高三数学二轮专题复习教案――数列

高三数学二轮专题复习教案――数列 一、本章知识结构：

二、重点知识回顾

1．数列的概念及表示方法

（1)定义:按照一定顺序排列着的一列数.

(2）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法)、图象法.

(３）分类:按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．

(4)n a 与n S 的关系：

11(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?

-?≥． 2.等差数列和等比数列的比较

(1）定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数(不为0）的数列叫做等比数列． （2）递推公式：110n n n n a a d a a q q n *

++-==≠∈N ，·，，．

（３)通项公式：

111(1)n n n a a n d a a q n -*

=+-=∈N ，，.

（4）性质

等差数列的主要性质:

①单调性：0d ≥时为递增数列,0d ≤时为递减数列,0d =时为常数列．

②若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ，，，.特别地，当2m n p +=时，有2m n p a a a +=．

③

()()

n m a a n m d m n *-=-∈N ，．

④

232k k k k k S S S S S --，，，…

成等差数列.

等比数列的主要性质:

①单调性：当

1001

a q

<

或101a q >??>?时，为递增数列;当101a q ?，，,或1001a q >??<

1q =时,为常数列．

②若m n p q +=+,则()m n p q a a a a m n p q *=∈N ··，，，．特别地，若2m n p +=,则2m n p

a a a =·.

③(0)n m n

m a q m n q a -*=∈≠N ，，.

④

232k k k k k

S S S S S --，，,…，当1q ≠-时为等比数列；当1q =-时，若k 为偶数，不是等比数列．若k 为奇数,是公

比为1-的等比数列.

三、考点剖析

考点一：等差、等比数列的概念与性质 例1. （2008深圳模拟)已知数列.

12}{2n n S n a n n -=项和的前

（1）求数列

}

{n a 的通项公式; (２）求数列

.

|}{|n n T n a 项和的前

解:(1)当

111112,12

11=-?===S a n 时;、 当

.

213])1()1(12[)12(,2221n n n n n S S a n n n n -=-----=-=≥-时，

.213111的形式也符合n a -=.213}{,n a a n n -=的通项公式为数列所以、

(2）令.

6,,0213*≤∈≥-=n n n a n 解得又N

当2

212112||||||,6n n S a a a a a a T n n n n n -==+++=+++=≤ 时；

? 当

|

|||||||||,67621n n a a a a a T n ++++++=> 时

n

a a a a a a ----+++= 87621

.

7212)12()6612(222226+-=---??=-=n n n n S S n

综上，

?????>+-≤-=.6,7212,6,122

2

n n n n n n T n 点评:本题考查了数列的前n 项与数列的通项公式之间的关系,特别要注意ｎ＝1时情况，在解题时经常会忘记。第二问要分

情况讨论,体现了分类讨论的数学思想． 例2、(2008广东双合中学）已知等差数列}

{n a 的前n 项和为

n

S ,且

35

a =，

15225

S =. 数列

}

{n b 是等比数

列,

32325,128

b a a b b =+=(其中1,2,3,n =…）．

(I)求数列

}

{n a 和

{}

n b 的通项公式；（II)记

,{}n n n n n

c a b c n T =求数列前项和.

解：（I)公差为d ，

则???=?+=+,22571515,5211d a d a 1

2,2,

11-=?

?

?==∴n a d a n 故(1,2,3,n =)….

设等比数列}{n b 的公比为q ，??????=?=,128,

82

333q b q b b 则 .2,83==∴q b

?n n n q b b 233=?=∴-(1,2,3,n =)

….

(II ）,

2)12(n n n c ?-=

2323252(21)2,

n n T n ∴=+?+?+

+-?

.2)12(2)32(2523221432+?-+?-++?+?+=n n n n n T

作差:

1

15432)12(22222++?--+++++=-n n n n T

?311

2(12)2(21)212n n n -+-=+--?-

31122122(21)(21)222822n n n n n n n -++++=+---?=+--+162(23)n n +=---? 1(23)26n n T n +∴=-?+(1,2,3,n =)

…．

点评:本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前n 项和的解法，要抓住它的结特征,一个等差数列与一个等比数列之积,乘以2后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思想。 考点二:求数列的通项与求和

例3.(2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵:

按照以上排列的规律，第n 行(3≥n )从左向右的第３个数为

解:前n －1 行共有正整数1＋2＋…+(ｎ-1)个,即22n n -个,因此第ｎ 行第 3 个数是全体正整数中第22n n

-＋3个，即为

26

2n n -+.

点评:本小题考查归纳推理和等差数列求和公式,难点在于求出数列的通项,解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。 例4.（２008深圳模拟）图(1）、（2）、（3）、(４)分别包含1个、５个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎含()f n 个“福娃迎迎”,按同样的方式构造图形，设第n 个图形包迎”,则(5)f = ；()(1)f n f n --=__＿＿

解：第1个图个数:1 第2个图个数:1＋3＋1

第3个图个数：1+3＋5+３+1

第4个图个数：1+3+5+7＋５+3+1

第5个图个数:1+３+５+７+9+７+5+3+1=41, 所以，f （5)=4１

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

………………

f （2)-f(1)＝４ ,f(3)-ｆ(2）=8,ｆ(4)-f(3）＝１2,f(5)－f(４）＝１6 ()(1)f n f n --=4(1)n -

点评:由特殊到一般,考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式,有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想。 考点三:数列与不等式的联系

例5．（20０9届高三湖南益阳）已知等比数列{}n a 的首项为

31

1=

a ,公比q 满足10≠>q q 且。又已知1a ,35a ,59a 成等差数

列。 (1)求数列

{}n a 的通项

(2)令

n

a n

b 13

log =,求证:对于任意n N *∈，都有

122311111 (1)

2n n b b b b b b +≤+++

（1）解：∵

315259a a a ?=+ ∴

24

111109a q a a q =+ ∴42

91010q q -+=

∵10≠>q q 且 ∴

1

3q =

∴113n n

n a a q --==

(2)证明：∵

1

3

3log log 3n

a n n

b n === ， 11111

(1)1n n b b n n n n +==-

++

∴12

231111111

111...1122311n n b b b b b b n n n ++++=-+-++

-=-++

12231

1111 (1)

2n n b b b b b b +∴≤+++

点评:把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第(２）问，采用裂项相消法法,求出数列之和，由n 的范围证出不等式。

例６、(２０0８辽宁理) 在数列

||

n a ，

||

n b 中,a1=2，b1=4,且

1

n n n a b a +，，成等差数列,

11

n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*

N )

（Ⅰ）求a ２,a3,ａ４及b2，ｂ3，b4,由此猜测

||n a ,

||

n b 的通项公式，并证明你的结论；

(Ⅱ)证明：11

221115

12n n a b a b a b +++<+++…．

解:(Ⅰ)由条件得

2

111

2n n n n n n b a a a b b +++=+=，由此可得

2233446912162025

a b a b a b ======，，，，，.

猜测

2

(1)(1)n n a n n b n =+=+，．

用数学归纳法证明:

①当ｎ＝１时，由上可得结论成立. ②假设当n=k 时，结论成立,即

2

(1)(1)k k a k k b k =+=+，,

那么当n ＝k+１时，

22

2

21122(1)(1)(1)(2)(2)k

k k k k k

a a

b a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，．

所以当n=ｋ+１时，结论也成立.

由①②,可知

2

(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立.

（Ⅱ)11

115

612a b =<

+． n ≥2时,由(Ⅰ）知

(1)(21)2(1)n n a b n n n n

+=++>+.

故11

2211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??

+++<++++ ?+++??+??…… 111111116223341n n ??=

+-+-++- ?+??… 111111562216412n ??=

+-<+= ?+??

