二元一次方程组与一次函数专题训练含答案
. . 二元一次方程组与一次函数专题训练
一．解答题（共12小题）
1．（2011?）甲、乙两列火车分别从A、B两城同时匀速驶出，甲车开往B城，乙车开往A城．由于墨
迹遮盖，图中提供的只是两车距B城的路程s甲（千米）、s
乙
（千米）与行驶时间t（时）的函数图象的
一部分．
（1）乙车的速度为_________ 千米/时；
（2）分别求出s甲、s乙与t的函数关系式（不必写出t的取值围）；
（3）求出两城之间的路程，及t 为何值时两车相遇；
（4）当两车相距300千米时，求t的值．
2．（2009?）如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b）．（1）求b的值；
（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；
（3）直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由．3．已知函数y=kx+b的图象过点A（﹣1，2），B（3，0）
（1）求直线AB的解析式；
（2）在给出的直角坐标系中，画出y=|x|和y=kx+b的图象，并根据图象写出方程组的解．
4．用图象法求下面二元一次方程组的近似解．
．
5．如下面第一幅图，点A的坐标为（﹣1，1）
（1）那么点B，点C的坐标分别为_________ ；
（2）若一个关于x，y的二元一次方程，有两个解是和请写出这
个二元一次方程，并检验说明点C的坐标值是否是它的解．
（3）任取（2）中方程的又一个解（不与前面的解雷同），将该解中x的值作为点D的横坐标，y的值作为点D的纵坐标，在下面第一幅图中描出点D；
（4）在下面第一幅图中作直线AB与直线AC，则直线AB与直线AC的位置关系
是_________ ，点D与直线AB的位置关系是
_________ ．
（5）若把直线AB叫做（2）中方程的图象，类似地请在备用图上画出二元一次方程组中两个二元一次方程的图象，并用一句话来概括你对二元一次方程组的解与它图象之间的发现．
6．在直角坐标系中，直线L1的解析式为y=2x﹣1，直线L2过原点且L2与直线L1交于点P（﹣2，a）．（1）试求a 的值；
（2）试问（﹣2，a）可以看作是怎样的二元一次方程组的解；
（3）设直线L1与x轴交于点A，你能求出△APO的面积吗？试试看；
（4）在直线L1上是否存在点M，使点M到x轴和y轴的距离相等？若存在，求出点M的坐标；不存在，说明理由．7．如图，已知直线l1：y=3x+1与y轴交于点A，且和直线l2：y=mx+n交于点P（﹣2，a），根据以上信息解答下列问题：
（1）求a的值，判断直线l3：y=﹣nx﹣2m是否也经过点P？请说明理由；
（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；
（3）若直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线l2的函数解析式
8．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4的图象，如图所示
（1）在同一坐标系中，作出一次函数y=2x﹣5的图象；
（2）用作图象的方法解方程组：
（3）求直线y=﹣x+4与一次函数y=2x﹣5的图象与x轴围成的三角形面积．
9．二元一次方程x﹣2y=0的解有无数个，其中它有一个解为，所以在平面直角坐标系中就可以用
点（2，1）表示它的一个解，
（1）请在下图中的平面直角坐标系中再描出三个以方程x﹣2y=0的解为坐标的点；
（2）过这四个点中的任意两点作直线，你有什么发现？直接写出结果；
（3）以方程x﹣2y=0的解为坐标的点的全体叫做方程x﹣2y=0的图象．想一想，方程x﹣2y=0的图象是什么？（直接回答）
（4）由（3）的结论，在同一平面直角坐标系中，画出二元一次方程组的图象（画在图中）、
由这两个二元一次方程的图象，能得出这个二元一次方程组的解吗？请将表示其解的点P标在平面直角坐标系中，并写出它的坐标．
10．在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象过点B（﹣1，），与x轴交于点A（4，0），与y
轴交于点C，与直线y=kx交于点P，且PO=PA，
（1）求a+b的值．
（2）求k的值．
（3）D为PC上一点，DF⊥x
轴于点F，交OP于点E，若DE=2EF，求D点坐标．
11．学校准备五一组织老师去隆中参加诸亮文化节，现有甲、乙两家旅行社表示对老师优惠，设参加文
化节的老师有x人，甲、乙两家旅行社实际收费为y1、y2，且它们的函数图象如图所示，根据图象信息，
请你回答下列问题：
（1）当参加老师的人数为多少时，两家旅行社收费相同？
（2）当参加老师的人数为多少人时，选择甲旅行社合算？
（3）如果全共有50人参加时，选择哪家旅行社合算？
12．如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（2，b）
（1）求b的值；
（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；
（3）直线l3：y=nx+2m﹣n是否也经过点P，请说明理由．
二元一次方程组与一次函数专题训练
参考答案与试题解析
一．解答题（共12小题）
1．（2011?）甲、乙两列火车分别从A、B两城同时匀速驶出，甲车开往B城，乙车开往A城．由于墨
迹遮盖，图中提供的只是两车距B城的路程s甲（千米）、s乙（千米）与行驶时间t（时）的函数图象的
一部分．
（1）乙车的速度为120 千米/时；
（2）分别求出s甲、s乙与t的函数关系式（不必写出t的取值围）；
（3）求出两城之间的路程，及t为何值时两车相遇；
（4）当两车相距300千米时，求t的值．
考点：一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）．
专题：数形结合．
分析：（1）根据点（1，120）在乙的函数关系式上可得乙车的速度；
（2）根据甲的函数关系式为一次函数解析式，乙的函数关系式为正比例函数解析式，找到相应的点代入即可求得相应的函数解析式；
（3）让甲的函数关系式的t=0即可求得两城之间的距离，让两个函数解析式的y相等即可求得两车相遇时t的值；
（4）让甲的函数关系式减去乙的函数关系式为300或乙的函数关系式减去甲的函数关系式为300即可求得所求的时间．
解答：解：（1）120÷1=120千米/时，故答案为120；（1分）
（2）设s甲与t的函数关系为s甲=k1t+b，
∵图象过点（3，60）与（1，420），
∴解得
∴s甲与t的函数关系式为s甲=﹣180t+600．（4分）设s乙与t的函数关系式为s乙=k2t，
∵图象过点（1，120），
∴k2=120．
∴s乙与t的函数关系式为s乙=120t．（5分）
（3）当t=0，s甲=600，
∴两城之间的路程为600千米．（6分）
∵s甲=s乙，即﹣180t+600=120t，解得t=2．
∴当t=2时，两车相遇．（8分）
（4）当相遇前两车相距300千米时，s甲﹣s乙=300，即﹣180t+600﹣120t=300，解得t=1．（9分）
当相遇后两车相距300千米时，s乙﹣s甲=300，
即120t+180t﹣600=300．
解得t=3．（10分）
点评：考查用待定系数法求一次函数解析式以及一次函数解析式的应用；得到两个函数的关系式是解决本题的破点；用数形结合的方法判断出所求值与得到函数关系式的关系是解决本题的难点．
2．（2009?）如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b）．
（1）求b的值；
（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；
（3）直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由．
考点：一次函数与二元一次方程（组）．
专题：数形结合．
分析：（1）将交点P的坐标代入直线l
1
的解析式中便可求出b的值；
（2）由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此把函数交点的横坐标当作x的值，坐标当作y的值，就是所求方程组的解；
（3）将P点的坐标代入直线l3的解析式中，即可判断出P点是否在直线l3的图象上．
解答：解：（1）∵（1，b）在直线y=x+1上，
∴当x=1时，b=1+1=2；
（2）方程组的解是
；
（3）直线y=nx+m 也经过点P ．理由如下： ∵点P （1，2），在直线y=mx+n 上， ∴m+n=2，
∴2=n×1+m，这说明直线y=nx+m 也经过点P ．
点评： 本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上点，就一
定满足函数解析式．
3．已知函数y=kx+b 的图象过点A （﹣1，2），B （3，0）
