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价格离散率计算

价格离散率计算
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第三章

信息搜寻与选择

3.1 价格离散及其分析 3.2 信息搜寻原理 3.3 最佳搜寻次数的确定 3.4 数学基础

3.1 价格离散及其分析

3.1.1 3.1.2 价格离散及其原因

价格离散的意义与测度

3.1.1

价格离散及其原因

3.1.1

价格离散及其原因

● ● ●

市场是变化和分散的,而非集中、市场是变化和分散的,而非集中、统一和稳定的市场经营过程中销售条件的差别商品异质性

3.1.2

价格离散的意义与测度

● ● ●

价格离散产生了市场信息的不完备性价格离散产生了有利可图的信息搜集行为价格离散诱发了信息搜寻的动机

3.2 信息搜寻原理

3.2.1 3.2.2 3.2.3 常见的信息搜寻方式搜寻成本与搜寻对策搜寻差异

3.3 最佳搜寻次数的确定

1 2 3

常见的信息搜寻方式搜寻对策最佳搜寻次数的确定

1

常见的信息搜寻方式

● ● ● ● ● ● ● 交易区域化专业贸易商的活动广告信息资源共享直接走访专业或非专业化信息机构或个体的活动通讯搜集

2

搜寻对策

● 成本美丽的姑娘比相貌普通的姑娘搜寻的成本高:前者为2、后者为1 美丽的姑娘比相貌普通的姑娘搜寻的成本高:前者为2、后者为1 英俊的小伙比相貌普通的小伙搜寻的成本高:前者为2、后者为1 英俊的小伙比相貌普通的小伙搜寻的成本高:前者为、后者为● 收益找到美丽的姑娘或英俊的小伙:收益为2 找到美丽的姑娘或英俊的小伙:收益为收益为1 找到相貌普通的姑娘或小伙:收益为

美丽的姑娘与相貌普通的小伙之间的博弈

相貌普通的小伙

搜寻搜寻不搜寻

-1,1 1,1

-1,2 0,0 ,

美丽的姑娘

不搜寻

相貌普通的姑娘与英俊的小伙之间的博弈

英俊的小伙

搜寻搜寻不搜寻

1,-1 2,-1

1,1 0,0 ,

相貌普通的姑娘

不搜寻

3

最佳搜寻次数的确定

C MC MR

O

N0

N

价格离散程度的变化对最佳搜寻次数的影响 C MR

MR'

MC

O

N0

N1

N

搜寻成本的变化对最佳搜寻次数的影响 C MR MC'

MR'

MC

O

N0

N1 N2

N

3.4 数学基础

3.4.1 3.4.2 价格离散率的测度信息搜寻的一般化数学模型3.4.1

价格离散率的测度

P1,P2,……,Pn x1,x2,……,xn t1,t2,……,tn

(1) (2)

P1

D= P P n 1

t1P + t2 P + ....+ tn P 2 n P= 1 t1 + t2 + ....+ tn

(3)

Σtn = ∑ti

i =1

n

和Pn

Pn F(Q)

O

Σtn

董利红:《再议市场价格离散率的测试》,《价格理论与实践》,年第5期董利红:《再议市场价格离散率的测试》,《价格理论与实践》, 1998年第期。:《再议市场价格离散率的测试》,《价格理论与实践年第

σ=

∑(P P)

i =1 i n

n

2

ti

a=

σ

P

i =1

i

3.4.2

信息搜寻的一般化数学模型

期望

效用经济行为主体在不确定条件下可能得到的各种结果的效用的加权平均数。加权平均数。

1 1 EU = U(W ) + U(W

2 ) 1 2 2

EU = pU(W ) + p2U(W2 ) + .... + pnU(Wn ) 1 1

u(c)

u(c) + u( p)

u(c) + u( p + d )

U1 = u(c) +[qu( p) + (1 q)u( p + d)]

U2 = u(c) + (1 q)u( p + d) + q[u(c) + qu( p) + (1 q)u( p + d)] U1 = U2 U1 > U2

(1 q)u( p) = u(c) + (1 q)u( p + d )

(1 q)u( p) (1 q)u( p + d) = u(c0 )

c = c0

(1 q)u( p) > u(c) + (1 q)u( p + d )

u(c0 ) > u(c) u(c0 ) < u(c) (1 q)u( p) < u(c) + (1 q)u( p + d ) c > c0 c < c0

(1 q)u( p) (1 q)u( p + d ) > u(c)

U1 < U2

最低价格的概率搜寻次数预期最低价格

P-d 1 2 …. n 1-q 1-q2 …. 1-qn

p q q2 …. qn qp+(1-q)(p-d) qp+(1 q)(pq2p+(1-q2)(p-d) p+(1 )(p…. qnp+(1-qn)(p-d) p+(1 )(p-

p = qn1 p + (1 qn1)( p d) [qn p + (1 qn )( p d)] = qn1 p(1 q) + (qn qn1)( p d)

d = q (1 q)d = q (1 q) p p

n1 n1

d pQ = q (1 q) pQ p

n1

习题一、简答

1、价格离散的原因。、价格离散的原因。

2、价格离散的意义。、价格离散的意义。

3、常见的信息搜寻方式。、常见的信息搜寻方式。

4、画图说明最佳搜寻次数的确定以及价格离散程度、搜寻边际、画图说明最佳搜寻次数的确定以及价格离散程度、成本的变动对最佳搜寻次数的影响。成本的变动对最佳搜寻次数的影响。

5、价格离散率的测度方法。、价格离散率的测度方法。

6、期望效用的含义。、期望效用的含义。

二、论述

1、论述价格离散率、购买数量、购买价格对搜寻边际收益的影响,并、论述价格离散率、购买数量、购买价格对搜寻边际收益的影响,进行相应的证明。(只分析市场中仅有两种报价的情况即可)。(只分析市场中仅有两种报价的情况即可进行相应的证明。(只分析市场中仅有两种报价的情况即可)

三、思考题

1、论述价格离散率、购买数量对搜寻边际收益的影响,并进行相应的、论述价格离散率、购买数量对搜寻边际收益的影响,证明。(分析市场报价符合均匀分布的情况)。(分析市场报价符合均匀分布的情况证明。(分析市场报价符合均匀分布的情况)

数据的离散程度(一)

§6.4.1数据的离散程度(一) 学习目标: 1.了解刻画数据离散程度的三个量度——极差、标准差和方差,能借助计算器求出相应的数值。 2.通过实例体会用样本估计总体的思想,进一步认识“离散程度”的意义。 3.能借助计算器求出一组数据的方差、标准差,并在具体问题情景中加以运用。 活动过程: 活动一:回顾旧知 1.平均数计算公式是什么? 2.平均数反映数据的什么趋势? 活动二:新知探究 1.想一想 阅读课本149页,完成下列问题 (1)你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量吗? (2)求甲、乙两厂被抽取的鸡腿的平均质量。 (3)在图中画出表示平均质量的直线(画在书上),观察图象你发现了什么? (4)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少?最小值呢?它们差几克?乙厂呢? (5)如果只考虑鸡腿规格,你认为外贸公司应购买哪个厂的鸡腿?为什么? 2.概念引入 生活中数据除了“平均水平”外还有离散程度。离散程度是指数据相对于“平均数”的 ___________程度。数据的离散程度可以用极差、方差、标准差来刻画。 极差:是指一组数据中最_____数据与最______数据的差,极差是用来刻画数据离散程度的一个统计量。

方差:各个数据与平均数之差的平方的平均数,记作s2,设有一组数据:x1, x2, x3,……,xn,其平均数为x 则()()()()[]2 23222121 x x x x n s x x x x n -++-+-+-=Λ 标准差(即方差的算术平方根) ()()()()[]2 2322211x x x x n s x x x x n -++-+-+-=Λ 3.练一练 如果丙厂也参加了竞争,从该厂抽样调查了20只鸡腿质量如下:(单位:g ) 75 74 73 78 72 76 74 76 74 75 74 72 73 72 78 76 77 77 77 79 (1)丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差是多少? (2)如何刻画丙厂这20只鸡腿质量与其平均数的差距?分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与对应平均数的差距。 (3)在甲、丙两厂中,你认为哪个厂鸡腿质量更符合要求?为什么? 小结: 当几组数据的平均数相等或比较接近时,我们可以用极差,方差或标准差来比较数据的离散程度.一组数据的极差、方差或标准差越小,说明数据的离散程度越_____(填“大”或“小”),数据的波动越_______,说明数据越稳定。 练习反馈“ 1.五个数1,2,4,5,a,的平均数是3,则a=__ __,这五个数的方差是______; 2.甲、乙两个小组各10名学生的某次数学测验成绩如下:(单位:分) 甲组:76,90,84,86,81,87,86,82,85,83 乙组:82,84,85,89,79,80,91,89,79,74 (1)甲组数据的众数是____________,乙组数据的中位数是_________________ (2)若甲组数据的平均数为x ,乙组数据的平均数为y ,则x 与y 的大小关系是 (3)经计算知:s 2甲=13.2, s 2乙=26.36, s 2甲______s 2乙(填>、=、<符号),这说明___________________________________________________________

怎样计算离散度

离散度-如何反应一组数据的离散程度 在EXCEL中用STDEV求标准差,用A VERGE求平均值,在用标准差比上平均数即可,变异系数越小越稳定。 (2012-08-30 22:00:46) 转载▼ 标签:标准差离均差标准误平均值样本分类:数学物理,概率统计,机器学习 离散度 标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式,是表示精确度的重要指标。说起标准差首先得搞清楚它出现的目的。我们使用方法去检测它,但检测方法总是有误差的,所以检测值并不是其真实值。检测值与真实值之间的差距就是评价检测方法最有决定性的指标。但是真实值是多少,不得而知。因此怎样量化检测方法的准确性就成了难题。这也是临床工作质控的目的:保证每批实验结果的准确可靠。 虽然样本的真实值是不可能知道的,但是每个样本总是会有一个真实值的,不管它究竟是多少。可以想象,一个好的检测方法,其检测值应该很紧密的分散在真实值周围。如果不紧密,与真实值的距离就会大,准确性当然也就不好了,不可能想象离散度大的方法,会测出准确的结果。因此,离散度是评价方法的好坏的最重要也是最基本的指标。一组数据怎样去评价和量化它的离散度呢?人们使用了很多种方法: 极差

最直接也是最简单的方法,即最大值-最小值(也就是极差)来评价一组数据的离散度。这一方法在日常生活中最为常见,比如比赛中去掉最高最低分就是极差的具体应用。 离均差的平方和 由于误差的不可控性,因此只由两个数据来评判一组数据是不科学的。所以人们在要求更高的领域不使用极差来评判。其实,离散度就是数据偏离平均值的程度。因此将数据与均值之差(我们叫它离均差)加起来就能反映出一个准确的离散程度。和越大离散度也就越大。但是由于偶然误差是成正态分布的,离均差有正有负,对于大样本离均差的代数和为零的。为了避免正负问题,在数学有上有两种方法:一种是取绝对值,也就是常说的离均差绝对值之和。而为了避免符号问题,数学上最常用的是另一种方法--平方,这样就都成了非负数。因此,离均差的平方和成了评价离散度一个指标。 平均绝对偏差(是否可以交成:平均绝对方差?绝对差?),离均差平方求期望(即方差,即均差平方求期望,即均差平方和除以数量)是一个层面上的意思 方差(S2) 由于离均差的平方和与样本个数有关,只能反应相同样本的离散度,而实际工作中做比较很难做到相同的样本,因此为了消除样本个数的影响,增加可比性,将标准差(这里应该改为:离均差的平方)求平均值,这就是我们所说的方差成了评价离散度的较好指标。样本量越大越能反映真实的情况,而算数均值却完全忽略了这个问题,对此统计学上早有考虑,在统计学中样本的均差多是除以自由度(n-1),它的意思是样本能自由选择的程度。当选到只剩一个时,它不可能再有自由了,所以自由度是n-1。 标准差(SD) 由于方差是数据的平方,与检测值本身相差太大,人们难以直观的衡量,所以常用方差开根号换算回来这就是我们要说的标准差。在统计学中样本的均差多是除以自由度

QT离散度

QT离散度 QTd或称QT间期离散度,是指同步12导联心电图上不同导联最大QT 间期(QTmax)与最小QT间期(QTmin)之差,单位为ms。 数10年前人们就发现QT间期存在着导联间的差异,但一直被视为导联伪差而未予以重视,1985年campbell等发现不同导联间的QT间期的差异有其规律性,从而提出QT的概念,1990年Day等人测量12导联ECG 中各导联间QT间期的差别,并命名为QTd。 一、QTd的电生理基础 QTd和QT间期延长是两个不同的概念。QTd的电生理基础是心肌细胞离子通道的相互关系,其中3位相是一个重要的电生理时期,各个心肌细胞复极恢复早晚是形成QTd的细胞电生理基础,心肌细胞的炎症,缺血及遗传基因等均可影响心肌细胞离子电流平衡,从而影响QT间期。心肌细胞复极不一致可能是动作电位时间不均匀或局部传导缓慢所造成的动物实验中用心内膜单相动作电位(MAP)标测证明室颤阈值降低与动作电位不均匀有关,此种MAP的时间差异,在体表心电图不同的导联上有所反映,即不同的导联QT间期不同。QTd能间接反映心室肌复极的不均一性,可代表心室肌兴奋性恢复时间不一致的程度,或心室肌不应期差异的程度。相邻心肌复极时间的差异或心肌不应期的差异是形成折返的重要条件,而折返是大多数严重心律失常的发生机制,如室速、室朴及室颤等恶性心律失常,甚至猝死。因此,QTd检测是一种简便、无创性检测心肌复极不均一性,识别严重心律失常事件高危患者的重要指标。 二、测量方法 (一)计算公式 1、QTd QTd= Qtmax- QTmin 2、QTcd 为用心率校正的QTd,QTcd= Qtcmax- Qtcmin Qtcmax= Qtmax/(R-R)1/2Qtcmin= QTmin/(R-R)1/2 3、AdQTd为调整的QTd,在QT测量中,某些导联由于T波终点不清无法测量时而被放弃,由于实测导联数减少,有可能导致最大或最小QT间期的丢失,造成QTd的误差,Day建议用实测导联数(n)的平方根进行校正,可克服QTd的误差。AdQTd=(Qtmax-QTmin)/n1/2 4、QTdr为QTd率,即QTd占心动周期长度的百分比,有作者认为QTdr 可能比QTd、QTcd能更好的预测心肌缺血和心肌梗死患者室颤的发生。QTdr=QTd/R-R×100%。 5、QTad与QTed Qtad为QT早期离散度,Qted为QT晚期离散度,二者以T波最高点(Tapex)为发界线将QT分为前后两段,即Qtapex(Qta)和Qtend(Qte)的离散度,认为Qtad比QTd更能反映心肌肥厚者心肌复极早期的不均一性,并与心肌肥厚程度及猝死有更高的相性。

评价数据离散程度的指标

标准差 标准差(Standard Deviation),也称(mean square error),是各数据偏离的距离的平均数,它是离均差平方和平均后的方根,用σ表示。标准差是方差的。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的,标准差未必相同。 标准差(Standard Deviation),在统计中最常使用作为程度(statistical dispersion)上的。标准差定义为的,反映组内个体间的离散程度。测量到分布程度的结果,原则上具有两种性质: 为非负数值,与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个的标准差,及一个子集合样品数的标准差之间,有所差别。 标准计算公式 假设有一组数值X1,X2,X3,......Xn(皆为),其平均值为μ,公式如图1. 图1 标准差也被称为,或者实验标准差,公式如图2。 图2 简单来说,标准差是一组数据分散程度的一种度量。一个较大的标准差,代表大部分数值和其平均值之间差异较大;一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。 例如,两组数的集合{0, 5, 9, 14} 和{5, 6, 8, 9} 其平均值都是7,但第二个集合具有较小的标准差。

标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中,做重复性测量时,测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值,测量值的标准差占有决定性重要角色:如果测量平均值与预测值相差太远(同时与标准差数值做比较),则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解,因为如果测量值都落在一定数值范围之外,可以合理推论预测值是否正确。 标准差应用于投资上,可作为量度回报稳定性的。标准差数值越大,代表回报远离过去值,回报较不稳定故风险越高。相反,标准差数值越细,代表回报较为稳定,风险亦较小。 例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验,A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70,但A组的标准差为17.078分,B组的标准差为2.16分(此数据是在R统计软件中运行获得),说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。 如是总体,根号内N=n,如是,标准差公式根号内N=(n-1),因为我们大量接触的是样本,所以普遍使用根号内除以(n-1)。 公式意义 所有数减去其平均值的平方和,所得结果除以该组数之个数(或个数减一,即变异数),再把所得值开根号,所得之数就是这组数据的标准差。 深蓝区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在中,此范围所占比率为全部数值之68%。根据正态分布,两个标准差之内(深蓝,蓝)的

数据的离散程度

6.4 数据的离散程度 1.了解极差的意义,掌握极差的计算方法; 2.理解方差、标准差的意义,会用样本方差、标准差估计总体的方差、标准差.(重点、难点) 一、情境导入 从图中我们可以算出甲、乙两人射中的环数都是70环,但教练还是选择乙运动员参赛. 问题1:从数学角度,你知道为什么教练员选乙运动员参赛吗? 问题2:你在现实生活中遇到过类似情况吗? 二、合作探究 探究点一:极差 欢欢写了一组数据:9.5,9,8.5,8,7.5,这组数据的极差是( ) A .0.5 B .8.5 C .2.5 D .2 解析:这组数据的最大值是9.5,最小值是7.5,因此这组数据的极差是:9.5-7.5= 2.故选D. 方法总结:要计算一组数据的极差,找出最大值与最小值是关键. 探究点二:方差、标准差 【类型一】 方差和标准差的计算 求数据7,6,8,8,5,9,7,7,6,7的方差和标准差. 解析:一组数据的方差计算有两个常用的简化公式:(1)s 2=1n [(x 21+x 22+…+x 2n )-nx 2];(2)s 2=1n [(x 1′2+x 2′2+…+x n ′2)-nx ′2],其中x 1′=x 1-a ,x 2′=x 2-a ,…,x n ′=x n -a ,a 是

接近原数据平均数的一个常数,x′是x1′,x2′,…,x n′的平均数. 解:方法一:因为x=1 10(7×4+6×2+8×2+5+9)=7,所以s2= 1 10 [(7-7)2+(6-7)2 +(8-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(9-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(7-7)2]=1.2. 所以标准差s=30 5 . 方法二:同方法一,所以s2=1 10 [(72+62+82+82+52+92+72+72+62+72)-10×72]= 1.2,标准差s=30 5 . 方法三:将各数据减7,得新数据:0,-1,1,1,-2,2,0,0,-1,0.而x′=0, 所以s2=1 10 [02+(-1)2+12+12+(-2)2+22+02+02+(-1)2+02-10×02]=1.2.所以标准 差s=30 5 . 方法总结:计算一组数据的方差和标准差的步骤:先计算该组数据的平均数(或需加减的数值),然后按方差(或标准差)的计算公式计算. 【类型二】方差和标准差的应用 在一次女子排球比赛中,甲、乙两队参赛选手的年龄(单位:岁)如下: 甲队:26,25,28,28,24,28,26,28,27,29; 乙队:28,27,25,28,27,26,28,27,27,26. (1)两队参赛选手的平均年龄分别是多少? (2)利用标准差比较说明两队参赛选手年龄波动的情况. 解析:先求出两队参赛选手年龄的平均值,再由标准差的定义求出s甲与s乙,最后比较大小并作出判断. 解:(1)x甲=1 10 ×(26+25+28+28+24+28+26+28+27+29)=26.9(岁), x乙=1 10 ×(28+27+25+28+27+26+28+27+27+26)=26.9(岁). (2)s2甲= 1 10 ×[(26-26.9)2+(25-26.9)2+…+(29-26.9)2]=2.29, s2乙=1 10 ×[(28-26.9)2+(27-26.9)2+…+(26-26.9)2]=0.89. 所以s甲= 2.29≈1.51, s乙=0.89≈0.94, 因为s甲>s乙, 所以甲队参赛选手年龄波动比乙队大. 方法总结:求标准差时,应先求出方差,然后取其算术平方根.标准差越大(小)其数据

离散程度的测度

离散程度的测度 (一)离散程度的测度 1.离散程度是指数据之间的差异程度或频数分布的分散程度。 2.离散程度和集中趋势是两个同样重要的数据分布特征。集中趋势的测度值是对数据一般水平的一个概括性变量,它对一组数据的代表程度,取决于该组数据的离散水平。 3.数据的离散程度越大,集中趋势的测度值对该组数据的代表性就越差;离散程度越小,其代表性就越好。 (二)极差、标准差和方差 【例如】根据下表中的数据,计算100个会员企业年销售额方差和标准差。 销售额(万元)

【思考】通过10省调查得知,刚满周岁的女童体重均数为8.42kg,标准差为0.98kg;身高均数为72.4cm,标准差为3.0cm,试比较二者的离散程度? 『正确答案』体重的离散系数:0.98÷8.42×100%=11.64% 身高的离散系数:3.0÷72.4×100%=4.14% (三)离散系数 含义离散系数通常是就标准差来计算的,因此也称标准差系数; 它是一组数据的标准差与其相应的算术平均数之比,是测度数据离散程度的相对指标。 目的为了消除变量值水平高低和计量单位不同对离散程度测度值的影响。 计算公式

应用主要是用于比较对不同组别数据的离散程度。 离散系数大的说明数据的离散程度也就大,离散系数小的说明数据的离散程度也就小。 【例题·单选题】(2004)某学校学生的平均年龄为20岁,标准差为3岁;该校教师的平均年龄为38岁,标准差为3岁。比较该校学生年龄和教师年龄的离散程度,则( )。 A.学生年龄和教师年龄的离散程度相同 B.教师年龄的离散程度大一些 C.教师年龄的离散程度是学生年龄离散程度的1.9倍 D.学生年龄的离散程度大一些 『正确答案』D 『答案解析』本题考查离散系数。平均值不同的情况下,用离散系数比较离散程度。学生年龄的离散系数=3/20×100%=15%。教师年龄的离散系数=3/38×100%=7.89%。离散系数大的说明数据的离散程度就大。

评价数据离散程度的指标

标准差 标准差(Sta ndard Deviatio n ),也称均方差(mea n square error),是各数据偏离平均数的距离的平 均数,它是离均差平方和平均后的方根,用b表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数 据集的离散程度。平均数相同的,标准差未必相同。 标准差(Standard Deviation ),在概率统计中最常使用作为统计分布程度(statistical dispersion )上的测量。标准差定义为方差的算术平方根,反映组内个体间的离散程度。 测量到分布程度的结果,原则上具有两种性质: 为非负数值,与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个随机变量的 标准差,及一个子集合样品数的标准差之间,有所差别。 标准计算公式 假设有一组数值X1,X2,X3,……Xn (皆为实数),其平均值为人公式如图1. 图1 标准差也被称为标准偏差,或者实验标准差,公式如图2。 图2 简单来说,标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差, 代表大部分数值和其平均值之间差异较大;一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。 例如,两组数的集合{0, 5, 9,14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7,但第二个集 合具有较小的标准差。 标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中,做重复性测量时,测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值,测量值的标准差占有决定性重要角色:如果测量平均值与预测值相差太远(同时与标准差数值做比较),则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解,因为如果测量值都落在一定数值范围之外,可以合理推论预测值是否正确。 标准差应用于投资上,可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大,代表回 报远离过去平均数值,回报较不稳定故风险越高。相反,标准差数值越细,代表回报较为稳定,风险亦较小。 例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验,A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70,但A 组的标准差为17.078分,B组的标准差为2.16分(此数据是在R统计软件中运行获得),说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。

数据的离散程度(1)教学设计

数据的离散程度第六章数据的分析 6.4数据的离散程度(第1课时) 一、学情分析 学生的技能基础:学生已经学习过平均数、中位数等几个刻画数据的“平均水平”的统计量,具备了一定的数据处理能力和初步的统计思想,但学生对一组数据的波动情况并不了解,它们是否稳定,稳定的依据是什么,学生缺乏直观和理性的认识. 学生活动经验基础:在以往的统计课程学习中,学生经历了大量的统计活动,感受到了数据收集和处理的必要性和作用,有了一定的活动经验,具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学目标 1. 知识与技能:了解刻画数据离散程度的三个量度极差、标准差和方差,能借助计算器求出相应的数值。 2. 过程与方法:经历表示数据离散程度的几个量度的探索过程,通过实例体会用样本估计总体的统计思想,培养学生的数学应用能力。 3. 情感与态度:通过小组合作活动,培养学生的合作意识;通过解决实际问题,让学生体会数学与生活的密切联系。 三、教学过程 第一环节:情境引入 内容:为了提高农副产品的国际竞争力,一些行业协会对农副产品的规格进行了划分,某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿.现有2个厂家提供货源,它们的价格相同,鸡腿的品质也相近。 质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿,它们的质量(单位:g)如下: 甲厂:75 74 74 76 73 76 75 77 77 74 74 75 75 76 73 76 73 78 77 72 乙厂:75 78 72 77 74 75 73 79 72 75 80 71 76 77 73 78 71 76 73 75 把这些数据表示成下图:

(1)你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量是多少? (2)求甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量,并在图中画出表示平均质量的直线。 (3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少?最小值又是多少?它们相差几克?从乙厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值又是多少?最小值呢?它们相差几克? (4)如果只考虑鸡腿的规格,你认为外贸公司应购买哪家公司的鸡腿?说明你的理由。 在学生讨论交流的的基础上,教师结合实例给出极差的概念: 极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。它是刻画数据离散程度的一个统计量。 第二环节:合作探究 内容1:如果丙厂也参与了竞争,从该厂抽样调查了20只鸡腿,它们的质量数据如下图: (1)丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少? (2)如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距?分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与其相应平均数的差距。 (3)在甲、丙两厂中,你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求?为什么? 数学上,数据的离散程度还可以用方差或标准差刻画。 方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数,即: 注:是这一组数据x1,x2,…,xn的平均数,s2是方差,而标准差就是方差的算术平方根。一般说来,一组数据的极差、方差、标准差越小,这组数据就越稳定。 说明:标准差的单位与已知数据的单位相同,使用时应当标明单位;方差的单位是已知单位的平方,使用时可以不标明单位。 内容2:由学生自主探索用计算器求下列一组数据的标准差: 98 99 101 102 100 96 104 99 101 100

统计学常用公式

公式一 1. 众数【MODE 】 (1) 未分组数据或单变量值分组数据众数的计算 未分组数据或单变量值分组数据的众数就是出现次数最多的变量值。 (2) 组距分组数据众数的计算 对于组距分组数据,先找出出现次数最多的变量值所在组,即为众数所在组,再根据下面的公式计算计算众数的近似值。 下限公式: 1 012 M =L+ +i ???? 式中:0M 表示众数;L 表示众数的下线;1?表示众数组次数与上一组次数之差;2?表示众数组次数与下一组次数之差;i 表示众数组的组距。 上限公式: 2 012 M =U-+i ???? 式中:U 表示众数组的上限。 2.中位数【MEDIAN 】 (1)未分组数据中中位数的计算 根据未分组数据计算中位数时,要先对数据进行排序,然后确定中位数的位置。设一组数据按从小到大排序后为12N X X X ,,…,,中位数e M ,为则有: e N+M =X 1 ()2 当N 为奇数 e N N +1221M =X +X 2???? ? ????????? ?????? 当N 为偶数 (2)分组数据中位数的计算 分组数据中位数的计算时,要先根据公式N / 2 确定中位数的位置,并确定中位数所在的组,然后采用下面的公式计算中位数的近似值: 式中:e M 表示中位数;L 表示中位数所在组的下限;m-1S 表示中位数所在组以下各组的累计次数;m f 表示中位数所在组的次数;d 表示中位数所在组的组距。 3.均值的计算【AVERAGE 】 (1)未经分组均值的计算 未经分组数据均值的计算公式为: 112n ++= =n i i x x x x x n n =∑… (2)分组数据均值计算

离散数学公式

基本等值式 1.双重否定律 A ?┐┐A 2.幂等律 A ? A∨A, A ? A∧A 3.交换律A∨B ? B∨A,A∧B ? B∧A 4.结合律(A∨B)∨C ? A∨(B∨C) (A∧B)∧C ? A∧(B∧C) 5.分配律 A∨(B∧C) ? (A∨B)∧(A∨C) (∨对∧的分配律) A∧(B∨C) ? (A∧B)∨(A∧C) (∧对∨的分配律) 6.德·摩根律┐(A∨B) ?┐A∧┐B ┐(A∧B) ?┐A∨┐B 7.吸收律 A∨(A∧B) ? A,A∧(A∨B) ? A 8.零律A∨1 ? 1,A∧0 ? 0 9.同一律A∨0 ? A,A∧1 ? A 10.排中律A∨┐A ? 1 11.矛盾律A∧┐A ? 0 12.蕴涵等值式A→B ?┐A∨B 13.等价等值式A?B ? (A→B)∧(B→A) 14.假言易位A→B ?┐B→┐A 15.等价否定等值式 A?B ?┐A?┐B 16.归谬论(A→B)∧(A→┐B) ?┐A 求给定公式范式的步骤 (1)消去联结词→、?(若存在)。 (2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根律)。 (3)利用分配律:利用∧对∨的分配律求析取范式,∨对∧的分配律求合取范式。 推理定律--重言蕴含式 (1) A ? (A∨B) 附加律 (2) (A∧B) ? A 化简律 (3) (A→B)∧A ? B 假言推理 (4) (A→B)∧┐B ?┐A 拒取式 (5) (A∨B)∧┐B ? A 析取三段论 (6) (A→B) ∧(B→C) ? (A→C) 假言三段论 (7) (A?B) ∧(B?C) ? (A ? C) 等价三段论 (8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) ?(B∨D) 构造性二难 (A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) ? B 构造性二难(特殊形式) (9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D) ?(┐A∨┐C) 破坏性二难

表示一组数据离散程度的指标(1)

21.3.1表示一组数据离散程度的指标(1) 教学目标 1.了解极差的意义,会计算一组数据的极差. 2.会根据所给数据绘制相应的折线图. 3.会根据所给折线图求出极差. 教学重点难点 重点:极差的计算公式,会计算一组数据的极差。 难点:会根据所给折线图求出极差。 教学过程 一、创设情境 小明初一时对数学不感兴趣,遇到问题不爱动脑筋,作业能做就做,不会做就不做,因此他的数学成绩不太好,初一的一学年中四次考试的数学成绩分别是75、78、77、76.初一暑假时,小明参加了科技活动小组,在活动中,小明体会到学好数学的重要性,逐渐对数学产生了兴趣,遇到问题时从多方面去思考,深入钻研.因此小明的数学成绩进步很快,初二的一学年中,小明在四次考试的数学成绩是80、85、92、95. 看完这则小通讯,请谈谈你的看法.你以为在这些数据中最能反映学习态度重要性的是哪一对数据?两者相差多少? (学生充分讨论,允许有多种答案.) 的确,相比较而言最能反映学习兴趣重要性的是初一时的75分和初二时的95分,两者相差达20分. 这个20分在数学上就称为极差. 二、探究归纳 那么,到底何为极差?我们来看下面这个问题:书130页问题1 试对这两段时间的气温进行比较. (由表21.3.1所给数据可知,2002年和2001年2月下旬的气温相比,有4天的温度相对高些,有3天的温度相对低些,还有1天的温度相同.) 我们可以由此认为2002年2月下旬的气温比2001年高吗?两段时间的平均气温分别是多少?

(经计算可以看出,对于2月下旬的这段时间而言,2001年和2002年上海地区的平均气温相等,都是12℃.) 这是不是说,两个时段的气温情况没有什么差异呢?请同学们根据上表提供的数据,绘制出相应的折线图.书131页图21.3.1 (完成后作比较) 观察一下,它们有差别吗?把你观察得到的结果写在下面的横线上:_______________. 通过观察,我们可以发现:图(a)中折线波动的范围比较大——从6℃到22℃,图(b)中折线波动的范围则比较小——从9℃到16℃. 思考 什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小? 我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围.用这种方法得到的差称为极差.极差=最大值-最小值. 三、实践应用 例1观察图21.3.1,分别说出两段时间内气温的极差. 解由图可知,图(a)中最高气温与最低气温之间差距很大,相差16℃,也就是极差为16℃;图(b)中所有气温的极差为7℃,所以从图中看,整段时间内气温变化的范围不太大.例2你的家庭中年纪最大的长辈比年纪最小的孩子大多少岁? 四、交流反思 1.了解极差的意义. 2.知道极差的计算方法. 3.会绘制和观察折线图,能应用极差对简单问题做出判断. 五、作业 1.试计算下列两组数据的极差: A组:0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; B组:4, 6, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 5, 5.

统计学常用公式

公式一 1. 众数【MODE 】 (1) 未分组数据或单变量值分组数据众数的计算 未分组数据或单变量值分组数据的众数就是出现次数最多的变量值。 (2) 组距分组数据众数的计算 对于组距分组数据,先找出出现次数最多的变量值所在组,即为众数所在组,再根据下面的公式计算计算众数的近似值。 下限公式: 1 012 M =L+ +i ???? 式中:0M 表示众数;L 表示众数的下线;1?表示众数组次数与上一组次数之差;2?表示众数组次数与下一组次数之差;i 表示众数组的组距。 上限公式: 2 012 M =U-+i ???? 式中:U 表示众数组的上限。 2.中位数【MEDIAN 】 (1)未分组数据中中位数的计算 根据未分组数据计算中位数时,要先对数据进行排序,然后确定中位数的位置。设一组数据按从小到大排序后为12N X X X ,,…,,中位数e M ,为则有: e N+M =X 1 ()2 当N 为奇数 e N N +1221M =X +X 2???? ? ????????? ?????? 当N 为偶数 (2)分组数据中位数的计算 分组数据中位数的计算时,要先根据公式N / 2 确定中位数的位置,并确定中位数所在的组,然后采用下面的公式计算中位数的近似值: N =1 m-1 e m -S 2 M =L+ i i f d f ?∑ 式中:e M 表示中位数;L 表示中位数所在组的下限;m-1S 表示中位数所在组以下各组的累计次数;m f 表示中位数所在组的次数;d 表示中位数所在组的组距。

3.均值的计算【A VERAGE 】 (1)未经分组均值的计算 未经分组数据均值的计算公式为: 112n ++= =n i i x x x x x n n =∑… (2)分组数据均值计算 分组数据均值的计算公式为: 11221121 +++==+k i i k k i k k i i x f x f x f x f x f f f f ==+∑∑+ 4.几何平均数【GEOMEAN 】 几何平均数是N 个变量值乘积的N 次方根,计算公式为: 式中:G 表示几何平均数;∏表示连乘符号。 5.调和平均数【HARMEAN 】 调和平均数是对变量的倒数求平均,然后再取倒数而得到的平均数,它有简单调和平均数与加权调和平均数两种计算形式。 简单调和平均数: 211 H= = 111 +++n i n i n n x x x x =∑1… 加权调和平均数: 2121 1211m m +m ++m H==m m m m +++n i n i n i n n i i x x x x ==∑∑…… 式中:H 表示调和平均数。

评价数据离散程度的指标教学文案

评价数据离散程度的 指标

标准差 标准差(Standard Deviation),也称均方差(mean square error),是各数据偏离平均数的距离的平均数,它是离均差平方和平均后的方根,用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的,标准差未必相同。 标准差(Standard Deviation),在概率统计中最常使用作为统计分布程度(statistical dispersion)上的测量。标准差定义为方差的算术平方根,反映组内个体间的离散程度。测量到分布程度的结果,原则上具有两种性质: 为非负数值,与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个随机变量的标准差,及一个子集合样品数的标准差之间,有所差别。 标准计算公式 假设有一组数值X1,X2,X3,......Xn(皆为实数),其平均值为μ,公式如图1. 图1 标准差也被称为标准偏差,或者实验标准差,公式如图2。 图2 简单来说,标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差,代表大部分数值和其平均值之间差异较大;一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。

例如,两组数的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是7,但第二个集合具有较小的标准差。 标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中,做重复性测量时,测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值,测量值的标准差占有决定性重要角色:如果测量平均值与预测值相差太远(同时与标准差数值做比较),则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解,因为如果测量值都落在一定数值范围之外,可以合理推论预测值是否正确。 标准差应用于投资上,可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大,代表回报远离过去平均数值,回报较不稳定故风险越高。相反,标准差数值越细,代表回报较为稳定,风险亦较小。 例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验,A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70,但A组的标准差为17.078分,B组的标准差为2.16分(此数据是在R统计软件中运行获得),说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。 如是总体,标准差公式根号内N=n,如是样本,标准差公式根号内N=(n-1),因为我们大量接触的是样本,所以普遍使用根号内除以(n-1)。 公式意义 所有数减去其平均值的平方和,所得结果除以该组数之个数(或个数减一,即变异数),再把所得值开根号,所得之数就是这组数据的标准差。

如何衡量数据的离散程度

如何衡量数据的离散程度 我们通常使用均值、中位数、众数等统计量来反映数据的集中趋势,但这些统计量无法完全反应数据的特征,即使均值相等的数据集也存在无限种分布的可能,所以需要结合数据的离散程度。常用的可以反映数据离散程度的统计量如下: 极差(Range) 极差也叫全距,指数据集中的最大值与最小值之差: 极差计算比较简单,能从一定程度上反映https://www.wendangku.net/doc/be730532.html,的数据集的离散情况,但因 为最大值和最小值都取的是极端,而没有考虑中间其他数据项,因此往往会受异常点的影响不能真实反映数据的离散情况。 四分位距(interquartile range,IQR) 我们通常使用箱形图来表现一个数据集的分布特征: 一般中间矩形箱的上下两边分别为数据集的上四分位数(75%,Q3)和下四分位数(25%,Q1),中间的横线代表数据集的中位数(50%,Media,Q2),四分位距是使用Q3减去Q1计算得到:

如果将数据集升序排列,即处于数据集3/4位置的数值减去1/4位置的数值。四分位 距规避了数据集中存在异常大或者异常小的数值影响极差对离散程度的判断,但四分位距还是单纯的两个数值相减,并没有考虑其他数值的情况,所以也无法比较完整地表现数据集的整体离散情况。 方差(Variance) 方差使用均值作为参照系,考虑了数据集中所有数值相对均值的偏离情况,并使用平方的方式进行求和取平均,避免正负数的相互抵消: 方差是最常用的衡量数据离散情况的统计量。 标准差(S tandard Deviation) 方差得到的数值偏差均值取平方后的算术平均数,为了能够得到一个跟数据集中的数值同样数量级的统计量,于是就有了标准差,标准差就是对方差取开方后得到的: 基于均值和标准差就可以大致明确数据集的中心及数值在中心周围的波动情况,也可以计算正态总体的置信区间等统计量。 平均差(Mean Deviation) 方差用取平方的方式消除数值偏差的正负,平均差用绝对值的方式消除偏差的正负性。平均差可以用均值作为参考系,也可以用中位数,这里使用均值: 平均差相对标准差而言,更不易受极端值的影响,因为标准差是通过方差的平方计算而来的,但是平均差用的是绝对值,其实是一个逻辑判断的过程而并非直接计算的过程,所以标准差的计算过程更加简单直接。 变异系数(Coefficient of Variation,CV) 上面介绍的方差、标准差和平均差等都是数值的绝对量,无法规避数值度量单位的

评价数据离散程度的指标

标准差

简单来说,标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差,代表大部分数值和其平均值之间差异较大;一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。 例如,两组数的集合{0, 5, 9, 14} 和{5, 6, 8, 9} 其平均值都是7,但第二个集合具有较小的标准差。 标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中,做重复性测量时,测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值,测量值的标准差占有决定性重要角色:如果测量平均值与预测值相差太远(同时与标准差数值做比较),则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解,因为如果测量值都落在一定数值范围之外,可以合理推论预测值是否正确。 标准差应用于投资上,可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大,代表回报远离过去平均数值,回报较不稳定故风险越高。相反,标准差数值越细,代表回报较为稳定,风险亦较小。 例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验,A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70,但A组的标准差为17.078分,B组的标准差为2.16分(此数据是在R统计软件中运行获得),说明A组学生之间的差距要比B 组学生之间的差距大得多。 如是总体,标准差公式根号内N=n,如是样本,标准差公式根号内N=(n-1),因为我们大量接触的是样本,所以普遍使用根号内除以(n-1)。

公式意义 所有数减去其平均值的平方和,所得结果除以该组数之个数(或个数减一,即变异数),再把所得值开根号,所得之数就是这组数据的标准差。 深蓝区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在正态分布中,此范围所占比率为全部数值之68%。根据正态分布,两个标准差之内(深蓝,蓝)的比率合起来为95%。根据正态分布,三个标准差之内(深蓝,蓝,浅蓝)的比率合起来为99%。 正态分布 标准计算公式假设有一组数值(皆为实数),其平均值为:此组数值的标准差为: 样本标准差 在真实世界中,除非在某些特殊情况下,找到一个总体的真实的标准差是不现实的。大多数情况下,总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。 从一大组数值当中取出一样本数值组合,常定义其样本标准差:

数据的离散程度

4 数据的离散程度 1.极差 定义:一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差,即极差=最大值-最小值.极差反映了这组数据的波动范围. 谈重点 极差 (1)极差是最简单、最便于计算的一种反映数据波动情况的量,极差能够反映一组数据的波动范围;(2)在对一组数据的波动情况粗略估计时经常用到极差;(3)极差仅仅反映了数据的波动范围没有提供数据波动的其他信息,且受极端值的影响较大;(4)一组数据的极差越小,这组数据就越稳定. 【例1】 在一次体检中,测得某小组5名同学的身高分别是170,162,155,160,168(单位:cm),则这组数据的极差是__________cm. 解析:根据极差的概念,用最大值减去最小值即可,170-155=15(cm). 答案:15 2.方差 (1)定义:设有n 个数据x 1,x 2,x 3,…,x n ,各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x 1-x )2,(x 2-x )2,(x 3-x )2,…,(x n -x )2,用它们的平均数来衡量这组数据的波动大小,并把它叫做这组数据的方差. (2)方差的计算公式:通常用s 2表示一组数据的方差,用x 表示这组数据的平均数. s 2=1n [(x 1-x )2+(x 2-x )2+(x 3-x )2+…+(x n -x )2]. (3)标准差:标准差就是方差的算术平方根. 谈重点 方差 (1)方差是用来衡量一组数据的波动大小的重要的量,方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况;(2)对于同类问题的两组数据,方差越大,数据的波动越大,方差越小,数据的波动越小;(3)一组数据的每一个数据都加上(或减去)同一个常数,所得的一组新数据的方差不变;(4)一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍,则所得的一组新数据的方差将变为原数据方差的k 2倍.

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