1.2解三角形应用举例(测量距离、高度、角度)

福建美佛儿学校自主型发展大课堂数学导学案

班级姓名设计者日期

课题：§1.2应用举例（第一课时测量距离问题）课时： 3课时●教学目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语

过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。

情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力

●教学重点

实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解

●教学难点

根据题意建立数学模型，画出示意图

●教学过程

一、课题导入

1、[复习旧知]

复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

2、[设置情境]

请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

二、讲授新课

（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解]

(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=?

75。求A、

51，∠ACB=?

B两点的距离(精确到0.1m)

启发提问：?ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边。 解：根据正弦定理，得

ACB AB ∠sin = ABC

AC ∠sin AB = ABC

ACB AC ∠∠sin sin

= ABC

ACB ∠∠sin sin 55

=

)

7551180sin(75sin 55?-?-??

= ?

?54sin 75sin 55

≈ 65.7(m)

答:A 、B 两点间的距离为65.7米

变式练习：海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60

的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75

的视角，问：B 、C 间的距离

例2、如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法。 分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C 、D 两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC ，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD=a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA=α，

∠ ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA =δ，在?ADC 和?BDC 中，应用正弦定理得

AC = )](180sin[)sin(δγβδγ++-?+a = )sin()sin(δγβδγ+++a

BC =

)](180sin[sin γβαγ++-?a = )

sin(sin γβαγ++a 计算出AC 和BC 后，再在?ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离 AB = αcos 222BC AC BC AC ?-+

变式训练：若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA=60?，∠ACD=30?，∠CDB=45?，

∠BDA =60?,求AB 间的距离

解：AB=206

评注：在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程

较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。 三、当堂训练

1、海上有A 、B 、C 三个小岛，已知A 、B 之间相距8海里，A 、C 之间相距5海里，在A 岛测得B 岛和C 岛的视角为60?，问：B 岛与C 岛相距多少海里？

2、课本第14页练习第1、2题 四、能力提升

1、两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30?，灯

塔B在观察站C南偏东60?，则A、B之间的距离为多少？（解略：2a km）

2、在海中有一小岛B，周围3.8海里有暗礁，军舰由向东航行到A，望见岛B在北偏东75?，航行8海里岛C，望见岛B在北偏东60?，若此军舰不改变航向继续航行，有无触礁危险？（画图p9）

第二课时测量高度问题

●教学过程

一、课题导入

提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题

二、讲授新课

[范例讲解]

例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。

分析：求AB 长的关键是先求AE ，在?ACE 中，如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长。

解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上。由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = a ，测角仪器的高是h ，那么，在?ACD 中，根据正弦定理可得

AC =

)

sin(sin βαβ-a AB = AE + h = AC αsin + h

=

)

sin(sin sin βαβα-a + h

变式训练：在地面A 处测得树梢的仰角为60?，A 与树底部B 相距为5cm ，问：树高？

例2、如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5404'?，在塔底C 处测得A

处的俯角β=501'?。已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)

解:在?ABC 中, ∠BCA=90?+β,∠ABC =90?-α,∠BAC=α- β,∠BAD =α. 根据正弦定理有：

)sin(βα-BC = )

90sin(β+?

AB

AB =)sin()90sin(βαβ-+?BC =)

sin(cos βαβ

-BC

解Rt ?ABD 中,得 BD =ABsin ∠BAD=

)

sin(sin cos βαα

β-BC

将测量数据代入上式,得BD = )

1500454sin(0454sin 150cos 3.27'-''

'?

??? =9

34sin 0454sin 150cos 3.27''

'?

??≈177 (m) CD =BD -BC ≈177-27.3=150(m)

答:山的高度约为150米. 思考：有没有别的解法呢？

例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15?的方向上,行驶5km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25?的方向上,仰角为8?,求此山的高度CD.

解:在?ABC 中, ∠A=15?,∠C= 25?-15?=10?,根据正弦定理,

A BC sin = C

AB sin , BC =C A AB sin sin =?

