随机过程第一章习题解答
第一章习题解答
1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k === 。求
X 的特征函数，EX 及DX 。其中01,1p q p <<=-是已知参数。 解 0
()()jtx
jtk k X k f t E e
e pq ∞
===
∑ 0
()k jtk k p q e ∞
==∑
=0()1jt k
jt k p
p qe qe
∞
==
-∑ 又20
()k
k
k k q q E X kpq p kq p
p p
∞∞
======∑∑ 222
()()[()]q
D X
E X E X P =-=
（其中 0
(1)n
n
n n n n nx
n x x ∞
∞
∞
====+-∑∑∑）
令 0
()(1)n n S x n x ∞
==+∑
则 1
000
()(1)1x
x
n
n k n x S t dt n t
dt x
x
∞
∞
+===
+=
=-∑∑?? 20
220
1
()()(1)11(1)1(1)x
n n d
S x S t dt dx
x x
nx x x x ∞
=∴=
=-∴=-=
---?∑
同理 2
(1)2k
k
k
k k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞
=====+--∑∑∑∑
令20
()(1)k k S x k x ∞
==+∑ 则
21
1
()(1)(1)x
k
k k k k k S t dt k t dt k x
kx ∞∞
∞
+====+=+=∑∑∑?）
2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为
1,0()0,0()0,0p p bx
b x e x p x b p p x --?>?
=>>Γ??≤?
（2） 其期望和方差；
（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可
加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则
10
()()
p jtx
p bx
X b f t e
x e dx p ∞
--=Γ? 1()0
()p p jt b x b x e dx p ∞
--=Γ? 101()()()()(1)
p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b
∞
----==Γ---?
1
(())x p p e x dx ∞
--Γ=
? （2）'1()(0)X p E X f j b
∴=
= 2''221(1)()(0)X p p E X f j b
+=
= 222
()()()P
D X
E X E X b ∴===
（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i =则
121212()
()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b
-++==-
1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+
同理可得：
()()i
i
P X b f t b jt
∑=∑-
3、设ln (),()(k Z F X E Z k =并求是常数）。X 是一随机变量，()F x 是其分布
函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数； （2）ln (),()(k Z F X E Z k =并求是常数）。
解 （1）11{()}{()}[()]P F x y P x F y F F y y --<=<== （01y ≤≤） ∴
0()0111
y F y y
y y
=≤≤??>?
∴()F x 在区间[0，1]上服从均匀分布
()F x ∴的特征函数为1
1
00
1()(1)jtx jtx jt X e f t e dx e jt jt ===-? 1()()(1)
jbt jbt jta Y X f t e f at e e jat
==- （2）ln ()
()()[]jtz jt F x Z f t E e E e
== =1
ln 0
1jt y
e dy ??
=1
1
1jt
y dy jt =+?
'2()(1)(1)Z f t j jt -∴=-??+
''23()(1)(2)(1)Z f t j jt -=--??+
()
(1)
()(1)!(1)
k k
k
k Z f t k j jt -+=-??+
()1()(0)(1)!k k k
Z k E Z f k j
∴=
=- 4、设12n X X X ，，相互独立，
且有相同的几何分布，试求1
n
k k X =∑的分布。 解
1
1
()()n
k
k n
k
k jt
x X f
t E e
==∑=∑
=1
()k
n
jtx k E e =∏
=11n
jt
k p
qe
=-∏
=(1)n jt n p qe - =0()k n k jtk n k C p q e ∞
=-∑
∴1
{}()n
k n k k n k P x n k C p q ==+=-∑
5、 试证函数(1)
()(1)
jt jt jt e e f t n e -=-为一特征函数，并求它所对应的随机变量
的分布。
证 （1）000(1)1(1)
lim ()lim lim 1(1)1jt jnt jt jt jt
jt
t t t e e e e f t n e n e +++→→→--===-- 0000(1)1(1)lim ()lim lim lim 1(1)1jt jnt jt jt jt jt t t t t e e e f t e n e n e
