指数运算和指数函数
指数运算和指数函数
一、知识点
1.根式的性质
（1）当n 为奇数时，有a a n
n
= （2）当n 为偶数时，有?
??<-≥==)0(,)
0(,a a a a a a n
n
（3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零
2.幂的有关概念
(1)正整数指数幂：)(.............*∈??=N n a a a a a n
n
(2)零指数幂)0(10
≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1
*∈≠=
-N p a a a p
p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a a
n m n
m 且
(5)负分数指数幂 n
m n
m a
a
1=
-
)1,,,0(>*∈>n N n m a 且
(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质 (1)),,0(,Q s r a a
a a s
r s
r
∈>=?+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>=
(3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s
r
r
∈>>?=
4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x
且叫做指数函数。 5. 指数函数的图象和性质
二、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）
① x
y a = ②x
y b = ③x y c = ④x y d =
则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c
又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数
11
2,3,
(),
()23
x x x x y y y y ====的图像：
三、指数式大小比较方法
(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法
比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
①若0A B A B ->?>；0A B A B -
②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1A
B
<即可． 四、典型例题
类型一、指数函数的概念
例1．函数2
(33)x
y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2
【解析】由2
(33)x
y a a a =-+是指数函数，
可得2331,0,1,
a a a a ?-+=?>≠?且解得12,
01,a a a a ==??>≠?或且，所以2a =．
举一反三：
【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？
（1）4x
y =；（2）4
y x =；（3）4x
y =-；（4）(4)x
y =-； （5）1
(21)(1)2
x
y a a a =->
≠且；（6）4x y -=． 【答案】（1）（5）（6）
【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4x y -==14x
?? ???
，符合指数函数的定
义，而（2）中底数x 不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x 的乘积；（4）中底数40-<，所以不是指数函数．
类型二、函数的定义域、值域
例2．求下列函数的定义域、值域.
(1)313x x
y =+；(2)y=4x -2x
+1；(4)y =(a 为大于1的常数)
【答案】（1）R ，(0，1)；（2）R [
+∞,4
3
)； （3）1,2??
-
+∞????
[)0,+∞；（4）[1，a)∪(a ，+∞) 【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，3x
≠-1).
∵ (13)1111313
x x x
y +-==-++，又∵ 3x >0， 1+3x
>1， ∴ 10113x <
<+， ∴ 1
1013x
-<-<+，
∴ 1
01113
x
<-<+， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，4
3)212(12)2(22+-=+-=x
x x y ，∵ 2x >0， ∴ 212=x 即 x=-1
时，y 取最小值43，同时y 可以取一切大于43的实数，∴ 值域为[+∞,4
3
).
(3)要使函数有意义可得到不等式21
1309
x --≥，
即21233x --≥，又函数3x y =是增函数，所以212x -≥-，即12x ≥-
，即1,2??
-+∞????
，值域是[)0,+∞. (4)∵
01
1
112≥+-=-+x x x x ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)， 又∵
11
1
011≠+-≥+-x x x x 且，∴ a a
y a y x x
x x
≠=≥=-+-+11
211
21且， ∴值域为[1，
a)∪(a ，+∞).
【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中
11
2
111≠+-=+-x x x 不能遗漏.
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域： (1)2-1
2x y =
(2)y =
(3)y =
0,1)y a a =>≠
【答案】（1）R ；（2）(]-3∞，；（3）[)0,+∞；（4）a>1时，(]-0∞，；0 【解析】(1)R (2)要使原式有意义，需满足3-x ≥0，即3x ≤，即(]-3∞，． (3) 为使得原函数有意义，需满足2x -1≥0，即2x ≥1，故x ≥0，即[)0,+∞ (4) 为使得原函数有意义，需满足10x a -≥，即1x a ≤，所以a>1时，(]-0∞，；0 时，[)0+∞，. 【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系. 类型三、指数函数的单调性及其应用 例3．讨论函数221()3x x f x -??= ? ?? 的单调性，并求其值域． 【思路点拨】对于x ∈R ，22103x x -??> ? ?? 恒成立，因此可以通过作商讨论函数()f x 的单 调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果． 【答案】函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数 （0，3] 【解析】 解法一：∵函数()f x 的定义域为（－∞，+∞），设x 1、x 2∈（－∞，+∞）且有x 1＜x 2， ∴222 221()3x x f x -??= ? ?? ，211 211()3x x f x -?? = ? ?? ， 2 22 22 212121212 1122()()(2)2211()113()3313x x x x x x x x x x x x f x f x -----+--?? ????? ??=== ? ????? ?? ??? ． （1）当x 1＜x 2＜1时，x 1+x 2＜2，即有x 1+x 2－2＜0． 又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＜0，则知2121()(2) 113x x x x -+-?? > ? ?? ． 又对于x ∈R ，()0f x >恒成立，∴21()()f x f x >． ∴函数()f x 在（－∞，1）上单调递增． （2）当1≤x 1＜x 2时，x 1+x 2＞2，即有x 1+x 2－2＞0． 又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＞0，则知 2121()(2) 1013x x x x -+-??<< ??? ．∴21()()f x f x <． ∴函数()f x 在[1，+∞）上单调递减． 综上，函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数． ∵x 2―2x=(x ―1)2―1≥－1，1013<<，221 110333x x --?? ?? <≤= ? ??? ?? ． ∴函数()f x 的值域为（0，3]． 解法二：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2－2x ，则1()3u f u ?? = ??? ． ∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，1()3u f u ?? = ??? 