线性代数习题集带答案

第一部分 专项同步练习

第一章 行列式

一、单项选择题

1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).

(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351

2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n (C)

k n 2

! (D)k n n 2)1(

3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.

(A) 0 (B)2 n (C) )!2( n (D) )!1( n

4． 0001001001001

000( ).

(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2

5. 0

001100000100100( ).

(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2

6．在函数1

00

323211112)(x x x x x f 中3x 项的系数是( ).

(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2

1 / 98

7. 若2

1

33

32

31

232221

131211 a a a a a a a a a D ，则 32

3133

31

2221232112

111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 8．若

a a a a a 22

2112

11，则

21

11

2212ka a ka a ( ).

(A)ka (B)ka (C)a k 2 (D)a k 2

9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4 , 第3行元的余子式依次为

x ,1,5,2 , 则 x ( ).

(A) 0 (B)3 (C) 3 (D) 2

10. 若5

7341111

1

326

3

478

D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)0

11. 若2

23500101111

0403

D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)0

12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组

00321

321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.

( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)0

二、填空题

1. n 2阶排列)12(13)2(24 n n 的逆序数是.

2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.

3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是

.

4．若一个n 阶行列式中至少有12 n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于

.

5. 行列式 0

100111010100111.

6．行列式

10000200

0010

n n .

7．行列式

01)1(2211)1(111

n n n n a a a a a a .

8．如果M a a a a a a a a a D 3332

31

232221

13

1211

，则 32

32

3331

2222232112121311

133333 3a a a a a a a a a a a a D .

9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为

.

3 / 98

10．行列式

111

1

11111

11111

1

1

x x x x .

11．n 阶行列式

11

1

111111

.

12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为

.

13．设行列式5

678123487654

321

D ，j A 4)4,3,2,1( j 为D 中第四行元的代数余子式，

则

44434241234A A A A .

14．已知d

b c a c

c a b b a b c a c

b a D

， D 中第四列元的代数余子式的和为.

15．设行列式62

211765144334321

D ，j A 4为)4,3,2,1(4 j a j 的代数余子式，则

4241A A ，

4443A A .

16．已知行列式n

n D

1

0301

0021

12531 ，D 中第一行元的代数余子式的和为

.

17．齐次线性方程组

0202321

2

1321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.

18．若齐次线性方程组

230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.

三、计算题

1.

c

b a d

b a d

c a d

c b

d c b a d c b a d c b a

3

3

3

3

2222; 2．y

x

y

x x y x y y x y x ；

3．解方程

00

11011101110 x x x x ； 4．

1

11111

32

1

32122

1221

221 n n n n a a a a x a a a a x

a a a a x a a a a x

；

5 / 98

5. n

a a a a

1

11111

1

11111210(n j a j ,,1,0,1 )； 6. b

n b b

)1(11

11211

11

131111

7. n a b b b a a b b a a a b

32122

2111111111； 8．x

a a a a x

a a a a x a a a a x n n

n

3

21212121;

9.

2

2122

2

1212

121111n

n n n

n x x x x x x x x x x x x x x x

; 10.

2

1

120000021

000121

00012

11．a

a a a a a a

a a D

11000

110001100

0110001.

四、证明题

1．设1 abcd ，证明：

01111111111112

22

22

222

d

d

d

d c c c c b b b b a a a a .

2．3

3

3

222

11123

333322

22211

111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a x

b a .

3．))()()()()()((1

1114

4

4

4

2222

d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a

d

c b a .

4．

n

j i i j

n

i i

n n

n n

n n n n n

n

a a

a a a a a a a a a a a a a 11

2

12

2221222

212

1

)(111

.

5．设c b a ,,两两不等，证明01

1

1

3

33 c b a c b

a 的充要条件是0 c

b a .

