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第一届至第九届(2010-2018年)陈省身杯全国高中数学奥林匹克试题及答案

第十届陈省身杯试题

第一天 1.已知在等腰△ABC中,AB=AC.三角形ABC的内切圆为⊙I,三角形BIC的外接圆为⊙O.D为⊙O上优弧BC上任意一点,E为线段DI上一点.证明:若过点E作DB的平行线与⊙I相切,则过点E作DC的平行线也与⊙I相切 . 2.设n>1是一个给定正整数,a1,a2,...,a n是n个两两互异的正整数.记M= {(a i,a j),[a i,a j]|1 i

第二天 5.已知锐角△ABC满足BC>CA>AB,△ABC的内切圆⊙I与边BC,CA,AB切于点A0,B0,C0,△ABC的垂心为H,HA,HB,HC的中点分别为A1,B1,C1这三点分别关于直线B0C0,C0A0,A0B0的对称点为A2,B2,C2证明: （1）A2,B2,C2三点共线；（2）A2B2 B2C2=tan∠BAC2?tan∠ABC2 tan∠ABC 2 ?tan∠ACB 2 6.设k>1是给定的整数.是否存在无穷多个满足下面条件的整数x:x可表示成两个正整数的k次幂之差但不能表示成两个k次幂之和？ 7.设A,B,C,D为平面上两辆不同的四个点,且其中任意三点不共线.证明:若线段AB,BC,CD,DA,AC,BD长度的平方均为有理数,则S△ABC S△ABD 为有理数. 8.已知整数n 2,实数a满足0

高中数学竞赛试题

1．高中数学竞赛试题 ◇1986年上海高中数学竞赛试题 ◇1987年上海高中数学竞赛试题 ◇1987年上海市黄埔区高中数学选拔赛试题 ◇1988年上海市高一数学竞赛试题.doc ◇1988年上海高中数学竞赛试题 ◇1989年上海高中数学竞赛试题 ◇1990年上海高中数学竞赛试题 ◇1991年上海高中数学竞赛试题 ◇1992年上海高中数学竞赛试题 ◇1993年上海高中数学竞赛试题 ◇1994年上海高中数学竞赛试题 ◇1995年上海高中数学竞赛试题 ◇1996年上海高中数学竞赛试题 ◇1997年上海高中数学竞赛试题 ◇1998年上海高中数学竞赛试题 ◇1999年上海高中数学竞赛试题 ◇1999年上海市高中数学竞赛试题.doc ◇2000年上海高中数学竞赛试题 ◇2000年上海市高中数学竞赛试题.doc ◇2001年上海高中数学竞赛试题 ◇2002年上海市高中数学竞赛.doc ◇2003年上海高中数学竞赛试题 ◇杭州市第7届"求是杯"高二数学竞赛 ◇杭州市第8届"求是杯"高二数学竞赛 ◇北京市海淀区第9届高二数学竞赛团体赛 ◇北京市海淀区第10届高二数学竞赛团体赛 ◇北京市海淀区第11届高二数学竞赛团体赛 ◇1986年杭州市高中数学竞赛第二试试题 ◇1990年四川省高中数学竞赛一试试卷 ◇1991年四川省高中数学联合竞赛决赛试题 ◇1992年四川省高中数学联合竞赛决赛试题 ◇1996河北省高中数学联合竞赛 ◇1999年河北省高中数学竞赛试题 ◇2000年锦州市“语数外”三科联赛高一数学试题.doc ◇2000年创新杯数学竞赛高一初赛试卷.doc ◇2000年上海市中学生业余数学学校高一招生试题.doc ◇2000年河北省高中数学竞赛试卷.doc ◇2000年温州市高二数学竞赛 ◇2001年锦州市“语数外”三科联赛高二数学竞赛试题◇2001年温州市高一数学竞赛试卷.wps

