第3讲数列极限课件
第二章数列的极限与常数项级数
的含义。和极限。正确理解》语言描述数列的会用《了解数列极限的概念， N N εε-念和性质。
量的概
收敛准则。熟悉无穷小熟悉数列极限的性质和。极限或简单的极限证明限运算法则计算数列的以及极式”法、“夹逼定理”能熟练运用“放大不等性质。件以及收敛级数的基本必要条
性质。掌握级数收敛的理解常数项级数概念和别法。
收敛判判别法。掌握交错级数熟悉常数项级数的收敛－级数的敛散性。
数、熟悉等比级数、调和级P 本章学习要求：
第二章数列的极限与常数项级数
第一节数列的极限
一、数列及其简单性质
二、数列的极限
请点击
三、数列极限的性质
一、数列及其简单性质
1. 数列的定义
2. 数列的表示法请点击
3. 数列的性质
. )( 为定义域的函数是以正整数集设＋
Z n f } ,)( | {)( N n n f x x Z f f n n ∈==+
的值域将
, 增大的次序排列出来所按自变量中的元素n x n
得到的一串数：
, , , ,21n x x x 称为一个数列,记为{ x n }.
1. 数列的定义
数列中的每一个数称为数列的一项
x n = f (n )称为数列的通项或一般项
数列也称为序列
2. 数列的表示法
公式法
图示法表格法运用数轴表示
运用直角坐标系表示
介绍几个数列
x n 0
2
4
2n x 1x 2……
x
?????
??????????
… …
例1
,2 , ,8 ,4 ,2 :}2{ )1(n
n
.2 :n
n x 通项
,21 , ,8
1 ,41 ,21 :21 )2(n n ??????.
2
1
:n n x =通项…x n x 2
x 1
n
2
1x
x 3
…??????????
81
4 1
2 1
1
–1
n
x 21
2-n x x
,)1( , ,1 ,1 ,1 ,1 :})
1( { )3(1
1
------n n .
)
1( :1
--=n n x 通项所有的奇数项
所有的偶数项
x
n
12
11
M 3
x 1
x n
x 2x 4
x 212-n x ?????
?????
,)1(1
, ,31 ,0 ,21 ,0 ,1 ,0 :)1(1 )4(n n n
n -+?
?????-+.
)
1(1 n
x n
n -+=通项：所有奇数项
1
x n x 3x 2x 1x
2
1324
31+n n ……
…??????????
…
,1
, ,4
3 ,32 ,21 :1 )5(+??????+n n n n .
1
:+=n n
x n 通项
3. 数列的性质
单调性请点击
有界性
则称
满足若 , }{ 21 <<< . }{ , }{↑n n x x 记为严格单调增加单调增加 则称 满足若 , }{ 21 ≤≤≤≤n n x x x x . }{ , }{↑n n x x 也记为单调增加不减少的 则称 满足若 , }{ 21 >>>>n n x x x x . }{ , }{↓n n x x 记为严格单调减少单调减少 则称 满足若 , }{ 21 ≥≥≥≥n n x x x x . }{ , }{↓n n x x 也记为单调减少不增加的 严格单调增加(单调增加) 严格单调减少(单调减少) 数列单调增加(不减少的) 单调减少(不增加的) 统称为单调数列 (2) 数列的有界性 回想一下前面讲过的 函数的有界性的情形 我学过吗？ , |)(| , I ,0 成立有时使得当若M x f x M ≤∈>? . I )( 上有界在区间则称函数x f O x y M M -M y =M y -=( ) I ) (x f y = , , || ,0 成立使得若N n M x M n ∈≤>? . }{ . }{ 是无界的否则称有界则称数列n n x x 数列的有界性的定义 有界的数列在数轴上和在直角坐标系中的图形会是什么样子？ 想想： 从数轴上看,有界数数列{ x n }的全部点 都落在某区间(－M*, M* ) 中. ( )x 0M*－M* ?????????? n x + ∈<≤Z n M M x n *, ||+ ∈∈??Z n M x n , *) ,0U( 例2 ). 21 ( ,21=↓? ? ????M n 可取有界观察例1 中的几个数列： …x n x 2 x 1 n 2 1x x 3 …?????????? ,21 , ,8 1 ,41 ,21 :21 )1(n n ?????? 8 1 4 1 2 1 1 –1 n x 21 2-n x x ). 1 ( , }) 1{(1 =--M n 可取但有界不单调 ,) 1( , ,1 ,1 ,1 ,1 :}) 1( { )3(1 1 ------n n