高数下期末复习内容

期末复习主要内容

第七章 向量代数与空间解析几何

§7.1 向量代数

一、空间直角坐标系

二、向量概念：a →

＝x i →

+y j →

+z k → 坐标(),,x y z 模a →

方向角,,αβγ 方向余弦cos ,cos ,cos αβγ

cos α

； cos β

； cos γ

三、向量运算： 设a →

()1,11,x y z ； b →()2,22,x y z ；c →

()3,33,x y z 加（减）法 a →

±b →

＝()12,1212,x x y y z z ±±± 数乘 ()111,,a x y z λλλλ→

=

数量积（点乘）（ⅰ）定义a →

·b →

=a →b →

cos ,a b →→??∠ ???

（ⅱ）坐标公式a →·b →=12x x +12y y +12z z （ⅲ）重要应用a →·b →=0?a →⊥b →

4．向量积（叉乘）（ⅰ）定义a →?b →

＝a b →→

sin ,a b →→

??∠ ??? a →

?b →与a →和b →皆垂直，且a →，b →，a →?b →

构成右手系

（ⅱ）坐标公式a →?b →

=1

112

2

2

i

j

k

x y z x y z →

→

→

（ⅲ）重要应用a →?b →=0→?a →，b →

共线 5、混合积 （ⅰ）定义 （a →

，b →

，c →

）＝（a →

?b →

）·c →

（ⅱ）坐标公式（a →

，b →

，c →

）=1112

223

3

3

x y z x y z x y z （ⅲ）,,a b c →→→??

???

表示以a →，b →，c →

为棱的平行六面体的体积

§7.2 平面与直线

一、 空间解析几何

1 空间解析几何研究的基本问题。

（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程，

（2）已知坐标x ，y 和z 间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。 2 距离公式 空间两点()111,,A x y z 与()222,,B x y z 间的距离d 为

d =

3 定比分点公式(),,M x y z 是AB 的分点：AM

MB

λ=,点A,B 的坐标为()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则 121x x x λλ+=

+，121y y y λλ+=+，12

1z z z λλ

+=+ 当M 为中点时， 122x x x +=，122y y y +=，12

2

z z z +=

二、平面及其方程。

1 法向量： 与平面π垂直的非零向量，称为平面π的法向量，通常记成n 。对于给定的平面π，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。

2 点法式方程： 已知平面π过()000,,M x y z 点，其法向量n ＝{A,B,C},则平面π的方程为 ()()()0000A x x B y y C z z -+-+-= 或 ()00n r r ?-= 其中 {}{}0000,,,,,r x y z r x y z ==

3 一般式方程：0Ax By Cz D +++=其中A, B, C 不全为零. x, y, z 前的系数表示π的法线方向数，n ＝{A,B,C}是π的法向量

特别情形： 0Ax By Cz ++=，表示通过原点的平面。 0Ax By D ++=，平行于z 轴的平面。 0Ax D +=，平行yOz 平面的平面。 x ＝0表示yOz 平面。

4 三点式方程：设()111,,A x y z ,()222,,B x y z ,()333,,C x y z 三点不在一条直线上。则通过

A,B,C 的平面方程为： 1

11

21

212131

31

31

0x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 5 平面束：设直线L 的一般式方程为111122220

0A x B y C z D A x B y C z D +++=??+++=?，则通过L 的所有平面方

程为1K ()1111A x B y C z D ++++2K (

)2222

0A x B y C z D +++=，其中()()12,0,0k k ≠

6 有关平面的问题

两平面为 1π：11110A x B y C z D +++= 2π：22220A x B y C z D +++=

7 设平面π的方程为0Ax By Cz D +++=，而点()111,,M x y z 为平面π外的一点，则M 到平面π的距离d ： d =

三 直线及其方程

1 方向向量：与直线平行的非零向量S ，称为直线L 的方向向量。

2 直线的点向式方程（对称式方程）： 000

x x y y z z l m n

---==

其中()000,,x y z 为直线上的点，,,l m n 为直线的方向向量。

3 参数式方程： 000x x lt

y y mt z z nt

=+??

=+??=+?

4 两点式：设()111,,A x y z ,()222,,B x y z 为不同的两点，则通过A 和B 的直线方程为 111

212121

x x y y z z x x y y z z ---==

--- 5 一般式方程（作为两平面的交线）：1

11122220

0A x B y C z D A x B y C z D +++=??+++=?{}{}111222,,,,S A B C A B C =? 6 有关直线的问题 两直线为1L :

111111x x y y z z l m n ---==2L :222

222

x x y y z z l m n ---==

四、平面与直线相互关系

平面π的方程为：0Ax By Cz D +++= 直线L 的方程为：

000

x x y y z z l m n

---==

§7.3 曲面与空间曲线

一、曲面方程

1、一般方程 (),,0F x y z =

2、参数方程 ()()(),,,x x u v y y u v z z u v =??

