山东省寿光现代中学2020-2021学年高一5月检测数学试题 答案和解析
山东省寿光现代中学【最新】高一5月检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ）
A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．A 、B 、C 均有
可能 2．若直线00Ax By C ABC ++=≠（）经过第一、二、三象限，则系数A B C ，，满足
的条件为( )
A ．A
B
C ，，同号
B ．00A
C BC ><， C ．00AC BC <>，
D ．00AB AC ><，
3．已知直线经过点(,4),(2,)A a B a -，且斜率为4，则a 的值为（ ）
A ．-6
B ．145-
C ．45
D ．4
4．设有四个命题，其中真命题的个数是（ ）
①有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；
③用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；
④侧面都是长方形的棱柱叫长方体.
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A B ．5 C D ．4+
6．球O 的一个截面圆的圆心为M ，圆M OM 的长度为球O 的半径的一半，则球O 的表面积为（ ）
A ．4π
B ．323π
C ．12π
D ．16π
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A ．12+
B ．1sin cos (0)5αααπ+=<<
C ．10+
D ．11+ 8．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120?，则该圆锥的体积为（ ）
A B C ．881π D ．1081
π 9．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且//,m n
αβ，则下列说
法正确的是（ ）
A ．若m n ⊥，则αβ⊥
B ．若m n ⊥，则//αβ
C ．若//m n ，则//αβ
D ．若//m n ，则αβ⊥ 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．123+π
B ．136π
C ．73π
D ．5
2
π 11．下列命题中不正确的是（ ）
A ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ， l αβ?=，那么l γ⊥
B ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
D ．如果平面α⊥平面β，且直线//l 平面α，则直线l ⊥平面β
12．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）
A ．1CC 与1
B E 是异面直线
B ．A
C ⊥平面11ABB A C ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥
D ．11//A C 平面1AB E
二、填空题 13．一个正四棱锥的三视图如图所示，则此正四棱锥的侧面积为__________．
14．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为_____．
15．ABC ?中，已知2,1,2()(),3,0,1()A B C -，则BC 边上的中线所在的直线的一般式方程为__________.
16．将边长为2，锐角为60?的菱形ABCD 沿较短对角线BD 折成四面体ABCD ，点,,E F G 分另,,AC BD BC 的中点，则下列命题中正确的是__________．（将正确的命题序号全填上）
①//EF AB ； ②EF 是异面直线AC 与BD 的公垂线；
③//CD 平面EFG ； ④AC 垂直于截面BDE ．
三、解答题
17．在三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中，侧棱与底面垂直，∠BAC =90°,AB =AA 1，点M,N 分别为A 1B 和B 1C 1的中点.
（1）证明：A 1M ⊥平面MAC ；
（2）证明：MN//平面A 1ACC 1.
18．如图，平面SAB 为圆锥的轴截面，O 为底面圆的圆心，M 为母线SB 的中点，N 为底面圆周上的一点，4, 6.AB SO ==
求该圆锥的侧面积；
若直线SO 与MN 所成的角为30，求MN 的长.
19．如图，三棱柱111ABC A B C -，1A A ⊥底面ABC ，且ABC 为正三角形，
16A A AB ==，D 为AC 中点．
（1）求证：直线1AB ∥平面1BC D ．
（2）求证：平面1BC D ⊥平面11ACC A ．
（3）求三棱柱1C BCD 的体积．
20．过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l1:2x?y?2=0与l2:x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程.
21．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，E为AD的中点，过A，D，N的平面交PC于点M.
求证：(1)EN∥平面PDC；
(2)BC⊥平面PEB；
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
参考答案
1．D
【分析】
结合公理及正方体模型可以判断：A ，B ，C 均有可能，可以利用反证法证明结论，也可以从具体的实物模型中去寻找反例证明．
【详解】
解：如图，在正方体1AC 中，
1A A ⊥平面ABCD ，
1A A AD ，1A A BC ⊥， 又//AD BC ，∴选项A 有可能；
1A A ⊥平面ABCD ，1A A AD ，1A A AB ⊥，又AD AB A =，∴选项B 有可能； 1A A ⊥平面ABCD ，1A A ⊥平面1111D C B A ，AC ?平面ABCD ，11A D ?平面1111D C B A ，1A A AC ∴⊥，111A A A D ⊥，
又AC 与11A D 不在同一平面内，∴选项C 有可能．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．
2．B
【详解】
因为直线()00Ax By C ABC ++=≠ 经过第一、二、三象限，所以斜率0A B -
> ，在y 轴上的截距0,0C BC B
-
>∴< ，两式相乘可得0,AC >故选B. 3．D
【解析】
()(),4,2,A a B a - , 且斜率为4 ，则442AB a k a
--=
=- ，解得4a = ，故选D. 4．A 【解析】①有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；不满足棱柱的定义，所以不正确；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；不满足棱锥的定义，所以不正确；③用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；没有说明两个平面平行，不满足棱台的定义，所以不正确；④侧面都是长方形的棱柱叫长方体.没有说明底面形状，不满足长方体的定义，所以不正确；正确命题为零个，故选A.