----→→→→--===--
(0)1f ∴=
lim ()1t f t →= ∴ ()f t 为连续函数
11
11
{1()}()(1)
i i k
k i
k jt jt n
n n
n n
jt jt i
k i k i k
jt i k i k jt e e e e f t
t e
n e
λλλλ====--=-∑∑∑∑
=11{1()(1)}(1)
i i i
k
k k i
k jt jt jt n n jt jt jt i k jt i k jt e e e e e e e
n e
λλ==-++-∑∑ =()111
1[]i k n n n j t t l
i k
i k l e n λλ-===∑∑∑
=1111i
k jlt n n n i k jlt i k l e n e
λλ===∑∑∑
=1111
1i k
n n n n jlt jlt i k i l k l e e
n λλ-====∑∑∑∑ 11()0n
n
i k i k i k f t t λλ==∴-≥∑∑
∴非负定
（2）(1)
()(1)
jt jnt jt e e f t n e -=-
=2(1)(1)(1)
(1)
jt jt jt jt n tj jt
e e e e e n e --+++- =1
1n jtk
k e n =∑
∴1{}k P x k n
≤= （0,2,k n = ）
6、证函数2
1
()1f t t =
+为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 解 （1）11
()n n
i
k i k i k f t
t λλ==-∑∑
=2
2
11
11
01()
1n
n
n n
i k
i k
i k i k i k t t M
λλλλ====≥≥+-+∑∑
∑∑
（1,max{}i k i j n
M t t ≤≤=-）
且()f t 连续(0)1f =∴()f t 为特征函数 （2）22
11111
()[]11()211f t t jt jt jt
=
==++--+ =(1)(1)0
1[]2jt x
jt x e
dx e dx ∞
∞
+---?? =12jtx x
e dx ∞
--∞
? =12
x
jtx
e
e dx ∞
--∞
? ∴1()2
x P x e -=
7、设12n X X X ，，相互独立同服从正态分布2(,)N αδ，试求n 维随机向量12(,,)n X X X 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求X
1
1n
i i X n ==∑的率密度函数。 解 121
(,,)()i
n
n x i i P x x x P
x ==
∏
2
1
2
2
()
1exp{}2(2)n
i i n n
x a σπσ=-=
-
∑
又 i X 的特征函数为：221
2
()exp{}i X f t jat t σ=-
1222
1,122
1
1
(,)()exp{()}n n n
X X X n i i i i i f t t t f t jat t σ====-∑∏ ∴ 均值向量为{,,}αααα=
∴ 协方差矩阵为222(,,)B diag σσσ=
又
22121()(,,)()exp{]n
t t t t n n n n n X i f t f f jat t σ====-∏
8、设X ．Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(,)m p 及(,)n p 分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b Γ的分布。求X+Y 的分布。
解（1）0
()k n
jtx jtx x x n x
X
k n k
x f t e P e C p q --===∑∑ =0
()n
it x x n x n x pe C q --=∑
=0
(
)n
p n
jt x
x n q x q
e C -=∑
=(1)p n jt n
q q e -+
=()jt n q pe -+
则 12,1,2()()()jt jt m n
X Y f t t pe q pe q =++
∴
()()()()jt m n X Y X Y f t f t f t pe q ++==+
∴(,)X Y b m n p ++
（2）
1
12()
12()(1)
()(1)
(,)
p X p p X Y jt f t b
jt f t b
X Y p p b --++=-∴=-∴+Γ+ 9、已知随机向量（X 、Y ）的概率密度函数为
22
1
4[1()],1,1(,)0,xy x y x y p x y ?+--<<=?
?
其他 求其特征函数。
解
12()12(,){}j t x t y f t t E e +=
＝1211()331
411(1)j x t y e
x y xy dy +--?+-?? ＝11
1
331
2221
[cos ()sin ]jt x e dx t y j x y xy t y dy -+-??
＝1212
1
sin sin t t t t 10、已知四维随机向量1234(,,,)X X X X 服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为44,()kl B E δ?=1234求（X X X X ）。
解 144
4
1414
14(,)(,)()[](,)
t t f t t E X X j t t -==?=?