=??=?

()(),u v D ∈平面区域

二、空间曲线方程

1、一般方程 ()()12,,0,,0F x y z F x y z ?=?=?

2、参数方程 ()

()()

x x t y y t z z t =??

=??=?

()t αβ≤≤

三、常见的曲面方程

1、球面方程：设()0000,,P x y z 是球心，R 是半径，P （x ，y ，z ）是球面上任意一点，则0P P R =,即()()()2

2

2

2000x x y y z z R -+-+-=。 2. 旋转曲面的方程

（ⅰ）设L 是xOz 平面上一条曲线，其方程是(),0,0.f x z y =??=? L 绕z 轴

旋转得到旋转曲面，设P （x ，y ，z ）是旋转面上任一点，由点()000,0,P x z 旋转而来（点()0,0,M z 是圆心）.

由2000x MP

MP x z z ==== 得旋转面方程是 ()

0;f z =

（ⅱ）求空间曲线 ()()12,,0,,0F x y z F x y z ?=?=? 绕z 轴一周得旋转曲面的方程

第一步：从上面联立方程解出()(),x f z y g z == 第二步：旋转曲面方程为()()2222x y f z g z +=+ 绕y 轴一周或绕x 轴一周的旋转曲面方程类似地处理 3、二次曲面

四、空间曲线在坐标平面上的投影： 曲线C 的方程 (),,0

,,0

F x y z

G x y z ?=?=?

曲线C 在xy 平面上的投影：先从曲线C 的方程中消去Z 得到(),0H x y =，它表示曲线C

为准线，母线平行于Z 轴的柱面方程，那么(),0

0H x y z =??=?就是C 在xy 平面上的投影曲线方

程。

曲线C 在zx 平面上投影或在yz 平面上投影类似地处理

第八章 多元函数微分学

§8.1 多元函数的概念、极限与连续性

一、多元函数的概念

1．二元函数的定义及其几何意义

设D 是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)∈D ，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以z=f （x ，y ），D 称为定义域。

二元函数z=f （x ，y ）的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影域就是定义域D 。

例如 22:1z D x y =+≤ 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上

半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。 2．三元函数与n 元函数：(,,),

(,,)u f x y z x y z =∈Ω空间一个点集，称为三元函数

12(,,,)n u f x x x n =称为元函数。它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二、二元函数的极限：设00(,)(,)f x y x y 在点的邻域内有定义，如果对任意00,

εδ>>存在

,(,)f x y A δε<-<就有则，0

000

(,)()

lim (,)lim (,)x x x y x y y y f x y A f x y A →→→==或

称当00(,)(,)(,)x y x y f x y 趋于时的极限存在，极限值为A 。否则，称为极限不存在。 值得注意：00(,)(,)x y x y 这里趋于是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于

00(,)x y ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但只要求知道基本概念和简单的

讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。 三、二元函数的连续性 1．二元函数连续的概念

若0

0000lim (,)(,)(,)(,)x x y y f x y f x y f x y x y →→=则称在点处连续 若(,)f x y D 在区域内每一点皆连续，则称(,)f x y 在D 内连续。

2．闭区域上连续函数的性质

定理1 （有界性定理）设(,)f x y 在闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上一定有界 定理2 （最大值最小值定理）设(,)f x y 在闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上一定有最大值和最小值(,)(,)max (,)(),min (,)()x y D

x y D

f x y M f x y m ∈∈==最大值最小值

定理3 （介值定理）设(,)f x y 在闭区域D 上连续，M 为最大值，m 为最小值，若,m c M ≤≤则存在00(,),x y D ∈使得00(,)f x y C =

§8.2 偏导数与全微分

一、偏导数与全微分的概念 1．偏导数 二元：设(,)z f x y =

0(,)(,)

(,)lim

x x z f x x y f x y f x y x x ?→?+?-'==??， 0(,)(,)(,)lim y y z f x y y f x y f x y y y ?→?+?-'==?? 三元：设(,,)u f x y z =，

(,,);(,,);(,,)x y z u u u

f x y z f x y z f x y z x y z

???'''===??? 2．二元函数的二阶偏导数： 设 (,),z f x y =

22

(,)()xx z z

f x y x x x ???''==???， 2(,)()xy z z f x y x y y x ???''==???? 2(,)()yx

z z f x y y x x y ???''==????， 22(,)()yy z z

f x y y y y

???''==??? 3．全微分： 设 (,),z f x y = 增量(,)z f x x y y ?=+?+?

若

z A x B y o ?=?+?+ 当 00x y ?→?→时则称 (,)z f x y =可微，而全微分dz A x B y =?+?

定义：,dx x dy y =?=?

