圆内接四边形里的“九点圆”

高中数学说课稿：《圆的标准方程》.doc

高中数学说课稿：《圆的标准方程》 "说课"有利于提高教师理论素养和驾驭教材的能力，也有利于提高教师的语言表达能力，因而受到广大教师的重视，登上了教育研究的大雅之堂。下面是我为大家收集的关于高中数学说课稿：《圆的标准方程》，欢迎大家阅读借鉴! 高中数学说课稿：《圆的标准方程》 【一】教学背景分析 1.教材结构分析 《圆的方程》安排在高中数学第二册(上)第七章第六节.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用. 2.学情分析 圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的.但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强. 根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和

心理特征，我制定如下教学目标： 3.教学目标 (1) 知识目标：①掌握圆的标准方程; ②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程; ③利用圆的标准方程解决简单的实际问题. (2) 能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力; ②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用; ③增强学生用数学的意识. (3) 情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识; ②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣. 根据以上对教材、教学目标及学情的分析，我确定如下的教学重点和难点： 4. 教学重点与难点 (1)重点:圆的标准方程的求法及其应用. (2)难点：①会根据不同的已知条件求圆的标准方程; ②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题. 为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析： 【二】教法学法分析 1.教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用"

高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题

高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题 第一部分：椭圆 1．椭圆的概念 在平面与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若ab>0) y2 a2＋ x2 b2＝1( a>b>0) 图形 性质 围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距|F1F2|＝2c 离心率e＝ c a ∈(0,1) a，b，c的关系c2＝a2－b2

典型例题 例1.F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 例2. 已知ABC ?的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( ) (A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(125 1622≠=+y y x 例3. 若F (c ，0)是椭圆22 221x y a b +=的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于 2 M m +的点的坐标是( ) (A)(c ，2b a ±) 2 ()(,)b B c a -± (C)(0，±b ) (D)不存在 例4. 设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22x a +2 2y b =1(a >b >0)的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点, 若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( ) 例5 P 点在椭圆120 452 2=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥，则P 点的坐标是 . 例6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; . (2)焦点坐标为)0,3(-,)0,3(,并且经过点(2，1); . (3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的3 1 ; ____. (4)离心率为 2 3 ，经过点(2，0); . 例7 12F F 、是椭圆2 214 x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ?的最大值是 ．

《备课参考》圆周角和直径的关系及圆内接四边形

3.4 圆周角和圆心角的关系 第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形 1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练 运用解决问题；(重点) 2．培养学生观察、分析及理解问题的 能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得 正确的学习方式．(难点) 一、情境导入 你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？ 如图②所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上 C处，依然把球传给了甲，你知道为什么 吗？你能用数学知识解释一下吗？ 二、合作探究 探究点一：圆周角和直径的关系 【类型一】利用直径所对的圆周角是 直角求角的度数 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD ＝30°，则∠A的度数为() A．30°B．45° C．60°D．75° 解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD ＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C. 方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】作辅助线构造直角三角形 解决问题 如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点 C.若AB是⊙O 的直径，D是BC的中点． (1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明； (2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？ 解析：(1)连接AD，先根据圆周角定理 求出∠ADB＝90°，再根据线段垂直平分线 性质判断；(2)连接BE，根据圆周角定理求 出∠AEB＝90°，根据等腰三角形性质求 解． 解：(1)AB＝AC.证明如下：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC； (2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC 为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点． 方法总结：在解决圆的问题时，如果有直径往往考虑作辅助线，构造直径所对的圆 周角． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 探究点二：圆内接四边形 【类型一】圆内接四边形性质的运用 如图，四边形ABCD内接于⊙O，

