《高等数学B2》本科期末考试试卷A卷
西南科技大学2013-2014-2学期
《高等数学B2》本科期末考试试卷(A 卷)
B 、 4 1
1)n
n
-的敛散性为L
L 三、解答题(1-2小题每题8分,3-8小题每题9分,共70分)
1、 求曲面2
2
2
14x y z ++=上平行于平面2320x y z ++=的切平面方程。
2、 设2
2
(,),z f x y xy =-,其中f 具有连续的二阶偏导数,求2z
x y
???。
3、 求函数4
2
42z x xy y =-+的极值。
4、 计算|1|D
I x y dxdy =+-??,其中[0,1][0,1]D =?。
无……………效……………
5、
把二次积分4
220
)dx x y dy +?
化为极坐标形式,并计算积分值。
6、求幂级数1
(2)3n
n
n x n ∞
=-∑的收敛半径与收敛域。
7、 计算曲线积分
423(23)(4)L
xy y dx x xy dy -
++-?
,其中L 就是在圆周y 上由点(0,0)到
点(1,1)的一段弧。
8、 计算曲面积分
22
3()2xy dydz x
y z dzdx xydxdy ∑
+-+??,其中∑就是曲面222()z x y =+与平面4
z =所围成的立体Ω的边界曲面,取外侧。
西南科技大学2013-2014-2学期
《高等数学B2》本科期末考试试卷(A 卷)
参考答案及评分细则
一、选择题(每小题3分,共15分)
1、B;
2、D;
3、B;
4、A;
5、B;
二、填空题(每小题3分,共15分)
1、ln 2;
2、1
ln y y
yx dx x xdy -+;3、
111
123
x y z ---==;4、(2,6,1)--;5、cos cos P Q αβ+; 三、解答题(1-2小题每题8分,3-8小题每题9分,共70分) 1、解:令2
2
2
(,,)14F x y z x y z =++-,
000000000000(,,)2,(,,)2,(,,)2x y z F x y z x F x y z y F x y z z ===
在点000(,,)P x y z 处的法向量为000(,,)n x y z =
000
123
x y z k ===令
,代入方程22214x y z ++=中可得1k =±---————--4分, 在点(1,2,3)处的切平面为2314x y z ++=-————----2分, 在点(-1,-2,-3)处的切平面为23140x y z +++=----————-2分。
2、解:122(3)z
xf yf x
?''=+?分。
22211
122212222211
12222422(3)
42()(2)
z
xyf x f f y f xyf x y
f xyf x y f xyf ?'''''''''=-++-+??'''''''=-+-+分分
3、解:3
440,440x y z x y z x y =-==-+=求得驻点为(0,0),(1,1),(-1,-1)。(3分)
212,4,4xx xy yy A z x B z C z ====-==,在点(0,0)处2160AC B -=-<没有极值,(3分) 在点(1,1)与(-1,-1)处2320,0AC B A -=>>,所以有极小值(1,1) 1.z ±±=-(3分)
4、解:
12
1
11
1
420
01|1|(1)(1)(3)
111(1)(1)663D
D D x
x
I x y dxdy x y dxdy x y dxdy
dx x y dy dx x y dy --=+-=+--+-=+--+-=+=
????????
??分分
分
5、解
3334
4cos 22
3
4
2
20
)64cos 12dx x y dy d r dr d π
π
θ
θθθπ+===?
??
?分
分
分
。
6、解: 1
31
lim 3
31n n n n n ρ+→∞==+,所以收敛半径为3,收敛区间为323x -<-<,即15x -<<(3分) 当5x =时11313n n n n n n ∞
∞===∑∑发散(2分),当1x =-时11
(3)(1)3n n
n n n n n ∞∞
==--=∑∑收敛,(2分)因此原级数的收敛域
为[1,5)-。(2分)
7、解:4
2
3
32,4,
24Q P
P xy y Q x xy x y x y
??=-=-==-??,所以该曲线积分与积分路径无关。(4分)
11
4
23
30
(23)(4)314)=3L
xy y
dx x xy dy dx y dy -++-=+-???（(5分)
8、解:由高斯公式得
22322()2=()xy dydz x y z dzdx xydxdy x y dxdy ∑
Ω
+-++??
???(4分)
由柱面坐标224
223
28()3
r
x y dxdydz d r dz π
π
θΩ
+==?????(5分)