复方阵若当标准形的求法探讨2

复

吴琼

(湖南科技学院数学与应用数学系湖南永州425100)

摘要：本文讨论复方阵的若当标准形及其相应的过渡矩阵求法．第一种方法探讨通过初等变换求出矩阵的初等因子，然后由初等因子可以得到矩阵的若当标准形，并求出相应的过渡矩阵；第二种方法探讨从寻求对应若当标准形矩阵的基底出发，利用有关特征值的理论来求矩阵的若当标准形及其过渡矩阵；第三种方法通过先求矩阵的特征值，然后再确定属于每一个特征值的若当块的个数和每一个若当块的级数来求矩阵的若当标准形．

关键词：若当标准形;不变因子;初等因子;过渡矩阵;特征值.

The discussion about finding the Jordan canonical

Form of a complex square matrix

Wu Qiong

(Department of Mathematic and Computational Science, Hunan University of Science and engineering, Yong zhou , Hunan,425100)

Abstract:This paper discuss using three methods to find the Jordan canonical form of a complex square matrix and the transfer matrix concerned. The first method, initially, through elementary transformation to find the elementary divisor of the matrix, then get the matrix Jordan canonical form and find the transfer matrix concerned. The second method, starting with seeking the basis relative to Jordan form matrix, then in virtue of theory of characteristic values to work out the Jordan canonical form of a complex square matrix and the transfer matrix concerned. The third method, firstly, work out the eigenvalues of the matrix, then through deciding the Jordan block’s number of each eigenvalue and the progression of each Jordan block to work out matrix Jordan canonical form.

Key words:Jordan canonical form; invariant divisor; elementary divisor; transfer matrix; eigenvalue

1引言与预备知识

我们知道并不是每一个n阶复数矩阵A都相似于一个对角矩阵，但是每个n 阶复数矩阵A都与一个若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若当标准形．因为一个n阶复数矩阵A的若当标准形是一个下三角形矩阵（或上三角形矩阵），且其主对角线上的元素正是矩阵A的特征多项式的全部的根（重根按重数计算），那么这个若当形矩

阵的方幂运算和行列式都是比较容易求出的．这对于我们求矩阵A 的方幂和一些有关矩阵的理论证明都有很大的帮助．文[１]探讨了用初等因子求矩阵若当标准形的方法．文[2]探讨了用初等变换求矩阵若当标准形的方法，同时给出了求相应的过渡矩阵的方法．文[3] 探讨了用初等因子和初等变换求矩阵若当标准形的方法，同时也给出了求相应的过渡矩阵的方法．文[4]从寻求对应若当标准形矩阵的基底出发，利用有关特征值的理论求矩阵A 的若当标准形-1J=T AT 及过渡矩阵T 的方法．文[5]先求出矩阵的特征值，然后再确定属于每一个特征值的若当块的个数和每一个若当块的级数来求矩阵的若当标准形．本文在大量分析现有研究成果的基础上，对复方阵若当标准形的求法进行了一些初步的探讨，归纳总结出复方阵若当标准形的几种典型的求法．

引理1.1[1] 任意一个非零的s n 的l -矩阵()A l 都等价于下列形式的矩阵

2()1()()00d d d r l l l 骣÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷桫

其中1r 3,()()1,2,,i d i r l = 是首项系数为1的多项式，且

()()()1|1,2,,1i i d d i r l l +=- .这个矩阵称为()A l 的标准形．

定义 1.1 标准形的主对角线上非零元素()()()12,,,d d d r l l l 称为

()A l l -矩阵的不变因子.

定义 1.2 把矩阵A 的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计算)称为矩阵A 的初等因子.

定义1.3 形式为

00

0100000100001l l l l 骣÷

?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷

?÷桫

的矩阵称为若当块，其中λ是复数，由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵.

定理 1.1[1] 每个n 级的复数矩阵A 都与一个若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A 唯一决定的，它称为矩阵A 的若当标准形.

1 复方阵若当标准形的求法

2.1 通过初等变换求出矩阵的初等因子，从而求出矩阵的的若当标准形．

定义 2.1 下面的三种变换叫做λ-矩阵的初等变换： （1） 矩阵的两行（列）互换位置；

（2） 矩阵的某一行（列）乘以非零的常数c ；

（3） 矩阵的某一行（列）加另一行（列）的?λ（）倍，?λ（）是一个多项式. 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.例如，将单位矩阵的第j 行的?λ（）

倍加到第i 行上得 j 列 j 列 111

(,())1i j p i j j l j 骣÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷÷?÷

?÷?÷?÷?÷?÷?÷

桫

=

行

行

（）

仍用(,)p i j 表示由单位矩阵经过第i 行第j 列互换位置所得的初等矩阵，用

(())p i c 表示用非零常数c 乘单位矩阵第i 行所得的初等矩阵.同样地，对一个

()s n λλ?的-矩阵A 作一次初等行变换就相当于在()λA 左边乘上相应的s s ?的初

等矩阵；对()λA 作一次初等列变换就相当于在()λA 的右边乘上相应的n n ?的初等矩阵.

初等矩阵都是可逆的，并且有

111(,)(,),(())(()),p i j p i j p i c p i c ---== 1(,()

)(,()).

p i j p i j j j -=- 由此可以得到初等变换具有可逆性：设A λλ-（）矩阵用初等变换变成B λ（）

，这相当于对()λA 左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘B λ（）就变回()λA ，而这个逆矩阵仍是初等矩阵，因而由B λ（）

可用初等变换变回()λA ．我们还可看出在第二种初等变换中，规定只能乘以一个非零常数，这也

是为了使(())p i c 可逆的缘故．

为了书写方便，我们采用以下的记号：

[]i j ，代表i j ，行（列）互换位置；

[]i （c ）代表用非零的常数c 去乘i 行（列）

； ()i j ?+????代表把j 行（列）的?

λ（）倍加到i 行（列）． 引理 2.1.1[1] 设

()()()()()()()()()()11222112000

0f g A f g f g B f g l l l l l l l l l l 骣÷?÷?÷

?

