习题 4
以下如果没有指明变量 t 的取值范围,一般视为 t R ,平稳过程指宽平稳过程。
1. 设 X (t ) sin Ut ,这里 U 为 (0,2 ) 上的均匀分布 . (a ) 若 t 1,2,
,证明 { X (t ), t 1,2, } 是宽平稳但不是严平稳,
(b )
设 t
[ 0, ) ,证明 { X (t), t 0} 既不是严平稳也不是宽平稳过程 .
证明:( a )验证宽平稳的性质
2
EX (t) E sin(Ut )
sin(Ut ) ? 1 dU 1 ( cosUt ) 02 0, t 1,2,
2 2 t
COV ( X (t ), X (s)) E(sinUt ?sin Us) 1
E(cos(t s)U cos(t s)U ) 1 { 1 [cos(t
1 [cos(t
2 1 s)U ]02 s)U ]02 } ?
2 t s
t s
2 t
0, t s
COV ( X (t ), X (t )) Esin 2 Ut 1
1
2 (b) EX (t) (1 cos(2 t)), 与t 有
关 ,
2 t
DX(t)
1 1 sin(
2 t ),与 t 有关,不平稳 .
2 8 t
2. 设 { X n ,n
1,2, } 是 平 稳 序 列 , 定 义 { X n (i ) , n
1,2, }, i 1,2,为
X n (1)
X n X n 1, X n (2 )
X n (1) X n (1)1 ,
,证明:这些序列仍是平稳的 .
证明:已知, EX
n
m DX
n
2
,COV (X n t , X t )
t )
,
(
(1)
EX n EX n 1
(1)
D ( X n
X n 1 )
2
2 (1)
2
EX n 0, DX n
1
COV ( X n (1)t , X n (1) ) COV ( X n t X n t 1 , X n X n 1 ) COV ( X n t , X n ) COV ( X n t 1 , X n )
COV ( X n t , X n 1 )
COV ( X n t 1 , X n 1 ) 2 (t )
(t 1)
(t
1)
显然, X n (1) 为平稳过程 .
同理可证, X n ( 2) , X n ( 3) ,
亦为平稳过程 .
n
3.Z n k2( a k n u k )里k和 a k正常数,k=1, ....n;u1, ...u n是(0,2)
k1
上独立均匀分布随机量。明{ x n , n0,1,2,...} 是平程。
n
明: E X n =k2E cos(a k n u k ) ,
k1
2
u k )du k= 1/ 2sin( a k n u k ) |02
E cos(a k n u k ) =1/ 2 cos(a k n=0
D[cos( a k n u k ) ]=1/2- E cos(2a k n2u k )1/ 2
cov (cos(a k n u k ),cos( a k (n t)u k ) )= E cos(a k n u k ) E cos(a k (n1) u k)=1/2cos
a k t
cov(cos( a k n u k ),cos( a l n u l ))0,( k l )
n n
E X n =0,D(X n)=k2 .2D (cos(a k n u k ) )k2.常数
k1k 1
n n
cov( x n t , x n )k . l .2.cov[cos( a k (n t ) u k ),cov( a l n u l )]
K 1 l1
n
=k2 .2.1/ 2.cos( a k t)
k 1
只与 t 有关,与 n 无关。
从而知道 { X n .n=0,1,2 ?.}平的。
4. A k k1,2...n是 n个实随机变量;W k,k=1,2?n 是 n 个数。A k与 W k之
n jwt
是一个复的平稳过程。(2足的条件才能使: Z (t )A k e )
j=1 k1
n
Ez k EA k e jw k t常数
,要求EA
k0
Solution:k 1
n n
Ez t z t E A k A l e j k t j l t常数
E A k A l 0, k l
k 1 l 1要求
.
5.设
x n , n 1,2,... 是 一 列 独 立 同 分 布 随 机 变 量 序 列 ,
P x n
1
p ,
P x n
1 1 p,n 1,2,...
s 0
0, s n
n
x n
, n 1,2,...
s n , n 1,2,...
令
k
1
n
求
的协方差
函数和自相关函数,
p 取何值时,此序列为平稳序列?
Solution :
Ex n
p 1,Dx n
Ex n
Ex n
2 p 1
2 2 1
2 p
2
2
12 1 p
2 p 1
14 p 1 p
2
1 n
E x n x m
Ex k
p 1 n
p 1 , n m, Es n
n
k 1
协方差函数
R s
n
m, n
cov s n m , s n
1
1
n m n
1 1
R s n
cov x k , x l
D x 1
... D x n
m, n
n m
n
n m
n
k 1 l 1
n 4 p 1
p
m
n
自相关函数:
r s n
m,n
R s n m, n
Es n m Es n
n
p
4 p 1
n n m
1
2
n m
2 p
1
Ex 0, D x n
1
, Es 0, D s
1
当 p=
n
2 n
n
2
时,
R s n m,n
n
但协方差函数
n
m
始终与
n,n+m 有关,还是不平稳!
6.设 X t
是一个平稳过程,对每一个 t R , X / t 存在,证明对每个给定的 t ,
X t 与 X / t 不相关,其中 X /
t
dX t .
dt
Proof.
EX t
m , D X t 2
. E X t
t m .
X / t
lim X tt
X t , EX / t 0 .
t 0
t
.
Cov X t , X / tEX t X / t lim E X t X t t X t
t 0t
1dX 2 t 1 d2
t 1 d 2
m20
2E EX
2 dt
dt 2 dt
7.设X t是 Gauss 过程,均值为0 ,协方差函数 R 24e 2 Z .
令 Z t X t 1 ,W t X t 1 ,
(i)求E Z t W t和E Z t W t 2;
(ii )求Z t的密度函数 f Z z及 P Z t 1 ;
(iii )求Z t与 W t 的联合密度 f Z ,W z,w.
Solution.(i )EZ t W t EX t1X t14e 4.
(ii )EX t0, D X t R 0 4 .
Z t X t 1 ~ N 0,2 2
11x2
P Z t1
22
e 2 4 dx .
(iii )Z t ,W t ~ N 0;22;0;22;4e4, P R 2 e 4
4
22 f
Z ,W z, w1exp1z02e 4z 0 w 0w 0
2 1 e 8 4 2 1 e 8444 8. 设X t , t R 是一个严平稳过程,为只取有限个值的随机变量.证明
y t X t, t R 仍是一个严平稳过程.
