概率论与数理统计习题 二解析【哈工大版】

2004图论复习题答案

图论复习题答案 一、判断题，对打，错打 1．无向完全图是正则图。 () 2．零图是平凡图。() 3．连通图的补图是连通图.() 4．非连通图的补图是非连通图。() 5．若连通无向简单图G中无圈，则每条边都是割边。() 6．若无向简单图G是（n，m）图，并且m=n-1，则G是树。() 7．任何树都至少有2片树叶。() 8．任何无向图G都至少有一个生成树。() 9．非平凡树是二分图。() 10．所有树叶的级均相同的二元树是完全二元树。() 11．任何一个位置二元树的树叶都对应唯一一个前缀码。() 12． K是欧拉图也是哈密顿图。() 3,3 13．二分图的对偶图是欧拉图。() 14．平面图的对偶图是连通图。() 页脚内容1

15．设G*是平面图G的对偶图，则G*的面数等于G的顶点数。() 二、填空题 1．无向完全图K6有15条边。 2．有三个顶点的所有互不同构的简单无向图有4个。 3．设树T中有2个3度顶点和3个4度顶点，其余的顶点都是树叶，则T中有10片树叶。 4．若连通无向图G是（n，m）图，T是G的生成树，则基本割集有n-1个，基本圈有m-n+1个。 5．设连通无向图G有k个奇顶点，要使G变成欧拉图，在G中至少要加k/2条边。 6．连通无向图G是（n，m）图，若G是平面图，则G有m-n+2个面。 三、解答题 1．有向图D如图1所示，利用D的邻接矩阵及其幂运算 求解下列问题： （1）D中长度等于3的通路和回路各有多少条。 （2）求D的可达性矩阵。 （3）求D的强分图。 解：（1） a b c d e 图1 页脚内容2

页脚内容3 M=????????????????000101000000001 010*******M 2=?? ? ? ??????? ?????010******* 000101000001000 M 3=????????????????10000 01000010000001010000M 4=??? ???? ? ??? ?????00010 01000 100000100000010 由M 3可知，D 中长度等于3的通路有5条，长度等于3的回路有3条。 （2） I+M+M 2+M 3+M 4=????????????? ???100000100000100 0001000001 +??????????? ?? ???000101000000001 010******* +??????????? ?? ???010000001000010 1000001000 +??? ???? ? ??? ?? ???100000100001000 0001010000 + ????????????????00010 01000100000100000010 =??? ???? ???? ?? ???21020 1301011111 020******* D 的可达性矩阵为 R=B （I+M+M 2+M 3+M 4）=??? ???? ? ????? ???110101********* 1101011011 b c d e 图1

哈工大电路原理基础课后习题

第一章习题 1.1 图示元件当时间t<２s时电流为2A,从a流向b；当t>２s时为3A，从b流向a。根据图示参考方向,写出电流的数学表达式。 １.２图示元件电压u=(5-9e-t/τ)V,τ>０。分别求出t＝0 和t→∞时电压u的代数值及其真实方向。 图题１．1图题1．２ 1．3 图示电路。设元件A消耗功率为10W，求;设元件B消耗功率为－10W，求；设元件C发出功率为-１０Ｗ，求。 图题1．3 1.4求图示电路电流。若只求,能否一步求得？ 1.５图示电路,已知部分电流值和部分电压值。 (１) 试求其余未知电流。若少已知一个电流，能否求出全部未知电流? (2) 试求其余未知电压u14、u15、u5２、u5３。若少已知一个电压，能否求出全部未知电压？ 1．6 图示电路,已知,,,。求各元件消耗的功率。 1.7 图示电路，已知,。求(a)、(ｂ)两电路各电源发出的功率和电阻吸收的功率。 1.８求图示电路电压。 1.9 求图示电路两个独立电源各自发出的功率。 1．１0求网络Ｎ吸收的功率和电流源发出的功率。 1．11 求图示电路两个独立电源各自发出的功率。

１.12 求图示电路两个受控源各自发出的功率。 1.13 图示电路，已知电流源发出的功率是12W，求r的值。 １.1４求图示电路受控源和独立源各自发出的功率。 1.１5图示电路为独立源、受控源和电阻组成的一端口。试求出其端口特性，即关系。 1.16 讨论图示电路中开关Ｓ开闭对电路中各元件的电压、电流和功率的影响,加深对独立源特性的理解。 第二章习题 2.1 图(a)电路,若使电流A，,求电阻;图(ｂ)电路,若使电压U=(2／3)V,求电阻R。 2.2 求图示电路的电压及电流。 2．3图示电路中要求，等效电阻。求和的值。 2.4求图示电路的电流I。