（1）求直线AB 的解析式；
（2）在给出的直角坐标系中，画出y=|x|和y=kx+b 的图象，并根据图象写出方程组的解．
考点： 待定系数法求一次函数解析式；一次函数的图象；正比例函数的图象；一次函数与二元一次方程（组）． 分析： （1）设直线AB 的解析式为：y=kx+b （k≠0），利用待定系数法把A （﹣1，2），B （3，0），代入函数解析式，
即可得到关于k 、b 的方程组，再解方程组即可；
（2）首先画出函数y=|x|和y=﹣x+的图象，两函数图象的交点就是方程组
的解．
解答： 解：（1）设直线AB 的解析式为：y=kx+b （k≠0），
∵图象过点A （﹣1，2），B （3，0），
∴
，
解得，
故直线AB 的解析式为：．
（2）如图所示： 根据图象可得方程组的解是
或
．
点评： 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及方程组与函数的关系，解决问题的关键是掌握方程
与函数的关系，方程组的解就是两函数图象的交点坐标．
4．用图象法求下面二元一次方程组的近似解．
．
考点： 一次函数与二元一次方程（组）． 专题： 作图题；数形结合．
分析： 两条直线的交点坐标应该是这个二元一次方程组的解．先根据方程组求出两直线的解析式，并画出图象（
图），方程3x ﹣y=6的解析式是y=3x ﹣6，经过（2，0）、（3，3）两点，方程x+y=4的解析式是y=4﹣x ，过（2，2）、（3，1）两点，两条直线的交点坐标（2，2）应该是这个二元一次方程组的解．
解答： 解：方程3x ﹣y=6的解析式是y=3x ﹣6，经过（2，0）、（3，3）两点，
方程x+y=4的解析式是y=4﹣x ，经过（2，2）、（3，1）两点， 画出两条直线的图象，如图， 两条直线的交点坐标是（2，2）， 所以这个二元一次方程组的解为是
（2，2）．
点评： 本题主要考查了一次函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
5．如下面第一幅图，点A 的坐标为（﹣1，1） （1）那么点B ，点C 的坐标分别为 （﹣2，2），（0，0） ； （2）若一个关于x ，y 的二元一次方程，有两个解是和请写出这个二元一次方程，并检验说明点C 的坐标值是否是它的解． （3）任取（2）中方程的又一个解（不与前面的解雷同），将该解中x 的值作为点D 的横坐标，y 的值作为点D 的纵坐标，在下面第一幅图中描出点D ；
（4）在下面第一幅图中作直线AB 与直线AC ，则直线AB 与直线AC 的位置关系 是 重合 ，点D 与直线AB 的位置关系是 点D 在直线AB 上 ．
（5）若把直线AB 叫做（2）中方程的图象，类似地请在备用图上画出二元一次方程组中两
个二元一次方程的图象，并用一句话来概括你对二元一次方程组的解与它图象之间的发现．
考点： 一次函数与二元一次方程（组）．
专题： 综合题．
分析： （1）由题意，先建立合适的坐标系，再求得点B ，点C 的坐标；
（2）由（1）写出两个解，再写出这个二元一次方程，并检验点C 的坐标是否是这个二元一次方程的解（3）先找到点D 的坐标，再描出点D ；
（4）分别作出直线AB 、AC ，然后再判断两条直线的位置关系以及点D 和直线AB 的位置关系；
（5）通过描点、连线作出两个二元一次方程的图象，可发现两条直线的交点坐标恰好是方程组的解．
解答： 解：（1）∵点A 的坐标为（﹣1，1），∴点B 的坐标为（﹣2，2），点C 的坐标为（0，0）；
（2）∴
，
，这个二元一次方程为x+y=0，
∵0+0=0，∴点C 的坐标值是它的解；
（3）
，点D 的坐标为（1，﹣1）， （4）由（3）题图知，直线AB 与直线AC 重合，点D 在直线AB 上；
（5）如图：
直线x+y=4与直线x ﹣y=﹣2的交点为：（1，3）； 将x=1，y=3代入原方程组知，
是原方程组的解；
因此二元一次方程组的解，是方程组中两个一次函数图象的交点坐标．
点评：此题实际考查的是用图象法解二元一次方程组的方法，比较简单．
6．在直角坐标系中，直线L1的解析式为y=2x﹣1，直线L2过原点且L2与直线L1交于点P（﹣2，a）．（1）试求a的值；
（2）试问（﹣2，a）可以看作是怎样的二元一次方程组的解；
（3）设直线L1与x轴交于点A，你能求出△APO的面积吗？试试看；
（4）在直线L1上是否存在点M，使点M到x轴和y 轴的距离相等？若存在，求出点M的坐标；不存在，说明理由．
考点：一次函数与二元一次方程（组）．
专题：开放型．分析：（1）由于P是两个函数的交点，因此可将P点坐标代入直线L
1
的解析式中，求出a的值．（2）由于直线L2过原点，因此一次函数L2是个正比例函数，根据P点坐标，可确定其解析式．联立两个线解析式所组成的方程组的解，即为两个函数图象的交点坐标．
（3）根据直线L1的解析式，可求出A点坐标；以OA为底，P点纵坐标绝对值为高，可求出△OA P的面（4）若点M到x轴、y轴的距离相等，那么点M的坐标有两种情况：
①横坐标与纵坐标相等；②横坐标与纵坐标互为相反数；因此本题要分情况讨论．
解答：解：（1）把（﹣2，a）代入y=2x﹣1，得：﹣4﹣1=a，
解得a=﹣5．
（2）由（1）知：点P（﹣2，﹣5）；
则直线L2的解析式是y=x；
因此（﹣2，a）可以看作二元一次方程组的解．
（3）直线L1与x轴交于点A（，0），
所以S△APO =××5=．
（4）存在点M，使得点M到x轴和y轴的距离相等．
设点M的坐标为（a，b）；
①当a=b时，点M的坐标为（a，a）；代入y=2x﹣1得：2a﹣1=a，a=1；即点M的坐标为（1，1）；
②当a=﹣b时，点M的坐标为（a，﹣a）；代入y=2x﹣1得：2a﹣1=﹣a，a=；即点M的坐标为（，﹣
综上所述，存在符合条件的点M 坐标为（1，1）或（，﹣）．
点评：本题是一个开放性问题，综合考查了函数图象交点、图形面积求法等知识．解答（4）题时需注意，由于M的坐标存在两种情况，因此要分类讨论，以免漏解．
7．如图，已知直线l1：y=3x+1与y轴交于点A，且和直线l2：y=mx+n交于点P（﹣2，a），根据以上信
息解答下列问题：
（1）求a的值，判断直线l3：y=﹣nx﹣2m是否也经过点P？请说明理由；
（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；
（3）若直线l 1，l 2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x ＞3，求直线l 2的函数解析
式．
考点： 一次函数与二元一次方程（组）；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式． 专题： 计算题；数形结合．
分析： （1）因为（﹣2，a ）在直线y=3x+1上，可求出a=﹣5；由点P （﹣2，﹣5）在直线y=mx+n 上，可得﹣2m+n=
﹣5，将P 点横坐标﹣2代入y=﹣nx ﹣2m ，得y=﹣n×（﹣2）﹣2m=﹣2m+n=﹣5，这说明直线l 3也经过点P ；
（2）因为直线y=3x+1直线y=mx+n 交于点P ，所以方程组
的解就是P 点的坐标；
（3）因为直线l 1，l 2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x ＞3，所以直线l 2过点（3，0），又有直线
l 2过点P （﹣2，﹣5），可得关于m 、n 的方程组，解方程组即可．
解答： 解：（1）∵（﹣2，a ）在直线y=3x+1上， ∴当x=﹣2时，a=﹣5（2分） 直线y=﹣nx ﹣2m 也经过点P ，
∵点P （﹣2，﹣5）在直线y=mx+n 上， ∴﹣2m+n=﹣5， ∴将P 点横坐标﹣2代入y=﹣nx ﹣2m ，得y=﹣n×（﹣2）﹣2m=﹣2m+n=﹣5，这说明直线l 3也经过点P ．（4
分） （2）解为．（6分）
（3）∵直线l 1，l 2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x ＞3 ∴直线l 2过点（3，0），（7分） 又∵直线l 2过点P （﹣2，﹣5） ∴
解得
（8分）
∴直线l 2的函数解析式为y=x ﹣3．（9分）
点评： 用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法，另外本题还渗透了数形结合的思想，题出的比
较好．
8．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4的图象，如图所示 （1）在同一坐标系中，作出一次函数y=2x ﹣5的图象； （2）用作图象的方法解方程组：
（3）求直线y=﹣x+4与一次函数y=2x ﹣5的图象与x 轴围成的三角形面积．
考点： 一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的图象．
专题： 计算题．
分析： （1）正确画出一次函数的图象；