7 / 98

参考答案

一．单项选择题

A D A C C D A

B

C

D B B 二．填空题

1.n ;

2.”“ ;

3.43312214a a a a ;

4.0;

5.0;

6.!)1(1n n ;

7.1)1(212

)1()

1(n n n n n a a a ; 8.M 3 ; 9.160 ; 10.4x ; 11.1)( n n ; 12.2 ;

13.0; 14.0; 15.9,12 ; 16.)1

1(!1 n

k k n ; 17.3,2 k ; 18.7 k

三．计算题

1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ； 2. )(233y x ； 3. 1,0,2 x ; 4.

1

1

)(n k k

a

x

5.

)1

1

1()1(00

n

k k n

k k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ;

7. n

k k k

n

a b

1

)()

1(; 8. n

k k n

k k a x a x 1

1

)()(;

9. n

k k x 1

1; 10. 1 n ;

11. )1)(1(42a a a . 四. 证明题 (略)

第二章 矩阵

一、单项选择题

1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。 (a)

2

2A

A (b)

)

)((22B A B A B A (c)

AB A A B A 2)(

(d)T T T B A AB )( 2.设方阵A 、B 、C 满足AB=AC,当A 满足( )时，B=C 。

(a) AB =BA (b) 0 A (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B 、C 可逆 3.若A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则 kA ( )。 (a) A k (b)

A k (c) A k n (d)

A k n

4.设A 为n 阶方阵，且0 A ，则( )。

(a) A 中两行(列)对应元素成比例 (b) A 中任意一行为其它行的线性组合

(c) A 中至少有一行元素全为零 (d) A 中必有一行为其它行的线性组合 5.设A ，B 为n 阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( )。 (a) 111)( B A B A (b) B A AB T )(

(c) B A B A T 11)( (d) 111)( B A B A 6.设A 为n 阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,则( )。 (a) (a) 1* A A (b) A A * (c) 1

* n A

A (d) 1

* n A

A

7. 设A 为3阶方阵,行列式1 A ,*A 为A 的伴随矩阵,则行列式

*12)2(A A ( )。 (a) 827

(b) 278 (c) 827 (d) 27

8

9 / 98

8. 设A ，B 为n 阶方矩阵,22B A ,则下列各式成立的是( )。

(a) B A (b) B A (c) B A (d) 2

2

B A 9. 设A ，B 均为n 阶方矩阵,则必有( )。

(a) B A B A (b) BA AB (c) BA AB (d) 2

2

B A 10.设A 为n 阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（ ）。 （a ）T A A 22 (b) 112)2( A A

(c) 111])[(])[( T T T A A (d) T T T T A A ])[(])[(11

11.如果

3332

31

232221

331332

1231

113332

31

232221

131211

333a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A ，则 A （ ）。 （a ） 103010001 (b) 100010301 (c) 101010300 (d)

130010001 12.已知

113022131A ，则（ ）。

（a ）A A T (b) *1A A

（c ） 113202311010100001A （d ）

113202311010100001A

13.设I C B A ,,,为同阶方阵，I 为单位矩阵，若I ABC ，则（ ）。

（a ）I ACB （b ）I CAB （c ）I CBA （d ）I BAC 14.设A 为n 阶方阵，且0|| A ，则（ ）。 （a ）A 经列初等变换可变为单位阵I

（b ）由BA AX ，可得B X

（c ）当)|(I A 经有限次初等变换变为)|(B I 时，有B A 1

（d ）以上（a ）、（b ）、（c ）都不对 15.设A 为n m 阶矩阵，秩n m r A )(，则（ ）。

（a ）A 中r 阶子式不全为零 （b ）A 中阶数小于r 的子式全为零

（c ）A 经行初等变换可化为

00

0r I （d ）A 为满秩矩阵 16.设A 为n m 矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，AC B ，则( )。 (a)秩(A )> 秩(B ) (b) 秩(A )= 秩(B )

(c) 秩(A )< 秩(B ) (d) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 17.A ，B 为n 阶非零矩阵，且0 AB ，则秩(A )和秩(B )( )。