?10sin 15sin 5

≈ 7.4524(km)

CD=BC ?tan ∠DBC ≈BC ?tan8?≈1047(m)

答:山的高度约为1047米

变式训练：有一长为10cm 的斜坡，它的坡角是75?，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加成坡面的方法将它的坡角改为30?，问坡底要延长多少cm?(画图p11)

三、当堂训练

1、课本第16页练习

2、在楼顶测得距楼底水平距离为3m 处的一物体的俯角为60?，则楼高为

3、一斜坡长1km ，其坡角为30?，则斜坡的铅直高度为

四、能力提升

1、为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30?，

测得塔基B 的俯角为45?，则塔AB 的高度为多少m ？（答案：20+3

3

20(m)）

2、在地面C 处观察同一铅垂面内迎面飞来的一架飞机，当飞机在A 处时测得其仰角为30?，过1min 后，飞机到达B 处，又测得飞机的仰角为75?，如果该飞机以480km/h 的速度沿水平方向飞行，试求飞机的高度。（画图P11）

3、在测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 、D ，测得

AB A C S CD BDC BCD ，求塔高的仰角为测量塔顶并在点θβα,,,==∠=∠.

(画图P12)

第三课时 测量角度问题

●教学过程 一、课题导入 [创设情境]

提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。

二、讲授新课 [范例讲解]

例1、如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75?的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B,然后从B 出发,沿北偏东32?的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1?,距离精确到0.01n mile)

学生看图思考并讲述解题思路

教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC 边所对的角∠ABC ，即可用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB 。 解：在?ABC 中，∠ABC=180?- 75?+ 32?=137?，根据余弦定理，

AC=ABC BC AB BC AB ∠??-+cos 222 =????-+137cos 0.545.6720.545.6722 ≈113.15 根据正弦定理,

CAB BC ∠sin = ABC

AC ∠sin sin ∠CAB = AC

ABC BC ∠sin = 15

.113137sin 0.54?

≈0.3255, 所以 ∠CAB =19.0?, 75?- ∠CAB =56.0?

答:此船应该沿北偏东56.1?的方向航行,需要航行113.15n mile

例2、在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30m ，至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在?ACD 中，

AC=BC=30， AD=DC=103，

∠ADC =180?-4θ， ∴θ

2sin 310=

)

4180sin(30

θ-? 。

因为 sin4θ=2sin2θcos2θ

∴

c os2θ=2

3

,得 2θ=30? ∴

θ=15?， ∴在Rt ?ADE 中，AE=ADsin60?=15

答：所求角θ为15?，建筑物高度为15m

解法二：（设方程来求解）设DE= x ，AE=h 在 Rt ?ACE 中,(103+ x)2 + h 2=302 在 Rt ?ADE 中,x 2+h 2=(103)2 两式相减，得x=53,h=15

∴在 Rt ?ACE 中,tan2θ=x

h +310=

3

3

∴2θ=30?,θ=15?

答：所求角θ为15?，建筑物高度为15m

例3、某巡逻艇在A 处发现北偏东45?相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75?的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。 解：如图，设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,

∠ACB=?75+?45=?120

∴(14x) 2= 92+ (10x) 2 -2?9?10xcos ?120 ∴化简得32x 2-30x-27=0，即x=23,或x=-16

9

(舍去)

所以BC = 10x =15,AB =14x =21,

又因为sin ∠BAC =AB BC ?120sin =21

15?

23=143

5 ∴∠BAC =3831'?,或∠BAC =14174'?（钝角不合题意，舍去）

，

∴3831'?+?45=8331'?

答：巡逻艇应该沿北偏东8331'?方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.

评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活

的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 三、当堂训练

1、课本第18页练习

2、若B 在A 的北偏东30?的方向，则A 在B 的 的方向。

3、 甲船在A 处，乙船在A 的南偏东45?方向，距A 有9海里，并以20海里/小时的速度

沿南偏东15?方向行驶，若甲船以28海里/小时的速度行驶，应沿哪个方向，用多少小时才能尽快追上乙船？（已知6.038sin ,7.13==

）

四、能力提升

1、我舰在敌岛A 南偏西50?相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10?的方向以10海里/小时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，问需要多少的速度？

2、海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30?，

航行30海里到C处，在C处测得小岛A在船的南偏东45?，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？（画图P14）

五、课堂小结

解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解

（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

1.2解三角形应用举例(测量距离、高度、角度)解析 (2)

福建美佛儿学校自主型发展大课堂数学导学案 班级 姓名 设计者 日期 课题：§1.2应用举例（第一课时 测量距离问题） 课时： 3课时 ●教学目标 知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语 过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ●教学重点 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 ●教学难点 根据题意建立数学模型，画出示意图 ●教学过程 一、课题导入 1、[复习旧知] 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？ 2、[设置情境] 请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。 二、讲授新课 （1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解 [例题讲解] (2)例1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=?51，∠ACB=?75。求A 、B 两点的距离(精确到0.1m)

示范教案( 解决有关测量高度的问题)

1.2.2解决有关测量高度的问题 从容说课 本节的例3、例4和例5是有关测量底部不可到达的建筑物等的高度的问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法去解决,但常常用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题．在例3中是测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA，并测出点C观察A的仰角；在例4中是计算出AB的长；在例5中是计算出BC的长，然后转化为解直角三角形的问题．本节课主要是研究解斜三角形在测量中的应用，关于测量问题，一是要熟悉仰角、俯角的意义，二是要会在几个三角形中找出已知与未知之间的关系，逐步逐层转化，最终归结为解三角形的问题． 教学重点1.结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题； 2.画出示意图是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一，需在反复的练习和动手操作中加强这方面能力．日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用，除了能运用定理解题之外，特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑，可通过合作学习和相互提问补充的方法来让学 生多感受问题的演变过程． 教学难点能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件； 教具准备直尺和投影仪 三维目标 一、知识与技能 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题 二、过程与方法 本节课是解三角形应用举例的延伸．采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架．通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法．教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯．作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间 三、情感态度与价值观 进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力 教学过程 导入新课 师设问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题 推进新课 【例1】AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法． [合作探究 师这个建筑物就不好到达它的底部去测量，如果好去的话，那就直接用尺去量一下就行了，

解三角形应用举例练习高考试题练习

解三角形应用举例练习 班级 姓名 学号 得分 一、选择题 1.从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α、β的关系为…………………（ ） A.α＞β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180° 2．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为…..（ ） A. 3 400 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 3.在?ABC 中, 已知sinA = 2 sinBcosC, 则?ABC 一定是…………………………………….( ) A. 直角三角形; B. 等腰三角形; C.等边三角形; D.等腰直角三角形. 4.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面 成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为……………….( ) A C D B 阳光地面 A.75° B.60° C.50° D.45° 5.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为…………………………………..( ) A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h 6.在△ABC 中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，则解此三角形的结果是 …………………（ ） A 、无解 B 、一解 C 、两解 D 、解的个数不能确定 二、填空题 7. 甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 8.我舰在敌岛A 南50°西相距12nmile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h 的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 9.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2，为使所走路程最短，小船应朝_______方 向行驶. C D 12 A B D 6045 0 m o o 10．.在一座20 m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的 高为_______.

利用三角形全等测距离

利用三角形全等测距离 1．如图5—107所示，将两根钢条AA′，BB′的中点连在一起，使AA′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定ΔOAB≌ΔOA≌B≌的理由是( ) A.边角边B．角边角 C.边边边D．角角边 2．如图5—108所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离．你能说明其中的道理吗? 3．如图5—109所示，有一块巨大的长方形广告牌，上面画了一条对角线AC，为了求出这个广告牌的高BC，几个同学在地面上画出了ΔABC，(如图5—110所示)，其中∠BAC′＝∠BAC，∠ABC′是直角，则BC′的长和广告牌的高是相同的，你能说明其中的道理吗? 4．如图5—111所示，为了测得河宽AB，在地面上作出了与AB垂直的线段AC，又作出了BA的延长线AM，为了在AM上得到与BA相等的线段AB′，还应该怎样做呢?

5．有一个小水库，水面的形状如图5—112所示．能不能仿照课本中的“想一想”测出它的最窄的地方A，B两点之间的距离呢?如果能的话，请画图表示出做法． 6．如图5—113所示，铁路上A，B两站(视为直线上两点)相距14 km，C，D为两村(可视为两个点)，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8 km，CB＝6 km，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使C，D两村到正站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处? 7．如图5—114所示，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过D作DE ∥AB，使E，C，A在同一条直线卜，则DE的长就等于A，B之间的距离，请你说明道理．

三角形全等测距离

全等三角的判定条件 【考点概括】 1、全等三角形： 判定方法：AAS、SAS、ASA、SSS 2、三角形全等的证明思路： ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 找任一边 找夹边 已知两角 边为角的邻边 边为角的对边 已知一边和一角 找另一边 找直角 找夹角 已知两边 【例题精讲】 1、如图所示，在下列条件中，不能作为判断△ABD≌△BAC的条件是 ( ) A．∠D=∠C，∠BAD=∠ABC B．∠BAD=∠ABC，∠ABD=∠BAC C．BD=AC，∠BAD=∠ABC D．AD=BC，BD=AC 2、如图△ABD和△ACE都是等边三角形，则△ADC≌△ABE的根据是 ( ) A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 3、如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是 ( ) A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去