（2）先画出一次函数y=2x ﹣5的图象，根据两图象即可得出答案； （3）先求出直线y=﹣x+4与一次函数y=2x ﹣5的图象与x 轴的交点，根据面积公式即可得答案．
解答：
解：（1）
（2）由图象看出两直线的交点为P （3，1），所以方程组的解为
；
（3）y=﹣x+4与x轴的交点A（4，0），y=2x﹣5的图象与x轴的交点B（，0），
三角形面积=×|4﹣|×1
=．
点评：本题考查了一次函数与二元一次方程组，比较简单，关键是正确的画一次函数y=2x﹣5的图象．9．二元一次方程x﹣2y=0的解有无数个，其中它有一个解为，所以在平面直角坐标系中就可以用
点（2，1）表示它的一个解，
（1）请在下图中的平面直角坐标系中再描出三个以方程x﹣2y=0的解为坐标的点；
（2）过这四个点中的任意两点作直线，你有什么发现？直接写出结果；
（3）以方程x﹣2y=0的解为坐标的点的全体叫做方程x﹣2y=0的图象．想一想，方程x﹣2y=0的图象是什么？（直接回答）
（4）由（3）的结论，在同一平面直角坐标系中，画出二元一次方程组的图象（画在图中）、
由这两个二元一次方程的图象，能得出这个二元一次方程组的解吗？请将表示其解的点P标在平面直角坐标系中，并写出它的坐标．
考点：一次函数与二元一次方程（组）．
专题：综合题．
分析：（1）先解出方程x﹣2y=0的三个解，再在平面直角坐标系中利用描点法解答；
（2）根据（1）的图象作答；
（3）由方程x﹣2y=0变形为y=，即正比例函数，根据正比例函数图象的性质回答；
（4）在平面直角坐标系中分别画出x+y=1、2x﹣y=2的图象，两个图象的交点即为所求．
解答：解：（1）二元一次方程x﹣2y=0的解可以为：
、、、，所以，以方程x﹣2y=0的解为坐标的点分别为：（2，1）、（4，2）、（1，）、（3，），它们在平面直角坐标系中的图象如下图所示：
（2）由（1）图，知，四个点在一条直线上；
（3）由原方程，得y=，
∵以方程x﹣2y=0的解为坐标的点的全体叫做方程x﹣2y=0的图象，
∴方程x﹣2y=0的图象就是正比例函数y=的图象，
∵正比例函数y=的图象是经过第一、三象限且过原点的一条直线，
∴方程x﹣2y=0的图象是经过第一、三象限且过原点的一条直线；
（4）①对于方程x+y=1，
当x=0时，y=1；
当y=0时，x=0；
所以方程x+y=1经过（0，1），（1，0）这两点；
②对于方程2x﹣y=2，
当x=0时，y=﹣1；
当y=0时，x=1；
所以方程x+y=1经过（0，﹣1），（1，0）这两点；
综合①②，在平面直角坐标系中画出的二元一次方程组的图象如下所示：
故原方程组的解是，并且能在坐标系中用P（1，0）表示．
点评：本题主要考查的是二元一次方程组的解及其直线方程的图象，题目比较长，要注意耐心解答．
10．在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象过点B（﹣1，），与x轴交于点A（4，0），与y
轴交于点C，与直线y=kx交于点P，且PO=PA，
（1）求a+b的值．
（2）求k的值．
（3）D为PC上一点，DF⊥x轴于点F，交OP于点E，若DE=2EF ，求D点坐标．
考点：一次函数与二元一次方程（组）．
专题：计算题；数形结合；待定系数法．
分析：
（1）根据题意知，一次函数y=ax+b 的图象过点B（﹣1，）和点A（4，0），把A、B代入求值即可；
（2）设P（x，y），根据PO=PA，列出方程，并与y=kx组成方程组，解方程组；
（3）设点D（x，﹣+2），因为点E在直线y=上，所以E（x，），F（x，0），再根据等量关系DE=2EF 列方程求解．
解答：
解：（1）根据题意得：，
解方程组得：，∴a+b=﹣+2=，即a+b=；
（2）设P（x，y），则点P即在一次函数y=ax+b上，又在直线y=kx上，由（1）得：一次函数y=ax+b的解析式是y=﹣+2，
又∵PO=PA，
∴，
解方程组得：，
∴k的值是；
（3）设点D（x，﹣+2），则E（x，），F（x，0），
∵DE=2EF，
∴=2×，
解得：x=1，
则﹣+2=×1+2=，
∴D（1，）．
点评：本题要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的在联系．
11．学校准备五一组织老师去隆中参加诸亮文化节，现有甲、乙两家旅行社表示对老师优惠，设参加文
化节的老师有x人，甲、乙两家旅行社实际收费为y1、y2，且它们的函数图象如图所示，根据图象信息，
请你回答下列问题：
（1）当参加老师的人数为多少时，两家旅行社收费相同？
（2）当参加老师的人数为多少人时，选择甲旅行社合算？
（3）如果全共有50人参加时，选择哪家旅行社合算？
考点：一次函数与二元一次方程（组）．
专题：计算题；应用题．
分析：（1）当两函数图象相交时，两家旅行社收费相同，由图象即可得出答案．
（2）由图象比较收费y1、y2，即可得出答案．
（3）当有50人时，比较收费y1、y2，即可得出答案．
解答：解：（1）当两函数图象相交时，两家旅行社收费相同，由图象知为30人；
（2）由图象知：当有30人以下时，y1＜y2，所以选择甲旅行社合算；
（3）由图象知：当有50人参加时，y1＞y2，所以选择乙旅行社合算；
点评：本题考查了一次函数与二元一次方程组，属于基础题，关键正确理解图象的几何意义．
12．如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（2，b）
（1）求b的值；
（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；
（3）直线l3：y=nx+2m﹣
n是否也经过点P，请说明理由．
考点：两条直线相交或平行问题；一次函数与二元一次方程（组）．
分析：（1）把点P的坐标代入直线l
1
：y=x+1，计算即可求出b的值；
（2）根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，点P的坐标也就是方程组的解解答；
（3）把点P坐标代入直线l2，得到关于m、n的等式，再把点P代入直线l3，如果得到同样的m、n的关系式，则点P在直线l3上，否则不在．
解答：解：（1）∵点P（2，b）在直线l
1
上，
∴2+1=b，
解得b=3；
（2）∵点P（2，3），∴方程组的解为；
（3）在．理由如下：
∵点P（2，3）在直线l2：y=mx+n上，
∴2m+n=3，
当x=2时，直线l3：y=2n+2m﹣n=2m+n=3，所以点P在直线l3：y=nx+2m﹣n上．
点评：本题考查了两直线相交的问题，一次函数与二元一次方程组的关系，以及点在直线上的判断，把交点P 坐标代入直线l1求出b的值是解题的关键．
一次函数练习题及答案(较难)
初二一次函数与几何题 1、 平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点P 在直线y=-x-m 上，且AP=OP=4，则m 的值是多少 2、如图，已知点A 的坐标为（1，0），点B 在直线y=-x 上运动，当线段AB 最短时，试求点B 的坐标。 3、如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 好将矩形OABC 分为面积相等的两部分，试求b 的值。 4、如图，在平面直角坐标系中，直线y= 2x —6与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点C 在x 轴上，若△ABC 是等腰三角形，试求点C 的坐标。 5、在平面直角坐标系中，已知A （1，4）、B （3，1），P 是坐标轴上一点，（1）当P 的坐标为多少时，AP+BP 取最小值，最小值为多少 当P 的坐标为多少时，AP-BP 取最大值，最大值为多少 ~ 6、如图，已知一次函数图像交正比例函数图像于第二象限的A 点，交x 轴于点B （-6，0），△AOB 的面积为15，且AB=AO ，求正比例函数和一次函数的解析式。 A B C ( x y x [ A B O
7、已知一次函数的图象经过点（2，20），它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1，求这个一次函数的表达式。 8、已经正比例函数Y=k1x的图像与一次函数y=k2x-9的图像相交于点P(3,-6) 求k1,k2的值 （ 如果一次函数y=k2x-9的图象与x轴交于点A 求点A坐标 9、正方形ABCD的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB在x轴负半轴上，A点的坐标是（-1，0）， （1）经过点C的直线y=-4x-16与x轴交于点E，求四边形AECD的面积； （2）若直线L经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线L的解析式。 10、在平面直角坐标系中，一次函数y=Kx+b(b小于0）的图像分别与x轴、y轴和直线x=4交于A、B、C，直线x=4与x轴交于点D，四边形OBCD的面积为10，若A的横坐标为-1/2，求此一次函数的关系式 11、在平面直角坐标系中,一个一次函数的图像过点B(-3,4),与y轴交于点A，且OA=OB：求这个一次函数解析式 12、如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，m）在第一象限，直线PA 交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，S AOP=6. ； 求：（1）△COP的面积 （2）求点A的坐标及m的值； （3）若S BOP =S DOP ，求直线BD的解析式
