(完整版)五、大数定律与中心极限定理(答案)
概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 学号
第五章 大数定律与中心极限定理
一、选择题：
1．设n μ是n 次重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0ε>均有lim {}n n P p n με→∞-≥ [ A ]
（A ）0= （B ）1= （C ）0> （D ）不存在
2．设随机变量X ，若2() 1.1,()0.1E X D X ==，则一定有 [ B ]
（A ）{11}0.9P X -<<≥ （B ）{02}0.9P X <<≥
（C ）{|1|1}0.9P X +≥≤ （D ）{|}1}0.1P X ≥≤
3．121000,,,X X X L 是同分布相互独立的随机变量，~(1,)i X B p ，则下列不正确的是 [ D ]
（A ）1000111000i i X p =≈∑ （B
）10001
{}i i P a X b =<<≈Φ-Φ∑ （C ）10001~(1000,)i i X B p =∑ （D ）1000
1{}()()i i P a X b b a =<<≈Φ-Φ∑
二、填空题：
1．对于随机变量X ，仅知其1()3,()25
E X D X ==，则可知{|3|3}P X -<≥
2．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2-和2，方差分别为1和4，而相关系数为5.0-，则根据契比雪夫不等式{}6P X Y +≥≤
三、计算题：
1．设各零件的重量是同分布相互独立的随机变量，其数学期望为0.5kg ，均方差为
0.1kg ，问5000只零件的总重量超过2510kg 的概率是多少？
解：设第i 件零件的重量为随机变量i X ，根据题意得0.1.i EX ==
5000
5000
11()50000.52500,()50000.0150.i i
i i E X D X ===?==?=∑∑
5000
500012500(2510)110.9207
0.0793.i i i X P X P =->=>≈-Φ≈-=∑∑
2．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在(0.5,0.5)-上服从均匀分布。
（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？
（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 ？
解：（1）1500
1500111(0.5,0.5),()0,()1500125.12
i i i i X U E X D X ==-==?
=∑∑:
1500
1(||15)2[1(2[1(1.3)]0.18.5
i i P X
P =>=>≈-Φ≈-Φ=∑ （2
）1||(||10)0.90n i n i i X P X P =<=<≥∑
∑0.95?Φ≥. 根据Φ
1.645≥，故21012()443.4.1.645n ≤?≈ 所以n 最多为443个数相加.
3．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。
（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？
（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？
解：（1）令1i X =为第i 个病人治愈成功，反之则0.i X =
令1001,(100,0.8),()80,()16.i
i Y X Y B E Y D Y ====∑:
5(75)()0.8944.
4P Y P >=>≈Φ= （2）令1i X =为第i 个病人治愈成功，反之则0.i X =
令1001,(100,0.7),()70,()21.i
i Y X Y B E Y D Y ====∑:
(75)10.1379.
P Y P >=>≈-Φ= 4．一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5。某天售出300只蛋糕。
（1）求收入至少400元的概率；
（2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。
解：（1）设X i (i=1,2,3…,300)为蛋糕的价格，其分布律为: 11215030205
i
X P ..... 10312021505129123300i E X i =?+?+?==()......(,,,)L
2103144022250512900489
123300().....(.).(,,,)i D X i =?+?+?-==L 记3001i i X X
==∑
400
()P X P ≥=≥ 1
P =-< 13394(.)=-Φ
10999700003..=-=
记Y 为售出蛋糕的价格为1.2元的数量，则30002Y B ~(,.)
60160P Y P Y >=-≤()() 1
P =-≤ 1005=-Φ=().