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。

哈工大集合与图论习题

集合与图论习题 第一章习题 ．画出具有个顶点地所有无向图(同构地只算一个). ．画出具有个顶点地所有有向图(同构地只算一个). ．画出具有个、个、个顶点地三次图. ．某次宴会上，许多人互相握手.证明：握过奇数次手地人数为偶数(注意，是偶数). ．证明：哥尼斯堡七桥问题无解. ．设与是图地两个不同顶点.若与间有两条不同地通道(迹)，则中是否有回路？ ．证明：一个连通地(，)图中≥. ．设是一个(，)图，δ()≥[]，试证是连通地. ．证明：在一个连通图中，两条最长地路有一个公共地顶点. ．在一个有个人地宴会上，每个人至少有个朋友(≤≤).试证：有不少于个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人地左、右均是他地朋友.b5E2R。 ．一个图是连通地，当且仅当将划分成两个非空子集和时，总有一条联结地一个顶点与地一个顶点地边. ．设是图.证明：若δ()≥ ，则包含长至少是δ()地回路. ．设是一个(，)图，证明： ()≥，则中有回路； ()若≥，则包含两个边不重地回路. ．证明：若图不是连通图，则是连通图. ．设是个(，)图，试证： ()δ()·δ()≤[()]([()])，若≡，，( ) () δ()·δ()≤[()]·[()]，若≡( ) ．证明：每一个自补图有或个顶点. ．构造一个有个顶点而没有三角形地三次图，其中≥. .给出一个个顶点地非哈密顿图地例子，使得每一对不邻接地顶点和，均有 ≥ ．试求中不同地哈密顿回路地个数. ．试证：图四中地图不是哈密顿图. ．完全偶图，为哈密顿图地充分必要条件是什么？

．菱形面体地表面上有无哈密顿回路？ ．设是一个(≥)个顶点地图.和是地两个不邻接地顶点，并且≥.证明：是哈密顿图当且仅当是哈密顿图. ．设是一个有个顶点地图.证明：若>δ()，则有长至少为δ()地路. ．证明具有奇数顶点地偶图不是哈密顿图. ．证明：若为奇数，则中有()个两两无公共边地哈密顿回路. ．中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局.若他必须至少一次走过他所管辖范围内地每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少地路程.这个问题是我国数学家管梅谷于年首先提出地，国外称之为中国邮路问题.p1Ean。 ()试将中国邮路问题用图论述语描述出来. ()中国邮路问题、欧拉图问题及最短路问题之间有何联系. 第三章习题 ．分别画出具有、、个顶点地所有树(同构地只算一个). ．证明：每个非平凡树是偶图. ．设是一棵树且Δ()≥，证明：中至少有个度为地顶点. ．令是一个有个顶点，个支地森林，证明：有条边. ．设是一个个顶点地树.证明：若图地最小度δ()≥，则有一个同构于地子图. ．一棵树有个度为地顶点，个度为地顶点，…，个度为地顶点，则有多少个度为地顶点？ .设是一个连通图.试证：地子图是地某个生成树地子图，当且仅当 没有回路. ．证明：连通图地任一条边必是它地某个生成树地一条边. ．设是一个边带权连通图，地每条边均在地某个回路上.试证：若地边地权大于地任一其他边地权，则不在地任一最小生成树中.DXDiT。 . 设(，，)是一个边带权连通图，对任意∈，()≥.试证：地一个生成树是地最小生成树，当且仅当时地任一与地距离为地生成树′′满足条件：在中而不在′′中地边地权()不大于在′′中而不在中地边′地权(′).RTCrp。 .某镇有人，每天他们中地每个人把昨天听到地消息告诉他认识地人.已知任何 消息，只要镇上有人知道，都会经这种方式逐渐地为全镇上所有人知道.试证：可选出个居民代表使得只要同时向他们传达某一消息，经天就会为全镇居民知道.5PCzV。 个顶点地图中，最多有多少个割点？ ．证明：恰有两个顶点不是割点地连通图是一条路.

概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.