定理：可微情况下，(,),(,)x y A f x y B f x y ''== (,)(,)x y dz f x y dx f x y dy ''∴=+ 三元函数 (,,)u f x y z = 全微分 (,,)(,,)(,,)x y z du f x y z dx f x y z dy f x y z dz '''=++

4．相互关系：(,)(,)x y f x y f x y ''连续(,)df x y ?存在 (,),(,)(,)x y f x y f x y f x y ''存在

连续

5．方向导数与梯度

二、复合函数微分法——链式法则

三、隐函数微分法：设 (,,)0(,)F x y z z z x y ==确定 则

;(0)y x z z z F z F z

F x F y F ''??'=-=-≠''

??要求偏导数连续且 四、几何应用

1．空间曲面上一点处的切平面和法线 2．空间曲线上一点处的切线和法平面

§8.3 多元函数的极值和最值

一、求(,)z f x y =的极值

第一步 (,)0(,)

(1,2,,)(,)0x k k y

f x y x y k l f x y '=?=?'=?求出驻点

第二步 2

(,)(,)(,)k xx

k k yy k k xy k k f x y f x y f x y ''''''???=-??令

0(,)00

(,)k k k k k k k f x y f x y ?若则不是极值

若则不能确定（有时需从极值定义出发讨论）若则是极值

进一步

(,)0(,)(,)0(,)xx

k k k k xx

k k k k f x y f x y f x y f x y ''>''<若则为极小值若则为极大值

二、求多元（2n ≥）函数条件极值的拉格朗日乘子法

求 1(,,)n u f x x =的极值 约束条件 11m 1

(,,)0()(,,)0

n n x x m n x x φφ=??

?=

?

1111111

111(,,,,,)(,

,)(,

)

0(,,)0(,,)0

n m m

n m n i i n i x x n m n F F x x f x x x x F F F x x F x x λλλλλφφφ===+'=???

?'=??

'==???'==??∑令

求出 1(,,)(1,2,,)k k

n x x k l =是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确定

其充分性，这种方法关键是解方程组的有关技巧。 三、多元函数的最值问题（略）

第九、十章 多元函数积分学

§9.1 二重积分

一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序序问题 X 型区域：设有界闭区域 {}12(,),()()D x y a x b x y x φφ=≤≤≤≤ 其中12(),()x x ??在[,]a b 上连续，(,)f x y 在 D 上连续，则

21()

()

(,)(,)(,)x b

D

D

a

x f x y d f x y dxdy dx f x y dy φφσ==??????

Y 型区域：设有界闭区域{}12(,),()()D x y c y d y x y φφ=≤≤≤≤ 其中12(),()y y ??在[,]c d 上连续，(,)f x y 在D 上连续则

21()

()

(,)(,)(,)y d

D

D

c

y f x y d f x y dxdy dy f x y dx ??σ==??????

关于二重积分的计算主要根据X 型区域或Y 型区域I ，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域D 如果既不符合X 型区域中关于D 的要求，又不符合Y 型区域中关于D 的要求，那么就需要把D 分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合X 型区域或Y 型区域中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。

在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D ，然后根据D 再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。 二、在极坐标系中化二重积分为累次积分

在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定θ对γ进行积分，然后再对θ进行积分，由于区域D 的不同类型，也有几种常用的模型。 模型I 设有界闭区域{}12(,),()()D γθαθβ?θγ?θ=≤≤≤≤其

中12(),()?θ?θ在[,]αβ上连续，(,)(

cos ,sin )f x y f γθγθ=在D 上连

续。则21()

(

)

(,)(cos ,sin )(cos ,sin )D

D

f x y d f d d d f d ?θβ

α

?θ

σγθγθγγθθ

γθγθγγ==??????

模型II 设有界闭区域{}(,),0()D γθαθβγφθ=≤≤≤≤其中()?θ在[,]αβ上连续，(,)(cos ,sin )f x y f γθγθ=在D 上连续。 则

()

(,)(cos ,sin )(cos ,sin )D

D

f x y d f d d d f d φθβ

ασγθγθγγθθγθγθγγ

==??????

§9.2 三重积分

一、三重积分的计算方法

1、直角坐标系中三重积分化为累次积分

（1）设Ω是空间的有界闭区域 {}12(,,)(,)(,),(,)x y z z x y z z x y x y D Ω=≤≤∈ 其中D 是xy 平面上的有界闭区域，12(,),(,)z x y z x y 在D 上连续函数(,,)f x y z Ω在上连续，则

21(,)

(,)

(,,)(,,)z x y D

z x y f x y z dv dxdy f x y z dz Ω

=??????

（2）设{}(,,),(,)()x y z z x y D z αβΩ=≤≤∈其中D(z)为竖坐标为z 的平面上的有界闭区

域，则

()

(,,)(,,)D z f x y z dv dz f x y z dxdy β

αΩ

=??????