又 '
114(,)exp[]
f t t tBt =- ＝4
4
12
11
exp{}k
l k l
k l t t σσ==-
∑∑
其中1
112
132
1222324
313233344
1
4
243
4
4
B σσσσσ
σσσσσσσσσ
σ
σ?? ? ?= ? ? ???
cov(,)kl k l X X σ=
(,1,2,3,4)k l =
∴
123
4
13
24
E σσσσσ
σ++1234（X X X X ）= 11、设123X X X ，和相互独立，且都服从N （0，1），试求随机变量
112212Y X X Y X X =+=+和组成的随机向量12（Y，Y）的特征函数。
解 12,33
,1231
(,,)exp{}X X X k k
k f t t t j t x
==∑
＝3
3
2
121
1exp{}k k
jt x k k k e
t ===-∑∏
＝123,,1234(,,)X X X f u u u u +
＝222
112122
exp{[(())]}u u u u +++ 12、设123X X X ，和相互独立，都服正态分布δ2N （0，），试求：
（1） 随机向量123（X ，X ，X ）
的特征函数。 （2） 设112123123,,,S X S X X S X X X ==+=++，求随机向量123(,,)
S S S 的特征函数。
（3） 121232Y X X Y X X =-=-和组成的随机向量12（Y，Y）的特征函数。 解
（
１
）
123
22
,
,
1
2
1
(,,)2
X X X f t
t
t
σ+
++=
（２）1
2,3
,123112233(,,){exp[()]}S S S f t t t E j t s t s t s =++
＝
123123233{exp[(()()]}E j t t t x t t x t x +++++
＝1
2
3
,,123233(,,)X X X f t t t t t t +++
＝
2221232331
exp{[()()]}2
t t t t t t σ-+++++
（３）112212()
,12(,){}j t y t y Y Y f t t E e +∴=
＝
1112223{exp[(()]}E j t x t t x t x -+-+
＝222
2111222exp[(()]
}t t t t σ-+-+ 13、设123（X ，X ，X ）
服从三维正态分布N （0，B），其中协方差矩阵为,ld δ?33B=（），且2
112233.δδδδ===试求。
解22222
2123[()()()]E X X X δδδ---
＝2222222224261231213231[][]3[]E X X X E X X X X X X E X σσ-+++-
又'12
()exp{}f t tBt =- 12344201222
12
2t t
t f b t t σ===?∴=+?
同理可得 224
1313()2E X X b σ=+ 22422323()2E X X b σ=+
222622221231213122313()228E X X X b b b b b σσσ=+++ ∴22
2
2
2
2
123
122313
[()()()]8E X X X b b b
δ
δ
δ---= 14、设12n X X X ，，相互独立同服从分布δ2
N （0，）
。试求21
exp()n
n i i Y X ==-∑的期望。
解2(0,)k X N σ (1,2,k n =
令12(,,)n X x x x = 12(,,)n t t t t = 则
222'
221
11()exp{(,,)}exp{}22n X k k f t tdiag t t σσσσ==-=-∑
2
1
(){exp()}n
n k k E Y E t =∴=-∑
22
221k
k x n
x k k d x σ+∞
--=-∞
=
∏?
122
2
1
(
)2n k
y x σ=+
21221
1
((1))2k n
y k k e dy σ+∞
--=-∞
+?
＝21
1
(1)2n
k σ=+ ＝2
2
(12)n σ-+
15、设X ．Y 相互独立同分布的(0,1)N 随机变量，讨论22X
U X Y V Y
=+=和的独立性。
解 22
12Z X Y X
Z Y
?=+?
?=?? ∴有
2
2
12x z x y x z y y ?=??=+?????
=??=???
或x y ?=????=?? 则21
2
22122222(1)x y
y
x
y
x J
z y
--=
=--=-+
又222
1(,)2x y X Y R x y e π
+-?=
2(,)x y R ∈
11212,121222
211
(,)[](0,)2(1)
z Z Z P z z e z z R z π-∴=->∈+
1
1211()2
z Z P z e
-=1(0)z > 2222
11()21Z P z z π=
?+2z R ∈
∴1Z 服从指数分布，
2Z 服从柯西分布，且
对21,2(),z z R ?∈有
1212,1212(,)()()Z Z Z Z P z z P z p z =? ∴12,Z Z 相互独立。
16、设X ． Y 相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量，讨论
X
U X Y V X Y
=+=
+和的独立性。 解（1）0
()00x X x e P x x -≥?=?