(a)有一个等于零 (b)都为n (c)都小于n (d)一个小于n ，一个等于n

18.n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是( )。

(a)n r A r )( (b) A 的列秩为n

(c) A 的每一个行向量都是非零向量 (d)伴随矩阵存在 19.n 阶矩阵A 可逆的充要条件是( )。 (a) A 的每个行向量都是非零向量 (b) A 中任意两个行向量都不成比例

(c) A 的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示

(d)对任何n 维非零向量X ，均有0 AX

二、填空题

1.设A 为n 阶方阵,I 为n 阶单位阵,且I A 2,则行列式 A _______

2.行列式 0

00

c b c a b

a

_______

11 / 98

3.设2

100020101A ，则行列式)9()3(21I A I A 的值为_______

4.设

212

32321A ，且已知I A 6，则行列式 11A _______ 5.设A 为5阶方阵，*A 是其伴随矩阵，且3 A ，则 *A _______ 6.设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩为_______

7.非零矩阵

n n n n n n b a b a b a b a b a b

a b a b a b a

212221

212111的秩为________ 8.设A 为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量X ，均有0 AX ，则A 的秩

为_______

9.若)(ij a A 为15阶矩阵，则A A T 的第4行第8列的元素是_______

10.若方阵A

与I 4相似，则 A _______ 11.

K K K K

K K 3111221

lim _______ 12.

n

n 410013

1

212

1

lim _______ 三、计算题

1.解下列矩阵方程(X 为未知矩阵).

线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；

线性代数考试题库及答案(五)

线性代数考试题库及答案 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则 （ ） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （ ） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似

二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。

线性代数期末考试试题

《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα

线性代数考试题库及答案(六)

线性代数考试题库及答案 第一部分 客观题（共30分） 一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分） 1. 若行列式11 121321 222331 32 33 a a a a a a d a a a =，则212223 11 121331 32 33 232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d - 2. 设123010111A ?? ? =- ? ??? ，ij M 是A 中元素ij a 的余子式，则313233M M M -+=（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（ ） (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足（ ） (A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是．．n 阶矩阵A 可逆的充要条件为（ ） (A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ?矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，B AC =，则 ( )。 (A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B )

(C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,, ,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是（ ） (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=++ + 成立 (C) 存在一组数12,, s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (D) 对β的线性表达式唯一 8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解，则（ ） (A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解 9. 设110101011A ?? ? = ? ??? ,则A 的特征值是( )。 (A) 0,1,1 (B) 1,1,2 (C) 1,1,2- (D) 1,1,1- 10. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似，则 ( )。 (A) ()r A n = (B) A 有n 个互不相同的特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称矩阵 二、判断题（共 10小题，每小题1分，共10分 ）注：正确选择A,错误选择B. 11. 设A 和B 为n 阶方阵，则有22()()A B A B A B +-=-。（ ） 12. 当n 为奇数时，n 阶反对称矩阵A 是奇异矩阵。（ ）

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

线性代数期末考试试卷答案合集

线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。

2010-2011-2线性代数试卷及答案

东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2010 — 2011学年 第二学期 课程名称：线性代数 （共2页） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A ， ()3323214,3,32αααααα+-+=B ， 且A 的行列式1||=A ，求矩阵B 的行列式||B . 解 因为()3323214,3,32αααααα+-+=B ＝? ???? ??-413031002),,(321ααα， 所以，24413031002||||=-=A B 分) 设向量组????? ??-=2111α，????? ??=1122α，????? ??=a 213α线性相关，向量 ???? ? ??=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示，求b a ,的值。 解 由于 ????? ??-=b a 1212113121),,,(321βααα????? ??---→62304330312 1b a ? ???? ??-+→210043303121b a 所以，.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2? 2 的子空间，试在 V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间，并给出V 的一组正交基. 解 由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是 二阶实对称矩阵，即V 对线性运算封闭，所以V 是R 2? 2 的子空间。 对任意V b b b b B a a a a A ∈??? ? ??=???? ??=2212121122121211,,定义内积：[A,B]=222212121111b a b a b a ++， 显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ???? ??=00011A ,???? ??=01102A ,???? ??=10003A 就是V 的一组正交基. 注：内积和正交基都是不唯一的. 2－1