高中数学竞赛模拟试题一汇总

高中数学竞赛模拟试题一一试（考试时间：80分钟满分100分）一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数是。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最小值为。

二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。（1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值；（2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二试（考试时间：150分钟总分：200分）一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的延长线交于P 点。求证：直线PA 与BC 垂直。二、（本题50分）正实数z y x ,,，满足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。。 O 2

高中数学奥林匹克竞赛的解题技巧(上中下三篇)

奥林匹克数学的技巧（上篇）有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。在2-1曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。” 奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。 2-7-1 构造它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决。常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等。例2-127 一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。证明：用n a 表示这位棋手在第1天至第n 天（包括第n 天在内）所下的总盘数（1,2,77n =…），依题意 127711211132a a a ≤<<≤?=… 考虑154个数： 12771277,,,21,21,21a a a a a a +++…,? 又由772113221153154a +≤+=<，即154个数中，每一个取值是从1到153的自然数，因而必有两个数取值相等，由于i j ≠时，i i a a ≠ 2121i j a a +≠+ 故只能是,21(771)i j a a i j +≥>≥满足 21i j a a =+ 这表明，从1i +天到j 天共下了21盘棋。这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。例 2-128 已知,,x y z 为正数且()1xyz x y z ++=求表达式()()x y y z ++的最最小值。解：构造一个△ABC ，其中三边长分别为a x y b y z c z x =+??=+??=+? ，则其面积为 1?== 另方面2()()2sin x y y z ab C ?++==≥ 故知，当且仅当∠C=90°时，取值得最小值2，亦即222()()()x y y z x z +++=+

五年级几何直线型面积(三)教师版

知识要点两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 鸟头定理：在ABC ?中，点E 是AB 上的n 等分点，AE AB n =÷；点F 是AC 上的m 等分点， AF AC m =÷，那么ABC AEF ABC S S S n m n m =÷÷=?V V V 。 A B C E F 直线型面积（三）

相等角的鸟头定理【例1】如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且1 3 BE AB =，已知三角形BDE 的面积是15平方厘米，求三角形ABC 的面积。 E D C B A 【分析】根据鸟头定理，111236BDE ABC ABC S S S =??=V V V ，所以1 15906 ABC S =÷=V （平方厘米）。【例2】如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且1 3 BE AB =，若已知四边形EDCA 的面积是35平方厘米，求三角形ABC 的面积。 E D C B A 【分析】根据鸟头定理，111236BDE ABC ABC S S S =??=V V V ，所以5 35426 ABC S =÷=V （平方厘米）。【例3】如图，三角形ABC 被分成了甲、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲 E C B A 【分析】 ∵3,6BE AE ==,∴1 3BE AB = 又∵4BD DC ==,12BD BC = ABC 111 S 236 S =?=V 甲乙的面积是甲的5倍。

2018全国高中数学联赛试题

2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形；（2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形；共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α

陈省身杯2011真题

2011年“陈省身数学周”六年级组真题 1.在下面的四个数3.14，314%，3.1415和π中，最大的是_____，最小的是_____。 2.一份稿件，甲需要6天才能完成打印，乙需要10天才能完成打印，那么两人合打3天共完成这份稿件的_____。 3.如下图，已知正方形的边长为2cm，则阴影部分的周长为_____cm。（π取3.14）第3题图第5题图第9题图 4.有一个质数，用它分别加上10与14以后，所得和仍为质数，这个质数是_____。 5.如上图表示的长方体（单位：dm），其长和宽都是3dm，体积是36dm3，则这个长方形的表面积是_____dm2。 6.已知A是大于0的最小自然数，B是质数中唯一的一个偶数，C是最小的奇质数，C和 D的和等于70，那么()_____ A B C D B C +???+=。 7.一个分数的分子与分母之和是100。将它的分子、分母都减去6后约分得1 3 ，那么原来的分数是_____。 8.把同一段铁丝围城一个正方形后，又改围成一个圆形，发现按照面积公式得出的二者面积之比为4:5，那么在计算圆面积时，圆周率π的取值为______。 9.一个六位数能被99整除，竖式如图所示，则这个六位数最小可以是______。 10.搬运一批货物，甲车单独运要运6次，乙车每次可运7.2吨。现在甲、乙两车合运，运的次数相同，完成任务时，甲、乙两车搬运货物重量的比是5:3，这批货物共有_____吨。