在其定义域内是减函 数，∴函数()f x 在（－∞，1]内为增函数． 又1()3u f u ?? = ??? 在其定义域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，+∞）上是增函 数，∴函数()f x 在[1，+∞）上是减函数． 值域的求法同解法一． 【总结升华】由本例可知，研究() f x y a =型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a ＞1时，() f x y a =的单调性与()y f x =的单调性相同；当0 ＜a ＜1时，() f x y a =的单调与()y f x =的单调性相反． 举一反三： 【变式1】求函数2 32 3x x y -+-=的单调区间及值域. 【答案】3(,]2x ∈-∞上单增，在3 [,)2 x ∈+∞上单减. 1 4(0,3] 【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2 +3x-2， y=3u ； [2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域. 设u=-x 2+3x-2， y=3u ， 其中y=3u 为R 上的单调增函数，u=-x 2 +3x-2在3(,]2 x ∈-∞上单增， u=-x 2 +3x-2在3[,)2 x ∈+∞上单减， 则2 32 3x x y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2 x ∈+∞上单减. 又u=-x 2 +3x-22311 ()244 x =--+≤， 2323x x y -+-=的值域为1 4(0,3]. 【变式2】求函数2 -2()(01)x x f x a a a =>≠其中，且的单调区间. 【解析】当a>1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为增函数，内函数u=x 2-2x 在区间 (1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2 -2()(-1)x x f x a =∞在区间，上为减 函数，在区间[)1+∞，上为增函数； 当0 -2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2 -2()x x f x a =在区间(1)-∞，上为增函数，在 区间[)1,+∞上为减函数. 例4．证明函数1 ()(1)1 x x a f x a a -=>+在定义域上为增函数. 【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。 【解析】定义域为x ∈R ，任取x 1 1212121212 1211(1)(1)(1)(1) ()()11(1)(1)x x x x x x x x x x a a a a a a f x f x a a a a ---+-+--=-=++++ 121 22() (1)(1) x x x x a a a a -=++. ∵1210,10x x a a +>+>， ∴12(1)(1)0x x a a ++>， 又a>1， x 1 a a -<， ∴ f(x 1) 则 1 ()(1)1x x a f x a a -=>+在定义域上为增函数. 另：12121(1)x x x x x a a a a --=-， ∵10x a >， a>1且x 2-x 1>0， ∴211x x a ->， ∴ 2110x x a --<. 【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后，所学的第一个具体函数.因此，在学习中，尽量体会从一般到特殊的过程. 例5．判断下列各数的大小关系： (1)1.8a 与1.8a+1 ； (2)2 4 -231(),3,()33 1 (3)22.5，(2.5)0 ， 2.51()2 (4)0,1)a a >≠ 【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。 【答案】（1）1.8a <1.8a+1 （2）2-24311()<()<333 （3） 2.50 2.5 1()<(2.5)<22 （4）当a>1时，<0 【解析】 (1)因为底数1.8>1，所以函数y=1.8x 为单调增函数， 又因为a . (2)因为44 133-??= ???，又13x y ??= ???是减函数，所以-4 2-23111()<()<333?? ??? ，即 2-24311()<()<333 ． (3)因为 2.5 21>， 2.5 112??< ??? ，所以 2.50 2.5 1()<(2.5)<22 (4)当a>1时，<0 【总结升华】 (1)注意利用单调性解题的规范书写； (2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)； (3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是“0”和“1”). 举一反三： 【变式1】比较大小： (1)22.1与22.3 (2)3.53与3.23 (3)0.9-0.3与1.1-0.1 (4)0.90.3与0.70.4 (5)11 0.2 33241.5,(),()33 -. 【解析】 (1)22.1＜22.3 (2)3.53＞3.23.观察两函数值，底数不同，而指数不变——不是指数函数，而是y=x 3 ，它为增函数. (3)由0.9-0.3，0<0.9<1， -0.3<0?0.9-0.3 >1， 1.1>1， -0.1<0?0<1.1-0.1<1， 则0.9-0.3>1.1-0.1 ； (4)由指数函数图象相对位置关系——数形结合，0.90.3>0.70.4 . (5)∵0.2 0.221.5 ()3 -=，又函数2 ()3x y =为减函数， 001x y >?<<， ∴ 1 0.23 221()()033 >>>， ∵4()3x y =为增函数，1 03 x =>时，y>1，110.233422()()()333>>. 另解：幂函数13y x =为增函数，则有11 3342 ()1()33 >>，(下略). 【高清课堂：指数函数 369066 例1】 【变式2】利用函数的性质比较1 22，133，16 6 【答案】133>122>16 6 【解析】122=3113666 2(2)8== 121123666 33(3)9=== 作出8,9,6x x x y y y ===的图象知 986x x x y y y =>=>= 所以13 3>122>16 6 【变式3】 比较1.5-0.2 ， 1.30.7 ， 1 32 ()3 的大小. 【答案】7.02 .031 3.15 .1)3 2(<<- 【解析】先比较31 512.02 .0)32()32()23(5 .1与==--的大小.由于底数3 2 ∈(0，1)， ∴ x y )32(=在R 上是减函数，∵ 05 1 31>>， ∴ 1)32()32()32(0051 31 =<<<，再考虑指数 函数y=1.3x ， 由于 1.3>1， 所以y=1.3x 在R 上为增函数 1.30.7 >1.30 =1， ∴ 7.02.031 3.15.1)3 2 (<<-. 【总结升华】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0，1等)分别与之比较，从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断. 例6. (分类讨论指数函数的单调性) 【思路点拨】先把被开方数变形成完全平方式的形式，然后对a 进行分类讨论，去掉绝对值。 2 1 21333 3 12 33-,1 --,01 a a a a a a a a ?>?===??< 举一反三： 【变式1】如果21 5x x a a +-≤（0a >，且1a ≠），求x 的取值范围． 【答案】当01a <<时，6x ≥-；当1a >时，6x ≤- 【解析】（1）当01a <<时，由于21 5x x a a +-≤， 215x x ∴+≥-，解得6x ≥-． （2）当1a >时，由于21 5x x a a +-≤， 215x x ∴+≤-，解得6x ≤-． 综上所述，x 的取值范围是：当01a <<时，6x ≥-；当1a >时，6x ≤-． 类型四、判断函数的奇偶性 例7．判断下列函数的奇偶性：)()2 1 121()(x x f x ?+-= (()x ?为奇函数) 【答案】偶函数 【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵()x ?定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是 ()x ?定义域除掉 0这个元素)，令 21 1 21)(+-= x x g ，则2 1 1222121221121)(+--=+-=+-= --x x x x x x g )()2 1121(21121121121)12(x g x x x x -=+--=+---=+----= ∴ g(x)为奇函数， 又 ∵()x ?