÷

÷?桫

骣÷?÷?÷

?÷?÷

桫

==

如果多项式()()12f f l l ，都与()()12g g l l ，互素，则()A l 和()B l 等价．

定理 2.1.1[1] 首先用初等变换化特征矩阵E A λ-为对角形式，然后把主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是A 的全部初等因子．

证明 设把E A λ-用初等变换化为对角形，

()()()12h h D h n

l l l l 骣÷?÷?÷?÷?

÷?÷?÷?÷÷?÷?÷

?÷?÷

桫 （）= 其中每个()i h λ的最高次项系数都为1．将()i h λ分解成互不相同的一次因式方幂的乘积：

()()()()1212i i ir k k k

h r i l l l l l l l =--- ()12,,.n i =

我们现在要证明的是，对于每个相同的一次因式的方幂

()()()

12,,,nj

j j j j j

k k k l l l l l l --- ()12,,,j r = 在()D l 的主对角线上按递升幂次排列后，得到的新矩阵'

D λ（）

与()D λ等价．此时'D λ（

）就是E A λ-的标准形而且所有不为1的()

ij

j

k λλ-就是A 的全部初等因

子．方便起见，先对1l l -的方幂进行讨论．令

()()()3223

12r

r i n k k k i i i g i l l l l l l l ---= （）=，，，，， 于是 ()()11i i i i k

h g l l l l =- =1，2，

，n ，（），

而且每个()11

i k

l l -都与()j g λ （）j=1，2，，n 互素．如果有相邻的一对指数11,1i i k k +>，则在()D λ将()11

i k

λλ-与()

11

1i k λλ+-，对调位置，而其余因式保持不动．根据引理2.1.1，

()()

111,111i i

i i k g k g λλλλλλ++??

? ? ? ???

--（）00（）与

(

)

()

1,11111i i i i k g k g λλλλλλ++??

? ? ? ???

--（）00（），

等价．从而()D λ与对角矩阵

()()()()11111,111111

11()i i i i n n k g k g D k g k g λλλλλλλλλλλλλ++--=--?

? ? ? ?

?

? ? ? ?

?

? ??

?

（）（）（）（）

等价．然后对1()D λ作如上的讨论．如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含()1λλ-的方幂是按递升幂次排列为止．依次对2,,r λλλλ-- 作同样处理，最后便得到与()D λ等价的对角矩阵'()D λ，它的主对角线上所含每个相同的一次因式的方幂，都是按递升幂次排列的．

由定理2.1.1我们得到用初等变换化矩阵A 的特征矩阵为标准形的方法，具体步骤如下：

第1步：用初等变换求出E A λ-的标准形()B λ，同时求出相应的可逆

λ-矩阵1U λλ1

（）和V （），使得：()()1.U E A λλλλ-1（）V （）=B 第2步：由()B λ知A 的不变因子，由此得出A 的初等因子，再由初等因子写出A 的若当标准形J ．

第3步：用初等变换将E J λ-化成标准形()B λ (因A J ，所以E A E J

λλ--与等价，因而它们有相同的标准形)，同时求出可逆λ-矩阵

2U λλ2

（）和（）V ，使得: ()()2.U E J λλλλ-2（）V （）=B 第 4 步: 令21U U U λλλλλλ-1-112

（）=（）（）,V()=V ()V ()则： ()U E A λλλλ-（）V （）=E-J. (1)

第5步:求λ-矩阵()()Q λλ、R 和数字矩阵0U λλ0（）和V （）

，使得： ()()0U E J U λλλ-+（）= ，Q (2) ()()0V E J V

λλλ-+（）=R . (3) 定理 2.1.2[2] 设A 是一个n 阶复矩阵，则以上方法求得的0V 就是所要确定的过渡矩阵，即若令0,T V =则1.T T AT J -=可逆且

证明 由(1)式和(3)式得:

()()()()()0(),U E J V E A R V λλλλλλλ????

-=-+-1（）=E-A E-J 所以 ()()()0().

U E A R E A V λλλλλ????

--=--1（）E-J

令 ()

(),T U E A R λλλ=---1（）则 ()()0.T E A V λλ=-E-J (4) 因0V 是数字矩阵，比较(4)的两边即可知: T 必是数字矩阵．

又 ()()()()(

)()U U U U E A λλλλλλ--1

T=-R 所以 ()()()()()()E U U U V R λλλλλλ==-1-1T+E-J

()()()()01(),Q U T V R E-J E-J l l l l l -轾臌

++ 所以 ()()()()01.E U Q T V λλλλ-????

??

=+T+E-J R 又因0E U T 和均为数字矩阵，所以上式右边第二项必为0，故 0E U T =，

，从而10T U -=代入(4)式得: ()()()1

00U E A V λλλ--=J E-，

所以 ()()00000,E A V U V U A

V 0E-J=U l l l -=- 所以 0000

U V E J U A V ==

且， 所以 00

11.V V AV 0，且J=U --=

因此 ，若令01,T V J T AT 则，证毕.-==

注 从以上步骤可以看出，在具体求T 时，只需要求出()1V l 、()2V l 、()V l 和()0V l 即可．而()1U l 、()2U l 、()U l 和()0U l 可以不必计算．

例2.1.1 设308316205A 骣÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?桫

=---， 求A 的若当标准形J ，并求出相应的可逆矩阵T ，使得1.T AT J -= 解 第一步，求E A l -的标准形，

()()2308100316010,2

05001E A B l l l l l l l 骣

÷?骣÷?÷?÷?÷?÷÷??÷÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷÷??÷鼢??桫÷?桫

---=-+-?=++()()11152100301001.12001001E V l l l 骣÷?÷?÷?÷?骣÷?÷÷??÷÷?÷?÷?÷÷??÷÷??÷÷??÷÷??÷÷??÷桫?÷?÷÷?÷?桫

+-+=?= 第二步：由第一步知，A 的初等因子为()21,1,l l ++故A 的若当标准形为

100010.011J 骣÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?桫

-=-- 第三步：因E A l -与E J l -有相同的标准形(),B l 故对E J l -施行初等变换将其化成().B l

()()21001

00

0100

10011001E J B λλλλλλλ???? ?