11. 计算111111111335192124_____11111111111123234345192021 ++++ ++++=1???????? 。 12. 甲、乙两班期末考试平均成绩的统计表如图所示，已知甲、乙两班的女生人数相同，那么这两个班全体同学的平均成绩是_____分。平均分甲班乙班男生 86 95 女生 94 88 全体 89 92 13. 从1至2011中任取若干个数，并且保证其中任意5个数之和都是15的倍数，最多可以取出_____个数。 14. 如下图，将边长8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是____平方厘米。第14题图第16题图第18题图 15. 一个底面内半径为6厘米的圆柱形容器中盛有水，水面高4.8厘米，在其中放入一个长和宽分别为4厘米和3厘米的长方形铁块后，长方形的上表面刚好露出水面，那么长方体的高是_____厘米。（π取3） 16. 请将1~9这九个数字各一个填入上图中的圆圈中，使得图中每个小正方形顶点的4个数字之和都等于S ，且大正方形顶点所填的4个数是连续的自然数（其中两个为5和6已填出），则S 是_____。 17. 一个三位数，各位数字非零且互不相同，经过调换各位数字的顺序得到5个新的三位数，其平均数恰好等于原来的三位数，那么原来的三位数最大是_____。 18. 如图，甲圆和乙圆的面积之和是丙圆面积的五分之三，甲圆内阴影部分面积占甲圆面积的三分之一，乙圆内阴影部分面积占乙圆面积的二分之一，丙圆内阴影部分面积占丙圆面积的四分之一，那么甲、乙两圆面积之比为_____。 19. 一次测验共有10道题，每道题完全答对可以得5分，答对一半可以得3分，答错或不答不得分，至少有_____人参加比赛才能保证有3人的得分相同。

2017高一数学竞赛试题

2017高一数学竞赛试题导读：我根据大家的需要整理了一份关于《2017高一数学竞赛试题》的内容，具体内容：在我们的学习生活中，考试试卷的练习是我们的重要学习方式，我们应该认真地对待每一份试卷!下面是有我为你整理的2017高一数学竞赛试题，希望能够帮助到你!一、选择题：(本大... 在我们的学习生活中，考试试卷的练习是我们的重要学习方式，我们应该认真地对待每一份试卷!下面是有我为你整理的2017高一数学竞赛试题，希望能够帮助到你! 一、选择题：(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的) 1.已知 , 为集合I的非空真子集，且 , 不相等，若，则 ( ) A. B. C. D. 2.与直线的斜率相等，且过点(-4,3)的直线方程为 () A. = 32 B. =32 C. =32 D. =-32 3. 已知过点和的直线的斜率为1，则实数的值为 ( ) A.1 B.2 C.1或4 D.1或2 4. 已知圆锥的表面积为6 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为 ( ) A. B.2 C. D.

5. 在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为 () ①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直; ②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则∥; ③若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l; ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线; A.3 B.2 C.1 D.0 6. 已知函数定义域是，则函数的定义域是 ( ) A. B. C. D. 7. 直线在同一坐标系中的图形大致是图中的 ( ) 8. 设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是 ( ) A. B. C. D. 9.设函数，如果，则的取值范围是 ( ) A. 或 B. C. D. 或 10.已知函数没有零点，则实数的取值范围是 () A. B. C. D. 11.定义在R上的偶函数满足：对任意的，有 .则 ( ) A. B. C. D. 12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各个面中，直角三角形的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.

