情，强化参与意识，培养严谨的学习态度。 3、教学重点和难点 教学重点：定积分的概念和思想 教学难点：理解定积分的概念，领会定积分的思想 二、 学情分析 一般来说，学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受很快，有的接受很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，综合教材内容，我以板书教学为主，多媒体课件为辅，把概念性较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探究性学习。 三、教法和学法 1、教法方面 以讲授为主：案例教学法（引入概念）问题驱动法（加深理解）练习法（巩固知识）直观性教学法（变抽象为具体） 2、学法方面： 板书教学为主，多媒体课件为辅（化解难点、保证重点） （1）发现法解决第一个案例 （2）模仿法解决第二个案例 （3）归纳法总结出概念 （4）练习法巩固加深理解 四、教学程序 1、组织教学 2、导入新课： 我们前面刚刚学习了不定积分的一些基本知识，我们知道不定积分的概念、几何意义和性质，今天我们要学习定积分的概念、几何意义和性质。 3、讲授新课（分为三个时段） 第一时段讲授 概念： 案例1：曲边梯形的面积如何求？ 首先用多媒体演示一个曲边梯形，然后提出问题 （1）什么是曲边梯形？ （2）有关历史：简单介绍割圆术及微积分背景 （3）探究：提出几个问题（注意启发与探究）
抽样函数的积分
这个函数是不可积的，但是它的原函数是存在的，只是不能用初等函数表示而已。习惯上，如果一个已给的连续函数的原函数能用初等函数表达出来，就说这函数是“积得出的函数”，否则就说它是“积不出”的函数。比如下面列出的几个积分都是属于“积不出”的函数 ∫e^(-x*x)dx,∫(sinx)/xdx,∫1/(lnx)dx,∫sin(x*x)dx ∫(a*a*sinx*sinx+b*b*cosx*cosx)^(1/2)dx(a*a不等于b*b) -------------------------------------- 以下是从别人那粘贴过来的..原函数我也不知道,不过希望下面的对你有帮助 ___________________________________ 下面证明∫sint/tdt=π/2(积分上限为∞，下限为0） 因为sint/t不存在初等函数的原函数，所以下面引入一个“收敛因子”e^(-xt)(x>=0),转而讨论含参量的积分。 I(x)=∫e^(-xt)sint/tdt (积分上限为∞，下限为0） 显然： I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞，下限为0） I`(x)=∫?（e^(-xt)sint/t)/?x dt (积分上限为∞，下限为0） =∫e^(-xt)sin(t)sint(积分上限为∞，下限为0） =e^(-xt)(xsint+cost)/(1+x^2)|(上限为∞，下限为0） =-1/(1+x^2) 从而有 I(x)=-∫(1/(1+x^2))dx=-arctan(x)+C (1) |I(x)|=|∫e^(-xt)sint/tdt| ≤∫|e^(-xt)sint/t|dt ≤∫e^(-xt)dt =-(1/x)*e^(-xt)|(对t的积分原函数，上限为∞，下限为0） =1/x －－>0 (x－－>+∞) 即lim(I(x))－－>0 (x－－>+∞) 对（1）式两端取极限： lim(I(x))(x－－>+∞) =-lim(-arctan(x)+C ) (x－－>+∞)
经济数学基础——定积分在经济学中的应用
河北省高等教育自学考试 定积分在经济学中的 应用 ——定积分在经济学中的应用 地市:沧州市 专业:投资管理 姓名:郭梦帆 准考证号:1 身份证号: 联系电话:
内容摘要 经济数学基础本着基础教学为专业服务及注重应用、培养能力的原则,根据微积分、线性代数、概率统计的基本知识逻辑,以知识介绍为重点,详略得当;叙述上力求简明、通俗,又不失科学性。 关键词: 定积分微分经济学边际函数投资 经济数学基础知识点 1、一元函数极值 设函数f(x)在X0的一个邻域内有定义,若对于该邻域内异于X0的X 恒有:f(x)
求定积分的原函数
求定积分中被积函数的原函数 利用微积分基本定理以求定积分的关键是求出被积函数的原函数，即寻找满足()()F x f x '=的函数()F x .如何求出一个被积函数的原函数呢？我们知道求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，所以要求被积函数的原函数，首先要明确它们之间的关系：原函数的导数就是被积函数，并且导函数是唯一确定的，而被积函数的原函数是不唯一的.即若()()F x f x '=，则被积函数()f x 的原函数为()F x c +（c 为常数）. 类型一 被积函数为基本初等函数的导数 求这种类型被积函数的原函数，关键是要记准上述基本初等函数的导数公式，找到对应的被积函数.由基本初等函数的导数公式可知：若()f x 是被积函数，()F x 为原函数，则有： 若()f x k =，则()(,F x kx c k c =+为常数）； 若()m f x x =，则11()(1,1m F x x c m m m += +≠-+，c 为常数）； 若1()f x x =，则()ln (F x x c c =+为常数）； 若()x f x e =，则()(x F x e c c =+为常数）； 若()x f x a =，则()ln x a F x c a =+（其中0,1,,a a a c >≠为常数）； 若()sin f x x =，则()cos F x x c =-+（c 为常数）； 若()cos f x x =，则()sin F x x c =+（c 为常数）. 例1 计算以下积分： （1）2 2 11(2)x dx x -?；（2）30(sin sin 2)x x dx π-?. 分析：解决问题的关键是找出被积函数的一个原函数，根据积分的性质，先求出一些简单被积函数的原函数，然后再进行相应的运算.显然，只由熟练掌握常见函数的导数公式，才会比较熟练地找出相应的原函数.2x 的一个原函数为313x ，1x 的一个原函数为ln x ；sin x 的一个原函数为cos x -，sin 2x 的一个原函数为1cos 22 x -. 解：（1）函数212y x x =-的一个原函数是32ln 3 y x x =-， 所以2122311216214(2)(ln )(ln 2)(ln1)ln 23333 x dx x x x -=-=---=-?. （2）函数sin sin 2y x x =-的一个原函数是1cos cos 22 y x x =-+，
定积分在经济学中的应用
论文题目 定 积 分 在 经 济 学 中 的 应 用 系别：数学系 专业：数学与应用数学 学号：2007101208 姓名：卢欢
定积分在经济学中的应用 摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。 关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余 引言 积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。