?

? ?

? ? ?

??

??

+-=+→+=-++

()2100010010101,001001E V l l 骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢珑鼢珑鼢珑鼢珑鼢珑桫

桫=?=

所以

()()1011100.2001V l l -骣÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷÷?桫

-+= 第四步：

()()()121

V V V l l l -==

()()()11115113722011330110010.22001001001l l l l l 骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢骣珑鼢珑÷?鼢÷珑鼢?÷珑鼢?÷鼢珑?÷鼢珑?÷鼢珑?÷鼢珑?÷鼢珑÷?鼢桫珑鼢珑鼢鼢珑鼢珑桫桫

+-++-+-+-?- 第五步：

()0173111022300010.2000001V D D l l l 骣÷?骣÷?÷?÷?÷÷??÷÷?麋÷?÷?÷?÷?÷?÷÷??÷÷?÷?÷?÷?÷?÷÷??÷÷?÷?÷?÷?÷?÷÷?桫?÷桫

--=+-=+ 设 ()()()000000

01,R Q D D Q E J V Q V Q

J 且，l l l

l =+=-+=+

- 所以 003102000000Q D ，骣÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷桫

-== 001V D Q J =+=

71

113021022100233100000101

02200001

11010

1

，骣骣

鼢珑骣鼢珑÷?鼢珑÷鼢?珑骣÷鼢?琪 ÷鼢??÷珑÷鼢??÷÷珑鼢??÷÷鼢珑??÷÷鼢珑?÷?÷鼢珑÷?÷

?鼢珑÷?÷

鼢?÷?珑÷鼢桫?÷珑鼢?÷珑鼢÷?鼢珑桫鼢珑桫

桫

--

----+?=--

01301

2204.00

1V -骣÷

?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷÷?÷

?÷?÷?÷?÷?÷

桫

=-- 且容易检验知001V AV J 成立.-=

2.2 从寻求对应若当标准形的基底出发，利用矩阵特征值的有关理

论求矩阵A 的若当标准形1J T AT -=及过渡矩阵T ．

引理2.2.1[4] 设V 是复数域上的线性空间，σ是V 的一个线性变换，σ的特

征多项式为

()()

()()1

212s s r r r

f λλλλλλλ=--- (),i j i j λλ≠≠当

则V 可分解成σ不变子空间的直和12s V V V V =⊕⊕⊕

其中 . ()

{

}

|0,i i r

V V i

ξλξξσε=-=∈

引理2.2.2[4] 若V 分解成若干个σ不变子空间的直和

12s V W W W =⊕⊕⊕

在每个不变子空间i W 中取基()12,,,1,2,,in i i i

i s εεε= ,并且把它们合并起来成

为V 的一组基，则σ在这组基下的矩阵具有准对角形式

12

s A A A ?? ? ? ? ? ??

?

其中i A 即是/i W σ在基12,,,in i i i

εεε 下的矩阵．

引理2.2.3[4] 设λ是σ的特征值，k V 是()k λσε-的核，则 ( 1 ) 1k k V V +? ( 2 ) ()1k k V V λσε+-?

证明 对于k V α∈，则()

()()1

k k

λαλλασσσεεε+-=--

()00λσε=-= 1k k V V +∴?

对于1k V β+∈， ()()()

1

0k k λλβλβσσσεεε+--=-=

()1k k V V λσε+∴-?．证毕．

因为V 是有限维线性空间，且所有k V V ?，所以12V V ?? 是有界的，即存在一个t ，使121t t V V V V +???== 令t m 为t V 的维数．

引理 2.2.4[4] 设t V 是()t λσε-的核，可以找到t V 的一组基1,,m t

αα ，使其

中1,,m k

αα 是t V 的基．

证明：设11

,,m αα 是1V 的一组基，12V V ? ，11,,m αα∴

可扩充为2V 的一组基11

2

,,,,,m m ααα 显然11

,,m αα 是1V 的基．假设

1,,m s αα 是s

V 的一组基，且其中1,,m k

αα 是k V 的基．1s s V V +? ，

1,,m s αα∴ 可以扩充为1s V +的基,11

,,,,m m

s s ααα+ 且其中,1,m k

αα 是k V 的

基．由归纳法可知引理成立．证毕．

定理2.2.1[4] 设t V 是()t λσε-的核，可以找到t V 的一组基12,,,m t

βββ ，使

其中,12,,m k

βββ 是t V 的基，且

1m

i m i m i

k

k k i i

ββλββλβσσ+++-=+=

()

()

11k i m ≥≤ (5)

证明 设1,,m t αα 是t V 的一组基，且11

,,m m t t αα+- 都属于t V 但不属于1t V -．为了证明方便，令111

,(1,2,,)t m

i m i t t t i m m αβ++---==- ，

并设

()121,(1,2,,)

t i t t t i m m m m i λβ

βσε+----==-+ (6)

由引理2.2.3可知12

t m

i

t V β-+-∈．下面说明 {}1

12

122

,,,,t t t t t m m

m m m ααββ+----????

?

?

?+- 是线性无关的．

设

111122

112222

0t t t t t t t t t t k a k a k k m

m m m m m m m m m ββ++--------=++++++-+- 若k i 中

有非零常数，则至少有一个i β具有非零系数，不然与12

,,t m

αα- 线性无关相矛

盾．又由上式得

1111222

2t t t t t t t t k k m m m m m m m m ββ++------+++-+-

21122t t t k a k a V

m

m ---?? ???

=-++∈ ()

211112

222t m t t t t t t t t k k m m m m m m m λββσε-++------?

?

?

??-+++-+- ()()111121212

t t t t t t t t t k k m m m m m m m

m λλββσσεε++------??

??

?