2、柱坐标系中三重积分的计算

(,,)(cos ,sin ,)f x y z dxdydz f r r z rdrd dz θθθΩ

Ω

=??????相当

于把(x,y)化为极坐标（,r θ）而z 保持不变 3、球坐标系中三重积分的计算

sin cos 0sin sin 0cos 02x y z ρθ?

ρρθ?θπρθ?π=≥????

?=≤≤? ?? ?=≤≤?

??

2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin f x y z dxdydz f d d d ρθ?ρθ?ρθρθρθ?Ω

Ω

=???

???

§9.3 曲线积分

第一类 曲线积分（对弧长的曲线积分）

参数计算公式：只讨论空间情形（平面情形类似）

设空间曲线L 的参数方程 (),(),(),()x x t y y t z z t t αβ===≤≤ 则 [

(,,)f x(t),y(t),z(t)L

f x y z ds β

α

=??

（假设()(,,)(),,()f x y z x t y t z t '''和皆连续）这样把曲线积分化为定积分来进行计算 第二类 曲线积分（对坐标的曲线积分）

参数计算公式：只讨论空间情形（平面情形类似）

设空间有向曲线L 的参数方程(),(),(),x x t y y t z z t A ===起点对应参数为

[]{[][]},(:)(,,),(,,

),(,,),(),(),(),(,,)(,,)(,,)(),(),()()(),(),()()(),(),()()L AB

B P x y z Q x y z R x y z x t y t z t P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt

β

α

αβαβαβ=<'''++'''=++?

?

始点对应参数为注意现在和的大小不一定如果皆连续又也都连续则

这样把曲线积分化为定积分来计算。值得注意：如果曲线积分的定向相反，则第二类曲线积分的值差一个负号，而第一类曲线积分的值与定向无关，故曲线不考虑定向。 三、两类曲线积分之间的关系

空间情形：设L=AB 为空间一条逐段光滑有定向的曲线，(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在L 上连续，则

[](,,)(,,)(,,)(,,)cos (,,)cos (,,)cos cos ,cos ,cos (,,).

AB

AB

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

P x y z Q x y z R x y z ds

AB x y z A B αβγαβγ++=++?

?

其中为曲线弧上上点处沿定向到方向的切线的方向余弦

四、格林公式

关于平面区域上的二重积分和它的边界曲线上的曲线之间的关系有一个十分重要的定理，它的结论就是格林公式。 定理1、（单连通区域情形）

设xy 平面上有界闭区域D 由一条逐段光滑闭曲线L 所围的单连通区域，当沿L 正定向移动时区域D 在L 的左边，函数(,),(,)P x y Q x y 在D 上有连续的一阶偏导数，则有

()L

D

Q P dxdy Pdx Qdy x y ??-=+?????

五、平面上曲线积分与路径无关的几个等价条件

设P (,)x y ，Q (,)x y 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则下面几个条件彼此等价 1．任意曲线L=AB 在D 内 (,,)(,)L

P x y dx Q x y dx +?与路径无关

2．D 内任意逐段光滑闭曲线C ，都有(,)(,)0C

p x y dx Q x y dy +=?

3．()()(),,,p x y dx Q x y dy du x y +=成立 4．D 内处处有

Q P

x y

??=

?? §9.4 曲面积分

一、第一类曲面积分（对面积的曲面积分）

基本计算公式：设曲面S 的方程 ()(),,,z z x y x y D =∈，(),z x y 在D 上有连续偏导数，

(),,f x y z 在S 上连续，则()(

),,,,,S

D

f x y z ds f x y z x y =??????

这样把

第一类曲面积分化为二重积分进行计算 二、第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）

基本计算公式：如果曲面S 的方程 ()(),,,xy z z x y x y D =∈()xy ,Z x y D 在上连续，(),,R x y z 在S 上连续，则 ()(),,,,,xy

S

D R x y z dxdy R x y z x y dxdy =±????????

若曲面S 指定一侧的法向量与Z 轴正向成锐角取正号，成钝角取负号，这样把这部分曲面积分化为xy 平面上的二重积分，其它两部分类似地处理。

三、两类曲面积分之间的关系：[]cos cos cos S

S

pdydz Qdzdx Rdxdy p Q R dS αβγ++=++????

其中()cos ,cos ,cos ,,S x y z αβγ为曲面在点处根据定向指定一侧的法向量的三个方向余弦

{}{}00,,,cos ,cos ,cos S

S

F P Q R n Pdydz Qdzdx Rdxdy F n ds αβγ==++=????令

四、高斯公式

定理 设Ω是由分块光滑曲面S 围成的单连通有界闭区域，()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 在

Ω上有连续的一阶偏导数，则S

P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω?????++=++ ??????????? []cos cos cos S

P Q R dS αβγ=++??