【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(206)

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（206） ______年______月______日 ____________________部门

第一试一、填空题（每小题8分，共64分） 1。已知正整数组成等比数列，且则的最大值为。 ()a b c a b c <<、、201620162016log log log 3,a b c ++=a b c ++ 2。关于实数的方程的解集为。x 2 12sin 2222log (1sin )x x -=+- 3。曲线围成的封闭图形的面积为。 2224x y y +≤ 4。对于所有满足的复数均有，对所有正整数，有，若。 z i ≠z ()z i F z z i -= +n 1()n n z F z -=020162016,z i z =+=则 5。已知P 为正方体棱AB 上的一点，满足直线A1B 与平面B1CP 所成角为，则二面角的正切值为。1111ABCD A B C D -0 6011A B P C -- 6。已知函数，集合则A= 。 22 ()224,()2f x x x g x x x =+-=-+()()f x A x Z g x +?? =∈?? ?? 7。在平面直角坐标系中，P 为椭圆在第三象限内的动点，过点P 引圆的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与轴、轴分别交于点M 、 N ，则面积的最小值为。 xOy 22 12516x y +=22 9x y +=x y OMN ? 8。有一枚质地均匀的硬币，现进行连续抛硬币游戏，规则如下：在抛掷的过程中，无论何时，连续出现奇数次正面后出现一次反面，则游戏停止；否则游戏继续进行，最多抛掷10次，则该游戏抛掷次数的数学期望为。二、解答题（共56分）

09-10六年级陈杯真题

2009年”陈省身数学周”六年级组真题 1. 计算（1+ 2 1- 3 1）÷（1- 2 1+ 3 1）=五分之七 2. 如图，若图中的三个小圆的周长之和为20cm ，则图中的大圆周长为20cm 。（本题中π 取3.14） 3. 华华，英英和乐乐三个小朋友分别用各自的零花钱的 2 1， 3 2和 4 3去买了一本数学竞赛参考书。如果此时华华剩下15元零花钱，那么英英和乐乐共还剩下________元钱。英英7 .5 乐乐5 4. 将一个大正方体切成27个棱长相同的小正方体，这些小正方体的表面积之和是原大正方体的表面积的2倍。 5. 若将分数 2009 1911的分子与分母同时减去同一个整数后，所得到的分数约分之后等于8 1，则剪掉的这个整数是___________。 6. 如上图中，一个小正六边形内接于一圆，一个大正六边形外切于同一圆。若大正六边形的面积为10平方厘米，则其中小正六边形的面积为____平方厘米。 7.1000以内的自然数，有些数不能被2整除，有数不能被3整除，有些数不能被5整除，那么，这样的数共有个。 8.在上面的算式中，不同的汉字代表不同的数字，则其中四位数“我要参加”最小是。比赛 + 陈省身 ___________ 我要参加 9.有三批货物共值152万元，第一，第二，第三批货物按重量比为2：4：3，按单价比为6：5：2，这三批货物为别价值48万元、80万元和24万元。

10.将2009除以一个两位数，所得的余数为7，则满足条件的两位数共有个。 11.计算 4 324312111191++++ + + = 12.A 、B 、C 、D 都是小于100的合数，并且A 、B 、C 、D 两两互质，则A+B+C+D 的最大值为 13.如图，两个正方形的中心相同，其对应边成45度角，若两个阴影三角形的面积分别为36cm 2和50 cm 2则其中较大正方形的面积为________ cm 2。 14.某学校六年级有原有三个班，现要将三班的同学分插到一班和二班，如果将三班的学生的一半分到一班，另一半分到二班，则新的两班的人数之比为7：8；如果将三班的学生的8 5分到一班，另外 8 3分到二班，则新的两班人数相等，那么原来一班、二班和三班的人数之比为_________。 15.在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立，则算式成立时，其中的商为_______。 16. 学校组织了40名学生参加“综合素质测试”，其中文化课程达标的有35人，身体素质达标的有23人，文艺素养达标的有25人，那么三种素质都达标的至少有_______人，至多有23人 17. 由一个棱长为5cm 的正方形木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔（如图所示），则这个立体图形的体积为643

