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1高一函数初步定义域、解析式(教师版)

函数初步

一、教学目标

1．理解映射、函数的概念 2．了解求函数解析式的几种方法 3．会求具体函数、抽象函数定义域

二、教学重难点

重点：求函数解析式、定义域的方法难点：复合函数解析式、抽象函数定义域问题

三、基础知识必备

（一）映射的定义：

映射定义：设A,B 是两个非空．．的集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个．．．．元素，在集合B 中都有唯一．．元素与之对应，这样的对应叫做从集合A 到．集合B 的映射，记作：B A f →:(注：A 中元素必须取完，B 中元素可以取完，也可以不取完，这种对应可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多;注意关键词)在映射B A f →:中，集合A 叫做映射的定义域，与A 中元素x 对应的B 中元素y 叫x 的象，记作：)(x f y =，x 叫做y 的原象。补充：映射有“三性”：

①“有序性”：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射； ②“存在性”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都存在元素和它对应； ③“唯一性”：对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中和它对应的元素是唯一的. （二）函数的概念： 1．函数的定义

设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：y=f(x)，x A ．

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2. 映射与函数的关系

函数是映射，但映射不一定是函数。由映射的概念可知，函数本质上是定义在两个非空数集上的一类特殊的映射：当A 、B 是两个非空数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，并记作y =f (x )，其中x ∈A ，y ∈B ．原象的集合A 叫做函数的定义域，象的集合C 叫做函数的值域，显然C ?B ．

3．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.

（三）函数的表示法 1．函数的三种表示方法：

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数：

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 3．对勾函数

)0,0(>>+=b a x

ax y

四、典型例题分析考点一：映射与函数

（一）映射

例1. ①A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；

②*

{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2

:22f x y x x →=-+；

③{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →= 上述三个对应_____是A 到B 的映射．例2.

已知映射B A f →:,其中A B R ==,对应法则x x y f 2:2

+-=,对于实数B k ∈,在集

合A 中不存在原象,则k 的取值范围是 ( )

A.1>k

B.1≥k

C. 1

D. 1≤k

练习: 1.已知}{

,,A a b c =，}{

0,1B =，映射:f A B →.满足：()()()f a f b f c =，则这样的映射有（）个

A. 0

B. 2

C. 3

D. 4

2、给定映射),(),(y x y x y x f -+→，则点（1,2）在f 下的象是点（1,2）的原象是

（二）函数概念

例3. 下列各组函数是否表示同一个函数？ (1)

(2)

(3)

(4)

例4. 函数的图象与直线

的公共点数目是( )

A ．

B ．

C ．或

D ．或

（三）复合函数与分段函数

例5. 设231,0(),0x x f x x x +≥?=?

1x x g x x ?-≤=?>?求1

[(3)],[()]2f g g f -的值

例6. 已知函数2,[1,1]

(),[1,1]

x f x x x ∈-?=?

?-?，若[()]2f f x =，则x 的取值范围是( )

A ．φ

B ．[－1,1]

C ．(,1)(1,)-∞-+∞

D ．{}2[1,1]-

例7. 设函数()21|||4|f x x x ＝＋－－. 解不等式()2f x ＞；

练习：1.已知21()(1)x f x f x +?=?+?

11x x ≥<，求)2(-f

2. 已知函数 221,1(),1

x x f x x ax x ?+

=?+≥??若((0))4f f a =,则实数a 等于（）

21 B. 54

C. 2

D. 9 考点二：函数的定义域

求函数的定义域（x 的取值范围）的方法

①如果)(x f 为分式，其定义域是使分母不为0的实数集；

②如果)(x f 是二次根式（偶次根式），其定义域使根号内的式子不小于0的实数集合；

③如果)(x f 是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集

合；

④0)(x x f =的定义域是}.0|{≠∈x R x ⑤实际问题中要考虑实际意义； (一)给出函数解析式，求其定义域例8. ① 2

)(-=x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③x

x x f -++=

1)( ④14)(2--=

x x f

练习：求下列函数的定义域

3132+++-=

x x y

例9. 求下列函数的定义域，并用区间法表示：（1）2143)(2-+--=

x x x x f （2）=)(x f x

11111++

（3） x x x x f -+=0)1()(

（二）抽象函数的定义域：

例10. 已知函数()f x 的定义域是[]0,9，求函数()

2f x 的定义域

例11. 已知函数()32f x +的定义域是(],3-∞，求函数()f x 的定义域。

例12. 已知函数()12f x -的定义域是1,52??????