(),0,0
(,)0
x y X Y x y e P x y -+≥≥?=?
?其它 (2)001
u U V
u v ue P u -≤≤
? -[u(1-v)+uv]
（u,v）=e 其它 (3)00
()(,)0
U U V u
u P u P u v dv ue u +∞
--∞
≥?? 0
001()101V u
v v P v ue du v +∞
-?
<≥?=?=≤
(,)u v R ?∈均成立
∴,U V 相互独立
17、设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数分别如下，试求)Y y =E （X
（1）1,0,0(,),0x y y
x y e
p x y y --?>>?=???
其它
（2）2,0(,),0
x y x
e p x y λλ-<
证 （1）{}()X Y E X Y y xP x y dx +∞
-∞
==?
=
00
11x y
x y
y y x e dx y y
e dx y
+∞
--+∞
--?=?
?
（2）221()
x y x y
x e dx
y
E X Y Y e dx λλλλλ
λ+∞
-+∞
-+==?
?
18、设X 、Y 是两个相互独立同分布的随机变量，X 服从区间[0，1]上的均匀分布，Y 服从参数为λ的指数分布。试求（1）X 与X+Y 的联合概率密度；（2）().D X Y y =
解 1(0,1)
()0X x P x ∈?=?? 其它
()0
y Y e P y λλ-≥?=?
?y 0
y<0 ∴,01(,)0
y X Y x e P x y λλ-≤≤≥?=??y 0
其它y<0
令U X V X Y =??=+? 则10J =≠x u
y v u =??=-?
∴(),,01(,)(,)0
v u X X Y X Y u v u e P u v P u v u J λλ--+≤≤≥?=-=?? 其它
（2）111
3412()()D X Y y D x ===-=
19、设,0,1,2,n X n =±± 是一列随机变量，且01211n k k
k n n X n n n ??
?-
?
=
? ?- ???
，其中K 是正常数。试证：
（1） 当1n k X >时，几乎收敛于0。 （2） 当2n k X >时，均方收敛于0； （3） 当20n k X ≤时，不均方收敛于。 证 令0X =
k P 1
k
n
2
1k
n
-1
k
n
n X
n - 0
n
k P 2
1k
n
-2
k
n
∴
2n X 0 2n
∴{lim 0}1n n P X →∞== ( 当1k >，2
lim
0k
n n →∞
=) n X 几乎肯定 收敛于0
2
2
2{}{}2k n n E X X E X n --==
当2
22lim {}lim 20k n n n k E X X n -→∞→∞
>-== 时， ∴n X 均方收敛于0
当2k ≤时，2
lim {}0n n E X X →∞
-≠ 即0n X 不均方收敛于。
20、设,,.P P P
n n n n X a Y b X Y a b ??→??→±??→+试证
证0ε?>
{()()}n n x y a b ε±-±≥={()()}n n x a y b ε-±-≥
{}{}22
n n x a y b εε
?-≥-≥
∴0{()()}n n P x y a b ε≤±-±≥
{}{}022
n n P x a P y b εε
≤-≥+-≥→()n →∞ ∴P
n n x y a b ±??→±
最新随机过程考试试题及答案详解1
随机过程考试试题及答案详解 1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）? ∞ -= x dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数； （2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ，分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E += ，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ，分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21 )(λ=x D ； （4）2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ， 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 （1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知， )(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ，一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(；
中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案
（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。 （3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程， 且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？ 解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-
随机过程试题带答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 山东财政学院 2009—2010学年第 1 学期期末考试《应用随机过程》试卷(A ) （考试时间为120分钟） 参考答案及评分标准 考试方式： 闭卷 开课学院 统计与数理学院 使用年级 07级 出题教师 张辉 一． 判断题（每小题2分，共10分，正确划√，错误划ⅹ） 1. 严平稳过程一定是宽平稳过程。（ⅹ ） 2. 非周期的正常返态是遍历态。（√ ） 3. 若马氏链的一步转移概率阵有零元，则可断定该马氏链不是遍历的。（ⅹ ） 4. 有限马尔科夫链没有零常返态。（√ ） 5．若状态i 有周期d, 则对任意1≥n , 一定有：0)(?nd ii p 。（ⅹ ） 二． 填空题（每小题5分，共10分） 1. 在保险公司的索赔模型中，设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司，若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，一年中保险公司的平均赔付金额是＿＿240000元＿＿＿。 2．若一个矩阵是随机阵，则其元素满足的条件是：（1）任意元素非负（2）每行元素之和为1。 三． 简答题（每小题5分，共10分） 1． 简述马氏链的遍历性。 答：设) (n ij p 是齐次马氏链{}1,≥n X n 的n 步转移概率，，如果对任意 I j i ∈,存在不依赖于i 的极限0)(?=j n ij p p ，则称齐次马氏链{}1,≥n X n 具有遍历性。 2． 非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同？ 答：非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于：强度λ不再是常数，而是与t 有关，也就是说，不再具有平稳增量性。它反映了其变化与时间相关的过程。如设备的故障率与使用年限有关，放射物质的衰变速度与衰败时间有关，等等。 四． 计算、证明题（共70分） 1. 请写出C —K 方程，并证明之. （10分） 解： 2. 写出复合泊松过程的定义并推算其均值公式. （15分） 解：若{}0),(≥t t N 是一个泊松过程，是Λ,2,1,=i Y i 一族独立同分布的随机变量，并且与{}0),(≥t t X 也是独立的， )(t X =∑=t N i i Y 1，那么{}0),(≥t t X 复合泊松过程 《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自 相关函数分别为Rx()和Ry()。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案： （1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== ：独立的性质和利用 （2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。 答案： （1） 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数： ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压：y(t) 电压：x(t) 电流：i(t) 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平）？050.=α解：这是单个正态总体),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0μ-=已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ，计算得n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值.052.2)27(025.0=t 由于，故拒绝0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语 052.2>T 2622.2>成绩为85分.二、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录:借出图书数 k 0 1 2 3 4 5 6≥7频数 f 8 16 17 10 6 2 1 0试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布? （取显著性水平） 050.=α解：由极大似然估计得.2?==x λ在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。则有估计 }{k X P ==i p ? ,7,0,!2}{?2===-k k e k X P k =0?p 三、某公司在为期10年内的年利润表如下： 年份 1 2 3 4 5 6 7 8910利润 1.89 2.19 2.06 2.31 2.26 2.39 2.61 2.58 2.82 2.9 通过管线敷设技术，不仅可以解决有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机 应用随机过程试题及答案 一．概念简答题（每题5 分，共40 分） 1. 写出卡尔曼滤波的算法公式 2. 写出ARMA（p,q）模型的定义 3. 简述Poisson 过程的随机分流定理 4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念 5. 简述Markov 状态分解定理 6．简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷（共9 页）第2 页7. 什么是随机过程，随机序列？8．什么是时齐的独立增量过程？二．综合题（每题10 分，共60 分） 1 ．一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) , 2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X 是相互独立的。试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。 2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且，在给定Y=y 条件下，随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷（共9 页）第3 页 3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y} 4．设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。试求数学期望( ) t E X ，方差( ) t D X ，相关函数1 2 ( , ) X R t t ，协方差1 2 ( , ) X C t t 。B 卷（共9 页）第4 页5 ．设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： 所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ，其中 是常数，与是 相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ---- 随机过程补充例题 例题1 设袋中有a 个白球b 个黑球。