Proof.
d
X t1,X t n X t1h ,, X t n h
F y1 , , y n t 1 , t 2 , , t n P y t1 ,, y t n y1 , , y n
=p((X( t1 -),?,X(t n-)≤(y1,?,y n))
.
= k
Pk .p((X( t
1 -
a
k
,?X( t
n - a
k )≤( y 1 ,?,
y n ))
= k
Pk .p((X( t
1 -h-
a
k
),?X(
t n
-h-
a
k ))≤(
y 1
,?,
y n )
)
=p((y(
t
1
-h),
?,y(
t
n
-h))
≤(
y 1
,?, y
n
))=
F
t 1 h,...., tn h
(
y 1
,?, y n
)
即知 y(t ) 平 .
9 、 X (t ), t R 是一个 平 程,构造随机 程
Y 如下:
Y ( t ) =1, )若 X ( t )> 1,若 X (t )> 0;-1
,若 X ( t ) ≤0
明 Y ( t )是一个 平 程,如果 一步假定 X (t ), t
R 是均 0 的 Gauss
程(平 ), 明
R Y
( )
2
arcsin X X
(R ( ) R ( ))
明: P ((Y(
t 1
),?,Y(
t n )) = ( a 1 ,?, a n ))
=P(X( t 1
),?, X (
t n )中有的大于 0,有的小于等于
0)
=P (X( t 1
+h)
,?, X (
t n +h )相 于
X( t 1 )
,?, X (
t n )中的符号
不 )
=P ((Y(t 1
+h), ?,Y( t n +h) ) = ( a 1 ,?, a n ))
即
y(t) 亦 平 的 .
2
EX(t)=0,E
X (t )
=
R x
(0) ,X(t)
N(0, R x
(0) )
1 1
EY(t)=1*P(Y(t)=1)- 1*P(Y(t)=-1)=P(X(t)
> 0)- P(X(t)
≤
- =0
0)=
R
Y
2 2
( ) =EY(t+
)Y(t)=P(X(t+ )> 0, X(t) > 0)+P(X(t+ )≤ X(t) ≤
)≤
0, 0)- P(X(t+
.
0, X(t) > 0)+ P(X(t+ )>0, X(t)
≤
0)
R (y 2)
1
exp - 1
x 2 2 (2) xy
y 2
2 R (0) 1
2
R x (0)
d x d y
0 (2)
2(1-
(2)
2
x
记
( ) R x (2 )
2
R x (0 )
1
1
x 2
2 (2)xy
y 2
+ exp -
d x d y
2 R (0) 1
2
R x (0)
(2)
2(1-
(2)
2
x
-
1
exp
-
1
x 2 2 (2)xy y
2
d y d x
( )
2
R ( 0)
( )
2(1- (2)
2 R x 0 1
2
2
x
-
1
exp -
1
x 2 2 (2) xy y
2
d y d x
( )
2
R (0)
( ) 2(1-
(2)
2 R x 0 1
2
2
x
=2
2
1
exp
1
2
r 2 (1
( 2)sin 2
.rdrd
2
(2)
0 0
2 R x (0) 1
2R x (0)(1
(2))
-
2
1 exp
1 2
r 2 (1 (2) sin2 .rdrd
0 0
2 R x (0) 1
2
(2)
2R x (0)(1 (2))
极坐标变换:
x r cos , y r sin
1
2
1
2
( 2 )
d 1
2 1
2
( 2)
d =
1
( 2) sin 2
1
( 2) sin 2
令 t tan ,
arctan , d
1 dt
1 t 2
1 2
1
2
( 2) dt
1
2
1
2
( 2) dt
=
1t
2
2 (2 ) t
1t 2
2 ( 2)t
=
1
t ( 2 ) 2 1
t ( 2) 2
arctan
arctan
1
2
1
2
( 2 )
( 2)
1
arctan
(2)
1
arctan
(2)
=
2
1 2
(2)
1
2
(2)
2
=
2
arctan
( 2)
1
2
(2)
2
arcsin (2)
=
注:验证 sin arctan
sin arcsin
. 即可!
2
1
10. 设 X t 是一个复值平稳过程,证明:
E X t X t 2
2 Re R 0R
Proof :
E X t
X t 2
E X t X t X t X t
EX t
X t
EX t X t
EX t X t
EX t
X t
2 R 0 R
R
2 Re R 0
R
11. 设
X t
是零均值的平稳 Gauss
过程,协方差函数为 R ,证明:
P
X
'
t
a
a
,其中
? 为标准正态函数。
R ''
Proof :
X t
h X t
2
由 E
y t 0
h
h
因 EX ' t
0, 则 Ey
t
X t h
X t
2
R 0
R h
R h R 0
E
y t
Ey 2 t
h
h 2
hR '
1
hR '
2
2
t
0, h , 2
h , 0
h 2
E y
1
R
''
2
1
E
y
2 t
R ''
0E
y
2 t
h
即 y t
:
0, R ''
y t @ X ' t
从而 P
X '
t
a
P
X ' t
a
a
R ''
R ''
R ''
12. 设 {x(t)} 为连续平衡过程 ,均值 m 未知,协方差函数
R( ) = ae
b| |
,R , a 0, b 0 .
对固定的 T 0 ,令 x =
1
T
x(s)ds 。证明: Ex
m (即 x 是 m 的无偏估计)以及
Var ( x)2a[(bT ) 1(bT ) 2 (1 e bT )] 。
Ex(t )m , Ex T 1T
m
Proof:Ex( s)ds
Var ( x)E(x m)2E[T1T
E( x(t ) m)dt gT1
T
( x(s)m)ds] 00
= T2T T
m)( x( s)m)dtds T2
T T
b|t s|dtds 0
E( x(t)
ae 00
= T2[
T s
b (s t ) dtds
T T
b (t
s) dtds ] 0
ae
ae
0s
= aT2
11
(e bT1)]2 [T2
b b
13 .设{ x(t )}为平稳过程,以及{ x(t )} 的n阶导数 x( n) (t) 存在,证明 { x( n ) (t)} 是平稳过程。Proof:由 Cov( x( n) (t ), x( n) (t))(1)n R(2 n) () 知
{ x( n) (t)} 为平稳过程Ex( n) (t) 0
Ex (t) E lim x(t
)x(t )lim Ex(t)Ex(t )0
00 14 .证明定理 4.1 中关于平稳序列均值的遍历性定理。
Proof:{ x n} 为均值遍历性lim 1N 1
N
R( ) 0
N0
1N
Ex(n) 即 E( x m)2
均值遍历性:x lim x(k)m0( N)
N2N1 k
N
1N
E x N Ex(k)m
2 N 1 k N
1N212N N
X k m|X k m X l m Var X N E E
2N 1 K N2N 1K N K N
1N N
E X k m X l m
2N 1 2k N l N
1N N
R k l
2N 1 2k N l N
.
令 t k l , s
k l , 则 t s 2k,t
s
2l
1
1 2 N t
2 N
2N t
R s
R s
2
2N 1
t 2 N s 2N
t 0 s 2 N t
1
2N 1
2
R o
R
1
2N 2N
2
2N
1 1
1
2N 1
lim Var X N
由均值遍历,知
N
lim 2N 1
2 N 1
1
2
2 R
2N 1
知
N
2N 1
(A)
1 N
1 0
lim
R
可推出
N 0
N
(B )
由( B )很容易推出( A )
15、 如 果
X 1,X 2, X 3, X 4
是 均 值 为 0 的 联 合 正 态 随 机 向 量 , 则
EX 1,X 2, X 3,X 4 Cov X 1,X 2 Cov X 3,X 4
Cov X 1, X 3 Cov X 2,X 4
Cov X 1, X 4 Cov X 2,X 3
proof:
协 方
差 阵
11
12 13 14
21 22 23 24 31
32 33 34
41
42
43
44
矩
母 函 数
e
t 1 x
1
t 2 x 2 t 3x 3
1
4
o
t
exp
t t
t 4
12 34
13 2414 23
2
t 1 t 2 t 3
1
N
R N
X k
m
X k
m
2N 1 K
N
ER N
R
1
N
2
Var R N
E
X k
m X k
m R
1 K
2N
N
1
N
N
m X l m R 2
2 E
X k
m X k m X l
2N 1
K
N L
N
.
m
1
N
N
R 2
2 E
E X k X k
X l X l
N
K
N L N
1
N
N
2 E
R 2
R 2 k -
R k l
R k
lR 2
N
K
N L
N
1
2 N 1
2
1
R 2
1
2N 0
2 N 1
lim
1 N
1
2
N k R
k
N
可知:
16 、设 X 0 为随机变量,其概率密度函数为
2 x,0 x 1
f ( x)={ 0,其他 ,设 X n 1 在给定 X 0 , X 1,L
X n 下是 [1 X n ] 上的均匀分布, n 0,1,2,L ,
证明 { X n ,n=0,1, L } 的均值遍历性。
Proof:
EX 0
1
2xdx 2
E(X 1 X 0 ) 1 x 1 dx
1 x 0
x
1
1
0 3
x 0
x 0
2
EX 1 1
1
EX 0 1 1 2 2
E(X n 1 X 0 , X 1,L X n )
1
x 1 dx
1 [ 1
x 2 ]11 x
2
2 3
3
1 x n
x n
x n
2
n
1
1
2 1
2
x
n EX n 1 1 2
EX
n
EX n 1
3
1
2x 4 10 1
1
( 2 )2
1
EX 0
2 x
2
2xdx , DX 0
4 2
2 3
18
E(X n 2
1 X 0 , X 1 ,L X n )
1
x
2
1 dx 1
x n
1
x n 2 1 x n
x n
3
EX n 2
1
1 EX n
1
EX n 2 EX n 2 1 DX n 1 ( 2 )2
1
3
2
2 3 18
E[ X n X n m ] EE[ X n X n m X 0 , X 1 ,L X n m 1 ]
EX n (1
1
X n m 1)
( 2) 2
1 ( 1 ) m
2
3
18 2
R m
cov(X n , X n m )
( 2) 2
1 ( 1 )m EX n EX n m 1 ( 1)m ,
3
18 2
18 2
由推论 4.2 知: { X n 1} 是均值遍历的
17 、 设 {, n 0, 1,L } 为 白 噪 声 序 列 , 令 X = X + ,1,n 0, 1, 2,L 则
.
X n =
K
, n
L , 1,0,1,L } 为平稳序列。
n K ,从而证明 { X n
K 0
求出该序列的协方差函数,此序列是否具有遍历性?
Proof: 易知: X n =
K
,
n K
K 0
EX n =
K
E n K
0, COV ( X n m , X n ) E[
K n m k
l
n l ]
K 0
K 0
l 0
k l
m l l
2 m
2 l
?
2
m
?
2
?
1 ; (| | 1)
e 0 k 0
n m k n e
n 1
e 0
1
2
e 0
2
m
; (m 0,1,2, )
R( m)
1
2
?
因 R(m) 0(m 0) ,故 { X n } 为均值遍历的。
以下没有特殊声明,所涉及的过程均假定均值函数为零。
18 .我们称一个随机过程 X 为平稳 Gauss-Markov 过程,如果 X 是平稳 Gauss Process ,
并 且 具 有 Markov
性 , 即 对 任 意 的
S t , 任 意 实 数 x t , x s , x u 有
P( X t x t | X s x s , X u x u , u s) P(X t x t | X s
x) s 。试证明:零均值的平稳
Gauss-Markov 过程的协方差函数 R(2) 具有 ce a| |
这种形式,这里 c 为常数。
Proof
:
X t1
R(0)
R(t 2 t 1 )
R(t n t 1 ) R 0
R
12
R 1n
X
t 2
X
t1
X
t 2
X
tn
R(t 2
t 1 )
R( 0)
R(t 2 t n )
R 21
R 0
R
2n
X
tn
R(t n
t 1 ) R(t n
t 2 )
R(0)
R
n1
R
n 2
R 0
1
{ 1
( x ,x , x ) 1 ( X , X ,X )}
1
2
3
3
1
2
3
f ( X t1 , X t 2 , X t 3 )
3
1 e
2
( 2 ) 2 |
3 |
2
R 0
R 12
R
13
R 0
R
23 ,
1
R 0
R
12
3
R
21
R 0
R
23
, 2
R
31
R
32
R 0
R
32
R 0
R
21
R 0
.