圆的内接四边形

例 圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数的比是3﹕2﹕7，求四边形各内角度数． 解：设∠A 、∠B 、∠C 的度数分别为3x 、2x 、7x ． ∵ABCD 是圆内接四边形．∴∠A +∠C=180°即3x+7x=180°， ∴x=18°， ∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°， 又∵∠B+∠D=180°， ∴∠D=180°一36°＝144°． 说明：①巩固性质；②方程思想的应用． 例如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD 与三角形ABC 的外接圆相交于D ．求证：DB=DC ． 分析：要证DB=DC ，只要证∠BCD=∠CBD ，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决． 说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁． 例 如图，△ABC 是等边三角形，D 是上任一点，求证：DB+DC=DA ． 分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明． 证明： 延长DB 至点E ，使BE=DC ，连AE ． 在△AEB 和△ADC 中，BE=DC ． △ABC 是等边三角形．∴AB=AC ． ∵ 四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABE=∠ACD ． ∴△AEB ≌△ADC ． ∴∠AEB=∠ADC=∠ABC ． ∵∠ADE=∠ACB ， 又 ∵∠ABC=∠ACB ＝60°， ∴∠AEB=∠ADE=60°． ∴△AED 是等边三角形，∴AD=DE=DB+BE ． ∵BE=DC ，∴DB+DC=DA ． 说明：本例利用“截长”和“补短”法证明．培养学生“角相等的灵活转换”能力．在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视． 例 如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，CD AH ⊥，如果?=∠30HAD ，那么=∠B （ ） A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° E

圆的内接四边形教案及课后练习

S3.6 圆内接四边形 一、认识圆的内接四边形 1.知识要点 （1）我们以前学习过圆的内接三角形 圆的内接三角形：如果一个三角形的各个顶点在同一个圆上，那么这个三角形叫做圆 的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆。 （2）今天我们学习圆的内接四边形 圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的 内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。如右图中，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边 形；⊙O 是四边形ABCD 的外接圆。 二、圆内接四边形的性质定理 1.知识要点 定理一：圆内接四边形的对角互补． 定理二：圆内接四边形的外角等于它的内对角（内角的对角）． 2.典型例题 S3.6.1如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOD=110°，求∠BCD 的度数. S3.6.2如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P.若PB PA ＝12，PC PD ＝13，求BC AD 的值. 三、圆内接四边形的判定定理 1.知识要点 （1）定理：如果一个四边形的对角互补，那么它的四个顶点在同一个圆上（简称四点共圆）． （2）推论：如果四边形的一个外角等于它内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．

2.典型例题 S3.6.3如图，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC，FQ⊥AC.求证：ABPQ四点共圆. S3．6 圆内接四边形练习 1.下列四边形中一定有外接圆的是（） A．对角线相等的四边形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形 2.过四边形ABCD的顶点D，B，C作一个圆，若∠A+∠C＞180°，则点A在( ) A．圆内B．圆外C．圆上D．不能确定 3.四边形ABCD内接于圆，∠A:∠B:∠C:∠D= 5:m:4:n，则m，n满足的条件是（） A．5m=4n B．4m=5n C．m+n=9 D．m+n=180° 4.如下图，圆心角∠AOB=120°，P是上任一点（不与A，B重合），点C在AP的延长线上，则∠BPC 等于（） A．45°B．60° C．75°D．85° 5.圆上四点，A、B、C、D分圆周为四段弧，:::=1:2:3:4,则圆内接四边形的最大内角为______． 6.如下图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=BC，∠ADC=138°，E是梯形外一点，若点E在梯形ABCD 的外接圆上，则∠AEB=________．

高中数学必修二《圆的标准方程》教案

教案说明 圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。 一、设计理念 设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，共同提高。 二、设计思路 （1）突出重点抓住关键突破难点 求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此我布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路。在例题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。 （2）学生主体教师主导探究主线 本节课的设计用问题做链，环环相扣，使学生的探究活动贯穿始终。从圆的标准方程的推导到应用都是在问题的指引、我的指导下，由学生探究完成的。另外，我在例题2的教学，要求学生分组讨论，合作交流，为学生设立充分的探究空间，学生在交流成果的过程中，既体验了科学研究和真理发现的复杂与艰辛，又在我的适度引导、侧面帮助、不断肯定下顺利完成了探究活动并走向成功，他们体验到成功的快乐，感受到数学的魅力。在一个个问题的驱动下，高效的完成本节的学习任务。 三、媒体设计 本节采用powerpoint媒体，知识容量大，同时又有图形。为了在短时间内完成教学内容，故采用演示文稿的方式，增加信息量，节省时间。同时