甲、乙两个赌徒分别有n 元、m 元，他们不知道那一种球多。他们约定：每一次从袋中摸1个球，如果摸到白球甲给乙1元，如果摸到黑球乙给甲1元，直到两个人有一人输光为止。求甲输光的概率。 解 此问题是著名的具有两个吸收壁的随机游动问题，也叫赌徒输光问题。 由题知，甲赢1元的概率为b p a b =+，输1元的概率为 a q a b =+，设n f 为甲输光的概率，t X 表示赌t 次后甲的赌金， inf{:0 }t t t X or X m n τ===+，即τ 表示最终摸球次数。如果 inf{:0 }t t t X or X m n τ===+=Φ（Φ为空集），则令τ=∞。 设A =“第一局甲赢”，则()b p A a b = +，()a p A a b = +，且第一局甲赢的条件下(因甲有1n +元)，甲最终输光的概率为1n f +，第一局甲输的条件下(因甲有1n -元)，甲最终输光的概率为1n f -，由全概率公式，得到其次一元二次常系数差分方程与边界条件 11n n n f pf qf +-=+ 01f =，0m n f += 解具有边界条件的差分方程 由特征方程 2()p q p q λλ+=+ （1）当q p ≠时，上述方程有解121,q p λλ==，所以差分方程的 通解为 212()n q f c c p =+ 代入边界条件得 1()11()n n n m q p f q p +-=- - （2）当q p =时，上述方程有解121λλ==，所以差分方程的通解为 12n f c c n =+ 代入边界条件得 1n n f n m =- + 综合（1）（2）可得 1()11() 1n n m n q p p q q f p n p q n m +? -?- ≠?? -=?? ?-=? +? 若乙有无穷多的赌金，则甲最终输光概率为 () lim 1n jia n m q p q p p f p q →∞ ?>?==??≤? 由上式可知，如果赌徒只有有限的赌金，而其对手有无限的赌金，当其每局赢的概率p 不大于每局输的概率q ，即p q ≤时， 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？ 解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p --------------------------------------装----------------------------------------订 ---------------------------------------线-------------------------------------- 第 - 1 - 页 共 -3- 页 2005-2006学年秋季学期《 随机分析 》课程期末考试试题B 说明：学生必须将答案全部写在答题纸上，凡写在试题上的一律无效。学生可随身携带计算器。 一、填空题（每小题3分，共计10×3＝30分） 1）随机变量()2~,X N μδ，则其矩母函数()=t g 。 2）(){}0,≥t t N 为以参数2=λ的Possion 过程，则()()}{=2211＝且＝N N P 。 3）设Poisson 过程(){}0,≥t t N 的强度为3，n X 表示过程第1-n 次与第n 次事件的 时间间隔，则}{=n X E ， }{=n X D 。 4）设某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6的Poisson 过程，订阅1年、2年、3年的概率分别21， 31和6 1，且相互独立。订阅一年时，可得1元手续费。以()t X 记在[]t ,0得到的总手续费。则()}{=t X E ＝ ，()}{= t X D ＝ 。 5）考虑状态0，1，2的一个Markov 链{}0,≥n X n ，其一步转移概率矩阵为 ????? ??=1.08.01.04.02.04.06.03.01.0P ，初始分布为2.0,5.0,3.0210===p p p ，则 ()====1,0,1210X X X P 。 6）已知状态为1，2，3，4的齐次Markov 链{}0,≥n X n 及其一步转移概率矩阵为 2016随机过程（A ）解答 1、（15分）设随机过程V t U t X +?=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。 1) 求)(t X 的一维概率密度函数； 2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解： 由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +?=)(也服从正态分布， 且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==?+=?+=+ {}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==?+=+=+ 故： (1) )(t X 的一维概率密度函数为：()2 22218(1) (),x t t t f x e x --- += -∞≤≤∞ (2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为： {}{} (,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =?=?+??+ {}{}{} 22()13()413 st E U s t E U V E V st s t =?++??+=?++?+ 协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-?=+ （3）相关系数： (,)s t ρρ== == )(t X 的二维概率密度函数为： 2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x e ρ????-----?? +????-++???????? = 2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的 平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？ 解： 到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。 将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为： 419,04 ()80,47t t t t λ+≤≤?=? <≤? 在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布，其均值： 6 4 6 2 2 4 (6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=??? 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1 习题 1. 设随机过程{(,),}X t t ω-∞<<+∞只有两条样本函数 12(,)2cos ,(,)2cos ,X t t X t t x ωω==--∞<<+∞ 且1221 (),()33P P ωω==，分别求： （1）一维分布函数(0,)F x 和(,)4F x π ； （2）二维分布函数(0,;,)4F x y π ； （3）均值函数()X m t ； （4）协方差函数(,)X C s t . 2. 利用抛掷一枚硬币一次的随机试验，定义随机过程 1 2 cos ()2t X t πωω?=??出现正面出现反面 且“出现正面”与“出现反面”的概率相等，各为1 2 ，求 1）画出{()}X t 的样本函数 2）{()}X t 的一维概率分布，1 (;)2F x 和(1;)F x 3）{()}X t 的二维概率分布121 (,1;,)2 F x x 3. 通过连续重复抛掷一枚硬币确定随机过程{()}X t cos ()2 t t X t t π?=? ?在时刻抛掷硬币出现正面 在时刻抛掷硬币出现反面 求：（1）1(,),(1,)2F x F x ； （2）121 (,1;,)2 F x x 4. 考虑正弦波过程{(),0}X t t ≥，()cos X t t ξω=，其中ω为正常数，~(0,1)U ξ. （1）分别求3,,,424t ππππωωωω = 时()X t 的概率密度(,)f t x . （2）求均值函数()m t ，方差函数()D t ，相关函数(,)R s t ，协方差函数(,)C s t . 5. 给定随机过程： ()X t t ξη=+ ()t -∞<<+∞ 其中r. v. (,)ξη的协方差矩阵为1334C ?? = ??? ， 求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的协方差函数. 6. 考虑随机游动{(),0,1,2,}Y n n = 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意0 12 ≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 6 18}4)3(|6)5({-===e X X P 15 3 2 6 2 3 2 92! 23 ! 2)23(! 23 }2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=? ?? ==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 6 6 2 18! 26 }2)3()5({}4)3(|6)5({--== =-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ????? ? ?? ? ????? ??? ?=434 10313131 04341 1)(P ，则167)2(12 =P ，16 1}2,2,1{210= ===X X X P ???????? ? ????? ????=48 3148 1348 436133616367164167165)1()2(2 P P 16 7)2(12= P 16 1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 4 2++= ωωω ωS ，则)(t X 的均方值 = 212 1- 222 22 2 11221)2(2 221 1 1 22 )(+??-+?? = +- += ωωωωωS τ τ τ--- = e e R X 2 12 1)(2 北京工业大学2007-2008学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试题 标准答案（仅供参考） 一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布 ),(254σN ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下： 54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 问：该日生产的零件的平均重量是否正常（取显著性水平050.=α）？ 解：按题意，要检验的假设是 54:0=μH ，因2σ未知，故用-t 检验法，由05.0=α，查t 分布表得临界 值2622290250.)(.=t ，由样本值算得 382514654.,.==t x 因为26222. 1255804101145701312680122222222 9 2 2 .)()(==++++++++= -=∑ =i i i i np np f χ 查表得919160502 9.).(=χ 因为9191612552..<=χ, 所以接受0H ，认为X 服从 等概率分布. 三、（15分）下表给出了在悬挂不同重量（单位：克）时弹簧的长度（单位：厘米） 求y 关于x 的一元线性回归方程，并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α， 计算结果保留三位小数. 346.9,857.16==y x 根据计算结果可得： （1） 回归方程：X Y 1845.0244.6+=∧ ?????? ???? ??? =??-?=-=====??-==?-=244.61845.01187142.6571??1845.0857.454906.83?906.8342.65118717.1186857.4541187 124442x b y a S S b S S xx xy xy xx 于是得(完整版)答案应用随机过程a
期末随机过程试题及标准答案
(完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案
随机过程习题答案
随机过程试题及答案
【免费下载】第一学期数理统计与随机过程研试题答案
应用随机过程试题及答案
最新随机过程习题及答案
随机过程补充例题
学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)
应用随机过程答题(2)
随机过程试题及解答
随机过程复习试题及答案
应用随机过程习题课二
随机过程复习题(含答案)
2007-2008第一学期数理统计与随机过程(研)试题(解答)