5.1 试确定图示梁的危险截面,分别计算图示三种截面上1、2、3点处的正应力。
解:m kN M ?-=10max
(a )MPa y I M z 4.1590121801201010361max 1=???=-=σ;MPa y I M z
3.106012
180********
6
2max 2=???=-=σ MPa y I M z
4.159012
180120101036
3max 3-=???-=-=σ
(b )43
34536000012
12045212180120mm I z =??-?=
MPa y I M z 8.19904536000010106
1max 1=??=-=σ;MPa y I M z 2.13604536000010106
2max 2=??=-=σ
MPa y I M z 8.199045360000
10106
3max 3-=??-=-=σ
(c )mm y c 1153012015030165
301207515030=?+???+??=
()()42
323249075001151653012012
3012075115150301215030mm I z =-??+?+-??+?=
MPa y I M z 1.266524907500101061max 1=??=-=σ;MPa y I M z 1.143524907500
10106
2max 2=??=-=σ
MPa y I M z 2.4611524907500
10106
3max 3-=??-=-=σ
5.2 如图所示,圆截面梁的外伸部分系空心圆截面,轴承A 和D 可视为铰支座。试求该轴横截面上的最大正应力。
解:剪力图和弯矩图如下:
m kN M B ?=344.1,m kN M D ?=9.0
MPa D M W M B z B B 4.636010344.132323
63max ,=???===ππσ ()()
MPa D M W M D z D D 1.6275.0160109.03213243643max
,=-????=-==παπσ 故,MPa 4.63max =σ
5.3 图示简支梁受均布载荷作用。已知材料的许用应力[σ]=160MPa 。(1)设计实心圆截面的直径d ;(2)设计宽度与高度之比b /h =2/3的矩形截面;(3)设计内径与外径之比d /D =3/4的空心圆截面;(4)选择工字形截面的型钢;(5)分析以上4种截面的合理性。
解:最大弯矩为m kN 204108
1
8122max ?=??==ql M
[][]36
max max max 125000160
1020mm M W W M z z =?=≥?≤=σσσ
实心圆截面:32
3
d W z π=
,故[]mm 109=d ,
6.13=A
W z
; 矩形截面 :963
2h bh W z =
=,故[][]104mm mm 4.96==h b ,,3.17=A W z ; 空心圆截面:()()3275.013214343-=
-=D D W z παπ,故[]mm 124=D ,2.24=A
W
z ;
工字形截面:选16号,
0.54=A
W z
。 由以上计算可见,工字形截面的单位面积抗弯能力最强。
5.4 图示20a 工字钢简支梁。已知材料的许用应力为[σ]=160MPa ,试求许可载荷F 。
解:最大弯矩为()m kN 3
2
23131max ?=??==F F Fa M
20a 工字钢:3237cm W z =
[]kN F F W M
z 9.56102371032
3
6
max max ≤?≤??==σσ
5.5 图示T 形截面悬臂梁。材料为铸铁,其抗拉许用应力[t σ]=40MPa ,抗压许用应力[c σ]=160MPa ,截面对形心轴z 的惯性矩4cm 10180=Z I ,cm 64.91=h 。试按正应力强度条件计算梁的许可载荷F 。
解:()m kN 2max
?==+
F M M C ()m kN 2max ?==-
F M M B C 截面:
[]t z C t
c F h I M σσ≤???==6.15310101801024
62max ,
kN F 3.13≤
[]c z C c
c F h I M σσ≤???==4.9610101801024
61max ,
kN F 5.84≤ A 截面:
[]t z B t
B F h I M σσ≤???==4.9610101801024
61max ,,kN F 2.21≤
[]c z B c
B F h I M σσ
≤???==6.15310101801024
62max
,,kN F 0.53≤ 故,取[]kN F 3.13≤。
5.6 起重机导轨梁由两根工字钢组成。起重机自重kN 501=F ,起重量kN 102=F 。已知材料的许用正应力[σ]=160MPa ,许用切应力[τ]=100MPa 。不考虑梁的自重,试按正应力强度条件选择工字钢的型号,并进行切应力强度校核。 解:剪力图和弯矩图如下。