其中cos ,cos ,cos αβγ为S 在点(),,x y z 处的法向量的方向余弦 五、斯托克斯公式

定理：设L 是逐段光滑有向闭曲线，S 是以L 为边界的分块光滑有向曲面，L 的正向与S 的侧（取法向量的指向）符合右手法则，函数()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 在包含S 的一个空间区域内有连续的一阶偏导数，则有 L S

dydz dzdx dxdy

Pdx Qdy Rdz x y z P Q R

???

++=??????S R Q P R Q P dydz dzdx dxdy y z z x x y ????????????

=-+-+- ? ? ??????????????? 也可用第一类曲面积分 cos cos cos L S

Pdx Qdy Rdz dS x y z P

Q

R

α

βγ?

??

++=?????? 六、梯度、散度和旋度

1、梯度 设(),,,,,u u u u u x y z gradu x y z ?????== ??????则称为u 的梯度 ，令,,x y z ??

????= ??????是算

子则 gradu u =?

(外侧)

2、散度 设()()()(),,,,,,,,F P x y z Q x y z R x y z =则 P Q R divF F x y z

???=++=????? 称为F 的散度

高斯公式可写成0S

divFdv F n dS Ω

=?????

（外侧） 其中()0cos ,cos ,cos n αβγ=为外侧单位法向量 3、旋度

()()()(),,,,,,,,,i

j k F P x y z Q x y z R x y z rotF F x y z P

Q

R

???==??=

???设 R Q P R Q P i j k y z z x x y ????????????-+-+- ? ? ?????????????

＝，称为F 的旋度。 斯托克斯公式可写成 ()

0L

S

F d r rotF n dS ?=????

其中()()0,,,cos ,cos ,cos dr dx dy dz n αβγ==

第十一章 无穷级数 § 11.1 常数项级数

一、基本概念与性质 1. 基本概念 无穷多个数123,,,

,,

n u u u u 依次相加所得到的表达式1231

n n n u u u u u ∞

==+++

++

∑称为

数项级数（简称级数）。 1n

n k k S u ===∑123n u u u u +++

+ （1,2,3,

n =）称为级数的前n 项的部分和，

{}(1,2,3,

)n S n =称为部分和数列。

1

1

lim (),,n n n n n n S S u S u S ∞

∞

→∞

====∑∑若存在则称级数是收敛的,且其和为记以

lim n n S →∞

若不存在，则称级数1

n n u ∞

=∑是发散的，发散级数没有和的概念。（注：在某些特殊含

义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。） 2． 基本性质

（1） 如果1

1

1

1

1

,()n n n n n n n n n n n u v a b au bv a u b v ∞

∞

∞

∞

∞

=====++∑∑∑∑∑和皆收敛,为常数,则收敛,且等于

（2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。

（3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。

（4） 级数1

n n u ∞

=∑收敛的必要条件是lim 0n n u →∞

=

（注：引言中提到的级数11

(1),n n ∞

+=-∑具有lim n →∞

()

1

1n +-不存在，因此收敛级数的必要条件不满

足，1

n ∞

=∑

()

1

1n +-发散。调和级数1

n ∞

=∑

1n 满足lim n →∞10,n =但1

n ∞

=∑1

n 却是发散的，所以满足收敛

级数的必要条件lim n →∞

0n u =，而1

n ∞

=∑n u 收敛性尚不能确定。）

3．两类重要的级数

（1）等比级数（几何级数）：0

n n ar ∞

=∑ ()0a ≠

当1r <时，0n

n ar ∞

=∑1a

r =-收敛；当1r ≥时，0

n n ar ∞

=∑发散

（2）p--级数：11p n n ∞=∑ 当p>1时，11p n n ∞=∑收敛， 当p ≤1时11

p n n

∞=∑发散

（注：p>1时，11p n n ∞=∑的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知1

n ∞

=∑2

216n π=）

二、正项级数敛散性的判别法

()01,2,3,

n u n ≥=若则1

n n u ∞

=∑称为正项级数，这时(){}11,2,3,n n n S S n S +≥=所以是单调

加数列，它是否收敛就只取决于n S 是否有上界，因此1

n ∞=∑n n u S ?收敛有上界，这是正项级数比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。 1. 比较判别法