为奇函数，∴ f(x)为偶函数. 【总结升华】求()()()f x g x x ?=?的奇偶性，可以先判断()g x 与()x ?的奇偶性，然后在根据奇·奇=偶，偶·偶=偶，奇·偶=奇，得出()f x 的奇偶性． 举一反三： 【变式1】判断函数的奇偶性：()2 21x x x f x =+-. 【答案】偶函数 【解析】定义域{x|x ∈R 且x ≠0}， 又112121 ()()()()222211221x x x x x f x x x x --=-+=-+=---- 21111111 ()(1)()()222 212121x x x x x x x f x -+=-=+-=+=---， ∴ f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数. 类型五、指数函数的图象问题 例8．如图的曲线C 1、C 2、C 3、C 4是指数函数x y a =的图象，而1 2a π???? ∈?????? ， 则图象C 1、C 2、C 3、C 4对应的函数的底数依次是________、________、________、________． 【答案】 2 1 2 π 【解析】由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C 2的底数＜C 1的底数＜ C 4的底数＜C 3的底数． 【总结升华】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在y 轴的右边“底大图高”，在y 轴的左边“底大图低”． 举一反三： 【变式1】 设()|31|x f x =-，c ＜b ＜a 且()()()f c f a f b >>，则下列关系式中一定 成立的是（ ） A ．33c b < B ．33c b > C ．332c a +> D ．332c a +< 【答案】D 【变式2】为了得到函数935x y =?+的图象，可以把函数3x y =的图象( ) A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 【答案】C 【解析】注意先将函数935x y =?+转化为2 35x y +=+，再利用图象的平移规律进行 判断． ∵2 9353 5x x y +=?+=+，∴把函数3x y =的图象向左平移2个单位长度，再向上平 移5个单位长度，可得到函数935x y =?+的图象，故选C ． 【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 指数函数测试题1 1．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< a y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于 （ ） A ． 251+ B ． 2 5 1+- C ．251± D ． 215± 3．函数??? ??>≤-=-0 ,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围 （ ） A ．)1,1(- B ． ),1(+∞- C ．}20|{-<>x x x 或 D ．}11|{-<>x x x 或 4．函数2 2)21(++-=x x y 得单调递增区间是 （ ） A ．]21,1[- B ．]1,(--∞ C ．),2[+∞ D ．]2,21 [ 5．已知2 )(x x e e x f --=，则下列正确的是 （ ） A ．奇函数，在R 上为增函数 B ．偶函数，在R 上为增函数 C ．奇函数，在R 上为减函数 D ．偶函数，在R 上为减函数 二、填空题 6．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x f 的定义域是 . 7．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 . 8．已知－1 3 1 ,,3a a a 由小到大的顺序是 . 三、解答题 9．（12分）求函数的定义域. 10．（12分）已知函数)1(122>-+=a a a y x x 在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值. 11．（12分）（1）已知m x f x +-= 1 32 )(是奇函数，求常数m 的值； （2）画出函数|13|-=x y 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k 无 解？有一解？有两解？ 指数函数测试题1答案 一、DCDDD AAD D A 二、11．(0,1)； 12．(2，－2)； 13．3 2 a ； 14．a a a 333 1<< ； 15． 解：要使函数有意义必须：x x x x x -≠-≠??? ???≠≠?? ?10 1 010 ∴定义域为： 16． 解：r r r r r c b c a c b a ? ? ? ??+??? ??=+，其中10,10<<< b c a . 当r ＞1时，1=+ ?? ??+??? ??c b c a c b c a r r ，所以a r +b r ＜c r ； 当r ＜1时，1=+>? ? ? ??+??? ??c b c a c b c a r r ，所以a r +b r ＞c r . 17．解： )1(122>-+=a a a y x x ， 换元为)1 (122a t a t t y <<-+=，对称轴为1-=t . 当1>a ，a t =，即x =1时取最大值，略 解得 a =3 (a = －5舍去) 18．解： （1）常数m =1 （2）当k <0时，直线y =k 与函数 |13|-=x y 的图象无 交点,即方程无解; 当k =0或k ≥1时, 直线y =k 与函数 |13|-=x y 的图象有唯一的交点，所以方程有一解; 当0 19．解： （1）设21 0t t <≤， 因为)(t g 为常数，)()(21t g t g =，即0]][)0([21=----t v r t v r e e r p g ， 则r p g =)0(； （2）设210t t <<，=-)()(21t g t g ]][)0([21 t v r t v r e e r p g ---- =2112])0([t t v r t v r t v r e e e r p g +-?- 因为0)0(<-r p g ，210t t <<，)()(21t g t g <. 污染越来越严重. 指数和指数函数练习2 一、选择题 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ） （A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）2 3．函数f （x ）=(a 2 -1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2 4.下列函数式中，满足f(x+1)=2 1 f(x)的是( ) (A) 21(x+1) (B)x+4 1 (C)2x (D)2-x 5.下列f(x)=(1+a x )2 x a -?是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既奇且偶函数 6．已知a>b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 11<,(4)a 31> b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．函数y=1 21 2+-x x 是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 9．下列函数中，值域为R + 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x 21- 10.函数y=2 x x e e --的反函数是（ ） （A ）奇函数且在R + 上是减函数 （B ）偶函数且在R + 上是减函数 （C ）奇函数且在R +上是增函数 （D ）偶函数且在R + 上是增函数 11．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（2 1）31 12．若函数y=3+2x-1 的反函数的图像经过P 点，则P 点坐标是（ ） （A ）（2，5） （B ）（1，3） （C ）（5，2） （D ）（3，1） 13．函数f(x)=3x +5,则f -1 (x)的定义域是（ ） （A ）（０，＋∞） （B ）（５，＋∞） （C ）（６，＋∞） （D ）（－∞，＋∞） 14.若方程a x -x-a=0有两个根，则a 的取值范围是（ ） （A ）（1，+∞） （B ）（0，1） （C ）（0，+∞） （D ）φ 15．已知函数f(x)=a x +k,它的图像经过点（1，7），又知其反函数的图像经过点（4，0），则函数f(x)的表达式是（ ） (A)f(x)=2x +5 (B)f(x)=5x +3 (C)f(x)=3x +4 (D)f(x)=4x +3 16.已知三个实数a,b=a a ,c=a a a ,其中0.9 （A ）a 17．