1{1( x , x )1 (x , x )} f ( x t 1 , x t 2 , x t 3 )
12112
f ( x t1 , x t 2 )1 e 2, f ( X t 3 | X t1 , X t 2 )
2|1|2 f ( x t 1 , x t 2 )
1{1 (x,x )1 (x, x )} f ( x t 2 , x t 3 )
23212
f ( x t 2 , x t 3 )1 e 2, f ( X t 3| X t 2 )
2||2f ( x t 2 )
2
19. 根据 markov 性, f ( x t3︱ x t1, x t2)=f (x t3︱ x t2)知
R( t 3-t 1) = R ( t 2-t 1)R( t 3 -t 2) , R(-)=R( ).
即 R(0)R(+h)=R()R(h) (>0,h>0)可知: R( )=Ce -a︱︱
R( +h)/R(0)= R()/R(0)* R(h)/R(0) 即 f (x) = R(x)/R(0)= e-at
R(0)=2C=2︱ R( ) ︱ 20.设 {X(t ) }为平稳过程,令 y( t )=X ( t+a )-X (t-a ),分别以 R x、S x和 R y、S y记随机 过程 X 和 Y 的协方差函数和功率谱密度函数,证明。 R y()= 2R x()-R x(+2a ) -R z(-2a ), S y()= 4S x()sin2aw Proof R y()=Cov(y(t+),y(t))=E{(x(t++a )-m )- (x( t+ -a )-m )}*((x( t+a ) -m ) - ( x( t-a ) -m ))。其中 m=EX (t ) =E( X( t++a )-m )( X( t+a )-m )-E( X(t++a )-m)( x( t-a )-m )- E(X( t+-a )-m )( X( t+a ) -m ) +E ( X( t+-a ) -m )( x( t-a ) -m) = R x() -R x(2a+) -R x(-2a )+R x() =2 R x() - R x( 2a+) - R x(-2a )S y()=R y()e-jw=(2R x()- R x(+2a ) -R x(-2a )) e -jw =2S x( w ) -R x( k ) e -jwk *e j2aw -R x()e -jwk *e -j2aw k2a2a =2S x( w ) -2cos( 2aw ) S x( w ) =4S x( w ) sin 2( aw ) . 21 、设平稳过程 X 的协方差函数R() 2 e 2 ,试研究其功率密度函数的性质。 Solution:由 Wiener-Khintchine公式知,功率谱密度函数 S( w) 2R( ) cos()d 2 2e2) d cos( 00 R()a22 e a 22 、设平稳过程{ X t }cos b 的协方差函数2,求功率谱密度函数 S. Solution: S( w)R( )e j d 2 e j e j e j d a 2e a e j d -222 31.设x n ,n... 1,0,1... 为平稳序列,协方差函数为R. 1 (1)求 x n 1 的形如x n 1 ax n的最小均方误差方差预报, a 为待定常数2 (2)求 x n 1 的形如x n 1ax n b n 1的最小均方误差方差预报, a , b 为待定 (3)上述两个预报中,哪个预报的均方误差要小些?试用R 表示它们的差 (4)求x n k 的形如 x n k ax n bx n N ,1k N 的最小均方误差内插,(a,b 为待定)N Z n x n k Z n Z n ax n bx n N (5)设k 0,其中 N为固定常数,求的形如的最小均方误差预报,其中 a,b为待定常数。 Solution: Q a E x n 1 ax n 2 ax n x n0 ,Q' a 2E x n 1 (1) R 11R 1 a x n 1 R 0x n , R 0 . Q a, b E x n 1 ax n 2 bx n 1 (2) Q ax n bx n 1 x n 0 E 2 x n 1 a Q ax n bx n 1 x n 1 E 2 x n 1 b R 1 R 0 R 2 R 1 aR 0 bR 1 0 a R 2 0 R 2 1 R 0 R 2 R 2 1 R 2 aR 1 bR 0 0 b R 2 0 R 2 1 (3) R 2 0 R 2 1 Q a R 0 2 2 Q a,b E x n 1 a b x n 1 R 0 2 a R 1 2 b R 2 a R 0 2 2 ab R 1 b R 0 = R 5 0 R 3 0 3R 2 1 R 2 22R 2 0 R 2 1 R 2 R 0 R 2 1 2R 2 1 R 2 2 2R 4 1 R 2 R 2 0 R 2 2 1 Q a,b R 2 0 R 2 1 R 0 R 2 R 2 1 Q a R 0 R 2 0 R 2 1 R 0 R 2 R 2 2 1 R 0 R 2 0 R 2 0 1 (4) Q 4 a,b E x n k ax n bx n 2 N Q 4 a, b ax n bx n N x n E 2 x n k a Q 4 a, b ax n bx n N x n N E 2 x n k b aR 0 bR N R k aR N bR 0 R N k R 0 R k R N R N k a 0 R 2 N R 2 R 0 R n k R k R N b R 2 N R 2 (5) N 2 Q 5 E x n k ax n bx n N K 0 Q 5 N E2 x n k ax n bx n N x n a k 0 Q 5 N E2 x n k ax n bx n N x n N b k 0 N aR 0 bR N R k k 0 N aR N bR 0 R N k k 0 N N R 0 R k R N R N k a k k R 2 0 R 2 N N N R 0 R N k R N R k b k 0 k R 2 0 R 2 N 差 4-16 35. {Xn,n=0, ±1,?.} AR (p )模型: X n 1 X n 1 .....p X n p n n= ?,-1,0,1, ? 出 Yule-Walker方程: R( h)1R(h1) ...p R(h p) Proof.E(xx nn h)1E(x n 1x n h)...p E(x n p x n h)E( n x n h) R(h)1R(h1) ...p R( p h)0 36.考 AR ( p )模型: X n 1 X n 1.....p X n p n n= ?,-1,0,1, ? 假定 11Z p Z p的根都在位外,求功率密度函数 Proof S(w) e jwz R( )e jwz [ 1 R(1) ...p R(p)] 1jw e jwk R( k) ... p e jpw e jwk R( k) e k k 0 [ 1e jw...p e jpw ] s(w) S(w) 足上述式子 37.考如下 AR(2) 模型: (1 )X n0.5X n 10.3X n 2n( 2 )X n0.5X n 1 0.3X n 2n 用 Yule-Walker方程出方差函数,明它的密度函数S(w) 在( -,)上的。 Proof ( 1 )E( X n X n 1)0.5Ex n20.3Ex n 1 x n2 E ( x n 1n) 1 R(1)0.5R(0)0.3R(1)R(1)5 R(0) 7 E( X X) 0.5Ex x0.3Ex2E(x ) n 2 n n 2n 1 n 2n n 2 R(2)0.5R(1)0.3R(0)R(2)23 R(0) 35 19 R(4)16.4 似的, R(3)3535 Ex x0.5Ex n x0.3Ex n 2 x n E x n n 1 n n n R()0.5R(1) 0.3R(2) S e j R 0.5 e j 1 R 0.3e j 2 R 1 S 2 e j 2 R e j g2 e j R 1 g e j R S 1 其中, e j g2 = cos 2 j sin 2 1 故 S 1 具有周期性。 对于( 2 ),类似于( 1 )即得 38. 求下列自回归模型二协方差函数和相关函数。 (1 ) X n 0.8 X n 1n ( 2 ) X n 0.5X n 1 n X n 0 Solution. ( 1 ) X n X n 1 0.8 X n 2 1 n X n 1 协方差函数 R 1 0.8R 0 0 R 1 0.8R 0 R 2 X n X n 2 0.8 X n 1 X n 2 n X n 2 R 1 2 R 0.8 0.8 类似地, R 2 0.8| z| R 0 , z 0, 1, 2... X n n 0.8 n 1 0.8 n 2 ... 0.8 k n k k 0 R 0 D X n 0.8 2 k 2 1 25 ,相关函数: r z R z n k 1 0.82 9 k 0 (2 ) X n X n 1 0.5 X n 1 X n 1 n X n 1 , R 1 0.5R 0 X n X n 2 0.5 X n 1 X n 2 n X n 2 , R 2 0.5R 1 0.5 2 R 0 R z 0.5 |z| , z 0, 1, 2,... 通过迭代: X n n 0.5 n 1 0.5 2 n 2 ... 