，求函数()

2f x -的定义域。

例13. 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41

(+=x f y )4

1(-?x f 的定义域。

练习：1. 已知(1)f x +则(21)f x -的定义域为( )A. 1(,1]2 B. 13[,)22 C. 3[1,)2 D. 13[,]22

2.若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)

()1

f x

g x x =-的定义域是__ __。 3. 已知函数1()1x

f x x

-的定义域为A ，函数()y f f x =????的定义域为B ，则（） A. A B B = B. A B ≠

? C.A B = D .A B B = (三)定义域为R

例14. 函数962+-=mx mx y 的定义域为R ，求m 的取值范围？

例15. 已知函数f （x ）=

-+-ax ax x 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（） A,a ＞3

B ．－12＜a ≤0

C ．－12＜a ＜0

D ．a ≤

考点三：函数解析式求法

(一)配凑法或换元法：

例16. （1）、已知2

11??? ??+=??? ?

-x x x x f ，求函数()x f 的解析式。

（2）、已知x x x x x f 1

112

++=??

? ??+，求()x f 的解析式。

练习：已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=

x t ，则1≥t ，2)1(-=t x

x x x f 2)1(+=+

∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f

1)(2-=∴x x f )1(≥x

x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x

（二）待定系数法求解析式：已知函数的类型，把函数的解析式设出来，将已知条件代入所设解析式求

例17. 已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；

练习：已知 ()f x 二次实函数，且2

(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .

（三）方程组消元法求解析式：已知()x f 与()[]x g f 满足关系式，要求()x f 时，可用()x ?代替两边的所有x ，得到关于()x f 及()[]x g f 的方程组，解之即可得()x f 例18. 已知()x f 满足()x x f x f 4123=??

? ??+，求函数()x f 的解析式

练习：设,)1(2)()(x x

f x f x f =-满足求)(x f

解 x x

f x f =-)1(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成

，得： x

x f x f 1

)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：

x x f 32

3)(--

= （四）赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例11.已知对一切()()()y y x x f y x f R y x 12,,+--=-∈都成立，且()10=f ，求()x f 的解析式。

练习：已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f

解对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2

++=x x x f

（五）代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例12.已知：函数)(2

x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点

则?????=+'-=+'32

22y y x

x ，解得：???-='--='y y x x 64

，

点),(y x M '''在x x y +=2上

x x y '+'='∴2

把???-='--='y

y x x 64代入得：

)4()4(62--+--=-x x y

整理得672

---=x x y

∴67)(2---=x x x g

当堂练习：1. 已知1)1(+=+x x f ，则()f x = 。

2. 已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,则()f x =

3. 已知f (x )＋2f (1

x )＝2x ＋1，则f (x )= ．

4．若()()31212f x f x x -+-=，则()f x = 。 5. 函数()f x 对一切实数,x y 均有()()(21)f x y f y x y x +-=++成立，且(1)0f =. （1）求(0)f 的值；（2）求()f x 解析式；

6. 设()f x 为R 上的函数，并且对任意的,x y 都有[()][()]()()1f x f y f f y xf y f x -=++-，求

()f x

课后作业

1．下列各组函数中表示同一函数的是

（A ）x x f =)(与2

)()(x x g = （B ）||)(x x x f =与?????-=2

2)(x x

x g )

0()0(<>x x （C ）||)(x x f =与3

)(x x g = （D ）1

)(2--=x x x f 与)1(1)(≠+=t t x g

2．设x

x f -=

)(，则)]([x f f 的表达式为（A ）x （B ）

2)1(1x - （C ）x

- （D ）x

-11

3．已知45)1(2+-=+x x x f ，则)(x f 等于

（A ）352

+-x x （B ）1072

+-x x （C ）1072

--x x （D ）642

+-x x 4．求下列函数的定义域：

（1）25|12|-+-=x x y （2）|

x x y -=

5．设32)(+=x x f ，54)(-=x x g ，若)()]([x g x h f =则=)(x h ＿＿＿＿＿ 6．函数)(x f 满足条件x

x f x f 1

)1()(2=

-，求)(x f 的解析式＿＿＿＿＿． 7．已知函数b ax x a y -+-+=2的值域为]7,4[，求b a ,的值 8．函数的定义域是[－1,4],求函数

的定义域。

9．若函数的定义域是R,求m 的取值范围.

10．已知

,则

。

11．如果函数对任意实数都有

,求

的值。

12．函数的定义域是,值域为,求m 的值范围。

13．设,求函数的解析式及函数的定义域。

14．一次函数

满足

,求的解析式。

15．分别求出下列函数错误！未找到引用源。的解析式:

1) 2)

3）(2)23f x x +=+ 4）11()1

f x x =+

函数定义域、值域经典习题及答案

复合函数定义域和值域练习题一、求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = （2 ）01(21)111 y x x = +-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为 ________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是；函数1(2)f x +的定义域为。 4、已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈

⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = 三、求函数的解析式 1、已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式