-=--+++-+- ()11121210t t t t t t t k k m m m m m

m λββσε++----??

??

?

-=-++=+-

所以1111212

t t t t t t t k k V m m m m m m ββ-++----++∈+- ．又11,i i t t m m βα++--= 于是112112

t t t t t t t k a k a V m

m m m m m -+----++∈+- ．

这说明这个线性组合可由121

,,t m ααα- 线性表出，这与12,,m t ααα 线性无关

相矛盾．所以{

}

1

12

12

2,,,,m

m

m m m

t t t t t ααββ-+----?

????

?

?+ 线性无关．

这个线性无关集合可扩充为1t V -的基112

1

2

,,,,,m

m m

t t t ααββ+--- ，

而且，1

112

121

,,,,,,,,m

m m m

m t t t t t ααββββ++----

是t V 的一组基．对于这组基，当1k t =-时，适合定理中的第一式．

对于1t V -中的基1

12

1

2

,,,,,m m

m

t t t ααββ+--- 可以按以上方法求出t V 的基

11132132

,,,,,,,,,,m

m m m m m t t t t t t ααβββββ++----- ，使当2k t =-时，适合定理中

的第一式．依次下去即可获得t V 中的一组基1,,m t

ββ ，使当1k ≥时适合第一式，对于1V 中的基,,11

m ββ 适合定理中的第二式．证毕．

设,,1

1

m ββ 是t V 的一组基，其中1,,m k

ββ 是k V 的基，而且

()11m

i m i m i k k k

k ββλβσ+++-=+≥，

()1i i i m βλβσ=≤．

现在从新排列j β的顺序()1,2,,t j m =

,1111121222221

1

2

1

1

,,,,

,,,,,

,,,,,m m m t m m m t k m k k

m m k

t ββββββ

ββββββ+++-+++-+++-

(7)

则σ这组基下的矩阵为

1

11

1λλ

λλλ?? ?

?

? ?

? ?

?

?

? ??

?

(8) 定理2.2.2[4] 每个n 级复数矩阵A 都与一个若当形矩阵相似．

证明 设A 为V 的线性变换σ在基1,,n εε 下的矩阵且A 的特征多项式为

()()()()12121r r r s

f λλλλλλλ=---

由引理2.2.1，V 可以分解为σ不变子空间的直和

12s V V V V =⊕⊕⊕

其中(){

}

|0,r

i i i V V ξλξξσε=-=∈．由定理2.2.1及上讨论可知，对于每一个

i V 都有形式为(7)的一组基，因为V 是i V 的直和，所以这些基的并是V 的一组

基．由引理2.2.2，σ在这组基下的矩阵成准对角形，且对角线上的矩阵具有(8)的形式，所以这个准对角形矩阵即为若当形矩阵．由此说明A 与一个若当标准形相似．证毕．

利用定理2.2.1，定理2.2.2的证明过程，可归纳出求A 的若当标准形J 及可逆矩阵 T 的方法． 例 2.2.1

310

01100305341

31A -??

?

?= ?

-

?--??，求A 的若当标准形J 及可逆矩阵 T ．

解 A 可看作4 C 上的线性变换σ

在基10000100,,,00100001???????? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????????

下的矩阵．

第一步求A 的特征值．其特征多项式为

()43

1001100230534131E A λλλλλλ?? ? ? ? ? ???

----==-----+ 其特征值为2．

第二步求属于2的特征向量．解方程组()20E A X -=，即

12341

1

00110003033041330x x x x ?????? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

?????--=----，

其基础解系为1111,121001αα????

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????

--== 第三步解方程组()220E A X -=．即

12340

0000000000000000000x x x x ??????

? ? ?

? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ??

???

??=

所以其基础解系的个数为4．已求得两个21,αα再取

1001,340000αα????

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????

==，于是 1111,1210

01αα????

? ?

? ? ? ? ? ?

? ?

????

--==，1001,340000αα???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????== 为2V 的一组基，而且适合引理2.2.4．

第四步进行基变换，使新基具有(5)的形式．由上可知34,αα不属于1V

()3111

0111

10001230330341

3304E A αα??????

??? ?

??? ? ??? ? ???

? ??? ??

???

??

-----===------’ 由引理2.2.3 可知11V α∈’．

()4211

0011

1001123

0330041

3301E A αα?????? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ??

???

??

---===---- 所以'1234,,,αααα适合(5)．

第五步交换以上基的次序是适合(7).令11233244',,,βαβαβαβα====．

这时

1133

22σββσββ== 212434

22ββββββσσ=+=+

所以σ在这组基下的矩阵为

21

00020000

21000

2J ??

? ? ?

? ??

?

= 所求可逆矩阵

1

11010113

000401

0T ??

?

? ? ? ??

?

--=-- 2.3 通过先求矩阵的特征值，然后再确定属于每一个特征值的若当

块的个数和每一个若当块的级数来求矩阵的若当标准形.

引理 2.3.1 [5]

设i A 为i r 阶矩阵，令1

s

i i i A a A ==⊕ 表示依次由i a 个子矩阵

()1,2,,i i A A s = 所构成的分块对角矩阵，则有

11

,s s

k k i i i i i i rankA a rankA A a A ====⊕∑ ．

定理2.3.1[5]设0λ为矩阵A 的一个特征值，令

()00,,k

k n n n rank A E λ==-1,2,,k = 令1,k k k b n n -=-

1k k k a b b +=-则：

( 1 )1b 等于A 的属于特征值0λ的若当块的个数； ( 2 )k a 等于A 的属于特征值0λ的k 阶若当块的个数．

证明 设J 为A 的若当标准形，i a 为A 的属于特征值0λ的i 阶若当块的

个数，则1n

i i i J a J B ==⊕⊕ ， 其中i J 表示A 的属于特征值0λ的i 阶若当块，B 为

由A 的不属于特征值0λ的若当块所构成的分块对角阵，设B 的阶为t ，则

1

,

i i i n

n a t ==+∑因A 和J 相似，所以0A E λ-和0J E λ-也相似，从而

()()00.k

k

rank A E rank J E λλ-=-

故 ()()00k k

rank A E rank J E λλ-=-

()()()001k

n

n

k

t i i i i i k a rank J E rank B E a i k t λλ===-+-=-+∑∑

所以

()()01111

11n

n n

n i i i i i i i i b n rank A E n a i t n a i t a a A λ====?? ???=--=---=-++==∑∑∑∑