1 利用定积分求原经济函数问题 在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。 设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有 dx x u u x u x )()0()(0?'+= 例1 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。 解 总成本函数 dx x c c x c x ?'+='0)()0()( =dx x x x )100143(100000 2 +-+ ? =x x x x 2_ 3|]1007[10000++ =x x x 100710000 2 3 +-+ 2 利用定积分由变化率求总量问题 如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。 例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+=' ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。 解 所求的总产量为 dt t Q Q ? '= 5 )( 650 )150200()600400(|)640()1220(10 52 10 5 =+-+=+=+= ? t t dt t (件) 3 用定积分求经济函数的最大值和最小值 例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为
定积分在经济中的应用(可编辑修改word版)
? ? ? ? ? ? ? 250 250 定积分在经济中的应用 一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量 根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量 x 的变动区间[a , b ] 上的 改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[a , b ] 上的定积分： R (b ) - R (a ) = b R '(x )dx a C (b ) - C (a ) = b C '(x )dx a L (b ) - L (a ) = b L '(x )dx a （1） （2） （3） 例 1 已知某商品边际收入为-0.08x + 25 （万元/t ），边际成本为 5（万元/t ），求产量 x 从 250t 增加到 300t 时销售收入 R (x ) ，总成本 C (x ) ，利润 I (x ) 的改变量（增量）。 解 首先求边际利润 L '(x ) = R '(x ) - C '(x ) = -0.08x + 25 - 5 = -0.08x + 20 所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出： R (300) - R (250) = ? 300 R '(x )dx = ?300 (-0.08x + 25)dx =150 万元 C (300) - C (250) = 300 C '(x )dx = 300 dx =250 万元 250 250 L (300) - L (250) = 300 L '(x )dx = 300 (-0.08x + 20)dx = - 100 万元 250 250 二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率 设某经济函数的变化率为 f (t ) ，则称 t 2 f (t )dt t 1 t 2 - t 1 为该经济函数在时间间隔[t 2 , t 1 ] 内的平均变化率。 例 2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数： ?
定积分的计算方法
定积分的计算方法 摘要 定积分是积分学中的一个基本问题，计算方法有很多，常用的计算方法有四种：（1） 定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分 法。以及其他特殊方法和技巧。本论文通过经典例题分析探讨定积分计算方法，并在系 统总结中简化计算方法！并注重在解题中用的方法和技巧。 关键字：定积分，定义法，莱布尼茨公式，换元法 Calculation method of definite integral Abstract the integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, (1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attention to problem in using the methods and skills. Key words:definite integral ,definition method, Newton - Leibniz, substitute method
抽样函数定积分的计算
附注：定积分sin x dx πx +∞-∞=?的计算，有如下三种方法 (1) 利用二重积分交换积分顺序 xy 0 00sin x sin x dx 2dx 2sin xdx dy x x e +∞+∞+∞+∞--∞==???? 上式利用了偶函数的性质。对上式右端交换积分顺序有 xy xy 0000xy 002 002sin xdx e dy 2sin xe dxdy 2dy sin xe dx 12dy 1y 2arctan y π+∞+∞+∞+∞ --+∞+∞-+∞+∞===+==??????? 即 sin x dx πx +∞ -∞=? (2) 利用傅里叶变换的对偶性，即若f (t)F(j ω)?，则F(jt)2πf (ω)??-。门函数对应的傅里叶变换为 ττsin(ωτ/2)u(t )u(t )τ22ωτ/2 +--?? 根据傅里叶变换的对偶性，有 sin(t τ/2)τττ2πu(ω)u(ω)t τ/222??????-+---???? ? 由于ττu(t )u(t )22 +--关于t 是偶对称的，因此上式等价于 sin(t τ/2)τττ2πu(ω)u(ω)t τ/222??????+--???? ? 令τ = 2，有[]sin(t)22πu(ω1)u(ω1)t ???+--，根据傅里叶变换的定义得 []j ωt sin(t)e πu(ω1)u(ω1)t +∞--∞=?+--? 上式令ω = 0，即得 sin x dx πx +∞-∞=? (3) 利用留数定理。用留数计算定积分，是一个有效的方法，可以参看有关复变函数的教科书，如复变函数(西安交通大学高等数学教研室编，高等教育出版社，1996年第4版)，这里不赘述。
1.5.3定积分的概念教学设计(优秀经典公开课比赛教案)
§1.5.3定积分的概念教案 一、教学目标 ⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景； ⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分． 3．理解掌握定积分的几何意义； 二、教学重难点 重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义 难点：定积分的概念、定积分的几何意义 三、教学过程： （一）、预习导学 1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤： 分割→以直代曲→求和→取极限（逼近2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点 ． （二）、问题引领，知识探究 1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2, ,i i n ξ=，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数 S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分 ()b a f x dx ? 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为 ()b a f x dx ? ，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点 []1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑?