微积分在现实中的应用 - 中国科学技术大学

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微积分在现实中的应用
微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支
微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的
微积分学是微分学和积分学的总称
它是一种数学思想
'无限细分'就是微分
'无限求和'就是积分
无限就是极限
极限的思想是微积分的基础
它是用一种运动的思想看待问题
微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行
微积分是与实际应用联系着发展起来的
它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中
有越来越广泛的应用
特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展
客观世界的一切事物
小至粒子
大至宇宙
始终都在运动和变化着
因此在数学中引入了变量的概念后
就有可能把运动现象用数学来加以描述了

微积分建立之初的应用：第一类是研究运动的时候直接出现的
也就是求即时速度的问题
第二类问题是求曲线的切线的问题
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题
第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力

微积分学极大的推动了数学的发展
同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展
并在这些学科中有越来越广泛的应用
特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展

一元微分
定义： 设函数y = f(x)在某区间内有定义
x0及x0 + Δx在此区间内
如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) f(x0)可表示为 Δy = AΔx0 + o(Δx0)（其中A是不依赖于Δx的常数）
而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小
那么称函数f(x)在点x0是可微的
且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分
记作dy
即dy = AΔx


通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分
记作dx
即dx = Δx
于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx
函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数
因此
导数也叫做微商


几何意义
设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量
Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量
dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量
当|Δx|很小时
|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)
因此在点M附近
我们可以用切线段来近似代替曲线段


多元微分
同理

当自变量为多个时
可得出多元微分
得定义


积分是微分的逆运算
即知道了函数的导函数
反求原函数
在应用上
积分作用不仅如此
它被大量应用于求和
通俗的说是求曲边三角形的面积
这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的


一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数
这一族函数的导函数恰为前一函数


其中：[F(x) + C]' = f(x)

微分在近似计算中的应用：
要在半径r=1cm的铁球表面上镀一层厚度为0.01cm的铜
求所需铜的重量W（铜的密度k=8.9g/cm^3）(说明：cm^3后面的3是幂
也就是立方厘米
下面的r^3也是指r的3次方
依此类推）
解：先求镀层的体积
再乘以密度
便得铜的质量
显然
镀层的体积就是两个球体体积这差
设球的体积为V
则V=f(r)=4πr^3/3 由题意可取r'=1,
△r=0.01 于是
△V≈dV=f'(r')△r=f'(1)*0.01,
而f'(1)=(4πr^3/3)'|r'=4π
所以铜的体积约为dV=f'(1)*0.01=4π*0.01≈0.13(cm^3)
于是镀铜的质量约为dW=kdV≈0.13×8.9≈1.16(g)

2.定积分在物理学中的应用：
根据虎克定律
弹簧的弹力与形变的长度成正比
已知汽车车厢下的减震弹簧压缩1cm需力14000N
求弹簧压缩2cm时所作的功

解：由题意
弹簧的弹力为f(x)=kx(k为比例常数）
当x=0.01m时
f(0.01)=k×0.01=1.4×10^4N
由此知k=1.4×10^6,故弹力为f(x)=1.4×10^6x
于是
W=∫上标0.02下标0（1.4×10^6x)dx=1.4×10^6*x^2/2|上标0.02下标0
=280(J),即弹簧压缩2cm时所作的功为280J