动态演示图形，刺激学生的感官，引起更强的注意，提高课堂教学效率。

高一数学必修知识点：圆的方程

高一数学必修知识点：圆的方程精品学习高中频道为各位同学整理了高一数学必修知识点：圆的方程，供大家参考学习。更多各科知识点请关注新查字典数学网高中频道。 圆的方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 圆心 ，半径为r; (2)一般方程 当 时，方程表示圆，此时圆心为 ，半径为 当 时，表示一个点;当 时，方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件， 若利用圆的标准方程，需求出a，b，r;若利用一般方程，需

要求出D，E，F; 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断： (1)设直线 ，圆 ，圆心 到l的距离为 ，则有 (2)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程： ①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(课本命题). ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广). 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 设圆

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当 时两圆外离，此时有公切线四条; 当 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条; 当 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线; 当 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。

3.圆内接四边形的性质与判定

3．圆内接四边形的性质与判定 一、基础知识回顾 1．在同圆或等圆中,相等的圆心角所对 的相等，所对的 也相等。 2. 在同圆或等圆中, 如果两个圆心角、两条 、两条 、两个 中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。 3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对 。 (1) 半圆(或直径)所对的圆周角是 ; 90o的圆周角所对的弦是 . (2) 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 ; 相等的圆周角所对的弧也 . 二、知识延伸拓展 如果四边形的各顶点在一个圆上，这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。例如，图1中，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形；⊙O 是四边形ABCD 的外接圆。圆内接四边形有以下性质： 性质定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角。 已知：如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DCE 是四边形ABCD 的外角。 求证：（1）∠A+∠BCD=180o，∠B+∠D=180o； （2）∠DCE=∠A 。 证明：（1）∵ ， ， ∴ ∵ 和 的度数和是360 o ∴ 同理，∠B+∠D=180o。 (2) ∵∠DCE 是四边形ABCD 的外角， ∴∠DCE+∠BCD=180o 由（1）得∠A+∠BCD=180o ∴∠DCE=∠A 。 图1 E 图2 BAD ⌒ BCD ⌒ ⌒ ∠A 所对的弧是BCD ∠BCD 所对的弧是BAD ⌒ ⌒ ⌒ m m .2 1 ,21A BAD BCD BCD =∠=∠.1803602 1 )(212121?=??=+=+=∠+∠BAD BCD BAD BCD BCD A m ⌒ ⌒ ⌒ ⌒