0.5 k n k k R 0 2 0.5 2k 2 X n n k k 0 1 4 1 0.25 3 求下列滑动平均模型协方差函数和相关函数: (1 )X n n0.5 n -10.5 n- 2( 2 )X n n0.6 n-1 0.2 n-2 0.1 n -3 Solution: (1) R0E 2 0.52 2 0.52 2 1.52 1.5( 21) n E n -1 E n- 2 R 1 E n0.5 n-10.5 n-2n -10.5 n-20.5 n -3 =0.52E20.52 E n -220.25 n -1 R 2E n0.5 n -10.5 n- 2n- 20.5 n-30.5 n -4 =0.52E 2 0.5 n -2 R 3E n0.5 n -10.5 n- 2n-30.5 n -40.5 n -50 R0,4r R EX n 2 R (2 )R 0 E n20.6 2 E n-120.2 2 E n- 220.12 E n-32 1.41 R 1 E n0.6 n -1 0.2 n- 20.1 n-3n -1 = 0.6E20.12E20.02E2 n-1n -2n -3 0.6n- 2 0.2 n-3 0.1 n-4 0.5 R 2E n0.6 n -10.2n -20.1 n- 3n-20.6 n -30.2 n -40.1 n- 5 = 22 0.2E n -2 0.06E n -30.26 R 3E n0.6 n -10.2 n- 20.1 n-3n -20.6 n -30.2 n -40.1 n- 5 =0.1E 2 0.1 n -3 R 4E n0.6 n -10.2n -20.1 n- 3n-40.6 n -50.2 n -60.1 n- 70 R0,4r R 2 42 .考虑 AR( 2)模型:X n X n 10.25X n 2n 求 X n e n 及 E X n e X n e n Solution: . X n 1n E X n 1 X n , X n 1,L , X 1 E X n 0.25X n 1 X n ,L , X 1 X n 0.25X n 1 2 2 E X n X n 1n E X n 0.25X n 1 X n 0.25X n E n 2 2 1 n 1 1 1 X n 2 n E X n 2 X n , X n 1 ,L , X 1 E X n 1 0.25X n X n , X n 1,L , X 1 X n 1n 0.25X n X n 0.25X n 1 0.25X n 0.75X n 0.25X n 1 2 2 E X n X n 2 n E X n 1 0.25X n 0.75X n 0.25X n 2 n 2 1 E X n 0.25X n 1 n 1X n 0.25X n 1 2 E n 2 E n 2 2 2 n 1 1 2 X n e n X n e 1n 0.25 X n e 2 n e 3 2 E X n e X n en e 2 41 .考虑 AR (2)模型: X n 1.8X n 1 0.8X n 2 n 求 X n en 分析: X n 1 n E X n 1 X n , X n 1 ,L , X 1 1.8X n 0.8X n 1 X n 2 n E X n 2 X n , X n 1,L , X 1 1.8 X n 1n 0.8X n 1.8 1.8X n 0.8X n 1 0.8X n 4.04X n 1.44X n 1 X n en 1.8 X n e 1 n 0.8 X n e 2 n , e 3 随机过程考试试题及答案详解 1、(15分)设随机过程C t R t X +?=)(,),0(∞∈t ,C 为常数,R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 (1)求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数; (2)求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 (1)? ∞ -= x dt t f x F )()(,则)(t f 为密度函数; (2))(t X 为),(b a 上的均匀分布,概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ,分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(,2)(b a x E += ,12)()(2a b x D -=; (3)参数为λ的指数分布,概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ,分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ,λ1)(=x E ,21 )(λ=x D ; (4)2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布,概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ, 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ,若1,0==σμ时,其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 (1)因R 为]1,0[上的均匀分布,C 为常数,故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知, )(t X 为],[t C C +上的均匀分布,因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ,一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(; 第一章 随机过程的基本概念 1.设随机过程 +∞<<-∞=t t X t X ,cos )(0ω,其中0ω是正常数,而X 是标准正态变量。试求X (t )的一维概率分布 解:∵ 当0cos 0=t ω 即 πω)2 1 (0+ =k t 即 πω)21(10+=k t 时 {}10)(==t x p 若 0cos 0≠t ω 即 πω)2 1 (1 0+≠ k t 时 {}{}x t X P x x X P t x F ≤=≤=0cos )(),(ω 当 0cos 0>t ω时 ξπ ωωξd e t x X P t x F t x ? - = ??? ? ??≤=02 cos 0 2 021cos ),( 此时 ()t e x t x F t x f t x 0cos 2cos 1 21,),(022ωπ ω? =??=- 若 0cos 0 ?? ?= ,2 ,cos )(出现反面出现正面t t t X π 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为21。试确定)(t X 的一维分布函数)2 1 ,(x F 和)1,(x F ,以及二维分布函数)1,2 1;,(21x x F 解:(1)先求)21,(x F 显然???=?? ???-=??? ??出现反面出现正面 出现反面出现正面10,212,2cos 21π X 随机变量?? ? ??21X 的可能取值只有0,1两种可能,于是 21 021= ??????=?? ? ??X P 2 1121=??????=??? ??X P 所以 ?????≥<≤<=??? ?? 11102 1 0021,x x x x F 再求F (x ,1) 显然? ??-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1 2 cos (1)πX {}{}2 1 2)1(-1 (1)====X p X p 所以 ???? ???≥<≤<=2 121- 2 1-1 0,1)(x x x x F (2) 计算)1,2 1 ;,(21x x F ???-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1)1(, 1 0)2 1 ( X X 于是 (1) 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程,其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({,且是一个周期为T 的函数,即0),()(≥=+τττB T B ,求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解:由定义,有: )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D (2) 试证明:如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程,且0)0(=X ,那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明:我们要证明: n t t t <<<≤? 210,有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有: } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此,我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下,)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知,当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时,增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立,由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下,即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知,在11)(--=n n x t X 条件下,)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立,结果成立。 (3) 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值(00=W )的、有平稳增量和独立增量的过程, 且对每个0>t ,),(~2t N W t σμ,问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程,为什么? 解:任取n t t t <<<≤? 210,则有: n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=- 山东财政学院 2009—2010学年第 1 学期期末考试《应用随机过程》试卷(A ) (考试时间为120分钟) 参考答案及评分标准 考试方式: 闭卷 开课学院 统计与数理学院 使用年级 07级 出题教师 张辉 一. 判断题(每小题2分,共10分,正确划√,错误划ⅹ) 1. 严平稳过程一定是宽平稳过程。(ⅹ ) 2. 非周期的正常返态是遍历态。(√ ) 3. 若马氏链的一步转移概率阵有零元,则可断定该马氏链不是遍历的。(ⅹ ) 4. 有限马尔科夫链没有零常返态。(√ ) 5.若状态i 有周期d, 则对任意1≥n , 一定有:0)(?nd ii p 。(ⅹ ) 二. 填空题(每小题5分,共10分) 1. 在保险公司的索赔模型中,设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司,若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布,一年中保险公司的平均赔付金额是__240000元___。 2.若一个矩阵是随机阵,则其元素满足的条件是:(1)任意元素非负(2)每行元素之和为1。 三. 简答题(每小题5分,共10分) 1. 简述马氏链的遍历性。 答:设) (n ij p 是齐次马氏链{}1,≥n X n 的n 步转移概率,,如果对任意 I j i ∈,存在不依赖于i 的极限0)(?=j n ij p p ,则称齐次马氏链{}1,≥n X n 具有遍历性。 2. 非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同? 答:非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于:强度λ不再是常数,而是与t 有关,也就是说,不再具有平稳增量性。它反映了其变化与时间相关的过程。如设备的故障率与使用年限有关,放射物质的衰变速度与衰败时间有关,等等。 四. 计算、证明题(共70分) 1. 请写出C —K 方程,并证明之. (10分) 解: 2. 写出复合泊松过程的定义并推算其均值公式. (15分) 解:若{}0),(≥t t N 是一个泊松过程,是Λ,2,1,=i Y i 一族独立同分布的随机变量,并且与{}0),(≥t t X 也是独立的, )(t X =∑=t N i i Y 1,那么{}0),(≥t t X 复合泊松过程 《随机过程期末考试卷》 1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为 。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),- 随机过程习题解答(一) 第一讲作业: 1、设随机向量的两个分量相互独立,且均服从标准正态分布。 (a)分别写出随机变量和的分布密度 (b)试问:与是否独立?说明理由。 解:(a) (b)由于: 因此是服从正态分布的二维随机向量,其协方差矩阵为: 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量,期望和方差分别为和。 (a)试求和的相关系数; (b)与能否不相关?能否有严格线性函数关系?若能,试分别写出条件。 解:(a)利用的独立性,由计算有: (b)当的时候,和线性相关,即 3、设是一个实的均值为零,二阶矩存在的随机过程,其相关函数为 ,且是一个周期为T的函数,即,试求方差 函数。 解:由定义,有: 4、考察两个谐波随机信号和,其中: 式中和为正的常数;是内均匀分布的随机变量,是标准正态分布的随机变量。 (a)求的均值、方差和相关函数; (b)若与独立,求与Y的互相关函数。 解:(a) (b) 第二讲作业: P33/2.解: 其中为整数,为脉宽 从而有一维分布密度: P33/3.解:由周期性及三角关系,有: 反函数,因此有一维分布: P35/4. 解:(1) 其中 由题意可知,的联合概率密度为: 利用变换:,及雅克比行列式: 我们有的联合分布密度为: 因此有: 且V和相互独立独立。 (2)典型样本函数是一条正弦曲线。 (3)给定一时刻,由于独立、服从正态分布,因此也服从正态分布,且 所以。 (4)由于: 所以因此 当时, 当时, 由(1)中的结论,有: P36/7.证明: (1) (2) 由协方差函数的定义,有: P37/10. 解:(1) 当i =j 时;否则 令 ,则有 第三讲作业: P111/7.解: (1)是齐次马氏链。经过次交换后,甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关,和之前的状态和交换次数无关。 (2)由题意,我们有一步转移矩阵: P111/8.解:(1)由马氏链的马氏性,我们有: (2)由齐次马氏链的性质,有: (2) 一.填空题(每空2分,共20分) 1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),- 应用随机过程试题及答案 一.概念简答题(每题5 分,共40 分) 1. 写出卡尔曼滤波的算法公式 2. 写出ARMA(p,q)模型的定义 3. 简述Poisson 过程的随机分流定理 4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念 5. 简述Markov 状态分解定理 6.简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷(共9 页)第2 页7. 什么是随机过程,随机序列?8.什么是时齐的独立增量过程?二.综合题(每题10 分,共60 分) 1 .一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) , 2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X 是相互独立的。试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。 2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且,在给定Y=y 条件下,随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷(共9 页)第3 页 3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y} 4.设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。试求数学期望( ) t E X ,方差( ) t D X ,相关函数1 2 ( , ) X R t t ,协方差1 2 ( , ) X C t t 。B 卷(共9 页)第4 页5 .设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为 1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程,且它们的均值分别为mx 和my ,它们的自 相关函数分别为Rx()和Ry()。(1)求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数;(2)求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案: (1)[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== :独立的性质和利用 (2)[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质:)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。(1)求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数;(2)求输出信号的一维概率密度函数。 