4、如图，△ABC ≌△ADE ，则，AB = ，∠E = ． 若∠BAE =120°，∠BAD =40°，则∠BAC = ． 5、已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ． 6、如图所示,点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，AB ∥DF ，AC ∥DE ，AC =DE ，FC 与BE 相等吗？请 说明理由. A C B D F

尺规作图 【考点概括】 1、已知三角形的两边及其夹角，求作三角形 2、已知三角形的两角及其夹边，求作三角形 【例题精讲】 1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（） A．用尺规作一条线段等于已知线段； B．用尺规作一个角等于已知角 C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角； D．不能确定 2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（） A．作一条线段等于已知线段 B．作一个角等于已知角

高中数学-解三角形应用举例练习及答案

高中数学-解三角形应用举例练习 一、选择题 1. △ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为………………………………………………( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 2.海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是……………………………………………………….( ) A.103海里 B.3610海里 C. 52海里 D.56海里 3. 有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长( ) A. 1公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里 4. .已知平行四边形ABCD 满足条件0)()(=-?+→ -→-→-→-AD AB AD AB ，则该四边形是………( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.任意平行四边形 5. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°， 另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时………………………………………………………………………………………… . ( ) A.5海里 B.53海里 C.10海里 D.103海里 6．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离1d 与第二辆车与第三辆车的距离d 2之间的关系为 ………………………………………………………………………..( ) A. 21d d > B. 21d d = C. 21d d < D. 不能确定大小 二、 填空题

高中数学一轮复习微专题第⑧季解三角形：第8节 高度问题

第8节高度测量问题 【基础知识】 正弦定理和余弦定理 仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角． 【规律技巧】 求解高度问题首先应分清 (1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角； (2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图； (3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用． 【典例讲解】 例1、在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)() A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m 【答案】C 【变式探究】 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．

【解析】在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝AB BC ，AB ＝BC tan 60°＝10 6. 【答案】10 6 【针对训练】 1、某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A ，B ，C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100米， ∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217 秒．在A 地测得该仪器至最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音在空气中的传播速度为340米/秒) 【答案】1403 2、要测量电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，求电视塔的高度． 【答案】B 3、如图，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD (CD 所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为α，从A 处向山顶前进l 米到达B 后，又测得CD 对于山坡的斜度为β，山

最新解三角形应用举例练习题

解三角形应用举例练习题 一、选择题 1．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 3 km，那么x的值为() A.3B．2 3 C．23或 3 D．3 2．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为3km，则A，B两船的距离为() A．23km B．32km C.15km D.13km 3．已知△ABC的三边长a＝3，b＝5，c＝6，则△ABC的面积是() A.14 B．214 C.15 D．215 4．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为() A．a km B.3a km C.2a km D．2a km 5．已知△ABC中，a＝2、b＝3、B＝60°，那么角A等于() A．135°B．90° C．45°D．30° 6．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时() A．5海里B．53海里 C．10海里D．103海里 二、填空题 7．(2010～2011·醴陵二中、四中期中)已知A、B两地的距离为10km，BC两地的距离

为20km，经测量∠ABC＝120°，则AC两地的距离为________km. 8．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是__________． 9. (2011·北京朝阳二模)如图，一艘船上午在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距42n mile，则此船的航行速度是________n mile/h. 三、解答题

利用三角形全等测距离

北师大版实验教科书数学七年级下册高陵县泾渭中学马香娥 3.5利用三角形全等测距离 教学目标： 1、能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系； 2、能在解决问题的过程培养学生有条理的思考和表达。 3、通过讨论探究培养学生面对数学活动中的困难，并积累独立克服 困难和运用所学知识解决问题的成功经验，从而树立学习的信心。教学重点：能利用三角形的全等解决实际问题。 教学难点：能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。 教学方法：探索、归纳总结。 教学工具：多媒体课件，投影仪。 一、回顾与思考（5分钟） （ppt2—ppt3显示问题并检查学生复习情况）： 1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为或 2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成或 3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成或 4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成或 5、全等三角形的性质：两三角形全等，对应边，对应角 6、请你在图1中以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC全等，

比比看谁快！ （如图1） 二、情景导课（25分钟） （ppt4—ppt6显示问题，教师引导学生通过讨论，利用所学知识探究解决问题） （10分钟）情景一：教师向学生讲述战争年代的故事：在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日本鬼子的碉堡，需要测出我军阵地到鬼子碉堡的距离。由于没有任何测量工具，我八路军战士为此绞尽脑汁，这时一位聪明的八路军战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功。（如图2） 这位聪明的八路军战士的方法如下：战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个

解三角形应用举例

东方中学教案 1．知识与技能： 会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力 2．过程与方法： 通过巧妙的设疑，顺利的引导新课，为下节课做好铺垫。结合学生的实际情况，采用“提出问题—引发思考—探索猜想—总结规律—反馈练习”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在联系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法。 3．情感、态度与价值观： 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解三角形，得到实际问题的解。

修改简记教学过程： 一、复习引入： 二、讲解范例： 例1 自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点 B与车箱支点A之间的距离为1．95ｍ，AB与水平线之间的夹角 为6°20′，AC长为1．40ｍ，计算BC的长(保留三个有效数字) 分析：求油泵顶杆BC的长度也就是在△ABC内，求边长BC的问题，而根据已知条件， AC＝1．40ｍ，AB＝1．95 ｍ，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′相当于已知△ABC 的两边和它们的夹角，所以求解BC可根据余弦定理解：由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A ＝1．952＋1．402－2×1．95×1．40×cos66°20′＝3．571 ∴BC≈1．89 （ｍ） 答：油泵顶杆B C约长1．89 ｍ 评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转 换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系 从题目准确地提炼出来 例2某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔 船在方位角为45°、距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向， 以9海里／ｈ的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救， 试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间

七年级数学下册 利用三角形全等测距离

4.5 利用三角形全等测距离 基础训练 1.如图,将两根钢条AA',BB'的中点O连在一起,使AA',BB'可以绕着点O自由转动,就做成了一个测量工件,由三角形全等得出A'B'的长等于内槽宽AB,那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是( ) A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边 2.如图,要测量河中礁石A离岸边B点的距离,采取的方法如下:顺着河岸的方向任作一条线段BC,作∠CBA'=∠CBA,∠BCA'=∠BCA.可得△A'BC≌△ABC,所以A'B=AB,所以测量A'B的长即可得AB的长.判定图中两个三角形全等的理由是( ) A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS 3.某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳.图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长相等,O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳

宽度AD设计为30 cm,则由以上信息可推得CB的长度也为30 cm,依据是( ) A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS 4.教室里有几盆花,如图①,要想测量这几盆花两旁的A,B两点间的距离不方便,因此,选点A,B都能到达的一点O,如图②,连接BO并延长BO 到点C,使CO=BO,连接AO并延长AO到点D,使DO=AO.那么C,D两点间的距离就是A,B两点间的距离. 理由:在△COD和△BOA中,错误!未找到引用源。所以△COD≌△BOA( ).所以CD= .所以只要测出C,D两点间的距离就可知A,B两点间的距离. 5.如图,由两根钢丝固定的高压电线杆,按要求当两根钢丝与电线杆的夹角相同时,固定效果最好.现已知钢丝触地点到电线杆的距离相等,那么请你判断图中两根钢丝的固定是否合乎要求,并说明理由.(电线杆的粗细忽略不计)

解三角形应用举例

第7节 解三角形应用举例 最新考纲 能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题. 知 识 梳 理 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1). 2.方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． 3.方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图2)． 4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. [常用结论与微点提醒] 1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混. 2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向.( ) (2)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为? ?????0，π2.( ) (4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( )

解析 (2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( ) A.北偏东15° B.北偏西15° C.北偏东10° D.北偏西10° 解析 如图所示，∠ACB ＝90°， 又AC ＝BC ， ∴∠CBA ＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°. 答案 B 3.(教材习题改编)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量 者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ， ∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的 距离为( ) A.50 2 m B.50 3 m C.25 2 m D.2522 m 解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC sin B ， 又∵B ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACB sin B ＝50×2212 ＝502(m). 答案 A 4.轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h ，15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是______n mile. 解析 设两船之间的距离为d ， 则d 2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900， ∴d ＝70，即两船相距70 n mile.

解三角形应用举例最新衡水中学自用精品教学设计

解三角形应用举例 主标题：解三角形应用举例 副标题：为学生详细的分析解三角形应用举例的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：距离测量，高度测量，仰角，俯角，方位角，方向角 难度：3 重要程度：5 考点剖析： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 命题方向： 1．测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题． 2．高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度： (1)测量问题； (2)行程问题． 规律总结： 1个步骤——解三角形应用题的一般步骤 2种情形——解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 2个注意点——解三角形应用题应注意的问题 (1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程． (2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．

知识梳理 1．距离的测量 背景可测元素图形目标及解法 两点均可到达a，b，α 求AB：AB＝ a2＋b2－2ab cos α 只有一点可到达b，α，β 求AB：(1)α＋β＋B＝π； (2) AB sin β＝ b sin B 两点都不可到达a，α，β， γ，θ 求AB：(1)△ACD中，用 正弦定理求AC； (2)△BCD中，用正弦定理 求BC； (3)△ABC中，用余弦定理 求AB 2.高度的测量 背景可测元素图形目标及解法 底部可 到达 a，α求AB：AB＝a tan_α 底部不可到达a，α，β 求AB：(1)在△ACD中用正弦 定理求AD；(2)AB＝AD sin_β 3.实际问题中常见的角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1)．

利用全等三角形测距

第四章 三角形 5利用三角形全等测距离 课前展示 活动内容： ① 复习全等三角形的性质及判定条件 ② 在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC 全等，比比看谁快！（以小组为单位抢答或个人抢答或根据不同情况而定）题如下： 活动目的： 通过第1个问题的提问可以温习与本节有关的知识，帮助基础较弱或掌握不牢的学生巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础；第2个问题是为学习新内容作铺垫，向学生进一步渗透理论联系实际。 实际教学效果：第1题是学生独立思考后回答，由于问题较简单，学生回答踊跃；第2题是第1题的继续，学生的回答的方法较多，小组间的竞争提高了学习热情，使学生产生自信和竞争意识，开始在不知不觉中集中精力，走入数学殿堂。 情境引入 B A C B A C A C B

活动内容：引入一位经历过战争的老人讲述的一个故事，（图片显示）； 在一次战役中，为了炸毁与我军阵地隔河相望的敌军碉堡，需要测出我军阵地到敌军碉堡的距离。由于没有任何测量工具，我军战士为此绞尽脑汁，这时一位聪明的战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功。 配合简图如下: 教师提出问题： 你知道聪明的战士用的是什么方法吗？能解释其中的原理吗？ 活动目的: 用真实的故事引入新课，体现了三角形全等在生活中的广泛应用,适时的提问,激发了学生的学习积极性和好胜心。学生独立思考后，小组间相互交流看法。教师要注意帮助学生审题，引发学生思考,并有主动尝试利用三角形全等来解决实际问题的欲望，从而引出课题---利用三角形全等测距离。 实际教学效果：由故事所引发的问题使学生产生了好奇心，并激发了他们的求知欲，有了学习的积极性，使问题变的生动有趣。但是有些同学对此问题不是很理解，也有一些同学意见不同，针对此，教师可做如下安排： ① 先让学生体会这个情境，明白战士的具体做法,对战士的测量有直观的理解;如:找出教室中与你距离相等的两个点,小组成员合作通过测量来验证战士的做法的合理性。条件允许的情况下,可以安排时间把学生拉到操场或野外选择一定目标亲自做一做。 情景设置

高中数学 必修5 5.解三角形应用举例1(测距测高)

5.解三角形的实际应用举例 教学目标班级：_____ 姓名：____________ 1.掌握利用正、余弦定理及其推论测距、测高的几种方法. 2.了解数学建模思想，培养利用数学知识解决实际问题的能力. 教学过程 知识要点 1.基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线. 一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 2.仰角和俯角：在同一铅垂平面内，水平视线和目标视线的夹 角，当目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视 线下方时叫俯角. 技能点拨 一、测量可到达点A与不可到达点B之间的距离. 方法：1.在可到达点A一侧再取一个点C，构造； 2.测量AC距离，及AC的两个邻角的度数；(“角角边”型问题) 3.利用正弦定理计算_____________________ 例1：海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C 岛和A岛成的视角，则B、C的距离为多少海里？ 练1：为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A和B，望对岸的标记物C，测得， ，m.求河的宽度CD.

