原子物理学详解答案(褚圣麟)

第一章 原子的基本状况

1.1 若卢瑟福散射用的α粒子是放射性物质镭'

C 放射的，其动能为6

7.6810?电子伏特。散射物质是原子序数79Z =的金箔。试问散射角150ο

θ=所对应的瞄准距离b 多大？

解：根据卢瑟福散射公式：

2

02

22

442K Mv ctg

b b Ze Ze

αθ

πεπε==

得到：

21921501522

12619

079(1.6010) 3.97104(48.8510)(7.681010)

Ze ctg ctg b K ο

θαπεπ---??===??????米 式中2

12K Mv α=是α粒子的功能。

1.2已知散射角为θ的α粒子与散射核的最短距离为

2202

1

21

()(1)4sin m

Ze r Mv θ

πε=+ ， 试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？ 解：将1.1题中各量代入m r 的表达式，得：2min

202

1

21

()(1)4sin Ze r Mv θπε=+ 1929

619479(1.6010)1910(1)7.6810 1.6010sin 75

ο

--???=???+???14

3.0210-=?米 1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。问质子与金箔。问质子与金箔原子核可

能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氘核（氘核带一个e +电荷而质量是质子的两倍，是氢的一种同位素的原子核）代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？

解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180ο

。当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。

根据上面的分析可得：

22

0min

124p Ze Mv K r πε==，故有：2min 04p Ze r K πε=

1929

13

619

79(1.6010)910 1.141010 1.6010

---??=??=???米 由上式看出：min r 与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为13

1.1410

-?米。

1.4 钋放射的一种α粒子的速度为71.59710?米/秒，正面垂直入射于厚度为7

10-米、

密度为41.93210?3

/公斤米的金箔。试求所有散射在90ο

θ>的α粒子占全部入射粒子数

的百分比。已知金的原子量为197。

解：散射角在d θθθ+之间的α粒子数dn 与入射到箔上的总粒子数n 的比是：

dn

Ntd n

σ=

其中单位体积中的金原子数：0//Au Au N m N A ρρ==

而散射角大于0

90

的粒子数为：

2

'dn dn nNt d ππσ=?=?

所以有：

2

'

dn Nt d n

ππσ=?

2

221800

2

903

cos

122(

)(

)4sin 2

Au

N Ze t d A Mu ο

ο

θ

ρπθθπε=

??? 等式右边的积分：180

18090903

3

cos sin 2221sin sin 2

2

d I d ο

ο

ο

οθθ

θθ

θ

=?=?=

故'22202012()()4Au N dn Ze t n A Mu

ρππε=?? 64

8.5108.510--≈?=?

即速度为7

1.59710/?米秒的α粒子在金箔上散射，散射角大于90ο

以上的粒子数大约是

4008.510-?。

1.5 α粒子散射实验的数据在散射角很小15οθ≤（）时与理论值差得较远，时什么原因？

答：α粒子散射的理论值是在“一次散射“的假定下得出的。而α粒子通过金属箔，经过

好多原子核的附近，实际上经过多次散射。至于实际观察到较小的θ角，那是多次小角散射合成的结果。既然都是小角散射，哪一个也不能忽略，一次散射的理论就不适用。所以，α粒子散射的实验数据在散射角很小时与理论值差得较远。

1.6 已知α粒子质量比电子质量大7300倍。试利用中性粒子碰撞来证明：

α粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。

证明：设碰撞前、后α粒子与电子的速度分别为：'

,',0,e v v v 。根据动量守恒定律，得：

''e v m v M v M +=αα

由此得：'''7300

1

e e v v M m v v

==-αα

(1)