一次函数专项训练及答案
一次函数专项训练及答案 一、选择题 1．若A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是一次函数y=ax+x-2图像上的不同的两点，记()()1212m x x y y =--，则当m ＜0时，a 的取值范围是（ ） A ．a ＜0 B ．a ＞0 C ．a ＜-1 D ．a ＞-1 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 ∵A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是一次函数2(1)2y ax x a x =+-=+-图象上的不同的两点，()()12120m x x y y =--<， ∴该函数图象是y 随x 的增大而减小， ∴a+1<0， 解得a<-1， 故选C. 【点睛】 此题考查了一次函数图象上点的坐标特征,要根据函数的增减性进行推理,是一道基础题. 2．如图，函数4y x =-和y kx b =+的图象相交于点()8A m -,，则关于x 的不等式()40k x b ++>的解集为（ ） A ．2x > B ．02x << C ．8x >- D ．2x < 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用函数图象上点的坐标特征得出m 的值，再利用函数图象得出答案即可． 【详解】 解：∵函数y ＝?4x 和y ＝kx ＋b 的图象相交于点A （m ，?8）， ∴?8＝?4m ，
解得：m ＝2， 故A 点坐标为（2，?8）， ∵kx ＋b ＞?4x 时，（k ＋4）x ＋b ＞0， 则关于x 的不等式（k ＋4）x ＋b ＞0的解集为：x ＞2． 故选：A ． 【点睛】 此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用函数图象分析是解题关键． 3．如图，已知一次函数22y x =-+的图象与坐标轴分别交于A 、B 两点，⊙O 的半径为1，P 是线段AB 上的一个点，过点P 作⊙O 的切线PM ，切点为M ，则PM 的最小值为（ ） A ．2 B 2 C 5 D 3【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：连结OM 、OP ，作OH ⊥AB 于H ，如图，先利用坐标轴上点的坐标特征： 当x=0时，y=﹣22，则A （0，2）， 当y=0时，﹣2=0，解得2，则B （2，0）， 所以△OAB 为等腰直角三角形，则2OA=4，OH=12 AB=2， 根据切线的性质由PM 为切线，得到OM ⊥PM ，利用勾股定理得到22OP OM -21OP - 当OP 的长最小时，PM 的长最小，而OP=OH=2时，OP 的长最小，所以PM 的最小值为2213-= 故选D ．
一次函数练习题(含答案)
巩固练习 一、选择题： 1．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（）（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+3 2．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（） （A）一象限（B）二象限（C）三象限（D）四象限 3．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（） （A）4 （B）6 （C）8 （D）16 4．若甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x （kg）之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2， 如图，所挂物体质量均为2kg时，甲弹簧长为y1，乙 弹簧长为y2，则y1与y2的大小关系为（） （A）y1>y2（B）y1=y2 \ （C）y1
$ 9．要得到y=-3 2 x-4的图像，可把直线y=- 3 2 x（）． （A）向左平移4个单位（B）向右平移4个单位 （C）向上平移4个单位（D）向下平移4个单位 10．若函数y=（m-5）x+（4m+1）x2（m为常数）中的y与x成正比例，则m的值为（） （A）m>-1 4 （B）m>5 （C）m=- 1 4 （D）m=5 11．若直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是（）． （A）k<1 3 （B） 1 3 函数与方程思想的典型例题 [例1]设函数)(x f 的定义域为R ，对任意实数βα,有 ，且21)3(=πf ，0)2(=πf . (1)求证：)()()(x f x f x f --==-π； (2)若20π <≤x 时，0)(>x f ，求证：)(x f 在],0[π上单调递减； (3)求)(x f 的最小周期并*证明. [解析](1)),0()3(2)3()3(f f f f πππ=+ 且2 1)3(=πf ，1)0(=∴f . 又)()0(2)()(x f f x f x f =-+，)()(x f x f -=∴. )2()2(2)()(πππ-=-+x f f x f x f ，且0)2(=π f ，)()()(x f x f x f --=-=∴π. (2))()(x f x f =- 且20π<≤x 时，0)(>x f ，∴当2 2ππ<<-x 时，0)(>x f . 设π≤<≤210x x ， 则)()()()(2121x f x f x f x f -+=-π)2()2( 22121ππ-+-+=x x f x x f . 222,2202121πππππ<-+<-<+-≤x x x x ，0)2 (,0)2(2121>-+>-+∴ππx x f x x f . )()(21x f x f >∴，即)(x f 在],0[π上单调递减. (3)由(1))()(x f x f --=-π得)()(x f x f +-=π，)2()(x f x f +-=+ππ， )()2(x f x f =+∴π，说明π2是原函数的一个周期. 假设0T 也是原函数的一个周期，且)2,0(0π∈T ，则由)()(0x f x T f =+得)()0(0T f f =. 但若],0(0π∈T 时，因原函数是单调递减函数，所以)()0(0T f f >，两者矛盾； 若)2,(0ππ∈T 时，),0(20ππ∈-T ，从而)()()2()0(000T f T f T f f =-=->π，两 圆梦教育中心高考数学专题 1. 若不等式x2+ax+1>0对于一切xe(O ,刃成立，则a的最小值是(). A. 0 B . — 2 C .—号 D . — 3 2. 已知函数f(x)=log a［&一?门对任意xw ［二，+1时，f(x)的递减区间为(). 5_ 5_ A.［车，+8) B.(l , 4 ］ 7_ 7_ C.［车，4-oo) D. ( 1 , T］ 4. 已知f(x)=asinx+b^/^- +4 (a, beR),且f(lglog310)=5,则f(lglg3)的值是(). A. - 5 B. - 3 C. 3 D. 5 5?己知卫各上J=l(a, b, ce R),则有(). ja A. b2>4ac B. b2>4ac C. b2<4ac D. b2<4ac 6. 方程lgx+x=3的解所在的区间为_______ o A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3, + -) 7. f(x)定义在R 上的函数,f(x+1)=-缶，当xw［—2,T］时，f(x)=x, 则f(-3.5)为() A.—0.5 B. — 1.5 C.1.5 D.—3.5 PA丄平而丄平而0, A,B为垂足，PA = 4,PB = 2,则AB 8.设P是60°的二而角a-l-0内一点, 的长为( ) A. 2^3 B. 2^5 C? 2>/7 D?4迥 9. 若函数Xx)=(l-m)?-2/7U-5 是偶函数，则7U) () A.先增后减 B.先减后增C?单调递增D?单调递减 10. 对任意非负实数x,不等式厂一皿)Sa恒成立，処I实数a的最小值是(). 1 2 3 A. 2 B. 2 C. D.