高中数学-圆的标准方程练习题

高中数学-圆的标准方程练习题 5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.圆心是O(-3,4),半径长为5的圆的方程为( ) A.(x-3)2+(y+4)2=5 B.(x-3)2+(y+4)2 =25 C.(x+3)2+(y-4)2=5 D.(x+3)2+(y-4)2 =25 解析：以(a,b)为圆心,r 为半径的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 . 答案：D 2.以点A(-5，4)为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为( ) A.(x+5)2+(y-4)2=16 B.(x-5)2+(y+4)2 =16 C.(x+5)2+(y-4)2=25 D.(x-5)2+(y+4)2 =25 解析：∵圆与x 轴相切，∴r=|b|=4.∴圆的方程为(x+5)2+(y-4)2 =16. 答案：A 3.圆心在直线y=x 上且与x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为____________. 解析：设其圆心为P(a,a)，而切点为A(1，0)，则P A⊥x 轴，∴由PA 所在直线x=1与y=x 联立，得a=1.故方程为(x-1)2+(y-1)2 =1.也可通过数形结合解决，若圆与x 轴相切于点(1，0),圆心在y=x 上,可推知与y 轴切于(0，1). 答案：(x-1)2+(y-1)2 =1 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.设实数x 、y 满足(x-2)2 +y 2 =3，那么 x y 的最大值是( ) A. 2 1 B.33 C.23 D.3 解析：令 x y =k,即y=kx ，直线y=kx 与圆相切时恰好k 取最值. 答案：D 2.过点A(1,-1)、B(-1,1)，且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2 =4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2 =4 解：由题意得线段AB 的中点C 的坐标为(2 1 1, 211+--),即(0,0)，直线AB 的斜率为k AB =11)1(1----=-1,则过点C 且垂直于AB 的直线方程为y-0=1 1--(x-0),即y=x.所以圆心坐标 (x,y)满足?? ?=-+=. 02, y x x y 得y=x=1. ∴圆的半径为])1(1[)11(2 2 --+-=2.因此，所求圆的方程为(x-1)2 +(y-1)2 =4. 答案：C 3.设点P(2,-3)到圆(x+4)2+(y-5)2 =9上各点距离为d,则d 的最大值为_____________. 解析：由平面几何性质，所求最大值为P(2，-3)到圆(x+4)2+(y-5)2 =9的圆心距离加上圆的半径，即d max =2 2 )53()42(--+++3=13.

圆内接四边形性质定理

C D ·O B A E P 圆内接四边形性质定理证明： 如右图：圆内接四边形ABCD ，圆心为O ，延长BC 至E ，AC 、BD 交于P ，则： 一、圆内接四边形的对角互补：∠ABC +∠A DC=180°，∠BC D +∠B AD=180° 二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠D CE=∠BAD 三、圆内接四边形对应三角形相似：△B C P∽△ADP 四、相交弦定理：AP×CP=BP×DP 五、托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD 一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法） 【证明】方法一： 利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。 如图，连接OB 、OD 则∠A= 21β，∠C=2 1α ∵α+β=360° ∴∠A+∠C= 2 1 ×360°=180° 同理得∠B+∠D=180° （也可利用四边形内角和等于360°） 【证明】方法二： 利用直径所对应的圆周角为直角。 设圆内接四边形ABCD 证明：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° 连接BO 并延长，交⊙O 于E 。连接AE 、CE 。 则BE 为⊙O 的直径 ∴∠BAE=∠BCE=90° ∴∠BAE+∠BCE=180° ∴∠BAE+∠BCE -∠D AE+∠DAE=180° 即∠BAE -∠DAE+∠BCE +∠DAE=180° ∵∠DAE=∠DCE（同弧所对的圆周角相等） ∴∠BAE -∠DAE+∠BCE+∠DCE=180° 即∠BAD+∠BCD=180° ∠A+∠C=180° ∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°） 【证明】方法三： 利用四边形内角和为360°及同弧所对的圆周角均相等 连接AC 、BD ，将∠A 、∠B、∠C 、∠D 分为八个角 ∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8 ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360（四边形内角和为360°） ∠4=∠1，∠7=∠2，∠8=∠5，∠3=∠6 （同弧所对的圆周角相等） ∴∠1+∠2+∠5+∠6= 2 1 ×360°=180° ∵∠1+∠2=∠A ∠5+∠6=∠C ∴∠A+∠C=180° C A B D ·O α β ·O B C D 1 2 4 3 5 6 7 8