5．A
【解析】
由三视图可知该几何体边长为1 的正方体切去一个三棱锥得到的，三棱锥底面边长为正方体相邻三个面的对角线长，剩余几何体有3 个面为原正方体的面，有3 个面为原正方体面的一半，有1个面为等边三角形，边长为原正方体的面对角线
长，所以几何体的表面积为2113+32??+= ，故选A. 6．D
【解析】
试题分析:由题设可得,即,故．故应选D ． 考点：球的半径及球心距之间的关系球的面积公式等知识的综合运用．
7．A
【解析】
由三视图知，原几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥，三棱柱的底面为边长是2 的等边三角形，高为2，所以该几何体的表面积为
111
23222212212222
S =???-???+??=，故选A. 8．A
【解析】
因为母线为1 的圆锥的侧面展开图的圆心角等于2120,1203π= ，所以侧面展开图的弧长为22133ππ?
= ，弧长23π =底面周长=12,3r r π∴= ，所以圆锥的高
3h == ，所以圆锥体积21381V r h π=???= ，故选A. 9．D
【分析】
若αβ⊥,则需使得平面α内有直线平行于直线n ；若//αβ,则需使得n α⊥,由此为依据进行判断即可
【详解】
当//m n 时,,m n 可确定平面γ,
当//γα时,因为n β⊥,所以γβ⊥,所以αβ⊥；
当平面γ交平面α于直线l 时,
因为//m α,所以//m l ,则//l n ,
因为n β⊥,所以l β⊥,
因为l α?,所以αβ⊥,故A 错误,D 正确；
当//αβ时,需使得n α⊥,选项B 、C 中均缺少判断条件,故B 、C 错误；
故选:D
【点睛】
本题考查空间中直线、平面的平行关系与垂直关系的判定,考查空间想象能力
10．B
【解析】
该几何体由一个圆柱和半个圆锥构成，半圆锥和圆柱的底面半径均为1 ，半圆锥
的高为1 ，圆柱的高为2，故组合体的体积：2211131211236
V πππ=??+????= ，故选B.
11．D
【解析】试题分析：根据空间中的直线与直线、直线与平面的位置关系，可得A 、B 、C 正确，D 错误，当选取的点在交线l 上时，命题错误.
考点：空间中线与面的位置关系的判断.
12．C
【分析】
根据异面直线定义可判断A ；由线面垂直的性质即可判断B ；由异面直线的位置关系并得11AE B C ⊥可判断C ；根据线面平行的判定定理可判断D.
【详解】
对于A 项，1CC 与1B E 在同一个侧面中，故不是异面直线，所以A 错；
对于B 项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC ⊥平面11ABB A 不可能，所以B 错；
对于C 项，因为AE ，11B C 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，由底面111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，根据等腰三角形三线合一可知AE BC ⊥，结合棱柱性质可知11//B C BC ，则11AE B C ⊥，所以C 正确；
对于D 项，因为11A C 所在的平面与平面1AB E 相交，且11A C 与交线有公共点，故11//A C 平面1AB E 不正确，所以D 项不正确.
故选C.
【点睛】
该题考查的是有关立体几何中空间关系的问题，在解题的过程中，需要对其相关的判定定理
和性质定理的条件和结论熟练掌握，注意理清其关系，属于中档题
13．60
【解析】
由三视图知：此四棱锥为正四棱锥，底面边长为6 ，高为4 ，则四棱锥的斜高
5= ，所以四棱锥的侧面积为1465602
S =???= ，故答案为60 . 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
14．814
π 【分析】
由正四棱锥外接球的球心在正四棱锥的高上，可求出球的半径，可得球的表面积.