才 方程应用试题 姓名___________ 应用方程思想解题时应注意：①要具备用方程思想解题的意识；②要具有正确列出方程的能力；(正确的找到等量关系)③要掌握运用方程思想解决问题的要点 一．方程思想在代数问题中的应用 （1）整式与方程思想 1．已知25A x mx n =-+，2 321B y x =-+-，若A B +中不含有一次项和常数项，则222m mn n -+的值为 2．单项式2343m n m n x y ++与422y x -是同类项，则m n 的值为 （2）函数与方程思想 3．若函数2 1 5m m y mx --=+是一次函数，且y 随x 的增大而减小，则m = 4．已知反比例函数k y x = 与一次函数2y x k =+的图像的一个交点的纵坐标是4-，则k 的值为 5．已知点(1,)P m 在正比例函数2y x =的图像上，那么点P 的坐标为 二．方程思想在几何问题中的应用 在解答几何问题中经常会①运用勾股定理建立方程；②运用相似三角形对应边成比例建立方程；③运用锐角三角函数的意义建立方程 （1）三角形和四边形与方程思想 通常解决等腰三角形相关问题时要列出方程 6．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ） A ．1 B ． 34 C ．2 3 D ．2 7．如图，如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连接CE ， 则CE 的长________. 8．如图，已知等腰△ABC 中，顶角∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，则 AD AC 的值为( ) ． A ． 1 2 B ．51- C ．1 D ．51+ 9．如图，在△ABC 中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ 的一边QP 在边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H 。设EF=x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求其最大值 （3）圆与方程思想 通常以半径相等或者切线长相等为突破口 以“勾股定理”为等量关系列出方程 10．如图，ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，4=AC ，3=BC ，以BC 上一点O 为圆心作⊙O，与AC 、AB 分别相切于C 点、E 点，则⊙O 的半径为 11．如图，已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB ＝10cm ，PB ＝4cm ，OP ＝5cm ，则⊙O 的半径等于______________cm 。 A ′ G D C 6题 第7题 F A D O E B C E B O 第10题 O B A P D 第11题 第8题 1 / 3 一次函数解析式的确定练习题 第1题?如图所示，直线I 是一次函数y 二kx ? b 的图象，看图填空: 则y 与x 之间的函数关系式是 第5题.已知直线y = _5x ? a 与直y = 5x ? b 的交点坐标为 （m,8）， 贝H a b 的值是 _________________ . 1 第6题.若直线y x ? n 与直线y = mx -1相交于（1, - 2），则（ ） 2 第7题.已知下表是y 与x 的一次函数，请写出函数表达式， x -2 -1 0 2 3 y 4 第8题.如图所示，直线I 是一次函数y 二kx ?b 的图象. （1 ）图象经过（0, _ ）和（ _ -）点; （2）贝廿 k 二 ___ - b 二 _________ 第9题.某一次函数的图象经过点 （-1,2）-且函数y 的值随自变量2 出一个符合上述条件的函数关系式是 _____________________ 1 第10题.已知y-m 与3x+6成正比例关系（m 为常数当帚 -1 -2 第11题.已知一次函数y 二kx ? b 的图象经过点 A （2,5）和点E ,点E 是一次函数y = 2x -1 的图象与y 轴的交点，则这个一次函数的表达式是 ___________________ . 1 第12题.直线y =kx ? b 过点（-2,5）且与y 轴交于点P ，直线y x 3与y 轴交于Q - (1) b = k 二 ; (2 )当 x = 6 时， y = ； (3 )当 y =6时， X 二 . 第 2题. 一次函数 y =bx 2的图象经过点A （_1,1） ,I 则 b Y 第3题.正比例函数的图象经过点 A （-2,-3），求正比例函数的关系式. 第4题.y ?3与x 1成正比例，且当x = 1时，y =1 -T O k y / I /的增大而减小，请你写 I | 4 时，a yp4，当 x = 3 时, y =7，那么y 与x 之间的函数关系式是 1 2 3 2 高三数学专题复习（函数与方程练习题） 一、选择题 1、定义域为R 的函数y ＝f (x)的值域为［a ，b ］，则函数y ＝f (x ＋a ）的值域为（ ） A 、［2a ，a ＋b ］ B 、［a ，b ］ C 、［0，b －a ］ D 、［－a ，a ＋b ］ 2、若y ＝f (x)的定义域为D ，且为单调函数，［a ，b ］D ，（a －b ）·f (a)·f (b)＞0，则下列命题正确为（ ） A 、若f (x)＝0，则x ∈(a ，b ） B 、若f (x)＞0，则x ? （a ，b) C 、若x ∈（a ，b ），则f (x)＝0 D 、若f (x)＜0，则x ? （a ，b ） 3、设点P 为曲线y ＝x 3－3 x ＋3 2 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则α的取值范围为（ ） A 、［32π，π］ B 、（2π，π） C 、［0，2 π］∪（65π，π） D 、［0，2 π ］∪［32π，π） 4、设函数f (x)是定义R 上的奇函数，若f (x)的最小正周期为3，且f (1)＞1，f (2)＝1 3 2+-m m ，则m 的取 值范围为（ ） A 、m ＜ 32 B 、m ＜32且m ≠－1 C 、－1＜m ＜32 D 、m ＞3 2 或m ＜－1 5、定义在R 上的函数f (x)在（－∞，2）上是增函数，且f (x ＋2)的图象关于x ＝0对称，则（ ） A 、f (－1)＜f (3) B 、f (0)＞f (3) C 、f (－1)＝f (3) D 、f (0)＝f (3) 6、已知对一切x ∈R ，都有f (x)＝f (2－x ）且方程f (x)＝0有5个不同的根，则这5个不同根的和为（ ） A 、10 B 、15 C 、5 D 、无法确定 7、函数y ＝log 2 1 (x 2＋kx ＋2）的值域为R ，则k 的范围为（ ） A 、［22 ，＋∞］ B 、（－∞，－22）∪［22，＋∞］ 一次函数专项练习题 题型一、点的坐标 方法： x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0； 若两个点关于x 轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数；若两个点关于y 轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数； 若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数； 1、 若点A （m,n ）在第二象限，则点（|m|,-n ）在第____象限； 2、 若点P （2a-1,2-3b ）是第二象限的点，则a,b 的范围为______________________； 3、 已知A （4，b ），B （a,-2），若A ，B 关于x 轴对称，则a=_______,b=_________;若A,B 关于y 轴对称，则a=_______,b=__________;若若A ， B 关于原点对称，则a=_______,b=_________； 4、 若点M （1-x,1-y ）在第二象限，那么点N （1-x,y-1）关于原点的对称点在第______象限。 题型二、关于点的距离的问题 方法：点到x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y 轴的距离用横坐标的绝对值表示； 任意两点(,),(,)A A B B A x y B x y 的距离为22()()A B A B x x y y -+-； 若AB ∥x 轴，则(,0),(,0)A B A x B x 的距离为 A B x x -； 若AB ∥y 轴，则(0,),(0,)A B A y B y 的距离为A B y y -； 点(,)A A A x y 到原点之间的距离为 22A A x y + 1、 点B （2，-2）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________； 2、 点C （0，-5）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；到原点的距离是____________； 3、 点D （a,b ）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；到原点的距离是____________； 4、 已知点P （3,0），Q(-2,0),则PQ=__________,已知点110,,0,22M N ????