已知0 +b 的图像必定不经过（ ） (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 二、填空题 1．若a 2 3 2 ,则a 的取值范围是 。 2．若10x =3,10y =4,则10x-y = 。 3．化简?5 3 x x 3 5 x x ×2 3 5 x x = 。 4．函数y= 11 51 --x x 的定义域是 。 5．直线x=a(a>0)与函数y=( 31)x ,y=(2 1)x ,y=2x ,y=10x 的图像依次交于A 、B 、C 、D 四点，则这四点从上到下的排列次序是 。 6．函数y=32 32x -的单调递减区间是 。 7．若f(5 2x-1 )=x-2,则f(125)= . 8．已知f(x)=2x ,g(x)是一次函数，记F （x ）=f[g(x)],并且点（2， 4 1 ）既在函数F （x ） 的图像上，又在F -1 （x ）的图像上，则F （x ）的解析式为 . 三、解答题 1． 设0 1 322+-x x >a 5 22-+x x 。 2． 设f(x)=2x ,g(x)=4x ,g[g(x)]>g[f(x)]>f[g(x)]，求x 的取值范围。 3． 已知x ∈[-3,2]，求f(x)=12 141+-x x 的最小值与最大值。 4． 设a ∈R,f(x)= )(1 22 2R x a a x x ∈+-+?，试确定a 的值，使f(x)为奇函数。 5． 已知函数y=( 3 1)522++x x ，求其单调区间及值域。 6． 若函数y=4x -3·2x +3的值域为[1，7]，试确定x 的取值范围。 7.已知函数f(x)=)1(1 1 >+-a a a x x , (1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域；(3)证明f(x)是R 上的增函数。 指数与指数函数练习2 一、 选择题 1．0 4 3 3.1 4.(-∞,0)?(0,1) ?(1,+ ∞) ??? ??≠-≠--0 15011x x x ,联立解得x ≠0,且x ≠1。 5．[（ 31）9，39] 令U=-2x 2-8x+1=-2(x+2)2 +9,∵ -399,1≤≤-∴≤≤U x ,又∵y=(3 1)U 为减函数，∴（3 1）9≤y ≤39 。 6。D 、C 、B 、A 。 7．（0，+∞） 令y=3U ,U=2-3x 2 , ∵y=3U 为增函数，∴y=32 323x -的单调递减区间为[0，+∞）。 8．0 f(125)=f(53)=f(52×2-1 )=2-2=0。 9． 3 1 或3。 Y=m 2x +2m x -1=(mx+1)2 -2, ∵它在区间[-1，1]上的最大值是14，∴（m -1 +1）2 -2=14或（m+1） 2 -2=14,解得m= 3 1 或3。 10．27 10712+-x 11．∵ g(x)是一次函数，∴可设g(x)=kx+b(k ≠0), ∵F(x)=f[g(x)]=2 kx+b 。由已知有F （2） =41，F （41）=2，∴ ?????=+-=+?? ???==++1412 222412412b k b k b k b k 即，∴ k=-712,b=710,∴f(x)=2-7 10712+x 三、解答题 1．∵0 在（-∞，+∞）上为减函数，∵ a 1 322+-x x >a 5 22-+x x , ∴2x 2-3x+1 +2x-5, 解得2 4=4 x 22 =2 1 22 +x ,f[g(x)]=4 x 2=2 x 22,∵g[g(x)]>g[f(x)]>f[g(x)], ∴ 2 1 22+x >2 1 2+x >2 x 22,∴22x+1 >2x+1 >22x, ∴2x+1>x+1>2x,解得0 3.f(x)= 43)212(12124121412+-=+=+-=+-----x x x x x x , ∵x ∈[-3,2], ∴ 824 1 ≤≤-x .则当2-x =21,即x=1时,f(x)有最小值4 3 ；当2-x =8,即x=-3时，f(x)有最大值 57。 4．要使 f(x)为奇函数，∵ x ∈R,∴需 f(x)+f(-x)=0, ∴ f(x)=a-122 )(,122+-=-+-x x a x f =a-1221++x x ,由a-1221221+-+++x x x a =0,得2a-12)12(2++x x =0,得2a-1,01 2) 12(2=∴=++a x x 。 5．令y=( 3 1)U ,U=x 2 +2x+5,则y 是关于U 的减函数，而U 是(-∞,-1)上的减函数，[-1，+∞]上的增函数，∴ y=(3 1)5 22++x x 在（-∞，-1）上是增函数，而在[-1，+∞]上是减函数，又 ∵U=x 2+2x+5=(x+1)2 +4≥4, ∴y=(31)522++x x 的值域为（0，（3 1）4）]。 6．Y=4x -33232 322+?-=+?x x x ，依题意有 ?????≥+?-≤+?-1323)2(7323)2(22x x x x 即?????≤≥≤≤-1 222421x x x 或，∴ 2,12042≤<≤≤x x 或 由函数y=2x 的单调性可得x ]2,1[]0,(?-∞∈。 7．（2x ）2 +a(2x )+a+1=0有实根，∵ 2x >0,∴相当于t 2 +at+a+1=0有正根， 则?? ? ??>+>-≥??? ?≤+=≥?0 10001)0(0a a a f 或 8．（1）∵定义域为x R ∈,且f(-x)=)(),(1111x x f a a a a x x x x ∴-=+-=+---是奇函数； （2）f(x)=,21 20,11,121121<+<∴>++-=+-+x x x x x a a a a a ∵即f(x)的值域为（-1，1）； （3）设x 1,x 2R ∈,且x 1 1)(1(221111212 1221<++-=+--+-x x x x x x x x a a a a a a a a (∵分母大于零，且a 1x x ) ∴f(x)是R 上的增函数。 §1．4指数运算、指数函数 【复习要点】 1．指数、对数的概念、运算法则； 2．指数函数的概念, 性质和图象． 【知识整理】 1．指数的概念；运算法则：n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+)(,)(, )1,,,0(* >∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 2．指数函数的概念, 性质和图象如表： 其中利用函数的图象来比较大小是一般的方法。 4．会求函数y =a f (x)的单调区间。 5．含参数的指数函数问题，是函数中的难点，应初步熟悉简单的分类讨论。 【基础训练】 1］4 3的结果为 （ ） A.5 B.5 C.－5 D.－5 2．将322-化为分数指数幂的形式为 （ ） A ．2 1 2- B ．3 12- C ．2 12 - - D ．6 52- 3．下列等式一定成立的是 （ ） A ．2 33 1 a a ?=a B ．2 12 1a a ?- =0 C ．(a 3)2=a 9 D ．6 13121a a a =÷ 4．下列命题中，正确命题的个数为 （ ） ①n n a =a ②若a ∈R ,则(a 2－a +1)0=1 ③y x y x +=+3 433 4 ④623)5(5-=- A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．化简11111321684 21212121212-----??????????+++++ ???????????????????，结果是 （ ） A ．1 1 321122--? ?- ? ?? B ．1 132 12--??- ??? C ．1 3212-- D ．1321122-??- ??? 6 ．4 4 等 于 （ ） A ．16a B ．8a C ．4a D ．2 a 【例题选讲】 1．设3 2212 ,-==x x a y a y ，其中a ＞0,a ≠1，问x 为何值时有 （1）y 1＝y 2 ？ （2）y 1＜y 2？ 2．比较下列各组数的大小，并说明理由 （1）431.1，434.1，3 21.1 （2）4 316.0- ，2 35 .0- ，8 325.6 （3）5 32 )1(+a ，4 32 )1(+a 3．已知函数3234+?-=x x y 的值域为[7，43]，试确定x 的取值范围. 4．设01a <<，解关于x 的不等式2 2 232 223 x x x x a a -++-> 指数运算和指数函数 一、知识点 1.根式的性质 （1）当n 为奇数时，有a a n n = （2）当n 为偶数时，有???<-≥==) 0(,) 0(,a a a a a a n n （3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零 2.幂的有关概念 (1)正整数指数幂：)(.............*∈??