又根据能量守恒定律，得：2

'2'22

12121e mv Mv Mv +=αα 2

'2

'2e v M

m v v +

=α

α ……（2） 将（1）式代入（2）式，得：

整理，得：0cos 73002)17300()17300('2

'2=?-++-θααααv v v v

0)73001

7300'2

'=-∴=-∴≥ααααv v v v （上式可写为：

即α粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。

1.7能量为3.5兆电子伏特的细α粒子束射到单位面积上质量为2

2

/1005.1米公斤-?的

银箔上，α粒子与银箔表面成ο

60角。在离L=0.12米处放一窗口面积为2

5

100.6米-?的计

数器。测得散射进此窗口的α粒子是全部入射α粒子的百万分之29。若已知银的原子量为107.9。试求银的核电荷数Z 。

解：设靶厚度为'

t 。非垂直入射时引起α粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚度'

t ，而是ο60sin /'t t

=，如图1-1所示。

因为散射到θ与θθd +之间Ωd 立体

角内的粒子数dn 与总入射粒子数n 的比为：

dn

Ntd n

σ= (1)

而σd 为：2

sin

)()41

(42

2

22

0θ

πεσΩ=d Mv

ze d （2）

2'2

'2)

(7300ααααv v v v -+=

把（2）式代入（1）式，得：

2

sin )()41(4

22220θπεΩ=d Mv

ze Nt n dn (3)

式中立体角元0

'0'220,3/260sin /,/====Ωθt t t L ds d

N 为原子密度。'

Nt 为单位面上的原子数，10')/(/-==N A m Nt Ag Ag ηη，其中η是单位

面积式上的质量；Ag m 是银原子的质量；Ag A 是银原子的原子量；0N 是阿佛加德罗常数。

将各量代入（3）式，得：

2

sin )

()41(324

2222

0θπεηΩ=d Mv ze A N n dn Ag 由此，得：Z=47

1.8 设想铅（Z=82）原子的正电荷不是集中在很小的核上，而是均匀分布在半径约为

1010-米的球形原子内，如果有能量为610电子伏特的α粒子射向这样一个“原子”，试通过

计算论证这样的α粒子不可能被具有上述设想结构的原子产生散射角大于0

90的散射。这个结论与卢瑟福实验结果差的很远，这说明原子的汤姆逊模型是不能成立的（原子中电子的影响可以忽略）。

解：设α粒子和铅原子对心碰撞，则α粒子到达原子边界而不进入原子内部时的能量有下式决定：

电子伏特焦耳3160221036.21078.34/22

1

?≈?==-R Ze Mv πε 由此可见，具有6

10电子伏特能量的α粒子能够很容易的穿过铅原子球。α粒子在到达原子表面和原子内部时，所受原子中正电荷的排斥力不同，它们分别为：

3022024/24/2R r Ze F R Ze F πεπε==和。

可见，原子表面处α粒子所受的斥力最大，越靠近原子的中心α粒子所受的斥力越小，而且瞄准距离越小，使α粒子发生散射最强的垂直入射方向的分力越小。我们考虑粒子散射最

强的情形。设α粒子擦原子表面而过。此时受力为2

024/2R Ze F πε=。可以认为α粒子只

在原子大小的范围内受到原子中正电荷的作用，即作用距离为原子的直径D 。并且在作用范围D 之内，力的方向始终与入射方向垂直，大小不变。这是一种受力最大的情形。

根据上述分析，力的作用时间为t=D/v, α粒子的动能为

K Mv =22

1

，因此，M K v /2=，所以，K M D v D t 2//==

根据动量定理：

00

-=-=⊥⊥⊥?

Mv p p Fdt t

而

202

2

02

4/24/2R t Ze

dt R

Ze

Fdt t

t

πεπε==??