0,0n n c n N cv u >≥≥>设当时,皆成立,如果1

n n v ∞=∑收敛，则1

n n u ∞=∑收敛；如果1

n n u ∞

=∑发散，则

1

n

n v

∞

=∑发散。

2. 比较判别法的极限形式：设0,0,(1,2,3,)n n u v n ≥≥= 若lim n →∞

n

n

u A v = 当0

n n u ∞

=∑与1

n n v ∞

=∑同时收敛或同时发散。

当A=0时，若1

n n v ∞=∑收敛，则1

n n u ∞

=∑收敛。

当A=+∞时，若1

n n u ∞=∑收敛，则1

n n v ∞

=∑收敛。

3．比值判别法（达朗倍尔）：设n u >0，而lim n →∞

1

n n

u u ρ+= 当ρ<1时，则1n n u ∞

=∑收敛

当ρ>1时(包括ρ=+∞)，则1

n n u ∞

=∑发散

当ρ=1时，此判别法无效（注：如果lim

n →∞

1

n n

u u +不存在时，此判别法也无法用） 4．根值判别法（柯西）：设n u ≥0，而lim n

→∞

ρ=

当ρ<1时，则1

n n u ∞

=∑收敛

当ρ>1时(包括ρ=+∞)，则1

n n u ∞

=∑发散

当ρ=1时，此判别法无效

事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论，应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在ρ=1情形下都无能为力。数学上有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说不作要求。 三、交错级数及其莱布尼兹判别法 1．交错级数概念：若n u >0,

1

n ∞

=∑

1(1)n n u +-称为交错级数。

2．莱布尼兹判别法：设交错级数1

n ∞

=∑1(1)n n u +-满足：

1）1n u +≤n u (1,2,3,)n =

2) lim n →∞

n u =0 ，则1n ∞=∑1

(1)n n u +-收敛，且0<1

n ∞

=∑1(1)n n u +-<1u

四、绝对收敛与条件收敛

1．定理：若1

n ∞

=∑n u 收敛，则1

n ∞

=∑n u 一定收敛；反之不然。

2．定义：若1

n ∞=∑n u 收敛，则称1

n ∞

=∑n u 为绝对收敛；

若1

n ∞=∑n u 收敛，而1

n ∞=∑n u 发散，则称1

n ∞

=∑n u 为条件收敛。

3．有关性质

1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。

2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即1n ∞

=∑

12（n u +n u ）或1

n ∞

=∑12（n u —n u ）一定是发散的。

4．一类重要的级数：设1n ∞

=∑

1

(1)n n

ρ

+- 当ρ>1时，1

n ∞

=∑

1

(1)n n

ρ

+-是绝对收敛的 当0<ρ≤1时，1

n ∞

=∑

1

(1)n n

ρ

+-是条件收敛的 当ρ≤0时，1

n ∞

=∑

1

(1)n n

ρ

+-是发散的 §11.2 幂级数

一、函数项级数及其收敛域与和函数 1． 函数项级数的概念

设()n u x (1,2,3,)n =皆定义在区间I 上，则1n ∞

=∑()n u x 称为区间I 上的函数项级数。

2． 收敛域

设0x ∈I ，如果常数项级数1

n ∞

=∑0()n u x 收敛，则称0x 是函数项级数1

n ∞

=∑()n u x 的收敛点，如

果1

n ∞=∑0()n u x 发散，则称0x 是1

n ∞=∑()n u x 的发散点。函数项级数1

n ∞

=∑()n u x 的所有收敛点构

成的集合就称为收敛域。所有发散点构成的集合你为发散域。

武大《高等数学》期末考试试题

2000～2001学年第二学期《 高等数学 》期末考试试题（180学时） 专业班级 学号_______________ 姓名 一、 已知一个二阶常系数线性齐次微分方程有相等的实根a ，试写出此微分方程及通解。 （8分） 二、 设幂级数∑∞=?0 )1(n n n x a 在x =3处发散，在x =1处收敛，试求出此幂级数的收敛半径。（8分） 三、 求曲面323 =+xz y x 在点（1，1，1）处的切平面方程和法线方程 。（10分） 四、 设)(,0x f x >为连续可微函数，且2)1(=f ，对0>x 的任一闭曲线L，有0)(43=+∫L dy x xf ydx x ，求)(x f 。 （10分） 五、 设曲线L （起点为A ，终点为B ）在极坐标下的方程为36(,2sin πθπθ≤≤= r ，其中θ=6π 对应起点A ，3 π θ=对应终点B ，试计算∫+?L xdy ydx 。（10分） 六、 设空间闭区域Ω由曲面222y x a z ??=与平面0=z 围成，其中0>a ，Σ为Ω的 表面外侧，且假定Ω的体积V 已知，计算： ∫∫Σ=+?.)1(2222dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x 。（10分） 七、 函数),(y x z z =由0),(=z y y x F 所确定，F 具有连续的一阶偏导数，求dz 。 （12分） 八、 计算∫∫∫Ω +,)(22dxdydz y x 其中Ω是由平面z =2与曲面2222z y x =+所围成的闭区域。（12分） 九、 已知级数 ∑∞=1n n U 的部分和arctgn S n =，试写出该级数，并求其和，且判断级数∑∞=1n n tgU 的敛散性。（12分） 十、 设)(x f 连续，证明∫∫∫??=?A A D dt t A t f dxdy y x f |)|)(()(，其中A 为正常数。D ：2||,2||A y A x ≤≤ 。（8分）