=N n a a a a a n n (2)零指数幂)0(10 ≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1 *∈≠= -N p a a a p p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a a n m n m 且 (5)负分数指数幂 n m n m a a 1= - )1,,,0(>*∈>n N n m a 且 (6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质 (1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=?+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>= (3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>?= 4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数。 5. 指数函数的图象和性质 x a y = 0 < a < 1 a > 1 图 象 性 质 定义域 R 值域 (0 , +∞) 定点 过定点（0，1），即x = 0时，y = 1 （1）a > 1，当x > 0时，y > 1；当x < 0时，0 < y < 1。 （2）0 < a < 1，当x > 0时，0 < y < 1；当x < 0时，y > 1。 单调性 在R 上是减函数 在R 上是增函数 对称性 x y a =和x y a -=关于y 轴对称 指数运算与指数函数 【知识概述】 一、根式的性质： 1.a a n n =)( 2.当n 为奇数时，a a n n = 3.当n 为偶数时，???<-≥==)0()0(||a a a a a a n 二、幂的有关概念： 正整数指数幂：()n a a a a n N *=?? ?∈n 个 零指数幂：)0(10 ≠=a a ， 负指数幂：∈=-p a a p p (1 Q ， 正分数指数幂：m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n 三、有理指数幂的运算性质 1.r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2.r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3.∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） 四、指数函数 1．指数函数定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数，函数的定义域为R ，值域为 ),0(+∞ 2．函数图像： 3．性质：（1）图象都经过点（0，1） （2）1a >时，x y a =为增函数；10a >>时，x y a =为减函数 （3）x y a =为非奇非偶函数 【学前诊断】 1. [难度]易 计算：（１）( ) ) 12 10 2 3 170.0272179--????--+- ? ????? ； （2 （3 ． 2. [难度]中 函数e e e e x x x x y --+=-的图象大致为( )． 3. [难度]中 若函数x x x f -+=3 3)(与x x x g --=3 3)(的定义域均为R ，则（ ）. A. )(x f 与)(x g 与均为偶函数 B.)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数 C. )(x f 与)(x g 与均为奇函数 D.)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数 D 指数运算和指数函数 要求层次重点难点幂的运算 C ①根式的概念 ②有理指数幂 ③实数指数幂 ④幂的运算 ①分数指数幂的概 念和运算性质 ②无理指数幂的理 解 ③实数指数幂的意 义 指数函数的概念 B 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 指数函数的图象和 性质 C ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ③掌握指数函数作 为初等函数与二次 函数、对数函数结 合的综合应用问题 板块一：指数,指数幂的运算 （一）知识内容 1．整数指数 ⑴正整数指数幂：n a a a a =???，是n个a连乘的缩写（N n + ∈），n a叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂． ⑵整数指数幂：规定：01(0) a a =≠， 1 (0,) n n a a n a - + =≠∈N． 高考要求 第4讲 指数运算与指数函数 知识精讲 2．分数指数 ⑴ n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(R,1,N )a n n +∈>∈，那么x 叫做a 的n 次方根． ⑵ 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算． ① 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时， a 的n 表示． ② 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n 0)a >． ⑶正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根． 负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0 0． n 叫做根指数，a 3．根式恒等式： n a =；当n a =；当n ||a a a ?=?-? 0a a <≥． 4．分数指数幂的运算法则 ⑴正分数指数幂可定义为：1(0)n a a > 0,,,)m m n m a a n m n +==>∈N 且 为既约分数 ⑵负分数指数幂可定义为：1(0,,,)m n m n m a a n m n a - += >∈N 且 为既约分数 5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质： ⑴(0,,Q)r s r s a a a a r s +=>∈ ⑵()(0,,Q)r s rs a a a r s =>∈ ⑶()(0,0,Q)r r r ab a b a b r =>>∈ 6．n 次方根的定义及性质：n 为奇数时 a =，n 为偶数时 a =． 7． m n a = m n a - =（0a >，,*m n N ∈，且1n >） 零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 8．指数的运算性质：r s r s a a a +=，()r r r ab a b =（其中,0a b >，,r s ∈R ） 9．无理数指数幂 ⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 10．一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义． 对任意实数α，β，上述有理指数幂的运算法则仍然成立． 指数运算与指数函数 高考要求 知识梳理 知识点一：有理数指数幂 1. n 次方根概念与表示 一般地，如果n x ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且*N n ． n 2.根式概念 式子a n 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 3.根式的性质 ① n a =. ② ||,a n a n ?=??，为奇数为偶数； 4.分数指数幂 正分数指数幂：a m n =√a m n (a >0,m,n ∈N ?,n >1) 负分数指数幂：a ? m n = 1 a m n = √a m n a >0,m,n ∈N ?,n >1) 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 5.实数指数幂的运算性质 a r a s =a r+s (a >0,s ∈Q ) (a r )s =a rs (a >0,s ∈Q ) (a b )r =a r b r (a >0,s ∈Q ) 知识点二：指数函数的图像和性质 1.指数函数概念： 形如0(>=a a y x 且1≠a ）函数叫指数函数，其中x 是自变量，函数定义域为R . 2.指数函数图象与性质 R 知识点三：指数函数性质的运用（比较大小） 指数函数在第一象限按逆时针方向底数依次增大 考点解析 典型习题一：指数幂(根式)的化简与计算 例1、已知当27=x ,64=y 时，化简并计算 例2、已知 01x <<，且1 3x x -+=，求112 2 x x - -的值. 典型习题二：指数函数的图像问题 例1、已知函数2 ()x f x m -=（0m >，且1m ≠）恒过定点(,)a b ，则在直角坐标系中函数 ||1 ()()x b g x a +=的图象为（ ） )6 5 )(41(561 312112 13 2-----y x y x y x 指数运算法则 指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且不=1) ，函数图形下凹，a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单 调递减的函数。