答案: (1) 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统,所以输出y(t)的功率谱密度函数为: ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换,就得到输出的自相关函数: ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压:y(t) 电压:x(t) 电流:i(t) 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意:试卷共七道大题,请写明详细解题过程。 考试方式:半开卷,考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版(或第二版)高等教育出版社。可以看笔记、作业,但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期:2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩,算得平均分数为80=x 分,样本标准差8=s 分,若全年级的英语成绩服从正态分布,且平均成绩为85分,问:能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异(取显著性水平050.=α)? 解:这是单个正态总体 ),(~2σμN X ,方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题,用T 检验法. 解 85:0=μH ,85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ,8=s ,n =28,850=μ, 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表,05.0=α,自由度27,临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>,故拒绝 0H ,即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解:由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下,X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p --------------------------------------装----------------------------------------订 ---------------------------------------线-------------------------------------- 第 - 1 - 页 共 -3- 页 2005-2006学年秋季学期《 随机分析 》课程期末考试试题B 说明:学生必须将答案全部写在答题纸上,凡写在试题上的一律无效。学生可随身携带计算器。 一、填空题(每小题3分,共计10×3=30分) 1)随机变量()2~,X N μδ,则其矩母函数()=t g 。 2)(){}0,≥t t N 为以参数2=λ的Possion 过程,则()()}{=2211=且=N N P 。 3)设Poisson 过程(){}0,≥t t N 的强度为3,n X 表示过程第1-n 次与第n 次事件的 时间间隔,则}{=n X E , }{=n X D 。 4)设某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6的Poisson 过程,订阅1年、2年、3年的概率分别21, 31和6 1,且相互独立。订阅一年时,可得1元手续费。以()t X 记在[]t ,0得到的总手续费。则()}{=t X E = ,()}{= t X D = 。 5)考虑状态0,1,2的一个Markov 链{}0,≥n X n ,其一步转移概率矩阵为 ????? ??=1.08.01.04.02.04.06.03.01.0P ,初始分布为2.0,5.0,3.0210===p p p ,则 ()====1,0,1210X X X P 。 6)已知状态为1,2,3,4的齐次Markov 链{}0,≥n X n 及其一步转移概率矩阵为 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为: 试求:在时,求。 解: 当时,= = 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布: 试求的特征函数,并以此求其期望与方差。解: 所以: 2.1 袋中红球,每隔单位时间从袋中有一个白球,两个任取一球后放回,对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ,其中 是常数,与是 相互独立的随机变量,服从区间上的均匀分布,服从瑞利分布,其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解:(1) 与无关 (2) , 所以 (3) 只与时间间隔有关,所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量,且,其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求:,.5)(5)(==U D U E .321)方差函数)协方差函数;()均值函数;(( 2.4是其中,设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量,且 数。试求它们的互协方差函 2.5, 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少? 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立,则1小时内平均有多少学生接受过体检?在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少(设学生非常多,医生不会空闲) 解:令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数,则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ,2λ,当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发;2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来,求(1)1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式;(2)当1N =2N ,1λ=2λ时,计算上述概率。 解: 法一:(1)乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程,令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻,2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ---- 习题4 以下如果没有指明变量t 的取值范围,一般视为R t ∈,平稳过程指宽平稳过程。 1. 设Ut t X sin )(=,这里U 为)2,0(π上的均匀分布. (a ) 若Λ,2,1=t ,证明},2,1),({Λ=t t X 是宽平稳但不是严平稳, (b ) 设),0[∞∈t ,证明}0),({≥t t X 既不是严平稳也不是宽平稳过程. 证明:(a )验证宽平稳的性质 Λ,2,1,0)cos (2121)sin()sin()(2020==-=? ==?t Ut t dU Ut Ut E t EX π π ππ ))cos()(cos(2 1 )sin (sin ))(),((U s t U s t E Us Ut E s X t X COV ---=?= t U s t s t U s t s t ππ π21}])[cos(1])[cos(1{212020? +++--= s t ≠=,0 2 1 Ut Esin ))(),((2= =t X t X COV (b) ,)),2cos(1(21 )(有关与t t t t EX ππ-= .)2sin(81 21DX(t)有关,不平稳,与t t t ππ-= 2. 设},2,1,{Λ=n X n 是平稳序列,定义Λ Λ,2,1},,2,1,{) (==i n X i n 为 Λ,,)1(1)1()2(1)1(---=-=n n n n n n X X X X X X ,证明:这些序列仍是平稳的. 证明:已知,)(),(,,2 t X X COV DX m EX t t n n n γσ===+ 2 121)1(1)1()1(2)(,0σγσ≡+=-==-=--n n n n n n X X D DX EX EX EX ) 1()1()(2),(),() ,(),(),(),(111111) 1()1(++--=+--=--=--+-+-++--+++t t t X X COV X X COV X X COV X X COV X X X X COV X X COV n t n n t n n t n n t n n n t n t n n t n γγγ显然,) 1(n X 为平稳过程. 同理可证,Λ,,) 3()2(n n X X 亦为平稳过程. 