【详解】
解：如图，
由已知条件可知球心在正四棱锥的高上，设球的球心为O ,半径为R ，正四棱锥底面中心为
E ,则OE 垂直棱锥底面，且4OE R =-,AE AB ==
在RT AOE ?中，222OA AE OE =+,可得：222(4)R R =-+,可得94R =
, 可得该球的表面积为：2298144()44S R πππ==??=
, 故答案为：814
π.
【点睛】
本题主要考查几何体的外接球问题及球的表面积，考查计算能力，是基础题.
15．350x y +-=
【分析】
利用中点坐标公式可得线段BC 的中点(1,2)D -. 得到BC 边上的中线所在的直线的点斜式方程，即可化为一般式方程.
【详解】
线段BC 的中点(1,2)D -.
BC 边上的中线所在的直线的方程：211212
()y x --=
---， 化简为一般式方程：350x y +-=.
故答案为：350x y +-=.
【点睛】 本题考查了中点坐标公式、点斜式与一般式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 16．②③④
【解析】
如图：
由题意得，EF 与AB 是异面直线，故①不正确；由等腰三角形的中线性质得,,CF BD AF BD DB ⊥⊥⊥ 面ACF ，又EF ?面ACF ，EF BD ∴⊥ ，且EF AC ⊥ ，故 ②正确；由三角形中位线定理可得CD FG ∥ ，在根据线面平行的判定定理可得//CD 平面EFG ，故③正确；由DB ⊥面ACF 得，DB AC ⊥ ，
又,EF AC AC ⊥∴⊥ 面EBD ，故④正确，故答案为②③④.
17．（1）见解析（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）先证明AC ⊥平面AA 1BB 1,，从而可得A 1M ⊥AC ，再由正方形的性质可得A 1M ⊥MA,进而根据线面垂直的判定定理可得结果；（2）连接AB 1,AC 1,由题意可知，点M,N 分别为AB 1和B 1C 1的中点，由中位线定理可得MN//AC 1，根据线面平行的判定定理可得结果.
证明：（1）由题设可知，∵AA 1⊥平面ABC,AC ?面ABC ，∴AC ⊥A 1A ，
又∠BAC =90°,∴AC ⊥AB,
∵AA 1?平面AA 1BB 1,AB ? AA 1BB 1,AA 1∩AB =A,
∴AC ⊥平面AA 1BB 1,A 1M ?平面AA 1BB 1,
∴A 1M ⊥AC.
又因四边形AA 1BB 1为正方形，M 为A 1B 的中点，∴A 1M ⊥MA,
∵AC ∩MA =A,AC ?平面MAC,MA ?平面MAC,∴A 1M ⊥平面MAC ；
（2）连接AB 1,AC 1,由题意可知，点M,N 分别为AB 1和B 1C 1的中点，∴MN//AC 1.
又MN ?平面A 1ACC 1,AC 1?平面A 1ACC 1,∴MN//平面A 1ACC 1.
【方法点晴】本题主要考查线面垂直、线面平行的判定定理以及空间想象能力，属于难题.证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论(a ∥b,a ⊥α?b ⊥α)；（3）利用面面平行的性质(a ⊥α,α∥β?a ⊥β)；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
18．（1） （2）
【解析】
试题分析：（1）由题意知SO ⊥平面 ABN ，在Rt SOB ? 中，由条件和勾股定理求出母线BS ，由圆锥的侧面积公式求出该圆锥的侧面积；（2）取OB 的中点C ，连接,MC NC ，由条件和中位线定理可得,MC SO MC 的长，由线面角的定义可得NMC ∠ ，在Rt MCN ? 中由余弦函数求出MN 的长.
试题解析：（1）由题意知，SO ⊥平面ABN ，
在RT SOB ?中，12,6,2
OB AB SO ===
BS ∴==
∴
该圆锥的侧面积S OB BS π=??=；
取OB 的中点C ，连接,,MC NC M 为母线SB 的中点，MC ∴为SOB ?的中位线， 1//,3,2
MC SO MC SO ∴== SO ⊥平面,ABN MC ∴⊥平面,ABN
NC ?平面,ABN ,MC NC ∴⊥
直线SO 与MN 所成的角为30?，30,NMC ∴∠=?