什么叫圆的内接四边形

一、教学案例实录 教学过程 : 1. 习旧引新 ⑴在⊙O 上 , 任到三个点 A 、 B 、 C, 然后顺次连接 , 得到的是什么图形 ? 这个图形与⊙O 有什么关系 ? ⑵由圆内接三角形的概念 , 能否得出什么叫圆的内接四边形呢 ( 类比 )? 2. 概念学习 ⑴什么叫圆的内接四边形 ? ⑵如图 1, 说明四边形 ABCD 与⊙O 的关系。 3. 探讨性质 ⑴前面我们已经学习了一类特殊四边形 ---- 平行四边形 , 矩形 , 菱形 , 正方形 , 等腰梯形的性质 , 那么要探讨圆内接四边形的性质 , 一般要从哪几个方面入手 ? ⑵打开《几何画板》 , 让学生动手任意画⊙O 和⊙O 的内接四边形 ABCD 。 ( 教师适当指导 ) ⑶量出可试题的所有值 ( 圆的半径和四边形的边 , 内角 , 对角线 , 周长 , 面积 ), 并观察这些量之 间的关系。 ⑷改变圆的半径大小 , 这些量有无变化 ? 由 (3) 观察得出的某些关系有无变化 ? ⑸移动四边形的一个顶点 , 这些量有无变化 ? 由 (3) 观察得出的某些关系有无变化 ? 移动四边形的 四个顶点呢 ? 移动三个顶点呢 ? ⑹如何用命题的形式表述刚才的实验得出来的结论呢 ?( 让学生回答 ) 4. 性质的证明及巩固练习

⑴证明猜想 已知 : 如图 1, 四边形 ABCD 内接于⊙O 。求证 :∠BAD+∠BCD=180°,∠ABC+∠ADC=180°。 ⑵完善性质 ①若将线段 BC 延长到 E( 如图 2), 那么 ,∠DCE 与∠BAD 又有什么关系呢 ? ②圆的内接四边形的性质定理 : 圆内接四边形的对角互补 , 并且任何一个外角都等于它的内对角。 ⑶练习 ①已知 : 在圆内接四边形 ABCD 中 , 已知∠A=50°,∠D-∠B=40°, 求∠B,∠C,∠D 的度数。 ②已知 : 如图 3, 以等腰△ABC 的底边 BC 为直径的⊙O 分别交两腰 AB,AC 于点 E,D, 连结 DE, 求证 :DE∥BC 。 ( 演示作业本 ) 5. 例题讲解 引例已知 : 如图 4,AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线 , 它与△ABC 的外接圆交于点 D 。 求证 :DB=DC 。 ( 引例由学生证明并板演 ) 教师先评价学生的板演情况 , 然后提出 , 若将已知中的“ AD 是△ABC 中的∠BAC 的平分线”改为“ AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线”, 又该如何证明 ? 引出例题。 例已知 : 如图 5,AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线 , 与△ABC 的外接圆交于点 D, 求证 :DB=DC 。 6. 小结 : 为了使学生对所学的内容有一个完整而深刻的印象 , 让学生组成小组 , 从概念 , 性质 , 方法 , 特殊性进行讨论 , 然后对讨论的结果进行归纳。

高中数学讲义 第八章 直线和圆的方程(超级详细)

高中数学复习讲义第八章直线和圆的方程

【方法点拨】 1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题． 2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题. 3．熟练运用待定系数法求圆的方程． 4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质．5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想． 6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识． 第1课直线的方程 【考点导读】 理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程． 高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考.

【基础练习】 1. 直线x cos α＋ 3y ＋2＝0 的倾斜角范围是50,,66πππ????????????? 2. 过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 10320-+=-=或x y x y 3.直线l 经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为42=-=-+或y x y x 4.无论k 取任何实数，直线()()()14232140k x k y k +--+-=必经过一定点P ，则P 的坐标为（2，2） 【范例导析】 例1.已知两点A （－1，2）、B （m ，3） （1）求直线AB 的斜率k ； （2）求直线AB 的方程； （3）已知实数m 1? ?∈???? ，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况. 解:（1）当m =－1时，直线AB 的斜率不存在． 当m ≠－1时，1 1 k m = +， （2）当m =－1时，AB ：x =－1， 当m ≠1时，AB ：()1 211 y x m -= ++. （3）①当m =－1时，2 π α=； ②当m ≠－1时， ∵( 1,1k m ?=∈-∞?+∞??+??