可能最大的弯矩及极值为
()()x x x M 6501-=,()0125011=-=??x x
x M ,m x 17.41=,m kN M ?=2.104max ,1 ()()()x x x M -+=86102,()0123822=-=??x x
x M ,m x 17.32=,m kN M ?=2.140max ,1 故,当m x 17.3=,弯矩最大,其值为
m kN M ?=2.140max
[][]36
max max max mm 8.438020160
2102.14022=??=≥?≤=σσσM W W M z z
查表,可选取28a 工字钢,3mm 508000=z W ,mm 246=z
z S I
,mm b 5.8=。
当m x 8=,kN 58max ,=S F ,
[]ττ≤=???==MPa bI S F z z S 9.13246
5.8210583
max ,max
结构满足剪切强度条件。
5.7 图示由三根木条胶合的悬臂梁,其长度l =1m 。木材的许用正应力[σ]=10MPa ,许用切应力[τ]=1MPa ,胶合面的许用切应力[胶τ]=。试求许可载荷F 。 解:()m kN F Fl M ?==max
木材弯曲正应力校核:
[]kN 75.31501001062
6
max max ≤?≤???==F F W M z σσ
木材切应力校核:
[]kN 10150
100105.15.13
max ≤?≤??==F F A F ττ
胶合面切应力校核:
[]kN 825.312
/15010010050100501033≤?≤??????==F F bI FS z z s 胶胶ττ
综合,可得[]kN 75.3=F 。
5.8 图示槽形截面外伸梁。已知材料的抗拉许用应力[t σ]=50MPa ,抗压许用应力[c σ]=120MPa ,许
用切应力[τ]=30MPa 。试校核梁的强度。 解:剪力图和弯矩图如图。
m kN 10max ?==+D M M
m kN 20max ?==-B M M
mm y 6.153200100250150100
2001001252501502=?-???-??=
,mm y 4.966.1532501=-=
()()4
2
3231018601191006.153200100122001001256.15325015012250150mm I z =-??-?--??+?= D 截面弯曲强度校核:
[]t z D t
D MPa y I M σσ≤=??==1.156.153101860119
101062max ,
[]c z D c
D MPa y I M σσ
≤=??==47.94.96101860119
101061m ax
, B 截面弯曲强度校核: []t z B t
B MPa y I M σσ≤=??==9.184.96101860119
102061max ,
[]c z B c
B MPa y I M σσ≤=??==2.306.153101860119
10206
2max
,
切应力强度校核:
3max ,6.5896042
6
.1536.153252mm S z =???=
[]ττ≤=???==MPa bI S F z z 32.2101860119
506.58960410203max ,max max
故,梁满足强度条件。
5.9 图示18号工字钢梁,其上作用着可移动的载荷F 。为提高梁的承载能力,试确定a 的合理数值及相应的许可载荷F 。设材料的许用应力为[σ]=160MPa 。 解:两种情况可能弯矩最大,如图。
类似题,只有当()Fa a F =-2
6时,最大弯矩最小,即m 2=a 。 ()m kN 2max ?=F M 查表,18号工字钢截面:
3mm 185000=z W 则,
[]σσ≤?==185000
1026
max max F W M z
kN 8.14≤F
5.10 我国晋朝的营造法式中,给出矩形截面梁的高度与宽度之比为2:3。试用正应力强度条件证明:从圆木中锯出的矩形截面梁,上述尺寸比例接近最佳比值。
解:()6
6222b d b bh W z -== d b b d b W z 3306322=?=-=??,d b d h 3622=-= 5.12≈=b
h
5.11 均布载荷作用下的等强度简支梁,材料的许用正应力为[σ],许用切应力为[τ]。假设其横截面为矩形,宽度b 保持不变。试求截面高度h 沿梁轴线的变化规律。
解:()22
1
21qx qlx x M -=
()()()[]()[]
σσσb x lx q
x h x bh x lx q x bh qx qlx W x M z 2
2222
max 3321216-=?=-=-==
()qx ql x F s -=
21,ql F s 2
1max ,= ()[][]
τττb ql h bh ql bh ql x A F s 434321
5.15.1max ,max
≥?≤===