所以有：⊥=Mv R t Ze 2

024/2πε 由此可得：M R t Ze v 2

024/2πε=⊥

α粒子所受的平行于入射方向的合力近似为0，入射方向上速度不变。据此，有：

3

2

202202104.24/24/2-⊥

?====

Mv R D Ze Mv R t Ze v

v tg πεπεθ 这时。弧度，大约是很小，因此‘

2.8104.23

-?=≈θθθtg

这就是说，按题中假设，能量为1兆电子伏特的α 粒子被铅原子散射，不可能产生散射角0

90>θ的散射。但是在卢瑟福的原子有核模型的情况下，当α粒子无限靠近原子核时，会受到原子核的无限大的排斥力，所以可以产生0

90>θ的散射，甚至会产生0

180≈θ的散射，这与实验相符合。因此，原子的汤姆逊模型是不成立的。

第二章 原子的能级和辐射

2.1 试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。 解：电子在第一玻尔轨道上即年n=1。根据量子化条件，

π

φ2h n

mvr p ==

可得：频率 21

211222ma h ma nh a v πππν===

赫兹151058.6?= 速度：61110188.2/2?===ma h a v

νπ米/秒

加速度：222122/10046.9//秒米?===a v r v w

2.2 试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势。

解：电离能为1E E E i -=∞，把氢原子的能级公式2

/n Rhc E n -=代入，得：

Rhc hc R E H i =∞-=)1

1

1(2=13.60电子伏特。

电离电势：60.13==

e

E V i

i 伏特 第一激发能：20.1060.1343

43)2

111(2

2=?==-=Rhc hc R E H i 电子伏特 第一激发电势：20.101

1==

e

E V 伏特 2.3 用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基跃迁时，会出现那些波长的光谱线？

解：把氢原子有基态激发到你n=2,3,4……等能级上去所需要的能量是：

)1

11(22n

hcR E H -= 其中6.13=H hcR 电子伏特

2.10)21

1(6.1321=-?=E 电子伏特

1.12)31

1(6.1322=-?=E 电子伏特

8.12)4

1

1(6.1323=-?=E 电子伏特

其中21E E 和小于12.5电子伏特，3E 大于12.5电子伏特。可见，具有12.5电子伏特能量的电子不足以把基态氢原子激发到4≥n 的能级上去，所以只能出现3≤n 的能级间的跃迁。跃迁时可能发出的光谱线的波长为：

ο

ο

ο

λλλλλλA

R R A R R A R R H

H H

H H H 102598

)3111(

1121543)2111(

1

656536/5)3121(

1

32

23

22

22

12

21

==-===-===-=

2.4 试估算一次电离的氦离子+

e H 、二次电离的锂离子+

i L 的第一玻尔轨道半径、电离电势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。

解：在估算时，不考虑原子核的运动所产生的影响，即把原子核视为不动，这样简单些。 a) 氢原子和类氢离子的轨道半径：

3

1,2132,1,10529177.0443,2,1,4410

2

2201212

2220=

======?==??===++++++

++-Li H H Li H H H He Z Z r r Z Z r r Z Li Z H Z H Z me h a n Z n a mZe

n h r e

径之比是因此，玻尔第一轨道半；，；对于；对于是核电荷数，对于一轨道半径；米，是氢原子的玻尔第其中ππεππε

b) 氢和类氢离子的能量公式：

??=?=-=3,2,1,)4(222

12

220242n n

Z E h n Z me E πεπ 其中基态能量。电子伏特，是氢原子的6.13)4(22

204

21-≈-=h

me E πεπ 电离能之比：

9

00,4002

222==

--==--+

++

++

H

Li H

Li H

He

H

He Z

Z E E Z Z E E

c)

第一激发能之比：

91

121132341

12112222

2

1221221221121

22

2

1221221221121

2=--=--=--=--E E E E E E E E E E E E E E E E H H Li Li H H He He

d) 氢原子和类氢离子的广义巴耳末公式：

)11(~22

221n n R Z v -=，??=??++=3,2,11112)2(),1({n n n n

其中3

204

2)4(2h

me R πεπ=是里德伯常数。 氢原子赖曼系第一条谱线的波数为：

H

H R v λ1)2111(~221

=-=

相应地，对类氢离子有：

+

++

+++=-==-=Li Li He He R v R v 1

2221

12221

1)2111(3~1)2111(2~λλ

因此，

91

,411111==+

++H

Li H He λλλλ 2.5 试问二次电离的锂离子+

+i L 从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可能使处于基态的一次电离的氦粒子+

e H 的电子电离掉？

解：+

+i L 由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为：

+e H 的电离能量为：

Li

He

He Li He Li He

He He M m M m R R hv hv hcR hcR v /1/1162716274)1

1

1(42++?