大学高等数学期末考试题及答案详解(计算题)

大学数学期末高等数学试卷（计算题） 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) .d )1(22x x x ? +求 2、(本小题5分) 求极限　lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数　的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题

高等数学教材(较完整)

目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (3) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (4) 5、复合函数 (4) 6、初等函数 (4) 7、双曲函数及反双曲函数 (5) 8、数列的极限 (6) 9、函数的极限 (6) 10、函数极限的运算规则 (7)

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。 即C U A＝｛x|x∈U，且x?A｝。 集合中元素的个数 ⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。 ⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的问题：

同济大学版高等数学期末考试试卷

同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???

同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)

学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------

高等数学(同济第六版)上册-期末复习题(含答案)

※高等数学上册期末复习 一.填空题 1.=-→x x e x x 2sin 2cos lim 30 2 3 2.曲线x xe y -=的拐点是 )2,2(2 -e 3．设)(x f 在0=x 处可导且,0)0(=f 则=→x x f x ) (lim 0 )0(f ' 4.曲线x x y +-= 22cos 1在)2 1,2(π π+处的切线方程为 1y x =+ 5．曲线1 22 -=x x y 有垂直渐近线 1±=x 和水平渐近线 1=y 6.设)(u f 可导，)]([sin 2x e f y =,则=dy dx e e f e f x x x ?'?)()]([2sin #7.=?dx e x 4 )1(22 +e 8．若3)(0-='x f ,则=--+→h h x f h x f h ) 3()(lim 000 12- 9.若 dx x p ? +∞ 1 收敛,则p 的范围是 1-

=0 ,0,)(2x x x x x f ，则?-=11)(dx x f 61 - #14．过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程为 12 +=x y 15.已知函数?????=≠=0 ,0 ,sin )(x a x x x x f ，则当→x ∞时,函数)(x f 是无穷小；当 =a 1时,函数)(x f 在0=x 处连续，否则0=x 为函数的第 (一）类间断 点。 １6.已知 ?+=c x F dx x f )()(，则? =-dx x f x )(arcsin 112 c x F +)(arcsin

高等数学学期期末考试题(含答案全)

05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷) 专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________ 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位” 一,填空题 (每题4分,共32分) 1. 213______4 x y kx y z k π +-=-==若平面与平面成 角,则 1/4 2. 曲线20 cos ,sin cos ,1t u t x e udu y t t z e = =+=+? 在t = 0处的切线方程为________________ 3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x ??为____________ 4. ( ),dy f x y dx ?1 交换的积分次序为_________________________ 5．()2221,L x y x y ds +=-=?L 已知是圆周则 _________π- 6. 收敛 7. 设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径是2,则幂级数 21 n n n a x ∞ +=∑的收敛半径是 8. ()211x y ''+=微分方程的通解是 ()2121 arctan ln 12 y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分) 1．讨论函数 f ( x, y ) = 221 ,x y + 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0 在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330 2．求函数2 222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为坐 标原点。 3．2 1 2.1n n n n n ∞ =?? ?+?? ∑判别级数的敛散性 P ．544 4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dz f dy f x f dx y f '+??? ??'+'+?'2211. 012 112x y z ---==z z yz x e xy ?=?-211sin ____________1 n n n ∞ =++∑级数的敛散性为

合肥工业大学大一上学期高数期末考试题

高数期末考试 一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 2. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x = ??x x x x f d cos )(则 . 3. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ . 4. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 5. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 6. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 7. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 8. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 9. 设函数)(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且→=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 并讨论' ()g x 在=0x 处的连续性. 10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1 (1)9y 的解. 四、 解答题（本大题10分）

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)

???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求20ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设y =求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>?

5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22l n l n l n (1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分

大学高等数学教材23599

高等数学教材

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

高等数学基础期末复习资料全

《高等数学基础》课程期末考试复习资料册 一、单项选择题 1.设函数f(x)的定义域为，则函数f(x)+f(-x)的图形关于(C)对称. A.y=x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点 2.函数在x=0处连续，则k=(C）. A.1 B.5 D.0 3.下列等式中正确的是(C). 4.若F(x)是4.f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(A). 5.下列无穷限积分收敛的是(D).

6.设函数f (x)的定义域为，则函数f(x)- f(-x)的图形关于( D)对称. A.y=x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点 7.当时，下列变量中( A)是无穷大量. 8.设f (x)在点x=1处可导，则 =(B). 9.函数在区间(2,4)满足(A). A.先单调下降再单调上升 B.单调上升 C.先单调上升再单调下降 D.单调下降 10.=(B). A.0 B. П C.2П D. П/2 11.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等. 12.当，变量(C)是无穷小量.