综上，原不等式成立.

点评：本小题主要考查等差数列,等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.

例7． (２008安徽理)设数列{}n a 满足3

*010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数

（Ⅰ)证明：

[0,1]

n a ∈对任意*

n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈;

（Ⅱ)设

1

03c <<

,证明：1*

1(3),n n a c n N -≥-∈;

(Ⅲ)设

103c <<

，证明：22

2*

122

1,13n a a a n n N c ++

>+-

∈-

解： (１) 必要性 :

120,1a a c

==-∵∴ ，

又

2[0,1],011

a c ∈≤-≤∵∴ ,即[0,1]c ∈ 充分性 :设?[0,1]c ∈,对*

n N ∈用数学归纳法证明[0,1]

n a ∈ 当1n =时,10[0,1]

a =∈.假设

[0,1](1)

k a k ∈≥

则

3

1111k k a ca c c c +=+-≤+-=，且

3

1110

k k a ca c c +=+-≥-=≥

1[0,1]

k a +∈∴,由数学归纳法知

[0,1]

n a ∈对所有*n N ∈成立

（2） 设

1

03c <<

，当1n =时,10a =,结论成立

当2n ≥ 时，

32

11111,1(1)(1)

n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴

1

03C <<

∵，由(1）知1[0,1]n a -∈,所以

2

1113n n a a --++≤ 且 110n a --≥

113(1)

n n a c a --≤-∴

211

12113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-=∴

1*1(3)()

n n a c n N -≥-∈∴

103

c <<

,当

(3） 设

1

n =时,

212

0213a c =>-

-,结论成立

当2n ≥时，由（2）知11(3)0n n a c -≥->

2

1212(1)1

(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴

2222

2

2112212[3(3)(3)]n n n a a a a a n c c c -+++=++>--++

+∴

2(1(3))2

111313n c n n c c -=+->+--- 点评:本题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题,属于难题,复习时应引起注意，加强训练。

考点四：数列与函数、概率等的联系

例题８.. （200８福建理） 已知函数321

()2

3f x x x =+-．

（Ⅰ）设｛ａn ｝是正数组成的数列,前ｎ项和为Sn ，其中a １=３.若点2

11(,2)

n n n a a a ++-(n ∈N*)在函数ｙ＝f ′(x)的图象

上,求证:点（n,Ｓn ）也在y=f ′(x)的图象上；

（Ⅱ)求函数f （x ）在区间(a-1,a ）内的极值.

（Ⅰ)证明：因为321

()2,

3f x x x =+-所以f ′（x)＝ｘ2+2x ，

由点211(,2)(N )

n n n a a a n +

++-∈在函数y=ｆ′(x)的图象上,

又

0(N ),

n a n +>∈所以

11()(2)0,

n n n n a a a a -+---=

所以2(1)

32=22n n n S n n n -=+

?+，又因为f ′(n)＝n ２＋２ｎ,所以()n S f n '=，

故点

(,)

n n S 也在函数y ＝f ′(ｘ）的图象上.

(Ⅱ）解:

2

()2(2)f x x x x x '=+=+, 由()0,f x '=得02x x ==-或.

当ｘ变化时,()f x '﹑()f x 的变化情况如下表:

注意到

(1)12

a a --=<,从而

①当

2

12,21,()(2)3a a a f x f -<-<-<<--=-

即时的极大值为,此时()f x 无极小值；

②当10,01,()a a a f x -<<<<即时的极小值为(0)2f =-,此时()f x 无极大值;

③当2101,()a a a f x ≤--≤≤≥或或时既无极大值又无极小值．

点评:本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力. 例９ 、（２0０7江西理）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数 列的概率为（ ）