===∞-=++++

由于Li He Li He M m M m M M /1/1,+>+<所以，

从而有++

+>He Li hv hv ，所以能将+e H 的电子电离掉。

2.6 氢与其同位素氘（质量数为2）混在同一放电管中，摄下两种原子的光谱线。试问其巴耳末系的第一条（αH ）光谱线之间的波长差λ?有多大？已知氢的里德伯常数

17100967758.1-?=米H R ，氘的里德伯常数17100970742.1-?=米D R 。

解：

)3121(

1

2

2-=H H

R λ，H H R 5/36=λ )3

121(

1

22-=D D

R λ，D D R 5/36=λ ο

λλλA

R R D H D H 79.1)1

1(536=-=-=?

2.7 已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的“正电子素”。试计算“正电子素”由第一激发态向基态跃迁发射光谱的波长λ为多少ο

A ？

解：

R m

m

R R e e 8

34311)2

1

11(122=?

+=-=∞-+λ ολA R 243010973731

31

38=?==∞米

2.8 试证明氢原子中的电子从n+1轨道跃迁到n 轨道，发射光子的频率n ν。当n>>1时光子频率即为电子绕第n 玻尔轨道转动的频率。

证明：在氢原子中电子从n+1轨道跃迁到n 轨道所发光子的波数为：

])

1(11[1~2

2+-==n n R v n n λ 频率为：Rc n n n n n Rc c

v n 2

222)1(1

2])1(11[

++=+-==

λ

当n>>时，有3422

/2/2)1(/)12(n n n n n

n =≈++，所以在n>>1时，氢原子中电

子从n+1轨道跃迁到n 轨道所发光子的频率为：3/2n Rc v n

=。

设电子在第n 轨道上的转动频率为n f ，则

3

222222n Rc

mr P mr mvr r v f n =

==

πππ 因此，在n>>1时，有n n f v =

由上可见，当n>>1时，请原子中电子跃迁所发出的光子的频率即等于电子绕第n 玻尔轨道

转动的频率。这说明，在n 很大时，玻尔理论过渡到经典理论，这就是对应原理。

2.9 Li 原子序数Z=3，其光谱的主线系可用下式表示：

2

2)

0401.0()5951.01(~--+=n R R v

。已知锂原子电离成+

++Li 离子需要203.44电子伏特的功。问如把+

Li 离子电离成+

+Li

离子，需要多少电子伏特的功？

解：与氢光谱类似，碱金属光谱亦是单电子原子光谱。锂光谱的主线系是锂原子的价电子由高的p 能级向基态跃迁而产生的。一次电离能对应于主线系的系限能量，所以+

Li 离子电离成+

+Li

离子时，有电子伏特35.5)

5951.01()5951.01(2

21

=+≈∞-+=

∞hc R Rhc

Rhc E ++Li 是类氢离子，可用氢原子的能量公式，因此+++++→Li Li 时，电离能3E 为：

电子伏特4.1221

22

23=≈=∞hc R Z Rhc Z E R

。 设+

++

→Li

Li 的电离能为2E 。而+

++→Li

Li 需要的总能量是E=203.44电子伏特，所以有

电子伏特7.75312=--=E E E E

2.10 具有磁矩的原子，在横向均匀磁场和横向非均匀磁场中运动时有什么不同？ 答：设原子的磁矩为μ，磁场沿Z 方向，则原子磁矩在磁场方向的分量记为Z μ，于是具有磁矩的原子在磁场中所受的力为Z B F Z