- ? ???? ?,则MQ=________; ()()2,1,2,8E F --,则EF 两点之间的距离是__________;已知点G （2，-3）、H （3,4），则G 、H 两点之间的距离是_________； 5、 两点（3，-4）、（5，a ）间的距离是2，则a 的值为__________； 6、 已知点A （0,2）、B （-3，-2）、C （a,b ），若C 点在x 轴上，且∠ACB=90°，则C 点坐标为___________. 题型三、一次函数与正比例函数的识别 方法：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。 ☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0) 1、当k_____________时， ()2323y k x x =-++-是一次函数；2、当m_____________时，()21345m y m x x +=-+-是一次函数； 3、当m_____________时，()21445m y m x x +=-+-是一次函数； 4、2y-3与3x+1成正比例，且x=2,y=12,则函数解析式为________________； 题型四、函数图像及其性质 方法： ☆一次函数y=kx+b （k≠0）中k 、b 的意义： k(称为斜率)表示直线y=kx+b （k≠0） 的倾斜程度； b （称为截距）表示直线y=kx+b （k≠0）与y 轴交点的 ，也表示直线在y 轴上的 。 ☆同一平面内，不重合的两直线 y=k 1x+b 1（k 1≠0）与 y=k 2x+b 2（k 2≠0）的位置关系： 当 时，两直线平行。 当 时，两直线垂直。 当 时，两直线相交。 当 时，两直线交于y 轴上同一点。 ☆特殊直线方程： X 轴 : 直线 Y 轴 : 直线 与X 轴平行的直线 与Y 轴平行的直线 一、 三象限角平分线 二、四象限角平分线 1、对于函数y ＝5x+6，y 的值随x 值的减小而___________。 2、对于函数1223 y x =-, y 的值随x 值的________而增大。 3、一次函数 y=(6-3m)x ＋(2n －4)不经过第三象限，则m 、n 的范围是__。4、直线y=(6-3m)x ＋(2n －4)不经过第三象限，则m 、n 的范围是_________。 5、直线y=kx+b 经过第一、二、四象限，则直线y=-bx+k 经过第____象限。 6、无论m 为何值，直线y=x+2m 与直线y=-x+4的交点不可能在第______象限。 7、已知一次函数（1）当m 取何值时，y 随x 的增大而减小？ （2）当m 取何值时，函数的图象过原点？ 题型五、待定系数法求解析式 方法：依据两个独立的条件确定k,b 的值，即可求解出一次函数y=kx+b （k ≠0）的解析式。 ☆ 已知是直线或一次函数可以设y=kx+b （k ≠0）； ☆ 若点在直线上，则可以将点的坐标代入解析式构建方程。 1、若函数y=3x+b 经过点（2，-6），求函数的解析式。 2、直线y=kx+b 的图像经过A （3，4）和点B （2，7）， 4、一次函数的图像与y=2x-5平行且与x 轴交于点（-2,0）求解析式。6、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x+7关于y 轴对称，求k 、b 的值。 7、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x+7关于x 轴对称，求k 、b 的值。8、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x+7关于原点对称，求k 、b 的值。 5、若一次函数y=kx+b 的自变量x 的取值范围是-2≤x ≤6，相应的函数值的范围是-11≤y ≤9，求此函数的解析式。 题型六、平移 方法：直线y=kx+b 与y 轴交点为（0，b ），直线平移则直线上的点（0，b ）也会同样的平移，平移不改变斜率k ，则将平移后的点代入解析式求出b 即可。直线y=kx+b 向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。 1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。 2. 直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线 3. 直线y=21x 向右平移2个单位得到直线 4. 直线y=22 3+-x 向左平移2个单位得到直线 5. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 6. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线 高中数学竞赛专题一函数与方程思想 函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，它主要包括函数的概念、图象和性质以及几类典型的函数，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题，研究问题和解决问题。函数思想贯穿于高中代数的全部内容，它是在学习指数函数、对数函数以及三角函数的过程中逐渐形成，并为研究这些函数服务的，如研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容，一直是高考的热点、重点内容。函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决．这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路． 和函数有必然联系的是方程，方程是初中代数的主要内容，初中阶段主要学习了几类方程和方程组的解法，方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略。 一、考点回顾 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。比如，对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围一例，我们习惯上把x当作自变量，构造函数y＝x2＋(p－4)x＋3－p,于是问题转化为：当p∈[0,4]时，y＞0恒成立，求x的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的． 如果把p看作自变量，x视为参数，构造函数y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)，则y是p的一次函数，就非常简单．即令 f(p)＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)．函数f(p)的图象是一条线段，要使f(p)＞0恒成立，当且仅当f(0)＞0，且f(4)＞0，解这个不等式组即可求得x的取值范围是(－∞,－1)∪(3,＋∞)．本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组来达到求解的目的 在函数的学习和复习中，要做到熟练掌握基础知识，充分理解各知识点间的内在联系，如数列中的an、Sn都可以看作是n的函数而应用函数思想以获得新的解法。要总结、归纳运用 人教版数学必修一函数与方程练习题 重点：掌握零点定理的内容及应用 二次函数方程根的分布 学会利用图像进行零点分布的分析 1． 下列函数中，不能用二分法求零点的是（） 2． 如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（） 3． A. B. C. D. 4． 已知函数22)(m mx x x f --=，则)(x f （） A ．有一个零点 B ．有两个零点 C ．有一个或两个零点 D ．无零点 5． 已知函数)(x f 的图象是连续不间断的，有如下的)(,x f x 对应值表 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6． 若方程0=--a x a x 有两个根，则a 的取值范围是（ ） A ．)1(∞+ B ．)