指数函数既不是奇函数也不是偶函数。要想使 得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a的不同大小 影响函数图形的情况。 一、法则 在函数y=a^x中可以看到： （1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提 是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得 函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a 等于0一般也不考虑。 （2）指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3）函数图形都是下凹的。 （4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0， 则单调递减。 （5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无 穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y 轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平 直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 （6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 （7）函数总是通过定点（0，1） （8）指数函数无界。 （9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 （10）当两个指数函数中的a互为倒数时，此函数图像是 偶函数。例1：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由. ⑴y=4^x 因为4>1，所以y=4^x在R上是增函数；⑵ y=(1/4)^x 因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是减函数1对 数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那 么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对 数的底数，N叫做真数. 由定义知：①负数和零没有对数; ②a>0且a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特 别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. 2对数式与指数式的互化式子名称abN指 数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)loga(M/N)=logaM-logaN. (3)logaM n=nlogaM (n∈R). 二、记忆口决 有理数的指数幂，运算法则要记住。 指数加减底不变，同底数幂相乘除。 指数相乘底不变，幂的乘方要清楚。 积商乘方原指数，换底乘方再乘除。 非零数的零次幂，常值为 1不糊涂。 负整数的指数幂，指数转正求倒数。 看到分数指数幂，想到底数必非负。 乘方指数是分子，根指数要当分母。 看到分数指数幂，想到底数必非负。 高一数学指数运算及指数函数试题 一．选择题 1．若xlog 23=1，则3x+9x的值为（B） A．3B．6C．2D．解：由题意x=， 所以3x==2， 所以9x=4，所以3x+9x=6 故选B 2．若非零实数a、b、c满足，则的值等于（B）A．1B．2C．3D．4 解答：解：∵， ∴设=m， a=log5m，b=log2m，c=2lgm， ∴= =2lgm（log m5+log m2） =2lgm?log m10 =2． 故选B． 3．已知，则a等于（） A．B．C． 2 D． 4 解：因为所以 解得a=4 故选D 4．若a＞1，b＞1，p=，则a p等于（） A．1B．b C．l og b a D．a log b a 解：由对数的换底公式可以得出p==log a（log b a）， 因此，a p等于log b a． 故选C． 5．已知lg2=a，10b=3，则log125可表示为（C） A．B．C．D． 解：∵lg2=a，10b=3， ∴lg3=b， ∴log125= = =． 故选C． 6．若lgx﹣lgy=2a，则=（C） A．3a B．C．a D． 解：∵lgx﹣lgy=2a， ∴lg﹣lg=lg﹣lg=（lg﹣lg） =lg=（lgx﹣lgy）=?2a=a； 故答案为C． 7．已知函数，若实数a，b满足f（a）+f（b﹣2）=0，则a+b= A．﹣2 B．﹣1 C．0D．2 解：f（x）+f（﹣x）=ln（x+）+ln（﹣x+=0 ∵f（a）+f（b﹣2）=0 ∴a+（b﹣2）=0 ∴a+b=2 故选D． 8．=（） A．1B．C．﹣2 D． 解：原式=+2×lg2+lg5=+lg2+lg5=+1=， 故选B． 9．设，则=（） A．1B．2C．3D．4解：∵， ∴= =（）+（）+（）= =3 故选C 10．，则实数a的取值区间应为（C） A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）解：=log34+log37=log328 ∵3=log327＜log328＜log381=4 ∴实数a的取值区间应为（3，4） 故选C． 11．若lgx﹣lgy=a，则=（A） 指数运算与指数函数 一、知识点 1、根式得性质 (1）当ｎ为奇数时,有(2)当n为偶数时,有 (３）负数没有偶次方根 (４)零得任何正次方根都就就是零2、幂得有关概念 （1）正整数指数幂: (2)零指数幂 (3)负整数指数幂 (4)正分数指数幂 (5)负分数指数幂 （6)0得正分数指数幂等于0,0得负分数指数幂无意义 3、有理指数幂得运算性质 (1) (2) （３) 4、指数函数定义:函数叫做指数函数。 0 ＜a < 1 a > 1 图象 性质定义域Ｒ 值域（0 , +∞） 定点 过定点（０，1）,即x= 0时，y = 1 （1)ａ> 1,当x>0时,y>１；当x< 0时,0 <ｙ＜１。 （2）0 ＜a< 1,当ｘ> 0时,０ ②当两个式子均为正值得情况下,可用作商法,判断，或即可、 四、典型例题 类型一、指数函数得概念 例1、函数就就是指数函数,求得值、 【答案】2 【解析】由就就是指数函数, 可得解得，所以、 举一反三: 【变式1】指出下列函数哪些就就是指数函数? (1);（2)；(3）；(4); (5);(6)、 【答案】(1)（５)(6） 【解析】（１）(5)(6)为指数函数、其中(6)=,符合指数函数得定义,而(2)中底数不就就是常数,而4不就就是变数;(３)就就是-1与指数函数得乘积;(4)中底数,所以不就就是指数函数、 类型二、函数得定义域、值域 例2、求下列函数得定义域、值域、 （1);（2)y=4x－2x+1；(3);(４）(a为大于１得常数) 【答案】(１)R,(0,1);（2)R [); （3) ;(4)［１，a）∪（a,+∞) 【解析】（1)函数得定义域为R （∵对一切xR,3x≠-1)、 ∵,又∵3x>0, 1+3ｘ＞1, ∴ , ∴ , ∴ , ∴值域为(0，1)、 (2)定义域为R,,∵2x＞0，∴即x=-１时，ｙ取最小值,同时y可以取一切大于得实数,∴值域为［)、 (3)要使函数有意义可得到不等式,即，又函数就就是增函数,所以,即，即，值域就就是、 （4)∵∴定义域为(-∞,－1)∪[1,＋∞), 又∵ ,∴，∴值域为［1,ａ)∪(a,+∞)、 【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性;第(3)小题中值域切记不要漏掉y＞0得条件，第(4)小题中不能遗漏、 举一反三： 【变式1】求下列函数得定义域: (１) (2) (3) (4) 【答案】(1)R;（2);(3);(４）a>1时,；0 任课教 师 学科授课时间：年月学生姓 名 年级授辅导章节： 辅导内 容 考试大 纲 重点 难点 课堂检测听课及知识掌握情况反馈： 教学需:加快□;保持□;放慢□;增加内容□ 课后巩固作业__________ 巩固复习____________________ ; 预习布置_________________ 课后学 生 分析总结你学会了那些知识和方法： 你对那些知识和方法还有疑问： 签字教务主任签字：学习管理师: 1、熟练掌握指数运算, 2、熟记指数函数性质. 一、指数幂与指数运算 根式 正数的分数指数幂： = = = 有理数指数幂的运算性质： 例 1、（1） ；（2） （3） .（4） 例2、（1）(2013·南昌高一检测) 若10m=2,10n=3,则1 = . （2）化简 = （3）若(1-2x 有意义,则x的取值范围是 （4）当 有意义时，化简 － 的结果是 （5）已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求 的值 . 