的属于特征值0λ的若当块的个数．

()()()()

()()10011111n n

k k

i

i i k i k

n n

i i i

i k

i k

A k rank A E rank E i k i k k k i k i k a a a a a b λλ-=-====---=

-+--=--++-+-+=∑∑∑∑

11

,n n

i i k k k i k i k b b a a a +==+-=-=∑∑即得所证．

根据定理2.3.1的证明过程可得出求矩阵若当标准形的一般步骤为：

第一步：求A 的特征多项式()||;A f E A λλ=-

第二步：解方程()0,A f λ=求出A 的所有不同特征值：12,,,;s λλλ 第三步：对每个

i

λ，计算及

()k

i k n r a n k A E

λ=

-及

1,k k k b n n -=-1,k k k a b b +=-1,2,k = .

则1b 等于A 的属于特征值i λ的若当块的个数，k a 就是A 的属于特征值i λ的k 阶若当块的个数；

第四步：按第三步所确定的k a ，写出相应的若当标准形矩阵J ，这就是A 的若当标准形．

例2.3.1 求矩阵211254

29312224

38A --??

?

- ?= ?

--

?-??

的若当标准形． 解 先求出A 的特征值

()

()4

2

11254

2

9||1312

2

2

4

3

8

f

E A A λλλλλλλ+---+--=-==------

所以，1λ=是A 的唯一4重特征值，下面计算,,k k k n b a 及

31123112552

92437311

20000

24370

000A E ??

??

?

?

? ?

? ?

?

? ? ??

???-------=→--- ()2rank A E -=

()22

311

27

161716155292842440000311271610000243721318300

0A E ????

??

?

?

?

? ? ?

?

? ?

?

?

? ? ? ??

??

???----------==→

-------()21,rank A E -=又()()0,0,3k k

A E rank A E k -=-=≥

所以11232,1,0,1b a a a ====,即A 有一个1阶的属于特征值1λ=的若当块()

11J =及一个3阶属于特征值1λ=的若当块2100110011J ??

?

? ???

=，

1,k k k b n n -=-1.k k k a b b +=-从而A 的若当标准形为1000010001100011J ?? ?

? ? ? ???

=． 对于这种方法，本文用Matlab 软件编写程序,计算出复方阵的属于每一个特征值的若当块的个数和每一个若当块的级数，见附录A.将例2.3.1中的矩阵的值代入到这个程序中去，所得的结果见附录B.

结束语

本文主要讨论用三种方法来求复方阵A 的若当标准形1J T AT -=及其过渡矩阵T ．第一种方法从我们比较熟悉的初等变换的方法来求矩阵的若当标准形及其过渡矩阵；第二种方法从寻求对应若当标准形矩阵的基底出发，利用有关特征值的理论求矩阵A 的若当标准形及其过渡矩阵；第三种方法通过先求矩阵的特征值，然后再确定属于每一个特征值的若当块的个数和每一个若当块的级数来求矩阵的若当标准形．这三种方法对于求阶数不是很大的矩阵的若当标准形及其过渡矩阵还是很方便的，但对于阶数较大的矩阵计算量就比较大，如果应用计算机及数值计算的有关知识解决这个问题，那就使得这三种方法的适用更广泛,有待于以后进一步探讨．

主要参考资料

[1] 北京大学数学系几何和代数教研室代数小组.高等代数[M] .北京:高等教育出版社,1988:333—355.

[2] 刘宁.与复矩阵的若当标准形相应的的过渡矩阵的计算[J] .广西师范学院学报（自然科学版）,2004,21(3):95—97.

[3] 钱吉林.高等代数题解精粹[M] ．中央民族大学出版社,2002:401—457.

[4] 李密堂.Jordan 标准形新求法[J] ．河北大学学报（自然科学版）,1990,(1):9—17. [5] 呙林兵.矩阵若当标准形的另一种求法[J] ．太原师范学院报（自然科学版）,2006,5(3):35—37.

[6] Steven Roman ．Advanced Linear Algebra[M] ．New York: Springer —Verlag,1992. [7] K. Ogata, State Space Analysis of Control Systems, Prentice Hall (1967) .

致谢

本文从选题到完稿都得到了指导老师李珍珠老师的悉心指导．李老师尽管工作繁忙，但总是挤出时间来批阅、修改论文，对本人在论文撰写过程中遇到的困难都悉心帮助予以解决．在此，本人对李老师表示真诚的感谢．

function output=f(A,E,r,n) % A为n阶的复数矩阵

% E为n阶的单位矩阵

% r为矩阵A的特征值

% n为矩阵A的阶数

b=linspace(0,0,100)

a=linspace(0,0,100)

m=linspace(0,0,100)

B=A-r*E

m(1)=rank(B)

b(1)=n-m(1)

for i=1:100

m(i)=rank((A-r*E)^i)

k=i+1

m(k)=rank((A-r*E)^k)

b(k)=m(i)-m(k)

if m(i)==0

break

end

end

number=0

for j=1:100

a(j)=b(j)-b(j+1)

number=number+a(j)

if number==b(1)

break

end

end

output=[b(1) a]

ans =

Columns 1 through 19

2 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Columns 20 through 38

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Columns 39 through 57

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

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0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Columns 77 through 95

