专题32 概率及其应用(学生版)

1. 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率为23和3

4

，两个零件是

否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）

A. 12

B. 512

C. 14

D. 16

2. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件,A B 中至少有一件发生的概率是（ ）

A. 512

B. 12

C. 712

D. 34

3. 锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同，从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）

A. 891

B. 2591

C. 4891

D. 6091

4. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率为（ ）

A. 49

B. 13

C. 29

D. 19

5. 某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为4

5

，那么播下4粒种子恰有2粒

发芽的概率是（ ）

A. 16625

B. 96625

C. 192625

D. 256625

6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）

A. 12

B. 35

C. 23

D. 34

7. 如图，在矩形区域ABCD 的,A C 两处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则地点无信号的概率是（ ）

A. 14-

π B. 12-π C. 22-π D. 4

π

8. 为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该食品5袋，能获奖的概率为（ ）

A. 3181

B. 3381

C. 4881

D. 5081

9. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩形，邻边长分别等于线段,AC CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2 的概率为（ ） A. 16 B. 13 C. 23 D. 45

10. 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）

11. 一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查1枚；方法二：在5箱中各任意抽查2枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为1p 和2p ，则（ ） A. 12p p = B. 12p p < C. 12p p > D. 以上三种情况都有可能 12.

位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；

移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1

2

．质点P 移动

五次后位于点()2,3的概率是（ ）

A. 512?? ???

B. 52512C ?? ???

C. 33512C ?? ?

??

D. 5

235512C C ?? ??? 13. 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪

亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）

A. 14

B. 12

C. 34

D. 78

14. 如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以,OA OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）

A. 21-

π B. 112-π C. 2π D. 1π

A.

14 B. 15 C. 16 D. 17

15. 将5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（ ）

A. 15

B. 25

C. 35

D. 45

16.

从n 个正整数1,2,,n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于

5的概率为1

14

，则n =_____.

17. 利用计算机产生01之间的均匀随机数a ，则事件“310a ->”发生的概率为_______. 18. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命（单

位：小时）均服从正态分布()2

1000,50N ，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_______.

19. 现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为________. 20.

盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，则这

两个球的编号之积为偶数的概率是______（结果用最简分数表示）. 21. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为_______. 22.

从如图所示的长方形区域内任取一个点(),M x y ，则点M 取自阴影部分

的概率为_____.

23. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方

体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是______. 24. 随机抽取的9个同学中，至少有2个同学在同一月份出生的概率是_____（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）.

25. 甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白

球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为_______（答案用分数表示）. 26.

对有n （4n ≥）个元素的总体{}1,2,3,

,n 进行抽样，先将总体分成两个

子总体{}1,2,3,

,m 和{}1,2,,m m n ++（m 是给定的正整数，且

22m n ≤≤-），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用ij P 表

示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P =_____；所有ij P （1i j n ≤<≤）的和等于_____.

27. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_____（写出所有正确结论的编号）.

①()25P B =；②()15

11

P B A =；③事件B 与事件1A 相互独立；④1A ，2A ，

3A 是两两互斥的事件；⑤()P B 的值不能确定，因为它与1A ，2A ，3A 中究竟哪一个发生有关. 28.

某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为4

5

，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为,p q （p q >），且

不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为：

（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； （Ⅱ）求,p q 的值； （Ⅲ）求数学期望E ξ.

29.

如图，A 地到火车站共有两条路径1L 和2L ，据统计，通过两条路径所用

的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站.

（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内能赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

（Ⅱ）用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X 的分布列和数学期望.

30.甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随

即结束．除第五局甲队获胜的概率是1

2

外，其余每局比赛甲队获胜的概率都

是2

3

．假设各局比赛的结果相互独立.

（Ⅰ）分别求甲队以3:0，3:1，3:2胜利的概率；

（Ⅱ）若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望.

31.现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选

择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．

（Ⅰ）求这4人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

（Ⅱ）求这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

ξ=-，（Ⅲ）用,

X Y分别表示这4人中去参加甲、乙游戏的人数，记X Y 求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.

32. 某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n 为学生，每次活动均需该系k 位学生参加（n 和k 都是固定的正整数）．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X .

（Ⅰ）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （Ⅱ）求使()P X m =取得最大值的整数m .

33. 设不等式组2210

x y y ?+-≤?≥?表示的平面区域为M

，不等式组

0t x t

y -≤≤???≤≤??N ．在M 内随机地取一个点，这个点在N 内的概率的最大值是______.