二、指数函数与指数函数的性质 形如 定义域为R 例1、下列函数中，哪些是指数函数？ (1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－4x；(4)y＝xx；(5)y＝xα(α是常数)． 例2、指数函数y＝ b·ax在[b,2]上的最大值与最小值的和为6，则a＝ 指数函数的图像与性质： 1．函数y＝ 的定义域是_ ______． 2.函数 的定 义域为；函数 的值域为 3．函数y＝ax－2 013＋2 013(a>0，且a≠1)的图象恒过定点 4.函数y＝a2x＋b＋1( a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(1,2)，则b＝_______. 指 数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次 当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数 时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 2.1指数函数练习 1．下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 3433)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 第五讲 指数运算和指数函数 一、知识点 1.根式的性质 （1）当n 为奇数时，有a a n n = （2）当n 为偶数时，有? ? ?<-≥==)0(,) 0(,a a a a a a n n （3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零 2.幂的有关概念 (1)正整数指数幂：)(.............*∈??=N n a a a a a n n (2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1*∈≠= -N p a a a p p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>= n N n m a a a n m n m 且 (5)负分数指数幂 n m n m a a 1 = -)1,,,0(>*∈>n N n m a 且 (6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质 (1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=?+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>= (3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>?= 4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数。 1．函数21 )2()5(- -+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 指数函数的运算性质 教学目标：能用分数指数幂的运算法则解决一些数学问题. 教学重难点：重点 掌握分数指数幂的运算法则. 知识复习： 上一节课，学习了分数指数幂的概念，即 给定a 对于任意给定的,(,,(,)1),m n m n Z m n ∈=存在唯一的0,b >使得,n m b a =把b 叫作a 的m n 次幂，记作 (0).m n b a a => 正分数指数幂的根式形式，即 (0,,),m n a a m n Z +=>∈ 其中n 叫作根指数，m 叫幂指数. 负分数指数幂的意义，即 1 (0,,,m n m n a a m n Z a -+==>∈且1).n > 0的正分数幂等于零，0的非负分数幂无意义. 无理指数幂（可以用有理数的不足近似数和过剩近似数进行逼近） 一、正整数指数幂的运算法则 （1）同底数幂相乘 ;m n m n a a a +=同底数幂相除 (0).m m n m n n a a a a a a --==≠ （2）幂的乘方 ();m n mn a a = （3）积的乘方 ().m m m a b a b =商的乘方1()(0).n n n n a ab a b b b --??==≠ ??? 其中,.m n N ∈ 把它推广到分数指数幂也成立， 二、分数指数幂的运算法则 90对于,0,,a b m n >取任意数，有 （1）;m n m n a a a += （2）();m n mn a a = （3）().m m m a b a b = 三、例题 例1. 用指数形式表示并化简. 例2. 化简 (1)3);x 1(2)()(4).a a a x y y - 例3. 已知103,10 4.αβ==求() ()()(2)510 ,10,10,10.βαβαβα+-- 四、探究问题与作业 1. 函数y ex =与x y e =的交点个数. 课后作业:习题1、2、3. 五、课后小节 指数函数的性质 六、板书设计 指数运算与指数函数 1、4 (-3)4 的值是（ ） A 、3 B 、-3 C 、±3 D 、81 2、4 1 8116- ?? ? ??的值是（） A 、23 B 、32 C 、481 D 、-814 3．化简［32)5(-］4 3的结果为 （ ） A ．5 B ．5 C ．－5 D ．－5 4、设m,n ∈R,a,b>0,则下列各式中正确的有（ ） (1)a m .a n =a mn (2)(a m )n =a mn (3)(ab)n =a n b n (4)(a b )m =a m -b m (5) (a b )m =a m b -m A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 5、 a 3a.5a 4 (a>0)的值是（ ） A 、1 B 、a C 、a 1 5 D 、a 17 10 6．设5.1344.029 .01)2 1 (,8,4-===y y y ，则 （ ） A ．y 3＞y 1＞y 2 B ．y 2＞y 1＞y 3 C ．y 1＞y 2＞y 3 D ．y 1＞y 3＞y 2 7、在某种细菌培养过程中，每30分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过4个小时，这种 细菌由一个可繁殖成（ ） A 、8 B 、16 C 、256 D 、32 8、如图，设a,b,c,d>0，且不等于1，y=a x , y=b x , y=c x ,y=d x 在同一坐标系中的图象如图，则a,b,c,d 的大小顺序（ ） A 、a 指数及指数函数 1、指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． 当n 是奇数时，a 的n 当n 是偶数时，正数a 的正的n n 次方根用符号 0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． 根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质： n a =； 当n a =； 当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >. ②正数的负分数指数幂是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >． 0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②r a ÷s a =r s a -()0,,a r s R >∈； ③()r s a =rs a ()0,,a r s R >∈； ④()r ab =r r a b ?()0,0,a b r R >>∈； 2、指数函数及其性质 定义 函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数 图象 1a > 01a << 定义域 R 值域 （0,+∞） 过定点 图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在R 上是增函数 在R 上是减函数 函数值的 变化情况 y ＞1(x ＞0), y=1(x=0), 0＜y ＜1(x ＜0) y ＞1(x ＜0), y=1(x=0), 0＜y ＜1(x ＞0) a 变化对 图象的影 响 在第一象限内，a 越大图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越大图象越低，越靠近x 轴． 在第一象限内，a 越小图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越小图象越低，越靠近x 轴． 例题讲解 一、指数 1、化简［32 )5(-］4 3的结果为 （ ） A ．5 B ．5 C ．－5 D ．－5 2、211 5 113 3 662 2 1()(3)()=3 a b a b a b -÷__________. 