??=μ，其中Z

B

??是磁场沿Z 方向的梯度。对均匀磁场，

0=??Z

B

，原子在磁场中不受力，原子磁矩绕磁场方向做拉摩进动，且对磁场的 取向服从空间量子化规则。对于非均磁场，0≠??Z

B

原子在磁场中除做上述运动外，还受到力的作用，原子射束的路径要发生偏转。

2.11 史特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄银原子束通过不均匀横向磁场，磁场的梯度为

310=??Z

B

特斯拉/米，磁极纵向范围1L =0.04米(见图2-2)，从磁极到屏距离2L =0.10米，原子的速度2

105?=v 米/秒。在屏上两束分开的距离002.0=d 米。试确定原子磁矩在磁场方向上投影μ的大小（设磁场边缘的影响可忽略不计）。

解：银原子在非均匀磁场中受到垂直于入射方向的磁场力作用。其轨道为抛物线；在2L 区域粒子不受力作惯性运动。经磁场区域1L 后向外射出时粒子的速度为'

v ，出射方向与入射方向间的夹角为θ。θ与速度间的关系为：v

v tg ⊥

=

θ 粒子经过磁场1L 出射时偏离入射方向的距离S 为：

Z v

L Z B m S μ2

1)(21??=

(1)

将上式中用已知量表示出来变可以求出Z μ

2212

2

121

12'2'/,,v L L Z B m d S d S v L L Z B m tg L S v

L Z B m v v L t Z B m m f a at v Z

Z Z

??-=-=??=

=??=∴=??==

=⊥⊥μμθμμ

把S 代入（1）式中，得：

2

2

1

22122v L Z B m v L L Z B m d Z Z ??=??-μμ 整理，得：

2

)2(2212

1

d

L L v L Z B m Z =

+??μ 由此得：特焦耳/1093.023-?=Z μ

2.12 观察高真空玻璃管中由激发原子束所发光谱线的强度沿原子射线束的减弱情况，可以测定各激发态的平均寿命。若已知原子束中原子速度秒米/103

=v ，在沿粒子束方向上相距1.5毫米其共振光谱线强度减少到1/3.32。试计算这种原子在共振激发态的平均寿命。

解：设沿粒子束上某点A 和距这点的距离S=1.5毫米的 B 点，共振谱线强度分别为

10I I 和，并设粒子束在A 点的时刻为零时刻，且此时处于激发态的粒子数为20N ，原子束

经过t 时间间隔从A 到达B 点，在B 点处于激发态的粒子数为2N 。

光谱线的强度与处于激发态的原子数和单位时间内的跃迁几率成正比。设发射共振谱线的跃迁几率为21A ，则有

20

2202122101N N

N A N A I I =∝ 适当选取单位，使

32.3/120

201==N N

I I ， 并注意到 v S t e N N t

A /,21202==-而，

则有：

32.3/12120

2

==-t A e N N 由此求得：

秒

633

21211025.132.3ln 10105.132.3ln 132

.3ln )1ln 32.3(ln 1--?=??=

===-=v s A t s v

t A

第三章 量子力学初步

3.1 波长为ο

A 1的X 光光子的动量和能量各为多少？ 解：根据德布罗意关系式，得：

动量为：1

2410

341063.610

1063.6----???=?==秒米千克λh

p 能量为：λ/hc hv E

==

焦耳151083410986.110/1031063.6---?=???=。

3.2 经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长?=λ 用上述电压加速的质

子束的德布罗意波长是多少？

解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：

meV h 2/=λ 对于电子：库仑公斤，19311060.11011.9--?=?=e m

把上述二量及h 的值代入波长的表示式，可得：

ο

οο

λA A A V

1225.010000