《线性代数》模拟试卷B及答案

《线性代数》模拟试卷B 及答案 一、选择题（每小题3分，共30分） （1）若A 为4阶矩阵，则3A =（ ） (A) 4A (B) 43A (C) 34A (D)3A （2）设A ，B 为n 阶方阵，0A ≠且0AB =，则（ ） (A)0B = (B)0BA = (C)222()A B A B +=+ (D)00A B ==或 （3）A ，B ，C 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（ ） (A) AB BA = (B)0,00A B AB ≠≠≠则 (C) AB A B = (D) ,AB AC B C ==若则 （4）222()2A B A AB B +=++成立的充要条件是（ ） (A)AB BA = (B) A E = (C)B E = (D)A B = （5）线性方程组(1)22(1)k x y a x k y b -+=??+-=?有唯一解，则k 为（ ） (A)任意实数 (B) 不等于 (C) 等于 (D) 不等于0 （6）若A 为可逆阵，则1()A *-=（ ） (A)A A (B)A A * (C)1 A A - (D)1 A A -* （7）含有4个未知数的齐次方程组0AX =，如果()1R A =，则它的每个基础解系中解向量的个数为（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

（8）设A 为m n ?矩阵，齐次方程组0AX =仅有零解的充要条件是A 的（ ） (A) 列向量线性无关 (B) 列向量线性相关 (C) 行向量线性无关 (D) 行向量线性相关 （9）已知矩阵A=3111?? ?-?? ,下列向量是A 的特征向量的是（ ） (A)10?? ??? (B)12?? ??? (C)12-?? ??? (D) 11-?? ??? （10）二次型222123123121323(,,)44224f x x x x x x x x x x x x λ=+++-+为正定二次型，则λ 的取值范围是（ ） (A)21λ-<< (B)12λ<< (C)32λ-<<- (D)2λ> 二、计算题（第1、2小题每题5分，第3、4小题每题10分，共30分） 1、计算行列式 4x a a a a x a a D a a x a a a a x = 。（5分） 2、设321A=315323?? ? ? ??? ，求A 的逆-1A 。（5分）

同济大学线性代数第五版课后习题答案

第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a

解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1

解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6

线性代数试题和答案(精选版)

线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解

同济大学线性代数第五版课后习题答案

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a

bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1

(4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)

线性代数期末考试试卷答案

线性代数期末考试题样卷 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

线性代数模拟试题(4套)

模拟试题一 一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分） 1、若B A ,为n 阶方阵，则B A B A +=+.……………………() 2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆.……………………………() 3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…() 4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………() 5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合1、23456. 7、(R 8、若9、设10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为. 三、计算：(每小题8分，共16分) 1、已知4阶行列式1 6 11221212 112401---= D ，求4131211132A A A A +-+.

2、设矩阵A 和B 满足B A E AB +=+2，其中??? ? ? ??=101020101A ，求矩阵B . 四、(10分)求齐次线性方程组???????=++-=-++=--+-=++-024********* 432143214 3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解. 五、(10分)设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为 2六、(10（1（2（3（41. 2、（单 （1）做矩阵53?A 表示2011年工厂i a 产矿石j b 的数量)5,4,3,2,1;3,2,1(==j i ；