在RT MCN ?中，cos30,MC MN
=?
cos30MC MN ∴===?
19．（1）见解析；（2
）【解析】
试题分析：（1）连接1B C 交1BC 于O ，连接OD ，则点O 为1B C 中点，根据三角形中位线可得1OD AB ，结合线面平行的判定定理，得直线1AB 面1BC D ；（2）由1A A ⊥面ABC ，得1AA BD ⊥，正三角形ABC 中，中线AC BD ⊥，结合线面垂直的判定定理，得BD ⊥面11ACC A ，最后由面面垂直的判定定理，证出面1BC D ⊥面11ACC A ；（3）解正三角形可得
3CD =
，BD =1113C BCD BCD V C C S -=??可得结果.
试题解析：（1）连接1B C 交1BC 于O ，连接OD ，在1B AC 中，D 为AC 中点，O 为1B
C
中点，所以1OD AB ，又OD ?面1BC D ，∴直线1AB 面1BC D ．
（2）∵1A A ⊥面ABC ，BD ?面ABC ，∴1AA BD ⊥．又AC BD ⊥，1AA AC A ?=，∴1AA ，AC ?面11ACC A ，∴BD ⊥面11ACC A ．又BD ?面1BC D ，∴面1BC D ⊥面11ACC A ．
（3）∵ABC 为正三角形，D 为AC 中点，∴BD AC ⊥，由6AB =，可知3CD =，
BD =∴122
BCD S CD BD =??=，又∵1A A ⊥面ABC ，且16A A AB ==，∴
1CC ⊥面ABC ，且16CC =，∴1113C BCD BCD V C C S -=??=
点睛：本题主要考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，三棱锥体积的求法，属于常规题；在证明线面平行时，主要通过以下几种形式得到线线平行：1、通过三角形中位线；2、通过构造平行四边形；3、通过面面平行；由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.
20．直线l 的方程是8x ?y ?24=0.
【解析】试题分析：设出A 与B 两点的坐标，因为P 为线段AB 的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式，然后把A 的坐标代入直线l 1，把B 的坐标代入直线l 2，又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式联立即可求出A 的坐标，然后由A 和P 的坐标，利用两点式即可写出直线l 的方程.
试题解析：设直线l 夹在直线l 1,l 2之间的线段是AB (A 在l 1上，B 在l 2上)，
A,B 的坐标分别是(x 1,y 1),(x 2,y 2).
因为AB 被点P 平分，所以
x 1+x 2=6,y 1+y 2=0，
于是x 2=6?x 1,y 2=?y 1.
由于A 在l 1上，B 在l 2上，所以{2x 1?y 1?2=0(6?x 1)+(?y 1)+3=0
， 解得x 1=113,y 1=163
，即A 的坐标是(113,163). 直线PA 的方程是y?0163?0=x?3113?3
，
即 8x ?y ?24=0.
所以直线l的方程是8x?y?24=0.
21．（1）见证明（2）见证明（3）见证明
【分析】
（1）先证明四边形DENM为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可得到证明；（2）先证明AD⊥平面PEB，由AD∥BC可得BC⊥平面PEB；（3）由（2）知BC⊥平面PEB可得PB⊥MN，由已知得PB⊥AN，即可证得PB⊥平面ADMN，利用面面垂直的判定定理即可得到证明.
【详解】
(1)∵AD∥BC，BC?平面PBC，
AD?平面PBC，
∴AD∥平面PBC．又平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.又∵AD∥BC，∴MN∥BC．又∵N为PB的中点，∴M为PC的中点，
∴MN＝1
2 BC．
∵E为AD的中点，DE＝1
2
AD＝
1
2
BC＝MN，
∴DE
MN，∴四边形DENM为平行四边形，
∴EN∥DM.又∵EN?平面PDC，DM?平面PDC，
∴EN∥平面PDC．
(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，E为AD中点，
∴BE⊥AD．又∵PE⊥AD，PE∩BE＝E，∴AD⊥平面PEB．∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB．(3)由(2)知AD⊥PB．
又∵PA＝AB，且N为PB的中点，∴AN⊥PB．
∵AD∩AN＝A，∴PB⊥平面ADMN.
又∵PB?平面PBC，∴平面PBC⊥平面ADMN.
【点睛】
本题考查线面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，属于基本知识的考查．