3.设 1 )n n k k k Z a n u σ==-∑这里k σ和k a 为正常数,k=1,....n; 1,...n u u 是(0,2π) 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明:当12n 0t t t t <<< <<时, 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤,又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤,故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链,状态空间为I ,则对任意整数n 0,1 习题 1. 设随机过程{(,),}X t t ω-∞<<+∞只有两条样本函数 12(,)2cos ,(,)2cos ,X t t X t t x ωω==--∞<<+∞ 且1221 (),()33P P ωω==,分别求: (1)一维分布函数(0,)F x 和(,)4F x π ; (2)二维分布函数(0,;,)4F x y π ; (3)均值函数()X m t ; (4)协方差函数(,)X C s t . 2. 利用抛掷一枚硬币一次的随机试验,定义随机过程 1 2 cos ()2t X t πωω?=??出现正面出现反面 且“出现正面”与“出现反面”的概率相等,各为1 2 ,求 1)画出{()}X t 的样本函数 2){()}X t 的一维概率分布,1 (;)2F x 和(1;)F x 3){()}X t 的二维概率分布121 (,1;,)2 F x x 3. 通过连续重复抛掷一枚硬币确定随机过程{()}X t cos ()2 t t X t t π?=? ?在时刻抛掷硬币出现正面 在时刻抛掷硬币出现反面 求:(1)1(,),(1,)2F x F x ; (2)121 (,1;,)2 F x x 4. 考虑正弦波过程{(),0}X t t ≥,()cos X t t ξω=,其中ω为正常数,~(0,1)U ξ. (1)分别求3,,,424t ππππωωωω = 时()X t 的概率密度(,)f t x . (2)求均值函数()m t ,方差函数()D t ,相关函数(,)R s t ,协方差函数(,)C s t . 5. 给定随机过程: ()X t t ξη=+ ()t -∞<<+∞ 其中r. v. (,)ξη的协方差矩阵为1334C ?? = ??? , 求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的协方差函数. 6. 考虑随机游动{(),0,1,2,}Y n n = 1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为 。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),- 随机过程复习题 一、填空题: 1.对于随机变量序列}{n X 和常数a ,若对于任意0>ε,有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ,则称}{n X 依概率收敛于a 。 2.设}),({0≥t t X 是泊松过程,且对于任意012≥>t t , ,则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3.已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ,初始分布为),,(4 1 2141, ?????? ?? ????????? ?=434 103 13131043 411)(P ,则167)2(12=P ,161}2,2,1{210====X X X P ???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4.强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5.已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R , )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ,若)()()(ττX R t X t X >=+<,以概率1成立,则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ,则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2 习题一 1.设随机变量X 服从几何分布,即:(),0,1,2,...k P X k pq k ===。求X 的特征函数、EX 及DX 。其中01,1p q p <<=-是已知参数。 2.(1)求参数为(p,b )的Γ分布的特征函数,其概率密度函数为 (2)求其期望和方差; (3)证明对具有相同的参数b 的Γ分布,关于参数p 具有可加性。 3.设X 是一随机变量,F (x )是其分布函数,且是严格单调的,求以下随机变量的特征函数。 (1)(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数; (2)Z=ln F()X ,并求()k E Z (k 为自然数)。 4.设12,,...,n X X X 相互独立,具有相同的几何分布,试求 的分布。 5.试证函数 为一特征函数,并求它所对应的随机变量的分布。 6.试证函数 为一特征函数,并求它所对应的随机变量的分布。 7.设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ,试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布,并求出其均值向量和协方差矩阵,再求 的概 率密度函数。 8.设X 、Y 相互独立,且(1)分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布;(2)分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。求X+Y 的分布。 9.已知随机向量(X, Y )的概率密度函数为 试求其特征函数。 10.已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234()服从正态分布,均值向量为0,协方差矩 阵为B σ?kl 44=(),求(X ,X ,X ,X E 1234)。 11.设X 1,X 2 和X 3相互独立,且都服从(0,1)N ,试求随机变量112Y X X =+和 213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。 12.设X 1,X 2 和X 3相互独立,且都服从2(0,)N σ,试求: (1)随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数; 1,0() 0,0()p p bx b x e x p x p x --?>? Γ??≤? =0,0 b p >>1 n k k X =∑ (1)()(1) jt jnt jt e e f t n e -=-21 ()1f t t =+1 1n i i X X n ==∑22 1[1()],1,1 (,)40,xy x y x y p x y ?+--<=???其他 习题一 1、设人民币存款利率为5%,每年计息一次,那么大约要多少年时间才能使存款额变为原来的4倍?如果利率变为4%,又要多少年? 解:设初始投入资金为Q 元,大约需要n 年,其中的利率为r 。 依题意,可得: 公式计算法:Q ?5%?n =Q 1?Q 【PS: Q 1为存款后的利息+本金,Q 为本金】 1) 当r=5%的时候:Q ?5%?n =4Q ?Q 所以:n =35%=60 2) 当r=4%的时候:Q ?5%?n =4Q ?Q 3) 所以:n =34%=75 答:当利率为5%的时候,大约60年可以达到4倍。 利率为4%的时候,大约75年可以达到4倍。 2、如果利率为年复合利率r ,请给出一个公式,用它来估计要多少年才能使存款额变为原来的3倍。 解:【推导过程】当利率为r ,则一年之后存放余额为Q+rQ=(1+r)Q 之后连本带息存款,二年之后存放余额 Q (1+r )+Q (1+r )r =Q(1+r)2 ······ 依次类推n 年后存款达到Q(1+r)n 依据上述公式和P3的(1—4),可以得到: Q(1+r)n =3Q 且(1+r)n =e nr =>(1+r)n =3且(1+r)n =e nr 且当n 充分大时=>(1+r)n ≈e nr ,则由题意得到Q(1+r)n =3Q =>(1+r )n =3且(1+r )n ≈e nr ,近似e nr ≈3 n ≈ln3r =ln3r 3、考虑期权定价C 问题,设利率为r ,在t=0时刻,某股票价格为100元,在t =1时刻,该股票的价格为200或50,即 100(t =0)↗↘20050 (t =1) 试证明:若C ≠100?50(1+r )?13,则存在一个购买组合,使得在任何情况下都能 带来正的利润现值,即套利发生。【本题默认执行价格为150】最新随机过程考试试题及答案详解1
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