第一讲函数的定义域和解析式

函数的定义域和解析式一．知识点 1常见函数的定义域：①分母不为零；②被开偶次方的数大于等于零；③0x 中x 不等于0 ④log a x 中0,1a a >≠，0x >；⑤x a 中0,1a a >≠⑥tan x 中,2x k k Z ππ≠+ ∈ 2.抽象函数的定义域：①定义域是指自变量x 的范围；②()f 中，()内的取值范围相同。 3.同一函数的判断：两个函数有相同的定义域和解析式。二．常考题 1．函数()lg 43 x y x -=-的定义域是___________ 2．已知函数()3f x +的定义域是[]4,5-，则函数()23f x -的定义域是___________ 3．设()2lg 2x f x x +=-，则22x f f x ????+ ? ????? 的定义域是___________ 4．已知函数()2lg 2194y mx m x m ??=++++??的定义域是R,则m 的取值范围是 ___________。 5． .若函数()253 x f x x -=-的值域为[)4,+∞，()f x 的定义域是. _________。 6．已知函数()21f x x =-，()2,01,0x x g x x ?≥=?-

一函数定义域定义域高考试题汇编[1]

一、定义域问题 1. （陕西文2）函数21lg )(x x f -=的定义域为（A ）［0，1］（B ）（-1，1）（C ）［-1，1］（D ）（-∞，-1）∪（1，+∞）解析：由1-x 2>0得-1+>-x x x ，故选B. 2. （江西文3）函数1()lg 4 x f x x -=-的定义域为（）Ａ．(14)，Ｂ．[14)，Ｃ．(1)(4)-∞+∞U ，，Ｄ．(1](4)-∞+∞U ，，解析： 10(1)(4)0,1 4.4 x x x x x ->?--<∴<<-选A. 上海理1）函数()()lg 43 x f x x -= -的定义域为_____ 【答案】 {} 34≠??-≠?? {}34≠

函数的定义域及函数的解析式解读

函数的定义域及函数的解析式因为函数是现实世界对应关系的抽象或者说是对应关系的数学模型，它重要而且基本，不仅是数学研究的重要对象，也是数学中常用的一种数学思想，所以全面正确深刻理解函数概念则是我们教学的关键.其中函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础，即处理函数问题必须树立“定义域优先”这种数学意识.熟练准确地写出函数表达式是对函数概念理解充分体现.下面，针对函数的定义域及函数解析式做进一步探讨. 一、函数的定义域［例1］求下列函数的定义域 (1)ｙ＝－22 1x ＋１ (2)ｙ＝4 22--x x (3)x x y +=1 (4)ｙ＝241+-+-x x (5)ｙ＝3 142-+-x x (6)ｙ＝)13(1 13-+--x x x (7)ｙ＝ x 1 11 11++ (8)ｙ＝3-ax （ａ为常数）分析：当函数是用解析法给出，并且没有指出定义域，则使函数解析式有意义的自变量的全体所组成的集合就是函数的定义域. 解：(1)ｘ∈R (2)要使函数有意义，必须使ｘ２－４≠０得原函数定义域为｛ｘ｜ｘ≠２且ｘ≠－２｝ (3)要使函数有意义，必须使ｘ＋｜ｘ｜≠０得原函数定义域为｛ｘ｜ｘ＞０｝ (4)要使函数有意义，必须使? ??≥-≥-0401x x 得原函数的定义域为｛ｘ｜１≤ｘ≤4｝

(5)要使函数有意义，必须使?????≠-≥-0 3042x x 得原函数定义域为｛ｘ｜－２≤ｘ≤２｝ (6)要使函数有意义，必须使???≠-≠-0 1301x x 得原函数的定义域为｛ｘ｜ｘ≠31且ｘ≠１｝ (7)要使函数有意义，必须使??????? ????????≥++≠++≠+≠01111011110110x x x x 得原函数的定义域为｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞０或－ 2 1＜ｘ＜０} (8)要使函数有意义，必须使ａｘ－３≥０得当ａ＞0时，原函数定义域为｛ｘ｜ｘ≥a 3｝当ａ＜0时，原函数定义域为｛ｘ｜ｘ≤a 3｝当ａ＝０时，ａｘ－３≥０的解集为?，故原函数定义域为? 评述：(1)求函数定义域就是求使函数解析式有意义的自变量取值的集合，一般可通过解不等式或不等式组完成. (2)对于含参数的函数定义域常常受参数变化范围的制约，受制约时应对参数进行分类讨论.例1中的(8)小题含有参数ａ，须对它分类讨论. ［例2］(1)已知函数ｆ（ｘ）的定义域为(0，1)，求ｆ（ｘ２）的定义域. (2)已知函数ｆ（２ｘ＋１）的定义域为(0，1)，求ｆ（ｘ）的定义域. (3)已知函数ｆ（ｘ＋１）的定义域为［－２，３］，求ｆ（２ｘ２－２）的定义域. 分析：(1)求函数定义域就是求自变量ｘ的取值范围，求ｆ（ｘ２）的定义域就是求ｘ的范围，而不是求ｘ２的范围，这里ｘ与ｘ２的地位相同，所满足的条件一样. (2)应由0＜ｘ＜1确定出２ｘ＋１的范围，即为函数ｆ（ｘ）的定义域. (3)应由－２≤ｘ≤３确定出ｘ＋１的范围，求出函数ｆ（ｘ）的定义域进而再求ｆ（2ｘ２－２）的定义域.它是(1)与(2)的综合应用. 解：(1)∵ｆ（ｘ）的定义域为(0，1) ∴要使ｆ（ｘ２）有意义，须使0＜ｘ２ｘ＜０或０＜ｘ