25.1225.12==

=

对于质子，库仑公斤，1927

1060.110

67.1--?=?=e m ，代入波长的表示式，得：

ο

λA 3

19

27

34

10862.210000

10

60.110

67.1210626.6----?=??????=

3.3 电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。因而原来ο

λA V

25.12=的电子德

布罗意波长与加速电压的关系式应改为：

ο

λA V V

)10489.01(25.126

-?-=

其中V 是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。

证明：德布罗意波长：p h /=λ

对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K 与其动量p 之间有如下关系：

222022c p c Km K =+

而被电压V 加速的电子的动能为：eV K =

2

2002

2

2

/)(22)(c eV eV m p eV m c

eV p +=+=∴

因此有：

2

002112/c m eV eV

m h p h +

?=

=λ

一般情况下，等式右边根式中2

02/c m eV 一项的值都是很小的。所以，可以将上式的

根式作泰勒展开。只取前两项，得：

)10489.01(2)41(26

02

00V eV

m h c m eV eV

m h -?-=-

=

λ 由于上式中ο

A V

eV m h 25.122/0≈

，其中V 以伏特为单位，代回原式得：

ο

λA V V

)10489.01(25.126

-?-=

由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意波长

变短。

3.4 试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长。上述结果不但适用于圆轨道，同样适用于椭圆轨道，试证明之。

证明：轨道量子化条件是：?

=nh pdq 对氢原子圆轨道来说，mvr mr p p r ===?

φφ2

,0

所以有：

?

?=====?=?3,2,1,22n n mv

h

n r S nh

mvr pd λππφ 所以,氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波长。椭圆轨道的量子化条件是：

h

n dr p h

n d p r

r

==??φφφ

其中

?+==+∴==?

?

r

r r n n n nh d p dr p mr p r m p φφφφφ

其中,)(,2

而 )()(2

φφφφd mr dr r m d p dr p r ?

?

+=+??

2

2

()dr d h ds

m r dt mr dt mv dt mvds ds h dt dt r ds n

φφλ

λ

?

?=+=

===∴=????

??

因此，椭圆轨道也正好包含整数个德布罗意波波长。

3.5 带电粒子在威耳孙云室（一种径迹探测器）中的轨迹是一串小雾滴，雾滴德线度约为1微米。当观察能量为1000电子伏特的电子径迹时其动量与精典力学动量的相对偏差不小于多少？

解：由题知,电子动能K=1000电子伏特，6

10-=?x 米，动量相对偏差为p p /?。 根据测不准原理，有2h x p ≥??，由此得：x

h p ?≥?2 经典力学的动量为：

5

1009.3222-?=?≥?∴=mK

x h p p mK

p 电子横向动量的不准确量与经典力学动量之比如此之小，足见电子的径迹与直线不会有明显区别。

3.6 证明自由运动的粒子（势能0≡V ）的能量可以有连续的值。

证明：自由粒子的波函数为：

)(Et r p h

i Ae

-?+=

ψ (1)

自由粒子的哈密顿量是：2

22?-=m

h H ......（2） 自由粒子的能量的本征方程为：ψψE H = (3)