2013陈省身杯试题

2013陈省身杯试题第六题：大老鼠，中老鼠，小老鼠为了躲避猫的追击，准备秘密挖一条遂道，大老鼠如果单独挖用24小时，中老鼠单独挖用30小时，小老鼠单独挖用36小时，现大老鼠和小老鼠共挖了9个小时，这时中老鼠来代替小老鼠，需总共用多少小时挖好遂道？ 400米赛跑，甲75分到达终点，此时乙距终点还有25米。乙到达终点10秒后，丙到达终点。问甲到终点时，丙距终点多少米？ 11题: 七个高矮都不同的小矮人照相，分为两排，第一排3个人，第二排4个人，并要求每排左边的小矮人要比右边的高，求共有几种排法？第9题：买苹果和梨都是整数元，两斤梨比一斤苹果贵，两斤苹果比三斤梨贵，买一斤苹果和一斤梨少于10元，问买一斤苹果和一斤梨多少钱？答案：8，梨每斤3元，苹果每斤5元。 10. 数字和为19的四位数有m个，数字和为20的四位数有n个，求m与n的差（大减小）答案：1 四位数中后3位只能有一位可以是0 分类法：四位数中后3位中有一位是0的情况，其他三位为1至9中的数字四位数中各位都不是0的情况和为19： 1099, 2089, 2098, 3079, 3088, 3097, 4069, 4078, 4087, 4096, 5059, 5068, 5077, 5086, 5095, 6049, 6058, 6067, 6076, 6085,6094, 7039, 7048, 7057, 7066, 7075, 7084, 7093, 8029, 8038, 8047, 8056, 8065, 8074, 8083, 8092, 9019, 9028, 9037, 9046,9055, 9064, 9073, 9082, 9091, 和为20： 2099, 3089, 3098, 4079, 4088, 4097, 5069, 5078, 5087, 5096, 6059, 6068, 6077, 6086, 6095, 7049, 7058, 7067, 7076, 7085,7094, 8039, 8048, 8057, 8066, 8075, 8084, 8093, 9029, 9038, 9047, 9056, 9065, 9074, 9083, 9092,

2019年度高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案解析

2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛）及答案（时间：5月16日18：40～20：40）满分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 1．已知 M =},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且 P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （） A. M B. N C. P D.P M 2.函数()1 42-+ =x x x x f 是（） A 是偶函数但不是奇函数 B 是奇函数但不是偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数 3.已知不等式m 2 ＋(cos 2 θ－5)m ＋4sin 2 θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（） A . 0≤m ≤4 B . 1≤m ≤4 C . m ≥4或x ≤0 D . m ≥1或m ≤0 4.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若 0sin cos 2sin cos =+- +B B A A ，则 c b a +的值是（） A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0a b >>, 那么 2 1 () a b a b + - 的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6．设ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则B C B A C A cos tan sin cos tan sin ++的取值范围是（） A. (0,)+∞ B. C. D. )+∞．二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数| cos sin |2sin )(x x e x x f ++=的最大值与最小值之差等于。

2011年第二届陈省身杯全国高中数学奥林匹克(暂无解答)