（2）通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值. 模拟试题二 一、 判断题（正确的打√，不正确的打?）（每小题2分，共10分） （）1、设,A B 为n 阶方阵，则A B A B +=+； （）2、可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E ； （）3、设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零； （）4、若12,x x ξξ==是非齐次线性方程组Ax b =的解，则12x ξξ=+也是该方程组的解. （）5、n 阶对称矩阵一定有n 个线性无关的特征向量。 123、设4、(33α5一； 67、设向量(1,2,1)T α=--，β=()T 2,,2λ-正交，则λ=； 8、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为。 三、计算题（每小题8分，共16分） 1、设矩阵??? ? ??=???? ??--=1201,1141B A ，求矩阵AB 和BA 。

上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷(B)及答案

诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。 上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷（B ）闭卷 课程代码 105208 课程序号 姓名 学号 班级 一、单选题(每小题2分，共计20分) 1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=，则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??，500050004A ?? ? = ? ?-?? ，且A 与B 相似，则=k 4 。 …………………………………………………………… 装 订 线…………………………………………………

8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。 二．选择题（每题3分，共15分） 1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; （B ）????? ??--321;（C ）???? ? ??112;（D ）121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。 （A ）充分必要条件； （B ）充分条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。 （A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+

大学线性代数模拟题

第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分，共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。 令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。(知识点：行列式的逆序数) 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D -。 3、设1101A ??= ? ?? , 则100A =110001?? ???。 23111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A = 1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。答案应该为5的n 次方 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+

线性代数试卷及答案

《 线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（ ）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（ ）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（ ） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠；

() B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（ ）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（ ）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（ ）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（ ） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同；

线性代数期末考试试题含答案

线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.

江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ）

线性代数模拟试卷一

2018—2019学年第二学期期末考试 课程名称：线性代数(模拟试卷一) 闭卷 A 卷 120分钟 一、选择填空题：（每题2 分，共14分） 1）行列式3 15 4 12231---中，元素4的代数余子式为 。 2）设行列式11 121321222331 32 33 3a a a a a a a a a =，则313233 2131 2232 233311 12 13 222222222222a a a a a a a a a a a a +++= 。 3）设112311131111A --?? ??=--????--?? ，则A 的秩()r A = 。 4）设向量组 123,,ααα线性无关，则当t =_____ 时，向量组21α-α，32t α-α，13α+α 线性相关。 5）线性方程组121232 343414 1 x x a x x a x x a x x a -=-??-=??-=??-=?有解的充要条件是 。 6）若A 的特征值为1,0,2-，则2 A 的特征值为 。 7) 已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系，12,k k 是任意常数，则方程组Ax b =的通解为 。 二）计算下列行列式（10分） 1110110110110111 ；

三）（12分）设矩阵A 和B 满足关系式2AB A B =+，且已知301110014A ????=?????? ，求矩阵B 。 四）已知向量组[ ]1132 0α=，[]270143α=，[]32101α=-， []45162α=，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将剩余向量用该最大无关 组线性表示。（12分） 五）设有线性方程组12312312336 32334x x x x x x x x ax b ++=?? ++=-??-++=? ，问a b 、为何值时，方程组①有唯一解？② 无解？③有无穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。（12分） 六）（14分） 1、求一正交变换X PY =，将二次型222 123121233322(,,)f x x x x x x x x =+-+化为标 准形。（线性代数A 的同学选做） 2）已知矩阵310130002A -?? ??=-?????? 求一正交矩阵p ，使得T P AP 为对角矩阵。（线性代数 B 的同学选做） 七）设向量组123120347110 ,,,011234b a αααβ???????? ? ? ? ? ? ? ? ?==== ? ? ? ?- ? ? ? ????????? 。 (1) 当,a b 取何值时，β不能由123,,ααα线性表示？ (2) 当,a b 取何值时，β可由123,,ααα线性表示？并写出此表示式。（12分） 八）若矩阵0102040a A b ?? ? = ? ??? 有三个线性无关的特征向量，问a 与b 应满足什么条件？（10 分） 九）已知A 为降秩矩阵，证明：矩阵A 至少有一个特征值为零。（4分）