A. Ｂ． Ｃ． D.

解:一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1)公差为0的有６个;（2）公差为1或-1的有

8个；(3）公差为2或-2的有4个,共有18个，

成等差数列的概率为,选B

点评：本题是以数列和概率的背景出现,题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复。

考点五：数列与程序框图的联系

例1０、(2００9广州天河区模拟)根据如图所示的程序框图，将输出的x 、y 值依次分别记为

122008

,,,,,n x x x x ；

122008

,,,,,n y y y y

(Ⅰ）求数列

}

{n x 的通项公式

n

x ;

（Ⅱ)写出ｙ1,y2,y3，y4,由此猜想出数列{y ｎ}； 的一个通项公式yn ，并证明你的结论; (Ⅲ)求

1122(,2008)

n n n z x y x y x y x N n =+++∈*≤.

解:(Ⅰ)由框图，知数列2

,1}{11+==+n n n x x x x 中，

∴

12(1)21(*,2008)

n x n n n N n =+-=-∈≤

（Ⅱ）y1＝2，ｙ２=8，y3＝2６,y4=8０. 由此,猜想

31(*,2008).

n n y n N n =-∈≤

证明：由框图，知数列｛y ｎ}中,yn+1＝3y ｎ＋２ ∴

)

1(311+=++n n y y

∴111

3,1 3.1n n y y y ++=+=+

∴数列{ｙｎ+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。 ∴n y +1=３·3ｎ－1＝3ｎ

∴

n

y =３ｎ-1（*,2008n N n ∈≤)

(Ⅲ)zn=

n

n y x y x y x +++ 2211

=1×（３－1）＋３×(3２－1)+…+（２n －1)（3ｎ-1） =1×3+3×32+…+(２n-1）·3n －[1+3+…+（２n-１）］

记Sn ＝1×３+3×3２＋…+(２ｎ－1)·３n,① 则３Sn=１×3２+3×3３+…+（２n-1）×３ｎ+1 ② ①-②,得－2Ｓn=3+2·32+2·33＋…+2·3n －(2n －1)·3n+1 ＝2（3+３２+…＋3n ）－3-（2ｎ-1)·3ｎ＋1

=2×13·)12(331)

31(3+-----n n n =

113·)12(63++---n n n 63·)1(21

--=+n n ∴

.

33·)1(1+-=+n n n S

又1+3+…+(2n －1)=n ２ ∴

12(1)33(*,2008)

n n z n n n N n +=-?+-∈≤.

? 点评:程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方

面的内容是命题的新方向，应引起重视。 四、方法总结与2009年高考预测 （一）方法总结

1． 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数,通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。 2． 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题,对不等式的证明有比较法、放缩,放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。 ３. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。

(二）200９年高考预测 1． 数列中

n

S 与

n

a 的关系一直是高考的热点,求数列的通项公式是最为常见的题目,要切实注意

n

S 与

n

a 的关系.关于递推公

式,在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上,从近两年各地高考试题来看,是加大了对“递推公式”的考查。

２． 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论,需要考生猜出或自己找出结论,然后给以证明．探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.

３. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题,填空题,又有解答题；有容易题、中等题,也有难题。

４. 求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握,还应该掌握一些特殊数列的求和．

５. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查．

6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点,也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。 ７、数列与程序框图的综合题应引起高度重视。 五、复习建议

在进行数列二轮复习时，建议可以具体从 以下几个方面着手:

1．运用基本量思想(方程思想)解决有关问题； ２.注意等差、等比数列的性质的灵活运用;

３．注意等差、等比数列的前n 项和的特征在解题中的应用； 4．注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式；

5.根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想,写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳;

6.掌握数列通项ａn 与前n 项和Ｓn 之间的关系；

7．根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列; ８.掌握一些数列求和的方法 (1)分解成特殊数列的和 （２)裂项求和

(３)“错位相减”法求和

9．以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用．

以上关于数列二轮复习的几点建议仅供复习时参考,各校应根据自己的实际情况进行增减,四星以下的学校应重在基础，对于数列的综合问题可略讲,甚至不讲．