函数的定义域解析与练习及答案

函数的定义域解析与练习及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

函数的定义域 1、已知函数式求定义域：例1、求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解：（1），即；（2），即；（3）且，即．（4）要使函数有意义，应满足，即．∴函数的定义域为．（5）要使函数有意义，应满足，即．∴函数的定义域为．点拨：要求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑用到不等式或不等式组，然后借助于数轴进行求解． 2、求抽象函数的定义域

讲解：求解抽象函数的定义域时一定要严格遵循原始函数的定义域，不管 “”中的“x”被什么代换，它们都得首先遵循这一“规则”，在这一“规则”之下再去求解具体的x的范围．例2、已知的定义域为，求，的定义域．解： ∵的定义域为，∴，∴，即的定义域为，由，∴，即的定义域为．点拨：若的定义域为，则的定义域是的解集．例3、已知的定义域为，求，的定义域．解： ∵的定义域为，∴即的定义域为．又∵的定义域为，∴，∴ 即的定义域为．点拨：已知的定义域，则当时，y=kx＋b的函数值的取值集合就是的定义域．例4、已知函数的定义域是[a，b]，其中a<0b，求函数的定义域．

解答： ∵函数的定义域为[a，b]，∴a≤x≤b，若使有意义，必须有a≤－x≤b即有－b≤x≤－a．∵a<0b，∴a<－b且b<－a． ∴的定义域为．点拨：若的定义域为及的定义域分别为A、B，则有借助于数轴分析可求得． 3、函数定义域的逆用讲解：已知函数的定义域求解其中参数的取值范围时，若定义域为R时，可采用判别式法，若定义域为R的一个真子集时，可采用分离变量法．例5、已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围．解答： ①当k=0时，函数，显然它的定义域是R； ②当k≠0时，由函数y的定义域为R可知，不等式对一切实数x均成立，因此一定有．解得0

高中数学-函数的解析式和定义域

6 函数的解析式和定义域一、基础训练 1．函数的定义域是． 2．已知函数的定义域为，则的定义域为． 3．在一定范围内，某种产品的购买量吨与单价元之间满足一次函数关系．如果购买1000吨，每吨800元；购买2000吨，每吨700元．那么客户购买400吨，单价应该是元． 4．已知，则． 5．若函数的定义域为，则实数的取值范围是． 6．若函数，那么． 7．（2011江西卷）若函数，则函数的定义域是． 8．若函数的定义域为实数集，则实数的取值范围是．二、例题精讲例1．求下列函数的定义域．（1）；（2）；（3）．例2．已知函数的定义域为，求下列函数的定义域．（1）；（2）．例3．（1）设二次函数的最大值为13，且，求的解析式；（2）已知，求的解析式和定义域．例4．已知函数，其中．

（1）求函数的定义域；（2）若对任意，恒有，求的取值范围．三、巩固练习 1．已知，则． 2．函数的定义域是． 3．若（），则，． 4．设函数的定义域为，函数的定义域为，若，则实数的取值范围是．四、要点回顾 1．函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．求函数表达式的主要方法有：待定系数法、换元法等．如果一直函数解析类型，可以用待定系数法．已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意“元”的取值范围． 2．函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．（1）定义域经常作为基本条件（或工具）出现在高考题中，通过函数性质或函数应用来考察，具有隐蔽性，所以在解决函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观点．（2）确定定义域的原则是： 1当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． 2当函数用图像给出时，函数的定义域是指图像在轴上投影所覆盖的实数的集合． 3当函数用解析式给出时，函数的定义域就是指使解析式有意义的自变量取值的集合． 4当函数用实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定．函数的解析式和定义域作业

求函数的定义域及解析式

高一数学必修1 编号:SX--01--06 《求函数的定义域及解析式专题》导学案撰稿:张娜审核: 涂珎时间:2010.9.5 姓名: 班级: 组别: 组名:____________ 【学习目标】 1、熟练掌握求具体函数和抽象函数的定义域的一般方法； 2、熟练运用换元法、待定系数法、解方程组等方法求函数的解析式. 【重点难点】重点：求函数的定义域及解析式难点：求函数的定义域及解析式【知识链接】函数的三要素：定义域、解析式、值域【学习过程】知识点一：求具体函数的解析式例1求下列函数的定义域：（1）x y 213- =；（2）x x y ---= 11；（3）30 +=x x y ；（4）11+?-=x x y . 点拨：求具体函数的定义域，其实质是求使解析式各部分有意义的未知数的取值范围. 知识点二求抽象函数的定义域抽象函数是没有明确给出具体解析式的函数，求抽象函数的定义域问题主要有四种题型：题型一：已知的定义域的定义域，求 ))(()(x g f x f 解法：若b x g a x g f b x a x f ≤≤≤≤)())(()(中，则的定义域为，从中解得x 的取值范围即