第二届陈省身杯全国高中数学奥林匹克第一天 (2011年7月23日,18:00-21:00) 每小题50分，共200分 1.已知△ABC是锐角三角形，过点A作BC的垂线与以BC为直径的圆O1分别交于点D、E；过点B作CA的垂线与以CA为直径的圆O2分别交于点F、G。证明:E、F、D、G四点共圆，并确定圆心的位置。 2.记d(n)为正整数n的正因子的个数，定义数列{a n}如下： a1=λ,a n+1=d3 2 a n+2011. 证明：对于任意正整数λ，数列{a n}自某项开始为周期数列。 3.已知p为质数，x，1 x 的小数部分为p?3x 75 ,求所有满足条件的质数p的值。 [注] 若a是一个实数，[a]表示不超过实数a的最大整数，a的小数部分为a-[a]。 4.在一个n行n列的棋盘上放置n2?1（n≥3）枚棋子。棋子的编号为 (1,1),…,(1,n);(2,1),…,(2,n);…;(n,1),…,(n,n-1). 如果编号为(i,j)的棋子刚好在棋盘的第i行第j列，第n行第n列是空的，则称棋盘处于“标准状态”。现在把n2?1枚棋子随意放到棋盘上，每个格子只能放置一枚棋子，每一步可以把空格相邻的一个格子中的棋子移到空格中（两格子相邻是指有公共边）。请问：是否在任意放置下，都可以经过有限次移动，使棋盘达到标准状态？证明你的结论。

第二届陈省身杯全国高中数学奥林匹克第二天 (2011年7月24日,18:00-21:00) 每小题50分，共200分 5.设O为锐角△ABC的外心，AO、BO、CO的延长线分别与BC、CA、AB 交于点D、E、F。若△ABC∽△DEF，证明：△ABC是正三角形。 6.对任意x、y、z∈R，求证： ?3 2x2+y2+2z2≤3xy+yz+zx≤3+13 4 (x2+y2+2z2)。 7.证明：任意九个两两不同的不超过9 000的正整数中一定存在四个数A、B、 C、D，使得 A+D≤A+B+C≤4D。 8.某位科学家将其时间机器设计图存入一台电脑，文件打开密码设置为{1，2，...，64}的某个排列；又设计了一个程序，当每次输入1至64中的八个正整数时，电脑会提示这八个数之间在密码中的顺序（从左到右）。请设计一种操作方案，使得至多经过45次输入，就能确定这个密码。

高中数学奥林匹克竞赛中的不变量技巧

数学奥林匹克竞赛中的不变量技巧在一个变化的数学过程中常常有个别的不变元素或特殊的不变状态，表现出相对稳定的较好性质，选择这些不变性作为解题的突破口是一个好主意。例1.从数集{}3,4,12开始，每一次从其中任选两个数,a b ，用345 5 a b -和435 5 a b +代替它们，能否通过有限多次代替得到数集{}4,6,12。解：对于数集{},,a b c ，经过一次替代后，得出3 443,,5 5 5 5a b a b c ??-+???? ，有2222223443()()5555 a b a b c a b c -+++=++ 即每一次替代后，保持3个元素的平方和不变（不变量）。由22222234124612++≠++知，不能由{}3,4,12替换为{}4,6,12。例2.设21n +个整数1221,,,n a a a +…具有性质p ；从其中任意去掉一个，剩下的2n 个数可以分成个数相等的两组，其和相等。证明这2n+1个整数全相等。证明：分三步进行，每一步都有“不变量”的想法：第一步先证明这2n+1个数的奇偶性是相同的因为任意去掉一个数后，剩下的数可分成两组，其和相等，故剩下的2n 个数的和都是偶数，因此，任一个数都与这2n+1个数的总和具有相同的奇偶性；第二步如果1221,,,n a a a +…具有性质P ，则每个数都减去整数c 之后，仍具有性质P ，特别地取1c a =，得21312110,,,,n a a a a a a +---… 也具有性质P ，由第一步的结论知，2131211,,,n a a a a a a +---…都是偶数；第三步由21312110,,,,n a a a a a a +---…为偶数且具有性质P ，可得 31 211210, ,,,222 n a a a a a a +---… 都是整数，且仍具有性质P ，再由第一步知，这21n +个数的奇偶性相同，为偶数，所以都除以2后，仍是整数且具有性质P ，余此类推，对任意的正整数k ，均有 31 211210, ,,,222n k k k a a a a a a +---…为整数，且具有性质P ，因k 可以任意大，这就推得 21312110n a a a a a a +-=-==-=…即 1221n a a a +===…。