13.设f(x)在点x=0处可导，则=(A). 14.若f(x)的一个原函数是，则=（D）. 15.下列无穷限积分收敛的是(C). 16.设函数f(x)的定义域为，则函数的图形关于(A)对称. A.坐标原点 B.x轴 C.y轴 D. y=x 17.当时，变量(D)是无穷小量.

18.设f(x)在x。可导，则=（C）. 19.若则=（B）. 20. =（A）. 21.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等. 22.当k=（C）时，在点x=0处连续. A. -1 B. 0 c.1 D.2 23. 函数在区间(2,4)满足(B). A. 先单调下降再单调上升 B.单调上升 C. 先单调上升再单调下降 D.单调下降

(精选)大一高数期末考试试题

一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1． 2 1 lim() x x x e x →-= .2． ()()1 2005 1 1x x x x e e dx --+-= ? .3．设函数()y y x =由方程 2 1 x y t e dt x +-=? 确定，则 x dy dx == .4. 设()x f 可导，且1 ()()x tf t dt f x =?，1)0(=f ， 则()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解 为 . 二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1．设常数0>k ，则函数 k e x x x f +- =ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分 方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）. （A ）cos2y A x *=; （B ）cos 2y Ax x * =; （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x * =+; （D ） x A y 2sin *=.3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b a d c dx x f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积, 则()0b a f x dx ≥?;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有 ()()?? +=T T a a dx x f dx x f 0 ;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0 x t f t dt ?也为奇函数.4. 设 ()x x e e x f 11 321++= , 则0=x 是)(x f 的（ ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1． 计算定积分 2 30 x e dx - 2．2．计算不定积分dx x x x ? 5cos sin . 求摆线???-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在 2π= t 处的切线的方程.

大学高等数学教材

大学高等数学教材 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 　求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x

《高等数学B》本科期末考试试卷A卷

西南科技大学2013-2014-2学期 《高等数学B2》本科期末考试试卷（A卷） C.6 D.8 1 1)n的敛散性为（）

4、求函数3u xy z =在点(1,1,2)-处的梯度__________。 5、设,αβ为有向曲线弧L 在点(,)x y 处的切向量的方向角，则平面曲线L 上的两类曲线积分的关系(________________)L L Pdx Qdy ds +=??。 三、解答题（1-2小题每题8分，3-8小题每题9分，共70分） 1、求曲面22214x y z ++=上平行于平面2320x y z ++=的切平面方程。 2、设2 2 (,),z f x y xy =-，其中f 具有连续的二阶偏导数，求2z x y ???。 3、求函数4242z x xy y =-+的极值。 4、计算|1|D I x y dxdy =+-??，其中[0,1][0,1]D =?。 5、把二次积分4 2200 )dx x y dy +?化为极坐标形式，并计算积分值。 n n 的收敛半径与收敛域。的一段弧。西南科技大学《高等数学B2

000 123 x y z k ===令 ，代入方程22214x y z ++=中可得1k =±---————--4分， 在点（1，2，3）处的切平面为2314x y z ++=-————----2分， 在点（-1，-2，-3）处的切平面为23140x y z +++=----————-2分。 2、解：122(3)z xf yf x ?'' =+?分。 3、解：3440,440x y z x y z x y =-==-+=求得驻点为（0，0），（1，1），（-1，-1）。（3分） 212,4,4xx xy yy A z x B z C z ====-==，在点（0，0）处2160AC B -=-<没有极值，（3分） 在点（1，1）和（-1，-1）处2320,0AC B A -=>>，所以有极小值(1,1) 1.z ±±=-（3分） 4、解： 5 、解3334 4cos 22 3 4 2200 )64cos 12dx x y dy d r dr d π π θ θθθπ+===??? ?分 分 分 。 6、解：131lim 3 31n n n n n ρ+→∞==+，所以收敛半径为3，收敛区间为323x -<-<，即15 x -<<（3分） 当5x =时11313n n n n n n ∞ ∞===∑∑发散（2分），当1x =-时11 (3)(1)3n n n n n n n ∞∞ ==--=∑∑收敛，（2分） 因此原级数的收敛域为[1,5)-。（2分） 7、解：42332,4,24Q P P xy y Q x xy x y x y ??=-=-==-??，所以该曲线积分和积分路径无关。（4分） 11 4 2 3 30 (23)(4)314)=3L xy y dx x xy dy dx y dy -++-=+-???（（5分） 8、解：由高斯公式得22322()2=()xy dydz x y z dzdx xydxdy x y dxdy ∑ Ω +-++?????（4分） 由柱面坐标2 24 2230028()3 r x y dxdydz d r dz ππ θΩ +== ?????（5分）

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .