3.3.3函数的最值与导数(学、教案)

1 3. 3.3函数的最值与导数

课前预习学案

一、预习目标

1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念。

2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。

3．掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤。

二、预习内容

1.最大值和最小值概念

2.函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系

3.连续函数在闭区间上求最值的步骤

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点

疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标

1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念。

2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。

3．掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤。学习重难点：导数与函数单调性的关系。

二、学习过程 (一)知识回顾：

1． 极大值、极小值的概念：

2．求函数极值的方法：

（二）探究一：

例1．求函数143

1)(3+-=

x x x f 在[0,3]上的最大值与最小值。 你能总结一下，连续函数在闭区间上求最值的步骤吗？

变式：1 求下列函数的最值：

（1）已知]1,31[,126)(3-∈+-=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______。

（2）已知]2,1[,26)(2∈--=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______。

函数的极值与导数教案完美版

《函数的极值与导数》教案 §1.3.2函数的极值与导数（1） 【教学目标】 1．理解极大值、极小值的概念． 2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值． 3．掌握求可导函数的极值的步骤． 【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤． 【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤． 【内容分析】 对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明．并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的． 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法．判断极值点的关键是这点两侧的导数异号． 【教学过程】 一、复习引入： 1． 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/ y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/ y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数． 2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间． 二、讲解新课： 1．极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点． 2．极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0)．就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点． 3．极大值与极小值统称为极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个． （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ． （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 4． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法： 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，) (0x f

《3.3.1函数的单调性与导数》教学案

3.3.1《函数的单调性与导数》教学案 教学目标： 1．了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程： 一．创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 二．新课讲授 1．问题：图3.3-1(1)，它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： (1)运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>． (2) 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减 函数．相应地，'()()0v t h t =<． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在 点00(,)x y 处的切线的斜率． 在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，

函数的最大值与导数教学设计

§函数的最大（小）值与导数 宜宾市四中李斌 一、教学内容分析 1.在教材中的位置： 本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1》人教A版，第三章、第三节“导数在研究函数中的应用” 2.学习的主要工具： 基本初等函数的识图能力与函数的极值与导数知识。 3.学习本节课的主要目的： 本节内容是在学生学习完导数基本概念与基本初等函数求导公式后的应用性知识，强调在应用中进一步理解导数，并为以后“生活中的优化问题”打好基础。 4.本节课在教材中的地位： 函数的最值是基本初等函数的重要性质，是历年高考的热点问题，也是解决实际问题，如成本最低，产量最高，效益最大等的重要工具。学好本节内容对学生的可持续发展具有重要意义，可进一步完善学生知识结构，培养学生应用数学的意识。 二、学情分析 学生已经在高一阶段必修一的学习中，学习了函数基础知识，并初步具备应用函数单调性求最值的基础，但是对于运用刚刚学习的导数工具研究函数性质，还不熟练，应用导数在思维上有很大的局限性。 三、课堂设计思想 培养学生学会学习、学会探究、学会合作是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。而问题驱动，问题引导，主动观察，主动发现又是帮助学生学会学习的重要好手段。本节教学，将遵循这个原则而进行设计，让学生领会到知识的产生过程。

四、教学目标 1．知识和技能目标 （1）弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数必有最大值和最小值的充分条件。 （2）掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值的方法和步骤。 2．过程和方法目标 （1）问题驱动，自主探究，合作交流。 （2）培养学生在生活中学习数学的方法。 3．情感和价值目标 （1）通过观察认识到事物的表象与本质的区别与联系． （2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题． （3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．（4）通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 五、教学重点与难点 重点：求闭区间上连续可导的函数的最值的求解，理解确定函数最值的方法，并联系函数单调性的应用。 难点：求函数的最值的方法的提炼，同时让有余力的学生了解函数的最值与极值的区别与联系 六、教学方法 发现探究式、启发探究式 本节课教学基本流程：复习检查→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、课后升华、当堂检测→布置作业 七、教学过程设计

三次函数与导数--例题与练习答案

三次函数与导数例题与练习答案 例1.(14全国大纲卷文21,满分12分）函数32()33(0)f x ax x x a =++≠. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）2()363f x ax x '=++，2 ()3630f x ax x '=++=的判别式△=36（1-a ）. （ⅰ）当a ≥1时，△≤0，则()0f x '≥恒成立，且()0f x '=当且仅当1,1a x ==-，故此时()f x 在R 上是增函数. （ⅱ）当1a <且0a ≠，时0>?，()0f x '= 有两个根：12x x = = ， 若01a <<，则12x x <, 当2(,)x x ∈-∞或1(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在 21(,),(,)x x -∞+∞上是增函数；当21(,)x x x ∈时，()0f x '<，故()f x 在21(,)x x 上是减函数； 若0，故()f x 在),(21x x 上是增函数； （Ⅱ）当0>a 且0>x 时, 0363)(2 >++='x ax x f ,所以 当0a >时，()f x 在区间（1，2）是增函数. 当0a <时， ()f x 在区间（1,2）是增函数，当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥，解得5 04 a - ≤<. 综上，a 的取值范围是5 [,0)(0,)4 -+∞U . 例2.(14安徽文数 20)（本小题满分13分） 设函数23()1(1)f x a x x x =++--，其中0a >。（1）讨论()f x 在其定义域上的单调性； （1） 当[0,1]x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值. （Ⅰ） ()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2 ()123f x a x x '=+-- 令()0f x '=，得121211,33 x x x x --+= =< 所以12()3()()f x x x x x '=--- 当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>， 故()f x 在12(,)(,)x x -∞+∞和内单调递减，在12(,)x x 内单调递增 （Ⅱ）因为0a >，所以120,0x x <> （ⅰ）当4a ≥时，21x ≥，由（Ⅰ）知，()f x 在[0，1]上单调递增， 所以()f x 在 0x =和1x =处分别取得最小值和最大值 （ⅱ）当04a <<时，21x <，由（Ⅰ）知，()f x 在[0，2x ]上单调递增，在[2x ，1] 上单调递减，因此()f x 在213 x x -+==处取得最大值 又(0)1,(1)f f a ==，所以 当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值； 当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小值； 当04a <<时，()f x 在0x =处取得最小值。 例4.（14年天津文科19,满分14分）已知函数232 ()(0),3 f x x ax a x R =->∈ （1） 求()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在 2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ?=，求a 的取值范围 解：（Ⅰ）由已知，有2 ()22(0)f x x ax a '=->

函数的极值与导数优秀教学设计

函数的极值与导数教学设计 【内容分析】 本节内容选自人民教育出版社A版的理科选修2-2或者文科选修1-1的导数及其应用的内容，这些是在学生学习了函数的单调与导数的下一节课的内容，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，而导数是研究函数的最有效的工具，运用导数研究函数的性质，从中可以体会到导数在研究函数中的巨大作用. 【学情分析】 在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值.在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫. 【教学目标】 （1）理解极大值、极小值的概念. （2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. （3）掌握求可导函数的极值的步骤 【教学重点】 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 【教学难点】 极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤 【学法指导】阅读自学、探究交流、合作展示. 【数学思想】数形结合、合情推理. 【知识百科】 1.函数的最值 函数最值一般分为函数最小值与函数最大值.简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值.函数最大（小)值的几何意义---函数图像的最高（低）点的纵坐标即为该函数的最大（小）值. 2.函数的极值 函数在其定义域的某些局部区域所达到的相对最大值或相对最小值.当函数在其定义域的某一点的值大于该点周围任何点的值时，称函数在该点有极大值;当函数在其定义域的某一点的值小于该点周围任何点的值时，称函数在该点有极小值.这里的极大值和极小值只具有局部意义.函数极值点的几何意义---函数图像的某段子区间内上极

【公开课教案】《函数的单调性与导数》教学设计

《函数的单调性与导数》教学设计 【课题】函数的单调性与导数 【教材】湘教版《高中数学》选修2-2 【课时】1课时 【教材分析】 函数的单调性与导数是湘教版选修2-2第四章第三课第一节的内容.在学习本节课之前学生已经学习了函数及函数单调性等概念，对单调性有了一定的感性和理性的认识，同时在第二课中已经学习了导数的概念，对导数有了一定的知识储备. 函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点.以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用.同时，在本课第二节要学习利用导数研究函数的极值，学习了导数研究函数的单调性，对于研究利用导数求函数的极值有重要的帮助.因此，学习本节内容具有承上启下的作用. 【学生学情分析】 课堂学生为高二年级的的学生，学生基础普遍比较好，但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过，因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点. 在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上.本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性. 【教学目标】 知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系; 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. 能力点：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法. 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想. 教育点：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯. 自主探究点：通过问题的探究，体会知识的类比迁移.以已知探求未知，从特殊到 一般的数学思想方法. 【教学重点】 利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. 【教学难点】 ⒈探究函数的单调性与导数的关系; ⒉如何用导数判断函数的单调性. 【教学方法】 启发式教学 【课时安排】 1 课时 【教学准备】 多媒体课件. 【教学设计说明】

用导数研究三次函数

用导数研究三次函数 一、知识点解析 1定义: 定义1、形如y =ax3?bx2? CX ?d(a =0)的函数，称为“三次函数”。 定义2、三次函数的导函数为二次函数：f / (x) = 3ax2 2bx c(a = 0),我们把 2 2 =4b -12ac=4(b -3ac),叫做三次函数导函数的判别式。 2、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性 2 3 2 一般地，当b -3ac二0时，三次函数y = ax bx ?cχ?d(a=0)在R上是单调函数；当b -3ac 0时，三次函数y = ax bx CX d(a 0)在R上有三个单调区间。 2、对称中心 3 2 三次函数f (x) = ax bx CX d (^?-z 0)是关于点对称，且对称中心为点 b b (—I f (—))，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 3a 3a y= f(x)图象的对称中心在导函数y=∕'O)的对称轴上，且又是两个极值点的中点， 同时也是二阶导为零的点。 3、三次方程根的问题 (1)当.?, =b2 _3ac乞0时，由于不等式「(X)恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。 ■ 0时，由于方程f(X)= 0有两个不同的实根x1, X2,不妨设 (2)当厶=b2 _3ac X i ：：：x2, 可知，(χ1,f(χj)为函数的极大值点,(X2, f(x2))为极小值点，且函数y = f(x)在(」：，X1)和(x2, ■--)上单调递增，在"x1,x2 I上单调递减。 此时： ①若f (x1) f (x2) 0 ,即函数y = f (x)极大值点和极小值点在X轴同侧，图象均与X轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。 ②若f (χ1) f (χ2) ：：：0 ,即函数y = f (x)极大值点与极小值点在X轴异侧，图象

导数与函数的单调性教学设计

《导数与函数的单调性》教学设计 【课题】导数与函数的单调性 【课时】1课时 【教材分析】 导数与函数的单调性是人教版选修2-2第三章第一节的内容。函数单调性是高中阶段刻划函数变化的一个最基本的性质。在高中数学课程中，对于函数单调性的研究分成两个阶段：第一个阶段是用定义研究单调性，知道它的变化趋势,是高一需要了解的知识点；第二阶段用导数的性质研究单调性，知道它的变化快慢，是高二需要掌握的知识内容。 在学习本节课之前学生已经学习了导数、函数及函数单调性等概念，对单调性有了一定的感性和理性的认识，同时在第二章中已经学习了导数的概念，对导数有了一定的知识储备。 函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点。以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。同时，在本章第二节要学习利用导数研究函数的极值，学习了导数研究函数的单调性，对于研究利用导数求函数的极值有重要的帮助。因此，学习本节内容具有承上启下的作用。【学情分析】 课堂学生为高二年级的的学生，学生基础一般，高一阶段对于单调性概念的理解不够准确且现在早已忘记；同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点。 在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上。本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性。 【教学目标】 知识与能力： 一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图象。 过程与方法： 通过利用导数研究单调性问题的研究过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。 情感态度与价值观： （1）通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，认识到数学是一个有机整体。 2）通过导数研究单调性的基本步骤（即算法）的形成和使用，使得学生认识到导数使得一些复杂的问题就变得有矩可循，因而认识到导数的实用价值。 【教学重点】

《函数的单调性与极值》教学案设计

《函数的单调性与极值》教学案设计 教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 掌握利用导数判断函数单调性的方法； 教学重点：利用导数判断函数单调性； 教学难点：利用导数判断函数单调性 教学过程： 一 引入： 以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 10时，函数y=f(x) 在区间（2，∞+）内为增函数；在区间（∞-，2）内， 切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y <0时，函数y=f(x) 在区间 （∞-，2）内为减函数. 定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内/ y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。 例1 确定函数422+-=x x y 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。 例2 确定函数76223+-=x x y 的单调区间。 y

2 极大值与极小值 观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。 一般地，设函数y=f(x)在0x x 及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 （ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，

导数与函数的单调性 省优质课教学设计

《导数与函数的单调性》教学设计 教材分析：《导数与函数的单调性》是北师大版选修2-2第三章1.1节的内容，也是高考的重点内容之一。本节内容的学习与掌握有助于学生深入的研究函数的性质，尤其借助导数知识求解函数的单调区间起到推波助澜的作用。学生已经掌握了基本的求导公式和导数的四则运算规则，对于导数也有了初步认识，通过本节课的学习，是学生认识到导数可以作为一种工具来进一步研究函数，对于求解较复杂函数的单调区间是一个捷径。 教学目标： 1．知识与技能： 理解导数与函数单调性的关系，会用导数法确定函数的单调区间，能确定函数的大致图像。 2．过程与方法： （1）通过导数与函数单调性关系的探究过程，体会从特殊到一般、数形结合的思想方法。 （2）通过导数法求单调区间基本步骤的形成，体会算法思想。 3．情感、态度与价值观： 通过导数法求单调区间，体会不同数学知识间的内在联系，体会导数的实用价值。 教学重点：函数单调性的判定和单调区间的求法 教学难点：理解为何将导数与函数单调性联系起来 教法学法： 1、教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出①动--师生互动、共同探索；②导--教师指导、循序渐进 （1）新课引入--较简单的数学问题引入，帮助学生联想。 （2）理解导数的内涵，组织学生自主探索，获得用函数的导数判断函数单调性的法则。 （3）例题处理--始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。 （4）练习--深化对用函数的导数判断函数单调性的法则内涵的理解，巩固新知识。 2、学法： （1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。 （2）自主学习：引导学生动口、动脑、参与数学活动。 （3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。

高中数学选修2-2精品教案 3.2 函数的极值与导数

§1．3．2函数的极值与导数（1课时） 【学情分析】： 在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。 【教学目标】： （1）理解极大值、极小值的概念. （2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. （3）掌握求可导函数的极值的步骤 【教学重点】： 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 【教学难点】： 极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤 教学 环节 教学活动设计意图 创设情景 观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数() h t在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 放大t a =附近函数() h t的图像，如图3.3-9．可以看出() h a '；在t a =，当t a <时，函数() h t单调递增，()0 h t'>；当t a >时，函数() h t单调递减，()0 h t'<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0 h t'>）后减（t a >，()0 h t'<）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，() h t'先正后负，且() h t'连续变化，于是有()0 h a '=． 对于一般的函数() y f x =，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号

1.3.1函数的单调性与导数教案

§1.3.1函数的单调性与导数 【教学目标】 1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法。 【教学重点】利用导数判断函数单调性。 【教学难点】利用导数判断函数单调性。 【内容分析】 以前，我们用定义来判断函数的单调性． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数。 在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易． 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。 【教学过程】 一、复习引入 1． 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=． 2．法则1 )()()]()([' ' ' x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=． 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? ． 3．复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x )． 4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 5．对数函数的导数： x x )'(ln = e x x a a log 1 )'(log =． 6．指数函数的导数：x x e e =)'(； a a a x x ln )'(=． 二、讲解新课 1． 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数 342+-=x x y 的图像 可以看到： 在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x) 的 y =f (x )=x 2－4x +3 切线的斜率 f ′(x ) (2，+∞) 增函数 正 ＞0 (－∞，2) 减函数 负 ＜0 3 2 1 f x () = x 2-4?x ()+3 x O y B A

1.3.1函数的单调性与导数教案

1.3.1函数的单调性与导数教案 谷城一中杨超 教学目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点：探索函数的单调性与导数的关系，求单调区间. 教学难点：利用导数判断函数的单调性 教学过程 一．回顾与思考 1、函数单调性的定义是什么？ 2、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成） 3、函数x =怎么判断单调性呢？还有其他方法吗？ 22+ x y ln 二．新知探究函数的单调性与导数之间的关系 【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个Array基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反 映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数 是否有着某种内在的联系呢? 【思考】如图（1），它表示跳水运动中高度h随 时间t变化的函数2 =-++的图像，图 h t t t () 4.9 6.510 （2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函 数' ==-+的图像．运动员从起跳到最 v t h t t ()()9.8 6.5 高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 【引导】随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？ 【探究】通过观察图像，我们可以发现： （1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即() h t是增函数．相应地，' =>． v t h t ()()0 Array（2）从最高点到入水，运动员离水面的 高h随时间t的增加而减少，即() h t是减函 数．相应地' v t h t ()()0 =<， 【思考】导数的几何意义是函数在该点 处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切 线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与

函数的极值与导数教学设计一等奖

函数的极值与导数 作者单位：宁夏西吉中学作者姓名：蒙彦强联系电话： 一．教材分析 本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用.就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性. 二．教学目标 1. 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质； 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件； 3. 会用导数求函数的极值； 4. 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力； 5. 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用.三．重点与难点 重点是会用导数求函数的极值． 难点是导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解. 四．学情分析 基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数． 五．教具教法 多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学 六．学法分析 借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤． 七．教学过程 1．引入 让学生观察庐山连绵起伏的图片思考“山势有什么特点”并结合诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”，这就是数学上研究的函数的极值引出课题． 【设计意图】从庐山美景出发并结合学生熟悉的诗句来激发学生学习兴趣，让学生在愉快中知道学什么．

函数的极值与导数(教案

1.3.2 函数的极值与导数（教案） 一、教学目标 1 知识与技能 〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2过程与方法 结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。 3情感与价值 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。 二、重点：利用导数求函数的极值 难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学基本流程 四、教学过程 〈一〉、创设情景，导入新课 1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？

（提高学生回答） 2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数 ()h t =-4.9t 2 +6.5t+10的图象，回答 以下问题 （1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t=a 处的导数是多少呢？ （2）在点t=a 附近的图象有什么特点？ （3）点t=a 附近的导数符号有什么变化规律？ 共同归纳: 函数h(t)在a 点处h /(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0. 3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>、探索研讨 1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题： a o h t

5函数与导数教案

§5函数与导数教案 1、曲线3123y x =- -在点（-1，-53 ）处切线的倾斜角为 2、曲线ln y x x =在点（e,e ）处切线的方程为 3、设曲线1122sin (,),(,)y x P x y P x y =在点处切线分别为12,l l ，若122PP π<，12l l ⊥ 则12,l l 与x 轴所围成的三角形的面积为 4、若曲线1x x y e e -=-在点p 处切线平行于244(3y x x =-+Q 处切线,则PQ 的斜率为 5、函数2()ln 2cos 2 x x f x x =++的单调递增区间是 6、函数2 3()x x f x e =的极大值是 极小值是 7、已知,函数36y x x =-,则当[x ∈时,y 的最大值为 8、已知曲线2x y =在点(,2)()n n P n n N +∈处的切线与x 轴相交于点(,0)()n n Q x n N +∈则 当2n ≥时,1n n x x --= 9、若函数2()2sin()cos 3f x a x a x x π=++ 在R 上是增函数,求a 的取值范围

10、设函数2 ()(1)2ln f x a x x =-+ ①若f(x)没有极值点,求a 的取值范围 ②若f(x)的极大值点为1x ,极小值点为2x ,求2x -1x 的取值范围? 11、已知332,()3,()3(1)11k R f x x x k g x kx k x ∈=-+=-+-函数, (1)若对任意1212,[2,2],()()x x f x g x ∈-≥都有,求k 范围. (2)若存在1212,[2,2],()()x x f x g x ∈-<使得,求k 范围

第07讲(三次函数的导数问题)(原卷版)

第07讲（三次函数的导数问题） 【目标导航】 运用三次函数的图像研究零点问题, 三次函数的单调性问题, 三次函数的极值与最值问题。 【例题导读】 例1、若13 x 3－x 2＋ax －a ＝0只有一个实数根，求实数a 的取值范围． 例2、 已知函数f (x )＝13x 3－k ＋12x 2，g (x )＝13 －kx ，若函数f (x )与g (x )的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围． 例3、设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋1，其中a ＞0，若过点(0,2)可作曲线y ＝f (x )的三条不同切线，求实数a 的取值范围． 例4、已知函数f (x )＝14 x 3－x 2＋x . (1)求曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程； (2)当x ∈[－2,4]时，求证：x －6≤f (x )≤x ； (3)设F (x )＝|f (x )－(x ＋a )|(a ∈R )，记F (x )在区间[－2,4]上的最大值为M (a )．当M (a )最小时，求a 的值． 例5、已知函数f(x)＝?????－x 3＋x 2，x<0，e x －ax ，x≥0，其中常数a ∈R . (1) 当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间； (2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a 的取值范围；

例6、已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若20a b +=， ① 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）； ② 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由； 例7、已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：33b a >； （3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72 -，求a 的取值范围． 例8、已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，a ∈R . (1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值； (2) 若对于任意x ∈(0，＋∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围； (3) 若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )，m (a )，记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值．

《函数的极值与导数》教学设计

3.3.2 函数的极值与导数教学设计 一、教学目标 1 知识与技能 〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2过程与方法 结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。 3情感与价值 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。 二、重点：利用导数求函数的极值 难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学基本流程 四、教学过程 〈一〉、创设情景，导入新课 1、通过上节课的学习，导数和函数单 调性的关系是什么？ （提问学生回答）

2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数()h t =-4.9t 2+6.5t+10的图象，回答以下问题 （1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t=a 处的导数是多少呢？ （2）在点t=a 附近的图象有什么特点？ （3）点t=a 附近的导数符号有什么变化规律？ 共同归纳: 函数h(t)在a 点处h /(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0. 3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>、探索研讨 1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题： （1）函数y=f(x)在a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? （2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少? （3）在a.b 点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢? a o h t

高中数学_函数的极值与导数教学设计学情分析教材分析课后反思

《离散随机变量的均值》教学设计 课程内容：普通高中人教A版（数学选修2-2）第二章第6节第一课时《函数的极值与导数》。 一．教材分析 本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材1.3.2 函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用.就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性. 二．教学目标 1. 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质； 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件； 3. 会用导数求函数的极值； 4. 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力； 5. 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用. 三．重点与难点 重点是会用导数求函数的极值． 难点是导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解. 四．学情分析 基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数． 五．教具教法 多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学 六．学法分析 借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤． 七、教学基本流程

函数与导数复习课用教案

函数与导数 诊断练习 1、曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0，1)处的切线方程为________． 2、函数2ln y x x =-的单调增区间为 ，减区间为 ； 3、已知点P 在曲线y ＝ 4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________． 4、函数2cos y x x =+在区间0, 2π??????上的最大值是 ，最小值是 ． 5、曲线C ：211ln 22 y x x =++的斜率最小的切线与圆221x y +=的位置关系为 典型例题 例1：（1）若函数3(3)y a x x =-在区间(1,1)-上为减函数，则实数a 的取值范围 是 ； （2）若函数3211()(1)132 f x x ax a x = -+-+在区间(14)，内为减函数，在区间()6,+∞上是增函数，是求实数a 的取值范围． （2）若函数32 4y x ax =-+在()0,2上单调递减，则实数a 的取值范围是 ；

例2：已知函数)ln()(m x e x f x +-=. (Ⅰ)设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性; (Ⅱ)当2m ≤时,证明()0f x >. 变式：已知函数1()ln x f x x ax -=+，0a R a ∈≠且． （1） 当2a =时，求函数()f x 在??? ???1,e e 的最大值和最小值； （2） 若函数()()g x af x =，求函数()g x 的单调递减区间；

课后练习： 1、曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________ 2、设32 ()31f x ax x x =+-+是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为 ； 3、已知0a >，函数3()f x x ax =-在区间[)1,+∞上为增函数，则a 的取值范围是 ； 4、函数3()2f x x ax =-+在区间1(0,)3 上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 ； 5、函数3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0成立，求实数a 的值． 6、()f x 是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，()()0f x xf x '+<，且(4)0f -=，则不 等式()0xf x >的解集为 ． 7、若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______. 8、已知P,Q 为抛物线x 2 =2y 上两点，点P,Q 的横坐标分别为4，-2，过P,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为 9、设定义在（0，+∞）上的函数1()(0)f x ax b a ax =+ +> （Ⅰ）求()f x 的最小值； （Ⅱ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32 y x = ，求,a b 的值。