为))((x g f 的定义域例2、已知函数的定义域求的定义域为)5(],5,1[)(--x f x f . 题型二：已知的定义域的定义域，求)())((x f x g f 解法：若)()(,))((x g u x g n x m n x m x g f =≤≤≤≤的范围，设确定则由的定义域为，则的定义域的范围即为是同一函数，所以与又)()()()(),())((x f x g x f u f u f x g f = 例3、已知函数的定义域，求函数的定义域是)(]3,0[)1(x f x f -. 题型三：已知的定义域的定义域，求))(())((x h f x g f 解法：先由的的定义域求得的定义域，再由定义域求得))(()()())((x h f x f x f x g f 定义域例4、若函数的定义域求的定义域为)1(],2,2 1[)1(--+x f x f . 题型四：求运算型的抽象函数（由有限个抽象函数经四则运算得到的函数）的定义域解法：先求出各个函数的定义域，再求交集例5、若的定义域，求的定义域为 )()()(]5,3[)(x f x f x x f +-=-?.

函数的定义域、值域及解析式

函数的定义域、值域及解析式【教学目标】 1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域【教学重难点】函数定义域、值域以及解析式的求法。【教学内容】 1.定义高中函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．如：f(x)=x2 f(x)=2x+2等（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域常见函数的定义域与值域函数解析式定义域值域一次函数y=ax+b(a≠0) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 反比例函数 (k为常数， k≠0） 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)例. 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？（1）f ( x ) = (x-1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x； g ( x ) = （√x）2 （3）f ( x ) = x 2；g ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x )=x2-2x+2, g ( x )=t2-2t+2 3．区间的概念

函数定义域知识点梳理、经典例题及解析、高考题带答案

函数的定义域【考纲说明】 1、理解函数的定义域，掌握求函数定义域基本方法。 2、会求较简单的复合函数的定义域。 3、会讨论求解其中参数的取值范围。【知识梳理】（1）定义：定义域是在一个函数关系中所有能使函数有意义的的集合。（2）确定函数定义域的原则 1.当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域指的是表格中所有实数x 的集合。 2.当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域指的是图象在x 轴上的投影所覆盖的实数的集合。 3.当函数y=f(x)用解析式给出时，函数定义域指的是使解析式有意义的实数的集合。 4.当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数定义域要使函数有意义，同时还要符合实际情况。 3、.确定定义域的依据： ①f(x)是整式（无分母），则定义域为； ②f(x)是分式，则定义域为的集合； ③f(x)是偶次根式，则定义域为的集合； ④对数式中真数，当指数式、对数式底中含有变量x 时，底数； ⑤零次幂中，，即x 0中； ⑥若f(x)是由几个基本初等函数的四则运算而合成的函数，则定义域是各个函数定义域的。 ⑦正切函数x y tan = 4、抽象函数的定义域（难点）（1）已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。（2）已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

高中数学函数的定义域测试题含答案

高中数学函数的定义域测试题(含答案) 高二数学函数的定义域与值域、单调性与奇偶性苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的定义域与值域、单调性与奇偶性二. 教学目标：理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。三. 教学重点：函数性质的运用．四. 教学难点：函数性质的理解。［学习过程］一、知识归纳： 1. 求函数的解析式（1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的

实际意义。页 1 第（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域求用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R； ②若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法：（1）利用基本初等函数的值域；（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型的函数）（4）函数的单调性：特别关注的图象及性质（5）部分分式法、判别式法（分式函数）（6）换元法（无理函数）

求函数的定义域与值域的常用方法完整版

求函数的定义域与值域的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

求函数的定义域与值域的常用方法引入：自变量x 的取值范围为定义域因变量y 的取值范围为值域求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式（一）解析式的表达形式（解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式（是大部分函数的表达形式）例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、复合式若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ， []=)(x f g 。解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f （二）解析式的求法（根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法例1.已知：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x)；解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法例1.已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x); 解：令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。

高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题

1、分段函数已知???>-≤+=) 0(2)0(1)(2x x x x x f 则（1）若=)(x f 10，则x= ；（2）)(x f 的值域为 _____. 2、画出下列函数的图象（请使用直尺） (1) Z x x y ∈-=,22且 2≤x (2) x x y -=2 3、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，试写出线段AP 的长度y 与P 点的行路程x 之间的函数关系式。 4、根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式观察法(1)221)1(x x x x f +=+ 方程组法x x f x f 3)1(2)()2(=+ D P C P A P B

换元法（3）13)2(2++=-x x x f 待定系数法（4）已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ,求()x f 。（复合函数的解析式）---代入法（5）已知1)(2-=x x f ，1)(+=x x g ，求)]([x g f ]和)]([x f g 的解析式。 5、抽象函数的定义域的求解 1、若函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(-x f 的定义域为。 2、若函数)1(2-x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为。练习：1、若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 。 2、函数)(x f 满足条件10)()(+-=x xf x f ，求)(x f 的解析式。 3、已知)(x f 是二次函数，且满足()10=f ,()()x x f x f 21=-+，求()x f 的表达式。 4、若()32+=x x f ，)()2(x f x g =+，求函数)(x g 的解析式 5、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；