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Columns 96 through 101

0 0 0 0 0 0

二次型的标准型

§2 标准形 一、二次型的标准型 二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 2 222211n n x d x d x d +++ . （1） 定理1 数域P 上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和（1）的形式. 易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵， ().000000 ,,,212 1212 222211?????? ? ????????? ??=+++n n n n n x x x d d d x x x x d x d x d 反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言，定理1可以叙述为： 定理2 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定理2也就是说，对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C 使 AC C ' 成对角矩阵. 二次型),,,(21n x x x f 经过非退化线性替换所变成的平方和称为 ),,,(21n x x x f 的标准形. 例 化二次型 32312121622),,,(x x x x x x x x x f n -+= 为标准形. 二、配方法 1.,011≠a 这时的变量替换为

????? ????==-=∑=-. , , 222 11 1111n n n j j j y x y x y a a y x 令 ??? ? ? ? ? ? ?--=--100010 111 11121111 n a a a a C , 则上述变量替换相应于合同变换 11AC C A ' → 为计算11AC C '，可令 ()??? ? ? ??==nn n n n a a a a A a a 22221112,,,α. 于是A 和1C 可写成分块矩阵 ??? ? ??-=???? ? ?' =--11 1111111,n E O a C A a A ααα, 这里α'为α的转置，1-n E 为1-n 级单位矩阵.这样 .111 1 1111111 11 11111111 1111111 1111??? ? ??'-=???? ??-???? ? ?'-=???? ??-???? ??'? ??? ??'-=' --------αααααααααa A O O a E O a a A O a E O a A a E a O AC C n n n 矩阵αα'--1 111a A 是一个)1()1(-?-n n 对称矩阵，由归纳法假定，有 )1()1(-?-n n 可逆矩阵G 使 D G a A G ='-'-)(1 111αα 为对角形，令 ??? ? ??=G O O C 12,

线性代数第六章二次型试的题目及问题详解

第六章 二次型 一、基本概念 n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为 f(x 1,x 2, …,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+ …+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2 =21 2n ii i ij i j i i j a x a x x =≠+∑∑. 它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A ???? ?? ? ????????? ??==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f M ΛM M M Λ Λ ΛΛ212 122221112112111 21),,(),,( 记[]T x x x X Λ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X T AX 称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩. 注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T =，此时二次 型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此， 也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。 实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定 为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型. 标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2 222211n n x d x d x d f +++=Λ 称为二次型的标准型。 规范二次型 形如2 21221q p p p x x x x ++--+ΛΛ的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规范型。 二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系 对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数 ?? ???? ?+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x ΛM ΛΛ22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵 c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … … c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可 逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =

矩阵的若尔当标准型及简单应用

哈尔滨师范大学 学年论文 题目矩阵的若尔当标准型及简单应用 学生李小琴 指导老师穆强 年级 2005级 专业数学与应用数学 系别数学系 学院数学与计算机科学学院 哈尔滨师范大学 07年6月

矩阵的及若尔当标准型及简单应用 李小琴 摘 要：复数域上的每一n 阶矩阵都与若尔当标准形式相似，本文论证了矩阵的若尔当标准型及简单应用. 关键词：若尔当 线性变换 矩阵 标准 定义1 设λ是一个复数，矩阵????? ?? ? ??λλλλ1 ..................00 (10) 00 0 1 00 (00) （ 1 ） 其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于 λ的一个若尔当（或若尔当块）. 当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同的本征值，那么存在V 的一个基，似的σ关于这个基的矩阵有形状 ???? ?? ? ??k B B B 002 1 （ 2 ） 这里i B =???? ?? ? ? ?i is i i J J J 002 1 ，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块，.,...,2,1k i = 证 设σ的最小多项式是rk k r x x x P )...()()(11λλ--=，而)(x P 在复数域上是不可约 的因式分解，这里k λλλ,...,,21是互不相同的本征值，k r r r ,...,,21是正整数，又设 i V =ker V i r i ∈=-ξλσ{) (｜0)(=-ξλσi r i }，,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解 V =....1k V V ⊕⊕ 对于每一i ，令i τ是σ—i λ在i V 上的限制，那么i τ是子空间i V 的一个幂零线性变换，而子空间i V 可以分解为i τ一循环子空间的直和：i is i i W W V ⊕⊕=...1.在每一循环子空间

化二次型为实用标准形地几种方法

化二次型为标准形的几种方法 摘要 二次型是代数学要研究的重要容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形.这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明．其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方． 关键词：正交变换法配方法初等变换法雅可比方法偏导数法

reduce the quadratic forms to the standard forms Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula. Keywords:orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method

第八章λ矩阵与若尔当标准形复习指导

第八章 λ-矩阵与若尔当标准形复习指导 （一）基本内容 1.-λ矩阵，可逆的-λ矩阵，-λ矩阵的秩. 2.-λ矩阵的初等变换及标准形，-λ矩阵的等价. 3.行列式因子，不变因子，初等因子. 4.若尔当标准形，最小多项式，矩阵的有理标准形. （二）主要方法 1.-λ矩阵的逆矩阵的求法. 2.化-λ矩阵为标准形的方法. 3.-λ矩阵的不变因子与初等因子的求法. 4.矩阵相似的判别. 5.矩阵与对角矩阵相似的判别. 6.复系数矩阵的若尔当标准形的求法. 7.矩阵的最小多项式的求法. （三）重要习题 例1：求可逆-λ矩阵的逆矩阵. 【①伴随矩阵法：)() (1)(1λλλ?-=A A A , ②初等变换法:()???→?初等行变换E A )(λ() )(1λ-A E 】 例2：化-λ矩阵为标准形. 如：课本P334例. 类似题有：课本P355习题1. 例3：求-λ矩阵的不变因子与初等因子. 如：课本P342例. 类似题有：课本P356习题2、习题3. 例4：求复系数矩阵A 的若尔当标准形. 【这是重点！①先求初等因子，②写出初等因子对应的若尔当块，③得到A 的若尔当标准形.】 如：课本P349例1、例2. 类似题有：课本P357习题6. 例5：判别矩阵相似. 【两矩阵相似的充分必要条件是它们的不变因子或初等因子相等】 见：课本P341推论、P343定理8. 方法：求出它们对应的特征多项式的行列式因子或不变因子或初等因子. 如：课本P357习题5. 例6：判别矩阵与对角矩阵相似. 【矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是初等因子全为一次因子或其不变因子都没有重根】 见：课本P351定理12、13. 方法：求出对应的特征多项式的不变因子或初等因子. 例7：求矩阵的最小多项式. 【最小多项式是特征多项式的因式】 方法：先求出特征多项式，再找满足条件的因式. 如：课本P317例1、2. 类似题有：课本P326习题27.