二、测量两个不可到达的点A 、B 之间的距离. 方法:1.在可到达一侧取两点C 、D ，构造三个三角形：； 2.在中，测边CD 、、,“角边角”问题，利用正弦定理求AC. 3.在中,测、 ，“角边角”问题，利用正弦定理求BC. 4.在中,测 ，“边角边”问题， 利用余弦定理求AB. 例2:如图,在四边形ABCD 中,已知CD AD ⊥, ,,, ,求BC 的长. 三、测量俯仰角求底部不可到达的建筑的高度. 方法：1.分别测量在C 、D 观测A 点的仰角ACB ∠、ADB ∠，及边CD.“角角边”问题，利用正弦定理求AC ； 2.在ABC Rt ?中，求AB. 例3：如图，在山根A 处测得山顶B 的仰角，沿倾斜角为的山坡向山顶 走1000m 到达S 点，又测得山顶仰角，则山高BC 为______m. 作业 如图，在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B 的仰角分别为 ，已知建筑物底部高出地面D 点20m （即OB=20），求建筑物高度AB. D D A C D O B S

解三角形应用举例

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第8课时 解三角 形应用举例 1. (必修5P 11习题4改编)若海上有A 、B 、C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B 、C 间的距离是________海里． 答案：5 6 解析：由正弦定理， 知 BC sin60°＝AB sin （180°－60°－75°） ， 解得BC ＝56(海里)． 2. (必修5P 20练习第4题改编)江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 答案：10 3 解析：如图，OA 为炮台，M 、N 为两条船的位置，∠AMO ＝45°，∠ANO ＝60°，OM ＝AOtan45°＝30，ON ＝AOtan30°＝ 3 3 ×30＝103，由余弦定理，得 MN ＝ 900＋300－2×30×103× 3 2 ＝300＝103(m)． 3. (必修5P 18例1改编)如图，要测量河对岸A 、B 两点间的距离，今沿河岸选取相距40 m 的C 、D 两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，则AB 的距离是__________ m. 答案：20 6 解析：由已知知△BDC 为等腰直角三角形，故DB ＝40；由∠ACB＝60°和∠ADB＝60°知A 、B 、C 、D 四点共圆， 所以∠BAD＝∠BCD＝45°；

在△BDA 中，运用正弦定理可得AB ＝20 6. 4. (必修5P 21习题2改编)某人在C 点测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________m. 答案：10 解析：如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h. 在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h. 在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10. 由余弦定理得OD 2＝OC 2＋CD 2 －2OC·CD cos ∠OCD ， 即(3h)2 ＝h 2 ＋102 －2h×10×cos120°， ∴ h 2 －5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)． 5. 如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进mkm 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围nkm 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险． 答案：mcos αcos β>nsin(α－β) 解析：∠MAB＝90°－α，∠MBC ＝90°－β＝∠MAB＋∠AMB＝90°－α＋∠AMB，∴ ∠AMB ＝α－β.由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin （90°－α）＝m sin （α－β）， 解得BM ＝ mcos αsin （α－β）.要使船没有触礁危险，需要BMsin(90°－β)＝mcos αcos β sin （α－β） >n ， 所以α与β满足mcos αcos β>nsin(α－β)时船没有触礁危险． 1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2. 实际问题中的常用角 (1) 仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)． (2) 方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等．

高中数学人教版必修5解三角形应用举例(高度测量问题)教学设计

高中数学人教版必修5解三角形应用举例（高度测量问题）教学设计 一、教学内容解析： 本节课的内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第一章《解三角形》1.2《应用举例》的第二课时，测量底部不可到达的建筑物高度问题.在第一课时学生学习了应用正弦定理和余弦定理解决有关测量距离的问题，初步了解从实际背景中抽象数学模型，将“不可测”问题转化为“可以算”的问题，从而解决实际问题的研究方法.本节课是解三角形应用举例的延伸，继续探究底部不可到达的建筑物等的高度测量问题. 解三角形知识本身是从人类长期的生产和生活实践中产生和发展起来的，在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识，本节内容具有显著的实践性，通过从实际背景中提出问题、分析问题、建构数学模型、应用数学知识计算，进而解决问题，使学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达和交流的能力，增强学生应用数学的意识,培养学生的数学建模能力. 本节课的教学重点： 1.通过对实地测量任务的交流展示，体会数学建模过程； 2.通过对设计方案的分析，理解建构三角形模型的一般方法； 3.结合用测量工具收集的数据，巩固应用正弦定理和余弦定理解三角形问题. 二、教学目标解析： （一）教学目标： 1.体会从实际情境中发现问题——设计方案建构数学模型——运用正弦定理、余弦定理等知识进行计算求解——检验的数学建模过程，培养学生的数学建模素养； 2.归纳建构三角形模型的一般方法，解决有关底部不可到达的建筑物高度测量的问题； 3.操作简单的测量工具测量仰角、距离等，收集数据，进行解三角形运算，使学生掌握正弦定理和余弦定理的应用； 4.通过小组交流汇报的形式展示数学建模过程，让学生体会数学建模思想，培养学生的数学表达能力；