圆周角定理及圆的内接四边形-练习题 含答案

圆周角定理及圆的内接四边形 副标题 题号一二三总分 得分 一、选择题（本大题共5小题，共15.0分） 1.如图，A，B，C是上三个点，，则下列 说法中正确的是 A. B. 四边形OABC内接于 C. D. 【答案】D 【解析】解：过O作于D交于E ， 则， ，， ， ， ， ， ，故C错误； ， ， ， ，故A错误； 点A，B，C在上，而点O在圆心， 四边形OABC不内接于，故B错误； ， ， ，故D正确； 故选D． 过O作于D交于E，由垂径定理得到，于是得到，推出，根据三角形的三边关系得到，故C错误；根据三角形内角和得到， ，推出，故A错误；由点A，B， 1 / 7第1页，共7页

C 在上，而点O在圆心，得到四边形OABC 不内接于，故B错误；根据余角的性质得到，故D正确； 本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键． 2.如图，四边形ABCD 内接于，AC 平分，则下 列结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：A 、与的大小关系不确定，与AD不一定相等，故本选项错误； B 、平分，，，故本选项正确； C 、与的大小关系不确定，与不一定相等，故本选项错误； D 、与的大小关系不确定，故本选项错误． 故选：B． 根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可． 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 3.如图，四边形ABCD 内接于，若四边形ABCO是平行 四边形，则的大小为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：设的度数，的度数； 四边形ABCO是平行四边形， ； ，；而， ， 解得：，，， 故选：C． 第2页，共7页

新人教版必修二高中数学《圆的标准方程》教学设计

高中数学 《圆的标准方程》 教学设计 新人教版必修二2 知识与技能：1、掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径； 2、会用两种方法求圆的标准方程：(1)待定系数法；(2)利用几何性质 教学重点：圆的标准方程 教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法和几何性质求圆的标准方程。 教学过程： 情境设置： 问题：①圆的定义？ 学生回忆所学知识：①圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，确定圆的要素是圆心和半径。 问题：②如果把直线放在直角坐标系下，那么其对应的方程是二元一次方程，那么如果把一个圆放在坐标系下，其方程有什么特征？如何写出这个圆的所在的方程？ 二、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出） P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得：222()()x a y b r -+-= ② 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 总结出点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （１）2200()()x a y b -+-=2r ?点在圆上 （２）2200()()x a y b -+-<2r ?点在圆内 （３）2200()()x a y b -+->2r ?点在圆外 三、知识应用与解题研究 （一）练习 １、指出下列方程表示的圆心坐标和半径： （１） 222=+y x ； （２） 5)1()3(22=-+-y x ； （３）222)1()2(a y x =+++（0≠a ）。

圆的方程_基础 知识讲解

圆的方程 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程. 2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 【要点梳理】 【高清课堂：圆的方程370891 知识要点】 要点一：圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径. 要点诠释： (1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是2 2 2 x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时： ||||a b r ==；过原点：222a b r += (2)圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-=?圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 要点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为2 2 2 ()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有 (1)若点()00M x y ，在圆上()()2 2 200||CM r x a y b r ?=?-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()2 2 200||CM r x a y b r ?>?-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()2 2 200||CM r x a y b r ?时，方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ?? - - ?? ?为圆心， 为半径. 要点诠释： 由方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=得22 224224D E D E F x y +-? ???+++= ? ?? ??? (1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =- =-.它表示一个点(,)22 D E --. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

高中数学-圆的标准方程教案

第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 三维目标： 知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。 过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方 程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。 情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。 教学重点：圆的标准方程 教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程： 1、情境设置： 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究： 2、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得：222 ()()x a y b r -+-= ② 引导学生自己证明2 2 2 ()()x a y b r -+-=为圆的 方程，得出结论。 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 3、知识应用与解题研究