化二次型为实用标准型的方法

化二次型为标准型的方法 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 2 2 ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方 向转轴） '' '' x x cos y sin y x sin y cos θθ θθ ?=-??=+?? （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式 22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn n x c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++??=++?? =++???=++?? （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 ij ji a =a ，i

二次型化为标准形的几种方法

2015届本科毕业论文 题目：二次型化为标准型方法 所在学院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学11-2班 学生姓名：赵江南 指导教师：艾合买提 答辩日期：2015年5月5日

目录 1 引言.............................................. 错误!未定义书签。 2 关于二次型定义 ................................... 错误!未定义书签。 3 二次型化为标准型的方法 ........................... 错误!未定义书签。 正交变换法 ...................................... 错误!未定义书签。 . 配方法 ......................................... 错误!未定义书签。 . 初等变换法 ..................................... 错误!未定义书签。 . 雅可比方法 ..................................... 错误!未定义书签。 . 偏导数法 ....................................... 错误!未定义书签。 4. 小结 ............................................ 错误!未定义书签。参考文献 .......................................... 错误!未定义书签。致谢 .............................................. 错误!未定义书签。

第六章二次型总结

第六章二次型总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

第六章 二次型（一般无大题） 基本概念 1. 二次型: n 个变量12,, ,n x x x 的二次齐次函数 212111121213131122222 232322(,, ,)222222n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =+++ ++++ ++ + 称为n 元二次型,简称二次型. 其中ij ji a a =,则 ()2 1211112121313112 21212222323222 11223311121121 22221 2 1 2 (,, ,)2n n n n n n n n n n n nn n n n n n n nn n T f x x x a x a x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x x a x x a x a a a x a a a x x x x a a a x x Ax =+++ +++++ ++ +++++???? ??? ? ??= ??? ??????? = 因此，二次型也记AX X f T =,A 称为二次型f 的矩阵,二次型矩阵均为对称矩阵,且二次型与对称矩阵一一对应,并把矩阵A 例题：写出下列二次型的矩阵：（p 书126例6.1） 2.合同矩阵的定义及性质 2.1合同矩阵定义 设,A B 均为n 阶方阵，若存在可逆矩阵C ，使得T C AC B =，则称矩阵A 与B 合同，记A B ?.实对称矩阵A 与B 合同的充要条件是二次型T x Ax 与 T x Bx 有相同的正,负惯性指数.(A 的正, 负惯性指数：A 的特征值的个数) 合同是矩阵之间的另一种关系，它满足 （1）反身性，即T A E AE =； （2）对称性，即若T B C AC =，则有()11T A C BC --=； （3）传递性，若111T A C AC =和2212T A C AC =，则有()()21212T A C C A C C = 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. 在数域P 中要使两个二次型等价，充分必要条件就是它们的矩阵合同.

实验6二次型及其标准形

实验6 二次型及其标准形 一、 实验目的 学习利用Matlab 命令求二次型的秩，化二次型为标准形，判断二次型的正定性. 二、实验原理 （一）预备知识 ? 线性代数中的关于二次型的知识： 1. 二次型的秩就是二次型的矩阵的秩； 2．判别二次型为正定二次型的充要条件是，它的矩阵A 的特征值全为正，或 A 的各阶主子式为正。 ? 本实验所用Matlab 命令提示： 1. 二次型的矩阵为A, 因此用命令rank(A)可以求二次型的秩； 2. d = eig(A)输出方阵 A 的全部特征值组成的列向量d ； 3. 命令[P,D]=eig(A)输出的是对角线上的元素为A 的特征值的对角矩阵D ，以A 的相应的特征向量为列的矩阵P. （二）实验举例 在Matlab 中，我们运用函数[P,D]=eig(A)求出二次型的矩阵A 的特征值矩阵X 和特征向量矩阵P ，所求的矩阵X 即为系数矩阵A 的标准形，矩阵P 即为二次型的变换矩阵. 例1 把二次型222122332343f x x x x x =+++化为标准形. 解 输入: clear

A=[2 0 0;0 3 2;0 2 3]; syms y1 y2 y3 y=[y1;y2;y3]; [P ,D]= eig(A) x=P*y 输出为: P = 0 0 D = 0 0 0 0 0 0 x = [ y2 ] [ -1/2*2^(1/2)*y1+1/2*2^(1/2)*y3] [ 1/2*2^(1/2)*y1+1/2*2^(1/2)*y3] f=[y1 y2 y3]*D*y f =y1^2+2*y2^2+5*y3^2. 由输出结果可知,线性变换x=py 化二次型为标准型22212325f y y y =++.

化二次型为标准型

化二次型为标准型公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

第二节 化二次型为标准形 若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式 ,2 222211n n y b y b y b +++ 则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形. 由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n =),,,(21 在线性变换CY X =下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵 ? ?????????? ?=n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,2222211n n y b y b y b +++ 其标准形中的系数恰好为 对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 ★ 二次型的标准性 ★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ?4 ★ 用正交变换化二次型为标准形 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回 内容要点： 一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形;

第二节 化二次型为标准型

第二节 化二次型为标准形 若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式 ,2 222211n n y b y b y b 则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形. 由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n ),,,(21 在线性变换CY X 下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵 n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,222 2211n n y b y b y b 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 ★ 二次型的标准性 ★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理 3 4 ★ 用正交变换化二次型为标准形 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回 内容要点： 一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形; (2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ,则先作可逆变换 ),,,2,1(j i k n k y x y y x y y x k k j i j j i i 且 化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按(ⅰ)中方法配方. 注：配方法是一种可逆线性变换, 但平方项的系数与A 的特征值无关. 因为二次型f 与它的对称矩阵A 有一一对应的关系，由定理1即得: 定理2 对任一实对称矩阵A ，存在非奇异矩阵C ，使 B AC C T 为对角矩阵. 即任一 实对称矩阵都与一个对角矩阵合同. 二、用初等变换化二次为标准型 设有可逆线性变换为CY X ，它把二次型AX X T 化为标准型BY Y T ，则 B AC C T . 已