1,0( C ．),0(+∞ D ．? 7． 设函数? ??>≤++=,0,3,0,)(2x x c bx x x f 若2)2(),0()4(-=-=-f f f ，则函数x x f y -=)(的零点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8． 无论m 取哪个实数值，函数)2 3(232--+-=x m x x y 的零点个数都是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定 9． 已知函数).0(42)( 2>++=a ax ax x f 若0,2121=+ 一次函数专项练习题 题型一、点的坐标 方法： x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0； 若两个点关于x 轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数；若两个点关于y 轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数； 若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数； 1、 若点A （m,n ）在第二象限，则点（|m|,-n ）在第____象限； 2、 若点P （2a-1,2-3b ）是第二象限的点，则a,b 的范围为______________________； 3、 已知A （4，b ），B （a,-2），若A ，B 关于x 轴对称，则a=_______,b=_________;若A,B 关于y 轴对称，则a=_______,b=__________;若若A ， B 关于原点对称，则a=_______,b=_________； 4、 若点M （1-x,1-y ）在第二象限，那么点N （1-x,y-1）关于原点的对称点在第______象限。 题型二、关于点的距离的问题 方法：点到x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y 轴的距离用横坐标的绝对值表示； 任意两点 (,),(,)A A B B A x y B x y 若AB ∥x 轴，则(,0),(,0)A B A x B x 的距离为 A B x x -； 若AB ∥y 轴，则 (0,),(0,)A B A y B y 的距离为A B y y -； 点(,)A A A x y 1、 点B （2，-2）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________； 2、 点C （0，-5）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；到原点的距离是____________； 3、 点D （a,b ）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；到原点的距离是____________； 4、 已知点P （3,0），Q(-2,0),则PQ=__________,已知点110,,0,22M N ????- ? ???? ?,则MQ=________; ()()2,1,2,8E F --,则EF 两点之间的距离是__________;已知点G （2，-3）、H （3,4），则G 、H 两点之间的距离是_________； 5、 两点（3，-4）、（5，a ）间的距离是2，则a 的值为__________； 6、 已知点A （0,2）、B （-3，-2）、C （a,b ），若C 点在x 轴上，且∠ACB=90°，则C 点坐标为___________. 题型三、一次函数与正比例函数的识别 方法：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。 ☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0) 1、当k_____________时，()2323y k x x =-++-是一次函数； 2、当m_____________时，()21345m y m x x +=-+-是一次函数； 3、当m_____________时，()21445m y m x x += -+-是一次函数；4、2y-3与3x+1成正比例，且x=2,y=12,则函数解析式为________________； 题型四、函数图像及其性质 方法： ☆一次函数y=kx+b （k≠0）中k 、b 的意义： k(称为斜率)表示直线y=kx+b （k≠0） 的倾斜程度； b （称为截距）表示直线y=kx+b （k≠0）与y 轴交点的 ，也表示直线在y 轴上的 。 ☆同一平面内，不重合的两直线 y=k 1x+b 1（k 1≠0）与 y=k 2x+b 2（k 2≠0）的位置关系： 当 时，两直线平行。 当 时，两直线垂直。 当 时，两直线相交。 当 时，两直线交于y 轴上同一点。 ☆特殊直线方程： X 轴 : 直线 Y 轴 : 直线 与X 轴平行的直线 与Y 轴平行的直线 一、 三象限角平分线 二、四象限角平分线 1、对于函数y ＝5x+6，y 的值随x 值的减小而___________。 2、对于函数1223 y x =-, y 的值随x 值的________而增大。 3、一次函数 y=(6-3m)x ＋(2n －4)不经过第三象限，则m 、n 的范围是__。4、直线y=(6-3m)x ＋(2n －4)不经过第三象限，则m 、n 的范围是_________。 5、直线y=kx+b 经过第一、二、四象限，则直线y=-bx+k 经过第____象限。 6、无论m 为何值，直线y=x+2m 与直线y=-x+4的交点不可能在第______象限。 7、已知一次函数（1）当m 取何值时，y 随x 的增大而减小？ （2）当m 取何值时，函数的图象过原点？ 题型五、待定系数法求解析式 方法：依据两个独立的条件确定k,b 的值，即可求解出一次函数y=kx+b （k ≠0）的解析式。 ☆ 已知是直线或一次函数可以设y=kx+b （k ≠0）； ☆ 若点在直线上，则可以将点的坐标代入解析式构建方程。 1、若函数y=3x+b 经过点（2，-6），求函数的解析式。 2、直线y=kx+b 的图像经过A （3，4）和点B （2，7）， 4、一次函数的图像与y=2x-5平行且与x 轴交于点（-2,0）求解析式。6、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x+7关于y 轴对称，求k 、b 的值。 7、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x+7关于x 轴对称，求k 、b 的值。8、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x+7关于原点对称，求k 、b 的值。 5、若一次函数y=kx+b 的自变量x 的取值范围是-2≤x ≤6，相应的函数值的范围是-11≤y ≤9，求此函数的解析式。 题型六、平移 方法：直线y=kx+b 与y 轴交点为（0，b ），直线平移则直线上的点（0，b ）也会同样的平移，平移不改变斜率k ，则将平移后的点代入解析式求出b 即可。直线y=kx+b 向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。 1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。 2. 直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线 3. 直线y=21x 向右平移2个单位得到直线 4. 直线y=22 3+-x 向左平移2个单位得到直线 5. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 6. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线 函数与方程思想 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有 关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通 过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。 1 ?函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数 关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。 2 ?方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者 构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系； 3 ?