函数的定义域值域和解析式

函数的定义域、值域和解析式 1．函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围． 2.求函数定义域的主要依据： ①分式函数:分母不为0; ②偶次方根:被开方数为非负数; ③对数函数:真数大于0,底数大于0且不为1; ④零次幂的底数不等于0 注意：①当通过解不等式或不等式组求定义域时，常常借助数轴求交集，同时考虑端点是否可取；②在解决函数问题时首先考虑定义域，“定义域优先原则”；③定义域的最终结果一定要写成集合或者区间的形式；④实际问题的自变量范围应根据实际情况确定。指数函数 x a y =(a >0且a ≠1) R (0,+∞) 对数函数 x y a log =(a >0且a ≠ 1) (0,+∞) R 正、余弦函数 y =sin x ,y =cos x R [-1,1] 正切函数 y =tan x {x |x ≠k π +2 π,k ∈Z} R 解析式定义域值域一次函数 y =kx +b (k ≠0) R R 二次函数 c bx ax y ++=2 (a ≠0) R 当a >0时,),44( 2 +∞-a b a c 当a <0时,)44, (2 a b a c --∞ 反比例函数 x k y = (k ≠0) {x |x ≠0} {y |y ≠0} 均值函数 x b ax y + =(a >0,b >0) {x |x ≠0} (-∞,-2ab ]∪[2ab ,+∞) 常见函数的定义域与值域

,0 ||0 1?? ?>-≠+x x x ,||1 ? ??>-≠x x x 例1求下列函数的定义域（1）1 log 1 )(2-=x x f （2）)1(log 1 |2|)(2---=x x x f （3）y=x x x -+||)1(0 ; 解：（1）由题意可得???>->01log 0 2 x x 解得x ＞2． ∴所求定义域为（2，+∞） ?? ? ??≠->-≥--110 10 1|2|x x x 解得x ≥3 （2）由题意得 ∴所求定义域为（3，+∞）（3）由题意化简故函数的定义域为{x|x ＜0且x ≠-1}. 练习：求函数的定义域（1） y=2 3 2 531 x x -+-; （2）)34lg(1 3)(22-+-+-=x x x x x f 3.抽象函数的定义域求复合函数y ＝f(t)，t ＝q(x)的定义域的方法： ①若y ＝f(t)的定义域为(a ，b)，则解不等式得a ＜q(x)＜b 即可求出y ＝f(q(x))的定义域； ②若y ＝f(g(x))的定义域为(a ，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域．例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f(x 1);(3)y=f( )31 ()31-++x f x ; 解：（1）0≤3x ≤1,故0≤x ≤3 1 , y=f(3x)的定义域为［0, 3 1］ . （2）仿（1）解得定义域为［1，+∞ ). （3）由条件，y 的定义域是f )31(+x 与)3 1 (-x 定义域的交集 .

高级中学考试数学函数的定义域和值域复习试题含答案.doc

高考数学函数的定义域和值域复习试题(含答案) 高考数学函数的定义域和值域复习试题（含答案) 高考数学函数的定义域和值域复习试题及答案解析一、选择题 1.（2０13 陕西高考）设全集为R，函数f(x)=1－x的定义域为Ｍ，则为( ) A.(－,1) Ｂ．(１，+ ) C.（－,1] D.[1,＋) B [要使f(x）=1-x有意义,须使1-x 0，即ｘ1. M=(-,1]，＝(1，+ ).] ２.函数y=13x-2+lｇ(2x-1)的定义域是（) Ａ.2３，＋B.12,+ Ｃ.２３,+ Ｄ.12，２3 Ｃ[由３x-2 0,２ｘ-1 0得x 23.］ 3.下列图形中可以表示以M={x|０x 1}为定义域,以N＝{y|０y1｝为值域的函数的图象是( ) C [由题意知，自变量的取值范围是[０，1］,函数值的取值范围也是[0,1],故可排除Ａ、B;再结合函数的定义，可知对于集合M中的任意x,N中都有唯一的元素与之对应,故排除D.] 4．（２014长沙模拟)下列函数中，值域是（0，+ )的是( ) A.y=x2－2x+1B．y=ｘ+2ｘ+１（ｘ(0，+ ）)