把（1）式和（2）式代入（3）式，得：

ψE Ae m

h Et r p h

i

=?--?+][2)(2

2

即：

2222()222222

()222x y z i

p x p y p z Et h

h d d d A e m dx dy dz

p E E m p E m

ψψψ

+++--?++==∴=

自由粒子的动量p 可以取任意连续值，所以它的能量E 也可以有任意的连续值。

3.7 粒子位于一维对称势场中，势场形式入图3-1，即

0,0,,00{=<<=>

（1）试推导粒子在0V E <情况下其总能量E 满足的关系式。

（2）试利用上述关系式，以图解法证明，粒子的能量只能是一些不连续的值。

解：为方便起见,将势场划分为Ⅰ?Ⅱ?Ⅲ三个区域。 （1） 定态振幅方程为0)(2)()(22

)(2=-+

x x x V E h

dx d ψμ

ψ 式中μ是粒子的质量。

Ⅰ区：)(2002

2

222E V h

dx d -==-μαψαψ其中 波函数处处为有限的解是：是一任意常数A Ae x x

,)(1αψ=。

Ⅱ区：E h

dx d 2

2

22220μβψβψ==+其中 处处有限的解是：是任意常数。γγβψ,),sin()(2B x B x +=

Ⅲ区：)(2002

2

222E V h dx d -==-μαψαψ其中 处处有限的解是：是任意常数。D De x x

,)(3αψ-=

有上面可以得到：

,1),(1,13

32211αψψγββψψαψψ-=+==dx

d x ctg dx d dx d

有连续性条件，得：

γβα

γββ

α

ctg L ctg =+=-)({ 解得：

2

2

1)(α

βαβα

ββ-+

-=L tg 因此得：)/(21

αβπβ--=tg n L 这就是总能量所满足的关系式。

（2） 有上式可得：

)2

2(L n tg βπαβ-= 偶数，包括零

奇数

=??-=??=n L

tg

n L

ctg 2

2

{

ββ

亦即

2

)(2

)(L

tg

L L L

ctg

L L ββαββα=-=

令v L u L

==αβ,，则上面两方程变为：

1222

u u

v utg v utg =-??=??（） （）

另外，注意到v u 和还必须满足关系：）（3/22

2022??=+h L V v u μ

所以方程（1）和（2）要分别与方程（3）联立求解。

3.8 有一粒子，其质量为m ,在一个三维势箱中运动。势箱的长、宽、高分别为c b a 、、在势箱外，势能∞=V ；在势箱内，0=V 。式计算出粒子可能具有的能量。

解：势能分布情况，由题意知：

0,0;0,0;0,0;

,0;,0;,0x y z x y z V x a V y b V z c V x x a V y y b V z z c

=≤≤=≤≤=≤≤=∞<>=∞<>=∞<>和和和在势箱内波函数),,(z y x ψ满足方程：

0)]([2222222222

2=++-+?+?+?ψψψψz y x V V V E h

m

z y x 解这类问题，通常是运用分离变量法将偏微分方程分成三个常微分方程。

令)()()(),,(z Z y Y x X z y x =ψ

代入（1）式，并将两边同除以)()()(z Z y Y x X ，得：

E h m V h m dz Z d Z V h m dy Y d Y V h m dx X d X z y x 2

2222222222)21()21()21(-=-+-+- 方程左边分解成三个相互独立的部分，它们之和等于一个常数。因此，每一部分都应等于一个常数。由此，得到三个方程如下：

皆为常数。

其中z y x z y x z z y y x x E E E E E E E E h

m

V h m dz Z d Z E h

m

V h m dy Y d Y E h m

V h m dx X d X ,,,2212212212

2222

2222

222++=-=--=--=-

将上面三个方程中的第一个整数，得：

0)(2222=-+X V E h

m

dx X d x x ……（2） 边界条件：0)()0(==l X X

可见，方程（2）的形式及边界条件与一维箱完全相同，因此，其解为：

??===

3,2,1,2sin 2

2

2

22x x x x n n n a h E x a

n a X πππ

类似地，有

)

(2sin sin sin 8

),,(3,2,1,2sin 2

3,2,1,2sin 2

22

22

22

222

2

2

22

2

22c

n

b n a n m h E

c z n b y n a x n abc z y x n n c

h E z

c

n c Z n n b h E y

b n b Y z y

x

z

y x z z z z n y y y y n ++==∴??===?