2014陈杯五年级试卷

2014 陈省身数学周五年级试卷，第1页第7题图 3第8题图第4题图 2014陈省身杯国际青少年数学解题能力展示活动五年级试卷答题卡（请将各题的答案填入下面的答题卡中） 1．从1开始写出连续若干个奇数，使得这些数的平均数为10，那么这些奇数的和是________． 2．现有1克、2克、4克、8克四种重量的砝码各一个，每次称重至多只能使用其中的三个砝码，且只能放在天平的一端，那么一次称量共可以称出________种不同重量． 3．甲、乙两人去修剪一条道路两旁的树木，这条道路两旁的树木数量相等．甲先到，当他已经修剪完右边的3棵树时，乙接替甲继续修剪右边的树木，甲则转而去修剪左边的树木．当乙修剪完右边的树木后，又帮助甲修剪了道路左边的6棵树，这时所有的树木都被修剪完．那么两人修剪树木之差是________棵． 4．如图，一个长方形被分成A 、B 、C 三个部分，其中B 是正方形，且C 的面积是B 的2倍，A 的周长是C 的周长的一半．已知A 的面积为33平方厘米，那么原长方形的面积是________平方厘米． 5．循环小数0.142857 与0.857142 小数点后第2014位上的数字之和是________． 6．甲、乙两车从相距60千米的A 、B 两地同时出发相向而行，3小时后在某地相遇．那么两车从第一次相距40千米走到第二次相距40千米经过了________小时． 7．如图，将1、2、3、4和5分别填入图中1×5的格子中，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有________种不同的填法． 8．如图，已知一个四边形的两条边长度和三个角的度数，那么这个四边形的面积是________平方厘米． 9．某校要安排全校学生去春游，中巴车可以乘坐14名学生，一趟耗油28升；小巴车可以乘坐8名学生，一趟耗油18升．那么总共178名学生，最少耗油________升．姓名：_______________ 学校：___________ 联系电话：_ ____ ____ ____ ____ _ 考点：_____ 第________考场第________号 -- -- - --- - - -- --- - -- - - - - - - - - - - - - -- - -- - --- --- --- --- -- -- - -- ---- - -- --- - -- - --- --- --- - 弥封线内请不要答题 - ---- ----- - --- -- - - - --- - --- --- --- --- - - - - - - - - --- - -- - -- - --- --- -- - - - - - - -- - -- - -

高中数学奥林匹克竞赛全真试题

1 2003年全国高中数学联合竞赛试题一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列.这个新数列的第2003项是（） A ．2046 B ．2047 C ．2048 D ．2049 2、设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么，直线ax －y ＋b =0和曲线bx 2＋ay 2=ab 的图形是（） 3、过抛物线y 2=8（x ＋2）的焦点F 作倾斜角为60°的直线.若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点,则线段PF 的长等于( ) A ． 163 B ．8 3 C D ． 4、若5[,]123 x ππ ∈--，则2tan()tan()cos()366y x x x πππ=+-+++的最大值是（）. A B C D 5、已知x 、y 都在区间（－2，2）内，且xy =－1，则函数2 2 4949u x y = + --的最小值是（） A ． 85 B ．2411 C ．127 D ．125 6、在四面体ABCD 中，设AB =1，CD AB 与CD 的距离为2，夹角为3 π ，则四面体ABCD 的体积等于（） A B ．12 C ．1 3 D 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7、不等式|x |3－2x 2－4|x |＋3<0的解集是__________. 8、设F 1，F 2是椭圆22 194 x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|：|PF 2|=2：1，则△PF 1F 2的面积等于__________. 9、已知A ={x |x 2－4x ＋3<0，x ∈R }，B ={ x |21－ x ＋a ≤0，x 2－2（a ＋7）x ＋5≤0，x ∈R }.若A B ?，则实数a 的取值范围是__________. 10、已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且35 log ,log 24 a c b d ==，若a － c =9，b － d =__________. 11、将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于__________. 12、设M n ={（十进制）n 位纯小数0.12 |n i a a a a 只取0或1（i =1，2，…，n －1），a n =1}，

