计数原理-二项式定理
二项式定理
知识点
1?二项式定理：
(a b)n C ：a n C ；a n 1b L
C ：a n r b r L C ；b n (n N ),
2. 基本概念：
① 二项式展开式：右边的多项式叫做
(a b)n 的二项展开式。
② 二项式系数：展开式中各项的系数 C n r (r 0,1,2, ,n). ③ 项数：共(r 1)项，是关于a 与b 的齐次多项式
④ 通项：展开式中的第 r 1项C ：a n r b r 叫做二项式展开式的通项。用 T r 1 C ；a n r b r 表示。
3. 注意关键点：
①项数：展开式中总共有 (n 1)项。
② 顺序：注意正确选择 a ,b ,其顺序不能更改。(a b)n 与(b a)n 是不同的。
③ 指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幕排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幕排列。各项的次数和等
于n .
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数， 二项式系数依次是
4. 常用的结论:
④ 奇数项的系数和与偶数项的系数和:
b 的系数 (包括二项式系数)。
C n , C n , C n ,
, C n ,
, C n
-项的系数是a
与
令 a 1,b x, (1 x)n C 0 C ：x C ：x 2 L C ；x r L C ；x n (n N 令 a 1,b x, (1 x)n C 0 C ；x CnX 2 L
c ；x r
L
n n n
(1) C n
X (n
5. 性质:
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 k
k 1
? ? ? C n
②二项式系数和：令 a b 1,则二项式系数的和为
Cn c n
Cn c n L
C ： 2n
,
1
变形式c n c
L C ； L
C ： 2n
③奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和: 在二项式定理中，令 a 1,b 1，则 C° C 1 Cn C 3
1)n C ； (1 1)n
从而得到：C
0 C
C ：
Cn r
c n c ； L
2r 1
C n
大值。
⑥系数的最大项：求（a bx ）n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
题型一二项式定理的逆用；
【例 1 】c n Cn 6 C ； 62 L Cn 6n 1 ________________ .
【过关练习】
题型二 利用通项公式求x n 的系数;
【例1】在二项式（4 1 3 x 2）n 的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x 3的项的系数?
【过关练习】
求（x 2 士）9展开式中x 9的系数?
(a n
x) C °a n 0 x
(x a) C °a 0 n x
令x 1, 则a o a 1 令x 1,
则a o a 1 ① ②得 ,a
0 a 2
① ②得 ,a 1 a 3
C ：a n 1x C ：ax n 1 a 2 a 2 a 3L
a 3 2 n 2 2 C n a x 2 2 n 2 C n a x a n (a L a n (a 1) n 0 n L C n a x n n 0 L C n a x 1)n n a 0 a 1x 1
a n x n L ①
② 2 a 2x 2 a 2x n L a n X 1 a 1x a 0 a 4L a n （
■^卫 宜」￡（奇数项的系数和） 2
a 5L a n
偶数项的系数和）
2
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数
n
n 是偶数时，则中间一项的二项式系数 C?取得最大值。
如果二项式的幕指数 n 是奇数时，则中间两项的二项式系数 n 1 n 1
C ^ , cF 同时取得最
为A L A 2,
, A n 1，设第r 1项系数最大，应有
A r 1 A r 1
A ，从而解出r 来。
A r 2
c n
2
3
3C n
9C n L
3n 1C ；
题型三利用通项公式求常数项;
2 1 10
【例1】求二项式（x 2..X）的展开式中的常数项? 【过关练习】
求二项式（2x
1 6
）6的展开式中的常数项?
题型四利用通项公式，再讨论而确定有理数项;
【例i】求二项式（；X 3 X）9展开式中的有理项？
题型五奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;
【过关练习】
若（3 1 5 b n的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。
题型六最大系数，最大项；
1
【例1】已知（2x）n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项2
式系数最大项的系数是多少？
【过关练习】
在（a b）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少?
256，求n.
题型七含有三项变两项；
【例1】求当（X 2 3x 2）5的展开式中x 的一次项的系数?
【过关练习】
题型八两个二项式相乘；
【例1】求（1 2x ）3（1 x ）4展开式中x 2的系数.
【过关练习】
求（1 3 x ）6（1『二）10展开式中的常数项
V x
题型九赋值法；
【例1】设二项式（33x 丄）“的展开式的各项系数的和为
p ，所有二项式系数的和为
x
p s 272 ,则n 等于多少？
【过关练习】
n
1?若3J x ￥ 的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为多少？
求式子（x
3
2）的常数项?
S ,若
U x
题型十 奇数项的系数和与偶数项的系数和;
【例1】在(x 72) 2006的二项展开式中,含x 的奇次幕的项之和为S,当x V 2时,S ____________
题型十一整除性；
2n 2
*
【例1】证明：3 8n 9(n N)能被64整除
课后练习
【补救练习】
”
5
5
4
3
2
1
1.右(x 2) a 5x a 4x a 3x a 2x a 1x a 0,则a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ___
2. 若(x 2
$n 的二项展开式中第5项为常数项，则n ________
x
3. 写出在(a b)7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？
1
4. 若展开式前三项的二项式系数和等于
79，求(
2x)n 的展开式中系数最大的项? 2
10
5. 在(1 2x)的展开式中系数最大的项是多少？
6.已知(1 x x 2)(x A )n 的展开式中没有常数项，n N *且
2 n 8,则n
x
2.写出(x y)11的展开式中：
8.若(1
2x)
2009
1 2
3
■
2009 z
a 0 a 1x a 2x
a 3x L a 2009x (x
R),则 | 鱼
22
；2009的值为
【巩固练习】
1?二项式 ( A . 2、x
)
1
n
41x
01
2的展开式中，前三项的系数依次成等差数列
则此展开式有理项的项数是
B . 2 C. 3 D . 4
7.
在(f
1 3J n
的展开式中,
只有第
5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少?
(1 )二项式系数最大的项；
(2)项的系数绝对值最大的项；
(3 )项的系数最大的项和系数最小的项;
(4)二项式系数的和；
(5)各项系数的和
【拔高练习】
1 .若（l x
1
6)0展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列. ?? x
(1) 求n的值;
(2)此展开式中是否有常数项，为什么?
1
2 .已知(丄2x)n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展式中二项式系数最大的项的系数.
4
3?是否存在等差数列a n，使a1C(n a2c n a3c2
求出数列a n的通项公式；若不存在，请说明理由.
4.某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%。如
果人口年增加率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少亩(精确到1亩)？
5.设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n N),若其展开式中，关于x的一次项系数为11,试问：m、n取何值时，f(x) 的展开式中含
x2项的系数取最小值，并求出这个最小值?
a n 1C n n 2n对任意n N都成立？若存在,