概率论与数理统计习题及答案

习题二 3.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 故X 的分布律为 （2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 22 35 当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数 (3) 4.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3. 故X 的分布律为 分布函数 5.（1） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=! k a k λ， 其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ， 试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知 故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知 即 1a =. 6.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率;

（2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7) (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+ 331212 33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++ (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ =0.243 7.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有 即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松近似 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则 故 1 3 p = 所以 4451210(4)C ()33243 P X === . 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3） (2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3） 10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间 隔起点无关（时间以小时计）. （1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32 (0)e P X -== (2) 52 (1)1(0)1e P X P X - ≥=-==- 11.设P {X =k }=k k k p p --22) 1(C , k =0,1,2 P {Y =m }=m m m p p --44) 1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=5 9 ，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥= ，故4(1)9 P X <=. 而 2 (1)(0)(1)P X P X p <===-

图论1-3藏习题解答

学号：0441 姓名：张倩 习题1 4．证明图1-28中的两图是同构的 证明：将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图 作映射f : f(v i )?u i (1? i ? 10) 容易证明，对?v i v j ?E((a)),有f(v i v j )?u i u j ?E((b)) (1? i ? 10, 1?j? 10 ) 由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。 5.证明：四个顶点的非同构简单图有11个。 证明：设四个顶点中边的个数为m ，则有： m=0: m=1 ： m=2： m=3： (a) v 1 v 2 v 3 v v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 (b)

m=4： m=5： m=6： 因为四个顶点的简单图最多就是具有6条边，上面所列出的情形是在不同边的条件下的不同构的情形，则从上面穷举出的情况可以看出四个顶点的非同构简单图有11个。 11.证明：序列（7,6,5,4,3,3,2）和（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。 证明：由于7个顶点的简单图的最大度不会超过6，因此序列（7,6,5,4,3,3,2）不是图序列； （6,6,5,4,3,3,1）是图序列 ()1 1 123121,1,,1,,,=d d n d d d d d π++---是图序列 （5,4,3,2,2,0）是图序列，然而（5,4,3,2,2,0）不是图序列，所以（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。 12.证明：若δ≥2，则G 包含圈。 证明 只就连通图证明即可。设V(G)=｛v1,v2,…,vn｝,对于G 中的路v1v2…vk,若vk 与v1邻接，则构成一个圈。若vi1vi2…vin 是一条路，由于?? 2，因此，对vin ，存在点vik 与之邻接，则vik?vinvik 构成一个圈 。 17.证明：若G 不连通，则G 连通。 证明 对)(,_ G V v u ∈?,若u 与v 属于G 的不同连通分支，显然u 与v 在_ G 中连通；若u 与v 属于g 的同一连通分支，设w 为G 的另一个连通分支中的一个顶点，则u 与w ，v 与w 分别在_ G 中连通，因此，u 与v 在_ G 中连通。

概率论与数理统计模拟试题

模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为

5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：

哈工大图论习题

哈工大图论习题

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1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。 2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。 3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。 4．某次宴会上，许多人互相握手。证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。 5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。 6．设u与v是图G的两个不同顶点。若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？ 7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。 8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。 9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。 10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。 11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。 12．设G是图。证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。 13．设G是一个(p，q)图，证明： (a)q≥p，则G中有回路； (b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。 14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。 15．设G是个(p，q)图，试证： (a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4) (b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4) 16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。 17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。 18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有 degu+degv≥9 19．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。 20．试证：图四中的图不是哈密顿图。 21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？ 22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？ 23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。u和v是G的两个不邻接的顶点，并且degu+degv ≥p。证明：G是哈密顿图当且仅当G+uv是哈密顿图。 24．设G是一个有p个顶点的图。证明：若p>2δ(G)，则有长至少为2δ(G)的路。 25．证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图。 26．证明：若p为奇数，则Kp中有(p-1)/2个两两无公共边的哈密顿回路。 28．中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局。若他必须至少一次走过他所管辖范围内的每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少的路程。这个问题是我国数学家管梅谷于1962年首先提出的，国外称之为中国邮路问题。 (1)试将中国邮路问题用图论述语描述出来。 (2)中国邮路问题、欧拉图问题及最短路问题之间有何联系。

哈工大集合论习题课-第六章树及割集习题课(学生)