二、指数函数 3、已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f 4 x a y =x y (0,1) O 1 y =x a y =x y (0,1) O 1 y = 指数与指数函数 知识点 1、 指数运算 （1）当n 为奇数时，=n n a ；当n 为偶数时，=n n a . （2）=m n a ；（0,,,1a mn N n *>∈> ） （3）=-n a ；其中（0,,,1a m n N n *>∈>） 2、 运算性质： ⑴=s r a a ____________ ⑵() =s r a ____________ ⑶()=r ab ___________ 3、 指数函数的图像及性质 x y a =≠（a>0,且a 1） （1）01a <<当 时 （2）1a >当时 题型总结 一、 指数式的运算 1 、85 - 化成分数指数幂为 ( ) A ．12 x - B ．415 x C ．415 x - D ．25 x 2 ．计算 (12 2 - -????? ? 的结果是 ( ) A ． Ｃ． 2 D ．2 - 3．若102,103m n ==，则32 10 _______m n -= 4、化简1 327()125-的结果是（ ）. A. 3 5 B. 5 3 C. 3 D.5 5、 =_____________________ 二、指数函数的图像及其应用 1、函数y=a x -a(a>0,且a ≠1)的图象可能是( ) 2、函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 （ ） A ．1,0a b >< B ．1,0a b >> C ．0,10><-≤=1),1(log 1,)2 1()(2 x x x x f x ，则f (x )≤12 的解集为________． 3 3 2b a a b b a 指数的运算与指数函数 4.1指数的运算 【知识梳理】 1. 整数指数幂 1）定义：我们把n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。 在上述定义中，n 为整数时，这样的幂叫做整数指数幂。 2）整数指数幂的运算法则： （1）n m a a = （2）=n m a )( （3）=n m a a （4）=m a b )( 3)此外，我们作如下规定： 零次幂：)0(10≠=a a ； 负整数指数幂：),0(1 +-∈≠= N n a a a n n ； 2. 根式： 1）n 次方根：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *。 注： ①当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数，分别表示为n a -，n a ；负数的偶次方根在实数范围内不存在； ②当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数；负数的n 次方根是一个负数，都表示为 n a ； ③0的任何次方根都是0，记作 00=n 。 2）正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算数根。 当n a 有意义时，n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 注： 当n 是奇数时，a a n n =； 当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n ； 3. 有理指数幂 1）我们进行如下规定： n n a a =1 （0>a ） 那么，我们就将整数指数幂推广到分数指数幂。 此外，下面定义也成立： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 注：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。 2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数幂。 3)有理指数幂的运算性质： （1）r a ·s r r a a +=),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>> 题型一 根式与幂的化简与求值 【例1】.求下列各式的值： （1）223223-++ （2）347246625-+--+ 【例2】.计算下列各式的值： （1）()[ ] 75 .03 4303 116 2)8 7 (064.0---+-+-- （2）()( )( )0 1 213 2232510002.0833- +--+? ? ? ??--- - 第六讲 指数函数 ——指数与指数幂的运算 知识点一、根式 1 n 叫根指数，a 叫被开方数（平方根，立方根，n 次方根的概念）。0的任何次方根都等于0 2、两个等式：A 、n>2时，且n N + ∈ 时，n a = B 、n a =；n a a a a a ≥?==? -∈> 2 、正数的负分数指数幂的意义：10,,,1)m n m n a a m n N n a -+== >∈> 3、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。 知识点三、分数指数幂的运算性质 1、对任意的有理数r ，s 均有如下性质： A 、(0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈ B 、()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈ C 、()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =?>>∈ D 、()(0,0,)r a a r a b r Q r b b = >>∈ E 、(0,,)r a r s a a r s Q s a -=>∈ 2、简化过程：①先括号内，再括号外；②先乘除，后加减；③有根号的，按从内到外的顺序计算；④采用同一种形式；⑤结果要最简。 巩固习题 1、如果0,0,,a b m n >>都是有理数，下列各式错误的是（ ） A 、()m n mn a a --= B 、m n m n a a a --?= C 、()n n n a a b b -=? D 、m n m n a a a ++= 2、,x y R ∈时，下列各式恒成立的是（ ） A 6x y =- B 22x y =+ C x y =- D x y =+ 3、下列各式运算错误的是（ ） A 、2 2 23 78 ()()a b ab a b -?-=- B 、233 23 33 ()()a b ab a b -÷-= C 、32 23 66 ()()a b a b -?-= D 、32 233 1818 [()()]a b a b ?-=- 幂函数与指数函数的区别 1.指数函数：自变量x在指数的位置上，y=a^x（a>0，a不等于1） 性质比较单一，当a>1时，函数是递增函数，且y>0; 当0 3.y=8^(-0.7)是一个具体数值，并不是函数，如果要和指数函数或者幂函数联系起来也是可以的。首先你可以将其看成：指数函数y=8^x（a=8），当x=-0.7时，y 的值；或者将其看成：幂函数y=x^(-0.7)（a=-0.7），当x=8时，y的值。 幂函数的性质： 根据图象,幂函数性质归纳如下： （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1,1）； （2）当a>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,+ ∞)上是增函数．特别地，当a>1时，幂函数的图象下凸；当0 于+∞时，图象在轴x上方无限地逼近轴x正半轴。 指出：此时y＝x0＝1；定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），特别强调， 当x为任何非零实数时，函数的值均为1，图像是从点（0，1）出发，平行于x 轴的两条射线，但点（0，1）要除外。 思考讨论： （1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，这一类函数有哪种重要性质？（2）在幂函数y＝xa中，当a是正奇数时，这一类函数有哪种重要性质？ 讲评：（1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象限内是增函数。 对数函数的性质 (1)当a＞1时， ①x ＞0，即0和负数无对数； ②当x=1时，y=0； ③当x ＞1时，y＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0； ④在（0，+∞）上是增函数． (2)当0＜a＜1时， ①x ＞0，即0和负数没有对数； ②当x=1时，y=0； ③当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞0； ④在（0，+∞）上是减函数．指数运算、指数函数
指数运算和指数函数
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