?===ππππψππππππ 可见，三维势箱中粒子的波函数相当于三个一维箱中粒子的波函数之积。而粒子的能量

相当于三个一维箱中粒子的能量之和。

对于方势箱，c b a ==,波函数和能量为：

2

2

2

222

2

23

,2sin

sin sin 8

),,(z

y x z y x n n n n n ma h

E a z n a y n a x n a z y x ++==

=

ππππψ

第四章 碱金属原子

4.1 已知Li 原子光谱主线系最长波长ο

λA 6707=，辅线系系限波长ο

λA 3519=∞。求锂原子第一激发电势和电离电势。

解：主线系最长波长是电子从第一激发态向基态跃迁产生的。辅线系系限波长是电子从无穷处向第一激发态跃迁产生的。设第一激发电势为1V ，电离电势为∞V ，则有：

伏特。伏特375.5)11(850.111=+=

∴+===

∴=∞

∞∞

∞λλλλ

λλ

e hc V c

h

c h eV e hc

V c

h eV

4.2 Na 原子的基态3S 。已知其共振线波长为5893ο

A ，漫线系第一条的波长为8193ο

A ，基线系第一条的波长为18459ο

A ，主线系的系限波长为2413ο

A 。试求3S 、3P 、3D 、4F 各谱项的项值。

解：将上述波长依次记为

ο

ο

ο

ο

λλλλλλλλA

A A A p f d p p f d p 2413,18459,8193,5893,

,,,max max max max max max ====∞∞即

容易看出：

1

6max

3416max

331

6max

316310685.01

10227.11

10447.21

1

10144.41

~---∞-∞

∞?=-

=?=-=?=-

=

?===米米米米f D F d p D p P P P S T T T T T v T λλλλλ

4.3 K 原子共振线波长7665ο

A ，主线系的系限波长为2858ο

A 。已知K 原子的基态4S 。试求4S 、4P 谱项的量子数修正项p s ??,值各为多少？

解：由题意知：P

P s p p v T A A λλλο

ο/1~,2858,76654max ====∞∞

由2

4)

4(s R

T S ?-=

，得：S k T R s 4/4=?- 设R R K ≈,则有max

41

1,229.2P P P T s λλ-

=

=?∞

与上类似 764.1/44=-≈?∞P T R p

4.4 Li 原子的基态项2S 。当把Li 原子激发到3P 态后，问当3P 激发态向低能级跃迁时可能产生哪些谱线（不考虑精细结构）？

答：由于原子实的极化和轨道贯穿的影响，使碱金属原子中n 相同而l 不同的能级有很大差别，即碱金属原子价电子的能量不仅与主量子数n 有关，而且与角量子数l 有关，可以记为),(l n E E =。理论计算和实验结果都表明l 越小，能量越低于相应的氢原子的能量。当从3P 激发态向低能级跃迁时，考虑到选择定则：1±=?l ，可能产生四条光谱，分别由以下能级跃迁产生：

。

S P S P P S S P 23;22;23;33→→→→

4.5 为什么谱项S 项的精细结构总是单层结构？试直接从碱金属光谱双线的规律和从电子自旋与轨道相互作用的物理概念两方面分别说明之。

答：碱金属光谱线三个线系头四条谱线精细结构的规律性。第二辅线系每一条谱线的二成分的间隔相等，这必然是由于同一原因。第二辅线系是诸S 能级到最低P 能级的跃迁产生的。最低P 能级是这线系中诸线共同有关的，所以如果我们认为P 能级是双层的，而S 能级是单层的，就可以得到第二辅线系的每一条谱线都是双线，且波数差是相等的情况。

主线系的每条谱线中二成分的波数差随着波数的增加逐渐减少，足见不是同一个来源。主线系是诸P 能级跃迁到最低S 能级所产生的。我们同样认定S 能级是单层的，而推广所有P 能级是双层的，且这双层结构的间隔随主量子数n 的增加而逐渐减小。这样的推论完全符合碱金属原子光谱双线的规律性。因此，肯定S 项是单层结构，与实验结果相符合。

碱金属能级的精细结构是由于碱金属原子中电子的轨道磁矩与自旋磁矩相互作用产生附加能量的结果。S 能级的轨道磁矩等于0，不产生附加能量，只有一个能量值，因而S 能级是单层的。

4.6 计算氢原子赖曼系第一条的精细结构分裂的波长差。

解：赖曼系的第一条谱线是n=2的能级跃迁到n=1的能级产生的。根据选择定则，跃迁只能发生在S P 2

2

12→之间。而S 能级是单层的，所以，赖曼系的第一条谱线之精细结构是由P 能级分裂产生的。

氢原子能级的能量值由下式决定：

)432

11()()(3

4222n j n

S Z Rhca n Z Rhc E -+?----=σ