C．y=１x２＋2x+１(x N）D.ｙ=1｜x+１| D ［选项A中y可等于零;选项B中y显然大于1;选项C 中ｘN,值域不是（0，+ );选项D中|x+1｜０,故y 0．] 5.已知等腰△ABＣ周长为10,则底边长ｙ关于腰长x的函数关系为y=10-２x，则函数的定义域为() Ａ.R B.{x|ｘ0} C.｛x|0 ｘ5} D.x｜52 x 5 Ｄ[由题意知ｘ０,10－2x0，2x 1０-２x即52 x ５.] 6.函数y=2ｘ-1的定义域是(-,1) [2,５),则其值域是( ) Ａ．(- ，0) 12,2 Ｂ.(- ，2] Ｃ．- ，12 [2，+ ) Ｄ．(0，＋）Ａ[∵x (- ，1）[２,5)，故x－1(- ,0) [1，4）, 2x-1 (- ，0)１2,2.］ 7.若函数f（x)=1log3(２x+c)的定义域为12，1(1,+)，则实数c的值等于( ) A.１Ｂ.-1 C．－2 D.-1２ B [由2x+c ０且log3(2x＋c)0，得ｘ-c２且x １-c2. 又f(ｘ)的定义域为１２,１(1,+), １-c2＝１.c=-1.]

函数的解析式以及定义域的求法讲义

函数的解析式以及定义域的求法一：学生情况及其分析：上海高一学生，不等式学完了，国庆没有上课，这节课给她巩固求解析式的方法，思维灵活，自己动手能力挺好，所以有些例题有留给她一定的思考空间。二：教学目的： 1.学习函数的表示方法中的解析式的求法， 2.会求解简单函数以及复合函数的定义域三：教学设计： 1，教学回顾：函数的概念是什么？函数的三要素是什么？函数的表示方法有哪些？ 2，教学过程：一、解析式的求解（一）换元法：已知f （g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为：令t=g(x),再求出f(t)可得f （x ）的解析式。换元后要确定新元t 的取值范围。例1．若x x x f -=1)1(,求)(x f . 分析：怎么能由)1(x f 的解析式得到)(x f 的解析式，他们的联系是什么？练习1．已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 练习2.已知) 123f x =+，求()f x 的表达式。思考：已知2 21)1 (x x x x f +=+，求()f x 的表达式。分析：题型好像和上面一样，是不是能用同样的方法做出来？（二）配凑法：把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式，再把g(x)用x 代替。一般的利用完全平方公式例2．若x x x f 2)1(+=+,求)(x f . 分析：观察怎么才能得到f(x)？练习1．已知) 123f x =+，求()f x 的表达式。

（三）待定系数法：已知函数模型（如：一次函数，二次函数，指数函数等）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数例3. 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 分析：对于一次函数的解析式，我们是不是很熟悉，那能不能先设出他的一般形式呢？练习1．已知f (x )是二次函数，且满足f (x +1)+f (x －1)=2x 2－4x ，求f (x )．练习2.已知一次函数()f x ，()()1223f x f x x -+=+，求函数()f x 的解析式。（四）解方程组法: 求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f （x ）的解析式例4．设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 分析：我们用1/x 去代替x 试试看有什么惊人的效果！练习1.若x x x f x f +=-+1)1()(,求)(x f . （五）特殊值法; 一般的，已知一个关于x,y 的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数y ，得出关于x 的解析式。例5：已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 分析：题干中信息太少？就用你能看得见的条件呗，那令谁等于0呢？练习1.函数f(x)对一切实数x,y 均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立，且f(1)=0.求f(x)的解析式。练习2.已知(0)1,()()(21),f f a b f a b a b =-=--+求()f x 。（六）代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例6.已知：函数)(2 x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式分析：两点关于某点对称时有什么特征？

求复合函数定义域值域解析式(集锦)

求复合的定义域、值域、解析式（集锦）一、基本类型： 1、求下列函数的定义域。（1）12)(-+=x x x f （2）x x x x f -+=0 )1()( （3） 1 11--= x y （4）()28 x f x = - 二、复合函数的定义域 1、若函数y ＝f (x )的定义域是[－2, 4], 求函数g (x )＝f (x )＋f (1－x )的定义域 2（江西卷3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，求函数(2) ()1 f x g x x =-的定义域 2、函数y ＝f (2x ＋1)的定义域是(1, 3]，求函数y ＝f (x )的定义域 3、函数f (2x －1)的定义域是[0, 1)，求函数f (1－3x )的定义域是求函数的值域一、二次函数法（1）求二次函数232y x x =-+的值域（2）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域. 二、换元法：（1）求函数 y x =+

分分式法求2 1 +-= x x y 的值域。解：（反解x 法）四、判别式法（1）求函数22221 x x y x x -+=++；的值域 2）已知函数21 ax b y x += +的值域为[－1，4]，求常数b a ,的值。五：有界性法：（1）求函数1e 1e y x x +-=的值域六、数形结合法---扩展到n 个相加（1）|1||4|y x x =-++（中间为减号的情况？）求解析式换元法已知 23,f x =- 求 f (x ). 解方程组法设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x 1 ）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 一变：若()f x 是定义在R 上的函数，(0)1f =，并且对于任意实数 ,x y ，总有2()()(21),f x f x y x y y +=+++求()f x 。令x=0，y=2x 待定系数法设 f (2x )+f (3x +1)=13x 2+6x -1, 求 f (x ).