35利用三角形全等测量距离

佛山市第三中学初中部七年级（下）数学科讲学稿课题：3.5利用三角形全等测量距离 执笔人： 黄振聪审核人：何艳梅时间 2013年月日 班别学号： 学生姓名：家长检阅： 教学目标：能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系 教学重点：能利用三角形的全等解决实际问题 教学难点：能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。 一、[温故而知新] 1.利用尺规作图不能唯一作出三角形的是（）． A．已知三边 B．已知两边及其夹角 C．已知两角及其夹边 D．已知两边及其中一边的对角 2.用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的 条件是（） A．三角形的两条边和它们的夹角； B．三角形的三条边 C．三角形的两个角和它们的夹边； D．三角形的三个角 3.如图所示，已知∠α和线段C，求作△ABC，使其底角∠B=∠C=∠α，?BC =c。 4.如图，已知线段a，b，求作一个三角形，使其三边长分别为a，b和a+b． ⑩

5. 如图所示，已知∠α和线段a ，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于 ∠α，夹这个角的两边分别为2a 和a ． 6. 三角形的全等条件 (1) 对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或 (2)两角和它们的 边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或 (3)两角和其中一角的 边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或 (4)两边和它们的 角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或 7. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边 ，对应角 二、[预习新知、探究活动] 自学课本P89至90的内容 1. 请利用我军战士测隔河相望的敌人碉堡的方法,找出教室里与你距离相等的两个点，并 通过测量加以验证(证BC=BD)，结合下图你能解释其中的道理吗？ 在△ABC 和△ABD 中 ∵?? ??? ∴△ABC ≌△ABD( ) ∴ = （ ） A

(完整版)利用三角形全等测距离练习题

一、情境导入 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长．他叔叔帮他出了一个这样的主意： 先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝AC.连接BC并延长到E，使CE＝CB.连接DE并测量出它的长度，你知道其中的道理吗？ 探究点：利用三角形全等测量距离 【类型一】利用三角形全等测量物体的高度 小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆 CD与楼之间选定一点P.测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC＝36°，测楼顶A视线P A 与地面夹角∠APB＝54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？

利用三角形全等测量物体的内径 要测量圆形工件的外径，工人师傅设 计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD的长，其中的依据是全等三角形的判定条件()

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 与三角形全等测量距离相关的方案设计问题 如图所示，有一池塘，要测量池塘两 端A、B的距离，请用构造全等三角形的方法，设计一个测量方案(画出图形)，并说明测量步骤和依据．

利用三角形全等解决实际问题 如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻 头打孔，要使孔口从墙壁对面的B点处打开，墙壁厚是35cm，B点与O点的铅直距离AB 长是20cm，工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC＝35cm，画CD⊥OC，使CD＝20cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从B点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．

1.2 解三角形应用举例练习题及答案解析

1．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( ) A.12 B.32 C. 3 D ．2 3 解析：选B.S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝sin 60°＝3 2 . 2．已知△ABC 的面积为3 2 ，且b ＝2，c ＝3，则( ) A ．A ＝30° B ．A ＝60° C ．A ＝30°或150° D ．A ＝60°或120° 解析：选D.∵S ＝12bc sin A ＝32，∴12×2×3sin A ＝3 2. ∴sin A ＝3 2 .∴A ＝60°或120°. 3．在△ABC 中，AC ＝5，AB ＝2，cos A ＝25 5 ，则S △ABC ＝________. 解析：在△ABC 中，cos A ＝25 5 ， ∴sin A ＝5 5， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×5×2×55＝2 2. 答案：2 2 4．在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB . 解：在△ADC 中， cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22·AC ·DC ＝72＋32－522×7×3＝11 14 . 又0°＜C ＜180°，∴sin C ＝53 14 . 在△ABC 中，AC sin B ＝AB sin C ， ∴AB ＝sin C sin B AC ＝5314×2×7＝56 2. 一、选择题 1．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－bc ，则角A 为( ) A.π3 B.π6 C.2π3 D.π3或2π3 解析：选A.∵a 2＝b 2＋c 2 －bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，即A ＝π 3 . 2．在△ABC ，下列关系一定成立的是( )