例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程， 并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。 探究：点00(,)M x y 与圆222 ()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）22 00()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）22 00()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2 r ，点在圆内 例（2）： ABC V 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程 师生共同分析：从圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用 待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决） 例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程. 师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和 (2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长 等于CA 或CB 。 （教师板书解题过程。） 总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、 例(3)可得出ABC V 外接圆的标准方程的两种求法： ①、根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程. 根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 提炼小结： 1、 圆的标准方程。 2、 点与圆的位置关系的判断方法。 3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。

高一数学必修二《圆与方程》知识点整理

《圆与方程》知识点整理 一、标准方程()() 222 x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材 119 P例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 二、一般方程 () 2222 040 x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 22 22 00 00 40 40 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠ ? ? ?? =?= ?? ??+-> ? ???? ?+-?> ? ? ????? ? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法： 3.2240 D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、圆系方程： 四、参数方程： 五、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值 m i n P A A N r A C ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）

六、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离?没有公共点?0d r ? （2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?< 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？ 圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数 点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点．．． i ）点在圆外 如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22 200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=- 第二步：通过d r =k ?，从而得到切线方程 特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点()1,1P 作圆22 46120x y x y +--+=的切线，求切线方程. 答案：3410x y -+=和1x = ii ）点在圆上 1） 若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r += 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目. 2） 若点()00x y ，在圆()()22 2x a y b r -+-=上，则切线方程为 ()()()()200x a x a y b y b r --+--= 碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果. 由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数. ③求切线长：利用基本图形，222AP CP r AP =-?= 3.直线与圆相交 （1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理．．．．及勾股定理——常用

北师大版初中数学九年级下册3.4 第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形1

北师大初中数学 九年级 重点知识精选 掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！北师大初中数学和你一起共同进步学业有成！

3.4 圆周角和圆心角的关系 第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形 1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练 运用解决问题；(重点) 2．培养学生观察、分析及理解问题的 能力，经历猜想、推理、验证等环节，获 得正确的学习方式．(难点) 一、情境导入 你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球 吗？ 如图②所示，甲队员在圆心O处，乙 队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到 圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为 什么吗？你能用数学知识解释一下吗？ 二、合作探究 探究点一：圆周角和直径的关系 【类型一】利用直径所对的圆周角是 直角求角的度数 如图，BD是⊙O的直径，∠ CBD＝30°，则∠A的度数为( ) A．30°B．45° C．60° D．75° 解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD ＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°， ∴∠A＝∠D＝60°.故选C. 方法总结：在圆中，如果有直径，一 般要找直径所对的圆周角，构造直角三角 形解题． 变式训练：见《学练优》本课时练习 “课堂达标训练”第3题 【类型二】作辅助线构造直角三角形 解决问题 如图，点A、B、D、E在⊙O 上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB 是⊙O的直径，D是BC的中点． (1)试判断AB、AC之间的大小关系， 并给出证明； (2)在上述题设条件下，当△ABC为正 三角形时，点E是否为AC的中点？为什 么？ 解析：(1)连接AD，先根据圆周角定理 求出∠ADB＝90°，再根据线段垂直平分 线性质判断；(2)连接BE，根据圆周角定理 求出∠AEB＝90°，根据等腰三角形性质 求解． 解：(1)AB＝AC.证明如下：连接AD， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分 BC，∴AB＝AC； (2)当△ABC为正三角形时，E是AC 的中点．理由如下：连接BE，∵AB为 ⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即 BE⊥AC.∵△ABC为正三角形，∴AE＝ EC，即E是AC的中点． 方法总结：在解决圆的问题时，如果 有直径往往考虑作辅助线，构造直径所对 的圆周角． 变式训练：见《学练优》本课时练习 “课堂达标训练”第6题 探究点二：圆内接四边形 【类型一】圆内接四边形性质的运用 如图，四边形ABCD内接于