函数定义域试题与答案

一、选择题（共6小题） 1、在函数中，自变量x的取值范围是（） A、x≠0 B、x≤﹣2 C、x≥﹣3且x≠0 D、x≤2且x≠0 2、函数的定义域是（） A、x≠2 B、x≥﹣2 C、x≠﹣2 D、x≠0 3、（2006?黄石）函数y=的自变量x的取值范围是（） A、x≥﹣2 B、x≥﹣2且x≠﹣1 C、x≠﹣1 D、x＞﹣1 4、（2010?苏州）在函数y=中，自变量x取值范围是（） A、x＞1 B、x＜﹣1 C、x≠﹣1 D、x≠1 5、（2008?乐山）函数的自变量x的取值范围为（） A、x≥﹣2 B、x＞﹣2且x≠2 C、x≥0且≠2 D、x≥﹣2且x≠2 6、能使有意义的x的取值范围是（） A、x＞﹣2 B、x≥﹣2 C、x＞0 D、x≥﹣2且x≠0 二、填空题（共6小题） 7、（2011?黑龙江）函数y=中，自变量x的取值范围是_________． 8、（2007?黄石）函数的自变量取值范围是_________． 9、求使代数式有意义的x的整数值_________．

10、函数y=+（x﹣1）0自变量的取值范围是_________． 11、函数y=中，自变量x的取值范围是_________． 12、写出一个y关于x的函数关系式，使自变量x的取值范围是x≥2且x≠3，则这个函数关系式可以是_________．

答案与评分标准一、选择题（共6小题） 1、在函数中，自变量x的取值范围是（） A、x≠0 B、x≤﹣2 C、x≥﹣3且x≠0 D、x≤2且x≠0 考点：函数自变量的取值范围。专题：常规题型。分析：根据被开方数x+3大于等于0，分母x不等于0，列式求解即可．解答：解：根据题意得，，解得x≥﹣3，且x≠0．故选C．点评：本题主要考查了函数自变量的取值范围，被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可，是基础题，比较简单． 2、函数的定义域是（） A、x≠2 B、x≥﹣2 C、x≠﹣2 D、x≠0 考点：函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件。专题：计算题。分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．解答：解：根据题意得：x+2≥0，解得x≥﹣2．故选B．点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 3、（2006?黄石）函数y=的自变量x的取值范围是（） A、x≥﹣2 B、x≥﹣2且x≠﹣1 C、x≠﹣1 D、x＞﹣1 考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件。专题：计算题。分析：立方根的被开方数可以是任意数，不用考虑取值范围，只让分式的分母不为0列式求值即可．解答：解：由题意得：x+1≠0，解得x≠﹣1，故选C．点评：用到的知识点为：立方根的被开方数可以是任意数；分式有意义，分母不为0． 4、（2010?苏州）在函数y=中，自变量x取值范围是（） A、x＞1 B、x＜﹣1

高一数学函数的解析式、定义域和值域

函数的解析式、定义域和值域一、知识梳理 1．函数的概念设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作 )(x f y =，A x ∈．函数的本质含义是定义域内任一x 值，必须有且仅有惟一的y 值与之对应．函数的定义域与值域：函数的定义中，自变量x 取值的范围叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合 {}A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域．确定一个函数的两个要素：定义域，对应法则．函数好比数的加工厂，定义域是加工范围，值域是产品系列，f 是加工手段． 2．函数的表示法：列表法，图象法，解析法．图象法和解析法是考查的重点． 3．映射的概念设A ，B 是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有一个且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射．这时，称y 是x 在映射f 作用下的象，记作)(x f ，于是y ＝)(x f ，x 称作 y 的原象．映射f 也可记为 B A f →: )(x f x → 其中A 叫做映射f 的定义域，由所有象)(x f 构成的集合叫做映射f 的值域．二、方法归纳求函数的解析式的一般方法：配凑法、换元法、待定系数法、特殊值法等等．求函数的定义域的一般原则：分母不为零，偶次根下的式子不负，零的零次幂没意义，零和负数无对数，等等．求函数的值域的常见方法：直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法、反函数法、单调性法等等．判断某“对应法则”是否为A→B 的映射，主要表现为“一对一”及“多对一”的两种特殊对应；应特别注意：①A 中任一元素在B 中应有象，且象唯一；②B 中可以有空闲元素，即B 中可以有元素没有原象．三、典型例题精讲

函数的定义域值域及解析式

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1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 例. 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？（1）f ( x ) = (x -1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x ； g ( x ) = （√x ）2 （3）f ( x ) = x 2；g ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x )=x 2-2x+2, g ( x )=t 2-2t+2 3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <．练习、请用区间表示（1）{|12}x x <<=____________， {|01}x x ≤≤=____________， {|10}x x -≤<=____________， {|23}x x <≤=____________，（2）{|}x x a ≥=____________， {|}x x a >=____________，