第六章 树及割集 习题课1 课堂例题 例1 设T 是一棵树，T 有3个度为3顶点，1个2度顶点，其余均是1度顶点。则 （1）求T 有几个1度顶点 （2）画出满足上述要求的不同构的两棵树。 分析：对于任一棵树T ，其顶点数p 和边数q 的关系是：1q p =-且 1 deg()2i p i v q ==∑，根据这些性质容易求解。 解：（1）设该树T 的顶点数为p ，边数为q ，并设树T 中有x 个1度顶点。于是 1 deg()33122i p i v x q ==?+?+=∑且31p x =++，1q p =-，得5x =。 （2）满足上述要求的两棵不同构的无向树，如图1所示。 图1 例2设G 是一棵树且()G k ?≥，证明G 中至少有k 个度为1顶点。 证：设T 中有p 个顶点，s 个树叶，则T 中其余p s -个顶点的度数均大于等于2，且至少有一个顶点的度大于等于k 。由握手定理可得： 1222()2(1)p i i q p deg v p s k s ==-=≥--++∑，有s k ≥。 所以T 中至少有k 个树叶 。 习题 例1 若无向图G 中有p 个顶点，1p -条边，则G 为树。这个命题正确吗为什么 解：不正确。3K 与平凡图构成的非连通图中有四个顶点三条边，显然它不是树。 例2设树T 中有2n 个度为1的顶点，有3n 个度为2的顶点，有n 个度为3的顶点，则这棵树有多少个顶点和多少条边

解：设T 有p 个顶点，q 条边，则123161q p n n n n =-=++-=-。由 deg()2v V v q ∈=∑有：1223322(61)122n n n q n n ?+?+?==-=-，解得：n =2。 故11,12q p ==。 例3证明恰有两个顶点度数为1的树必为一条通路。 证：设T 是一棵具有两个顶点度数为1的(,)p q 树，则1q p =-且 1 deg()2p i i v q ==∑2(1)p =-。 又T 除两个顶点度数为1外，其他顶点度均大于等于2，故 2 1 1 deg()2deg()2(1)p p i i i i v v p -===+=-∑∑，即 2 1 deg()2(2)p i i v p -==-∑。 因此2p -个分支点的度数都恰为2，即T 为一条通路。 例4 画出具有4、5、6、7个顶点的所有非同构的无向树。 解：4个顶点的非同构的无向树有两棵，如图21(),()a b 所示； 5个顶点的非同构的无向树有3棵，如图21(),(),()c d e 所示。 （a ） (b) (c) (d) (e) 图2 6个顶点的非同构的无向树有6棵，如图3所示。 图3 7个顶点的非同构的无向树有11棵，如图4所示。 所画出的树具有6条边，因而七个顶点的度数之和应为12。由于每个顶点的度数均大于等于1，因而可产生以下七种度数序列127(,,,)d d d L ： （1）1111116；（2）1111125；（3）1111134；（4）1111224； （5）1111233；

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率

为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，

概率论与数理统计习题集及答案

概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤

（1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

概率论与数理统计复习题--带答案

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000

哈工大概率论与数理统计课后习题答案 一

·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生；

哈工大威海校区2015春集合图论试题A

姓名: 班级: 学号: 遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范 哈尔滨工业大学（威海）2014 / 2015学年春季学期 集合论与图论 试题卷（A ） 考试形式（开、闭卷）：闭卷 答题时间：105（分钟）本卷面成绩占课程成绩 30 % 试卷说明： [1] 卷面总分100分，取卷面成绩的70%计入总分，平时成绩30%。 [2] 填空题请在答题卡内答题，其它处无效。 [3] 答卷时禁止拆开试卷钉，背面即为草稿纸。 一、填空题（每小题2分，共20分）

(1) 集合的（）表示方法可能产生悖论。 (2) 映射f左可逆的充分必要条件是：（）。 (3) 设R={(a, b),(c, d),(e, f)}是一个二元关系，则R的逆记为R-1，R-1=（）。 (4) n个顶点的完全图的边的个数是( )。 (5) 一个无向图的边数为20，那么所有顶点的度数和为（）。 (6) 设G是一个有p个顶点q条边的最大可平面图,则: q=( )。 (7) 一个图是树当且仅当G是连通的且p=（）。 (8) G是一个p个顶点q条边的最大平面图,则G的每个面都是( )形。 (9) 若G是偶数个顶点的圈，则G是（）色的。 (10) 当顶点数大于2时，树的连通度是（）。

二、简答题(每小题5分，共20分) 1.设集合X=｛a,b,c,d,e｝，E={a,b,c}是X的子集。写出E的特征函数。 2.R=｛（1，b），（2,c），（3,a），（4,d）｝是集合A=｛1，2，3，4｝到集合B=｛a,b,c,d｝的一个二元关系，画出R的关系矩阵和关系图。 3.举例说明什么是偏序关系？什么是偏序集？ 4.简述图的连通度、边连通度、最小度之间的关系。

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
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§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19