五年级陈杯模拟2(精品)

2014年陈省身杯五年级模拟试卷 1.在下面算式的两个方框中填入相同的数，使得等式成立，所填的数应该是_________。 22.5－（□×3.2－2.4×□）÷3.2＝10 2.我们规定： d c b a ＝a ×d －b ×c ，那么8 2230 251＝____________。 3.把7 a 化成小数后，小数点后第2014位是7，a ＝____________。 4.下图中三角形共有_________个。 5.已知下面这个幻方的幻和等于1 6.5，那么A ＝______________。 6.从8名男生和5名女生中选2名男生，1名女生参加植树活动，共有_________种不同的选择方法。 7.一些黑白珠子按如下规律排列： ○○●○○○●○○○●○...... 如果这些珠子共有50个，倒数第5个是____________色的珠子。 8.一辆汽车从A 地开往B 地，如果每小时行80千米，可提前0.5小时到达；如果每小时行60千米，将晚点0.5小时，正点到达需要______小时，A 、B 两地相距是_______千米。 9.小张有200支铅笔，小李有20支钢笔，每次小张给小李6支铅笔，小李还给小张1支钢笔，经过_________次这样的交换后，小张手中的铅笔数是小李手中钢笔数的11倍。 10.一个长木棍上有两种刻度，第一种刻度线将木棒10等分，第二种刻度线将木棒12等分，如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍会被锯成__________段。

11.一个等差数列的第 3 项是14 ，第18 项是23 ，那么这个数列的前2014项中有________项是整数。 12.五名评委给一名歌唱演员评分，去掉一个最高分和一个最低分平均得9.58分，若只去掉一个最高分，平均得分9.46分，若只去掉一个最低分，平均得分9.66分，这名演员所得最高分与最低分的平均分为_____________。 13.已知2009□□□02014≈2010亿（四舍五入），那么其中三位数□□□有_______种填写方法。 14.把四边形ABCD的各边延长，使AB＝BA’BC＝CB’CD＝DC’DA＝AD’，得到一个大的四边形A’B’C’D’，若四边形ABCD的面积是10，则四边形A’B’C’D’的面积为________。 A C B D 15.一个正方体被切成24个大小形状相同的小长方体（如图），这些小长方体的表面积之和为162平方厘米，那么原正方体的体积是__________立方厘米。 16.有一艘船距离港口50千米，由于船舱漏水，海水以每5分钟2吨的速度渗人船内，当海水进入船舱超过60吨此船将沉没海中，假若船上的抽水机每小时可以将12吨的海水排出船外，此船至少要以每小时__________千米的速度驶向港口，以保证及时抵达港口不会沉没。 17.大猴采到一堆桃子，分给一群小猴吃，若果其中两只小猴各分得4个桃，其余每只小猴各分得2个桃，则最后剩4个桃；如果其中一只小猴分得6个桃，其余每只各分得 4个桃，那么还差12个桃。大猴采了_________个桃，小猴共有__________只。 18.一个电子表用5个两位数（包括首位为0的两位数）表示时间，如15:22:45/06/18表示6月18日15点22分45秒。有一些时刻这个电子表上的十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的5个两位数之和最大是_________。 19.一只船从甲码头到乙码头往返一次共用4个小时，回来顺水比去时每小时多行12千米。因此后2小时比前2小时多行18千米，那么甲、乙两个码头的距离是_________千米。20.甲、乙、丙三个工人，由于超额完成任务，共得奖金1200 元，甲得的3 倍等于乙得的5 倍，乙得2 倍等于丙得的3 倍，甲、乙、丙各得奖金________、________、_