七年级数学上册 专题训练(九)角的计算 新人教版
专题训练(九) 角的计算
类型1利用角度的和、差关系
找出待求的角与已知角的和、差关系，根据角度和、差来计算．
1．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，求∠AOD的度数．
解：因为∠AOC＝75°，∠BOC＝30°，
所以∠AO B＝∠AOC－∠BOC＝75°－30°＝45°.
又因为∠BOD＝75°，
所以∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝45°＋75°＝120°.
2．将一副三角板的两个顶点重叠放在一起．(两个三角板中的锐角分别为45°、45°和30°、60°)
(1)如图1所示，在此种情形下，当∠DAC＝4∠BAD时，求∠CAE的度数；
(2)如图2所示，在此种情形下，当∠ACE＝3∠BCD时，求∠ACD的度数．
解：(1)因为∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＝4∠B AD，
所以5∠BAD＝90°，即∠BAD＝18°.
所以∠DAC＝4×18°＝72°.
因为∠DAE＝90°，
所以∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝18°.
(2)因为∠BCE＝∠DCE－∠BCD＝60°－∠BCD，∠ACE＝3∠BCD，
所以∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝3∠BCD＋60°－∠BCD＝90°.
解得∠BCD＝15°.
所以∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝90°＋15°＝105°.
类型2利用角平分线的性质
角的平分线将角分成两个相等的角，利用角平分线的这个性质，再结合角的和、差关系进行计算．
3．如图，点A，O，E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE
，求∠COB 的度数．
解：因为∠EOD＝28°46′，OD 平分∠COE，
所以∠COE＝2∠EOD＝2×28°46′＝57°32′.
又因为∠AOB＝40°，
所以∠COB＝180°－∠AOB－∠COE＝180°－40°－57°32′＝82°28′.
4．已知∠AOB＝40°，OD 是∠BOC 的平分线．
(1)如图1，当∠AO B 与∠BOC 互补时，求∠COD 的度数；
(2)如图2，当∠AOB 与∠BOC 互余时，求∠COD 的度数．
解：(1)因为∠AOB 与∠BOC 互补， 所以∠AOB＋∠BOC ＝180°.
又因为∠AOB＝40°，
所以∠BOC＝180°－40°＝140°.
因为OD 是∠BOC 的平分线， 所以∠COD＝12
∠BOC＝70°. (2)因为∠AOB 与∠BOC 互余，
所以∠AOB＋∠BOC＝90°.
又因为∠AOB＝40°，
所以∠BOC＝90°－40°＝50°.
因为OD 是∠BOC 的平分线，
所以∠COD＝12
∠BOC＝25°.
类型3 利用方程思想求解
在解决有关余角、补角，角的比例关系或倍分关系问题时，常利用方程思想来求解，即通过设未知数，建立方程，通过解方程使问题得以解决．
5．一个角的余角比它的补角的23
还少40°，求这个角的度数．
解：设这个角的度数为x °，根据题意，得
90－x ＝23
(180－x)－40.
解得x ＝30.
所以这个角的度数是30°.
6．如图，已知∠AOE 是平角，∠DOE ＝20°，OB 平分∠A OC ，且∠COD∶∠BOC＝2∶3，求∠BOC 的度数．
解：设∠COD＝2x °，则∠BOC＝3x °.
因为OB 平分∠AOC，
所以∠AOB＝3x °.
所以2x ＋3x ＋3x ＋20＝180.
解得x ＝20.
所以∠BOC＝3×20°＝60°.
7．如图，已知∠AOB＝12
∠BOC，∠COD ＝∠AOD＝3∠AOB ，求∠AOB 和∠COD 的度数．
解：设∠AOB＝x °，则∠COD＝∠AOD＝3∠AOB＝3x °.
因为∠AOB＝12
∠BOC， 所以∠BOC＝2x °.
所以3x ＋3x ＋2x ＋x ＝360.
解得x ＝40.
所以∠AOB＝40°，∠COD ＝120°.
类型4 利用分类讨论思想求解
在角度计算中，如果题目中无图，或补全图形时，常需分类讨论，确保答案的完整性．
8．已知∠AOB＝75°，∠AOC ＝23∠AOB，OD 平分∠AOC，求∠BOD 的大小． 解：因为∠AOB＝75°，∠AOC ＝23
∠AOB， 所以∠AOC＝23
×75°＝50°. 因为O D 平分∠AOC，
所以∠AOD＝∠COD＝25°.
如图1，∠BOD ＝75°＋25°＝100°；
如图2，∠BOD ＝75°－25°＝50°.
9．已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线．
(1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC 的度数；
(2)在(1)的条件下，∠EOC ＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE 的度数；
(3)当∠AOB＝α时，∠EOC ＝90°，直接写出∠AOE 的度数．(用含α的代数式表示)
解：(1)因为OC 是∠AOB 的平分线，
所以∠AOC＝12
∠AOB. 因为∠AOB＝60°，
所以∠AOC＝30°.
(2)如图1，∠AOE ＝∠EOC＋∠AOC＝90°＋30°＝120°；
如图2，∠AOE ＝∠EOC－∠AOC＝90°－30°＝60°.
(3)90°＋α2 或90°－α2
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