一些情况下若尔当标准型的简解

问题：有没有简便的方法求若尔当标准型？ 记号：以下U ?表示矩阵U 的共轭转置 命题1：若存在酉矩阵U ，使得U ?AU=B ，设A=【a ij 】，B=【b ij 】，则： |a ij |2n i,j=1= |b ij |2n i,j=1 证明： |a ij |2n i,j=1=tr A ?A , |b ij |2n i,j=1= tr B ?B =tr U ?A ?AU ， 由矩阵乘法在迹运算下的可交换知：tr A ?AU U ?= tr A ?A ，得证 由这个定理，则将矩阵A 酉相似为若尔当标准型后，记s= |a ij |2n i,j=1， t= |λi |2n i=1（λi 为A 的特征根） ，则s 与t 的差值即为若尔当标准型中剩下的1的个数。对每个若尔当块J t 为n t ×n t ，有n t -1个“1”，设化为若尔当标准型后有k 个若尔当块，则s ?t = （n i ?1）=n-k ，故 k=n+t-s . 命题：记号同上，矩阵A 的若尔当标准型中若尔当块的个数k= n+t-s . 推论：记号同上，则s-t 为非负整数，且等于0当且仅当A 可对角化当且仅当A 是正规矩阵. 分析：记号同上，设矩阵A 的特征根λi 的重数为n i ，若重数大于1的特征根只有1个，设其为λt ，对应重数为n t ，那么应该有n t -1个1，而其他的特征值由于互异，对应的若尔当块没有1，若矩阵A 一共有m 个不同的特征根，其中只有λi 的重数大于1，为n i ，那么λi 将对应k-m+1个若儿当块，此时可以很快写出若尔当标准型。 命题：记号同上，设矩阵A ，若重数大于1的特征根只有1个，设其

化二次型为标准型的方法样本

化二次型为标准型的方法 一、 绪论 高等代数是数学专业的一门重要基础课。该课程以线性空间为背景, 以线性变换为方法, 以矩阵为工具, 着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数, 其内容本应属于函数讨论的范围, 然而二次型用矩阵表示之后, 用矩阵方法讨论函数问题使得二次型的问题变得更加简洁明确, 二次型的内容也更加丰富多彩。本文的中心问题是如何化二次型为标准形, 也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。 二次型是高等代数的重要内容之一, 二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项, 即二次型的标准型。二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、 二次曲面的化简问题, 其理论也在网络、 分析、 热力学等问题中有广泛的应用。将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题, 而且它在物理学、 工程学、 经济学等领域有非常重要的应用, 因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值。 我们知道, 任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定, 而任一实对称矩阵都能够化成一对角矩阵, 相应的任一实二次型都能够化为标准型。在高等代数课本中介绍了将实二次型化为标准型的两种方法: 配方法和正交变换法; 另外, 由于任意矩阵能够利用初等变换化为对角矩阵, 因此也可用初等变换法将二次型化为标准型。 经过典型例题, 更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性, 我们应熟练掌握各种方法。 以下就是几种方法的简单介绍, 而且又提出了一种新的方法: 雅可比喻法。我们在解决二次型问题时可对它们灵活应用。 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中, 我们看到, 当坐标原点与中心重合时, 一个有心二次曲线 的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=.

矩阵的若尔当标准型及简单应用

矩阵的及若尔当标准型及简单应用 摘要： 矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相似变换得到。矩阵的若尔当标准型理论在数学、理论力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛应用。 每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可通过相似变换化为对角形。 本文主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P的求法，以及若而当标准型的几种求解方法，对若而当标准型矩阵进行探讨。 关键词：若尔当线性变换矩阵标准

定义1： 设λ是一个复数，矩阵 ??? ? ? ??? ? ?λλλ λ1000 0..................00 (1000) ...0100 (00) ，其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于的λ一个若尔当（或若尔当块）. 当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 ： 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同特征值，那么存在V 的一个基，σ关于这个基的矩阵有形式 ??????? ? ?k B B B 002 1 这里i B = ??????? ? ?i is i i J J J 002 1 ，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当 块，.,...,2,1k i = 证： 设σ的最小多项式是rk k r x x x P )...()()(11λλ--=，而)(x P 在复数域 上是不可约的因式分解，这里k λλλ,...,,21是互不相同的特征值， k r r r ,...,,21是正整数。 又i V =ker V i r i ∈=-ξλσ{)(｜ 0)(=-ξλσi r i }，,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解V =....1k V V ⊕⊕

化二次型为标准形的方法

化二次型为标准形的方法 内容摘要:高等代数作为我们数学专业的一门重要的基础课。它以线性空间为背景，以线 性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数，其内容本属于函数的讨论范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题，使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次函数的内容也更加丰富多彩。而我们要讨论的是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准形。下面介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法，交变换法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法 关键词：二次型 线性替换 矩阵 标准形 导言：二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题。二次型是学中的 一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形。我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定的，而任一实对称矩阵都可以化为一对角矩阵，相应的以实二次型都可以化为标准形，以下就是化二次型为标准形的几种方法，通过典型例题，体会二次型问题时的多样性和灵活性。 化二次型为标准形的方法 一． 配方法 配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。 定理:数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和 222 1122...n n d x d x d x +++的形。 1.如果二次型含有i x 的平方项，那么先把含有i x 的乘积项集中，然后再配方，再对其 余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。 例 1.上述所给出的方法化二次型23(,,)f x x x =22 1122 23224x x x x x x +++为标准形，写出所用的变换矩阵。