函数方程思想的几种重要形式 (1) 函数和方程是密切相关的，对于函数y = f(x),当y= O时，就转化为方程f(x) = 0, 也可以把函数式y= f(x)看做二元方程y —f(x) = O。 (2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数y = f(x),当y > O时，就转化为不等式f(x) > 0,借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式； (3) 数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分 重要； (4) 函数f(x) = (1+x)^n (n ∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题； (5) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论； (6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数 一次函数的解析式的专项练习 一次函数的解析式的求法是初中函数的基础。 一. 一般型 例1. 已知函数y m x m =-+-()332 8是一次函数，求其解析式。 解：由一次函数定义知m m 28130 -=-≠??? ∴=±≠???m m 33 ∴=-m 3，故一次函数的解析式为y x =-+33 注意：利用定义求一次函数y kx b =+解析式时，要保证k ≠0。如本例中应保证m -≠30 二. 已知一点 例2. 已知一次函数y kx =-3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 解：Θ一次函数y kx =-3的图像过点（2，－1） ∴-=-123k ，即k =1 故这个一次函数的解析式为y x =-3 变式问法：已知一次函数y kx =-3，当x =2时，y ＝－1，求这个函数的解析式。 三. 已知两点 已知某个一次函数的图像与x 轴、y 轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。 解：设一次函数解析式为y kx b =+ 由题意得024=-+=??? k b b ∴==??? k b 24 故这个一次函数的解析式为y x =+24 四. 已知图象 例 4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 y 2 O 1 解：设一次函数解析式为y kx b =+ 由图可知一次函数y kx b =+的图像过点（1，0）、（0，2） ∴有020=+=+??? k b b ∴=-=???k b 22 故这个一次函数的解析式为y x =-+22 五. 与座标轴相交 例5. 已知直线y kx b =+与直线y x =-2平行，且在y 轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。 解析：两条直线l 1：y k x b =+11；l 2：y k x b =+22。当k k 12=，b b 12≠时，l l 12// Θ直线y kx b =+与直线y x =-2平行，∴=-k 2。 又Θ直线y kx b =+在y 轴上的截距为2，∴=b 2 故直线的解析式为y x =-+22 六. 平移 例 6. 把直线y x =+21向下平移2个单位得到的图像解析式为 函数与方程（1） 姓名________ 班级__________ 学号__________ 日期__________ 成绩_______ 1、函数f(x)=2x+5的零点是________ 2、已知关于x 的一元二次方程2x 2+px+15=0有一个零点是-3，则另一个零点是_______ 3、函数y=-x 2+8x-16在区间[3,5]上零点个数是____ 4、设函数?? ?-∞∈-+∞∈-=)1,(,2),1[,22)(2x x x x x x f ，则函数41)(-x f 的零点是______ 5、函数f(x)=ax+b 有一个零点是2，那么函数g(x)=bx 2-ax 的零点是_______ 6、定义在R 上的偶函数y=f(x)在[0，+∞)上单调递减，函数f(x)的一个零点为2 1，则不等式f(log 4x)<0的解集是_______ 7、求证：方程5x 2-7x-1=0的根在一个在区间（-1,0）上，另一个在区间(1,2)上。 8、已知函数f(x)=2(m-1)x 2-4mx+2m-1 （1）m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个不同的交点； （2）如果函数的一个零点在原点，求m 的值。 函数与方程（2） 姓名________ 班级__________ 学号__________ 日期__________ 成绩_______ 1、函数f(x)=3x-16在区间[3,5]上有____个零点 2、已知f(x)的图象是连续不断的，有如下的x 与f(x)的对应值表： 则函数f(x)存在零点的区间是______ 3、函数x x x f 2)2ln()(-+=的零点所在区间是（n,n+1），则正整数n=______ 一次函数练习题一次函数专题训练 一次函数练习题一次函数专题训练第一轮复习一、填空题1．下列函数（1）y=πx(2)y=2x-1 (3)y=(4)y=2-3x (5)y=x2-1中，是一次函数的有（）（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个2．下面哪个点在函数y=x+1的图象上（）A．（2，1）B．（-2，1）C．（2，0）D．（-2，0）3．一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（）A．一、二、三B．二、三、四C．一、二、四D．一、三、四4、若直线y=(m+2007)x是二、四象限的角平分线，则的值是（）（A）-2008（B）-2007（C）-2006（D）20075．若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（）A．k>3B．0一次函数练习题已知油箱中的余油量y(升)与行驶时间t(小时)的关系如下表，与行驶路程x(千米)的关系如下图。 请你根据这些信息求A型车在实验中的速度。 4．如图所示的折线ABC?表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系的图象．（1）写出y与t?之间的函数关系式．（2）通话2分钟应付通话费多少元？通话7分钟呢？ 5、（烟台市2006）下列图形中，图(a)是正方体木块，把它切去一块，得到如图(b)(c)(d)(e)的木块．(1)我们知道，图(a)的正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图(b)、(c)、(d)、(e)中木块的顶点数、棱数、面数填入下表：(2)上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数x、棱数y、面 数z之间的数量关系式．6．已知雅美服装厂现有A种布料70米，B 种布料52米，?现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套．已知做一套M型号的时装需用A种布料1.?1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.?9米，可获利45元．设生产M型号的时装套数为x，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元．①求y（元）与x（套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；②当M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多？一次函数专题训练答案：一、选择题1B2D 3B4A5A6D7A8A9B10C二、填空题1.x 3时，y=t-0.6．②2.4元；6.4元 5.1)2)棱数y=顶点数x+面数z-26．①y=50x+45（80-x）=5x+3600．∵两种型号的时装共用A种布料[1.1x+0.?6（80-x）]米，共用B种布料[0.4x+0.9（80-x）]米，∴解之得40≤x≤44，而x为整数，∴x=40，41，42，43，44，∴y与x的函数关系式是y=5x+3600（x=40，41，42，43，44）；②∵y随x的增大而增大，∴当x=44时，y最大=3820，即生产M型号的时装44套时，该厂所获利润最大，最大利润是3820元．函数与方程思想的典型例题
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