有关圆系的几个问题(精编资料)
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------
1 / 9
有关圆系的几个问题(精编资料)
有关圆系的几个问题 江苏省丹阳高级中学 杨松扣 在平面曲线中，有关圆的问题频繁出现，而圆中很多问题都可以通过圆系来解决，下面就几种常见圆系的一些情况来讨论。
一. 同心圆系 凡是有相同圆心(a ， b)的一切圆均可以写成以下形式：
其
中(a ， b)为定点(圆心)的坐标， r 是圆的半径， 可取任意正实数。 二. 等半径圆系 凡圆心在曲线 C ：
是参数)上，半径为定值 r
的一切圆均可以表示成以下形式：
反过来，凡写成这种形式的方程均可代表圆心在曲线 C 上运动，半径为 r 的圆。
三. 由两圆确定的圆系 定义： 设有圆 1C ：
0 F y 和圆 2C ：
则称到两圆的切线长相等的点的轨迹称为两圆的根轴。 下面来讨论根轴的方程。
设 ) y , x ( P0 0，由切线长公式知：
P 到圆 1C 的切线长 1 0 1 0 12020 1F y E x
到圆 2C 的切线长 2
则有：
整理得：
0 ) F F ( y ) E E ( x ) D D (2 1 0 2 1 0
由 P 点的任意性可知根轴的方程为：
由于 1C 的圆心，2C 的圆心，由两点式可得直线 2 1 OO 的方程，整理得：
y D D x E E 由，即根轴所在直线的方程(如果存在的话) 必与两圆连心线(存在的话)垂直。
为了讨论方便起见，我们把方程(1)和(2)分别简记为：
1C ：
和2C ：
，下面专门讨论以下形式的曲线的方程：
其中可取任意实数。
易见，当时，即为根轴所在的直线的方程。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------
3 / 9
除根轴以外，下面只讨论 时的情形。
(A) 若1C ： 和2C ：
是同心圆 ①由于1C 和2C 是同心
圆，则
且
，则(3)式不代表任何曲线，故两
同心圆之间是不存在根轴的。
②凡写成(4)的方程一定代表一个以 1C 和2C 的圆心为圆心的圆。
③凡是圆心与1C 和2C 相同的圆都可以写成(4)的形式，但2C ：
除外。
(B) 若 1C ： 和
2C ：
不是同心圆 我们先证明这样的一个结论：
若代表一个圆， 则圆心 ‘ O 必在 1C 和2C 的圆心1O 和2O 的连线上，并且分有向线段2 1 OO 的定比为。 证明： 设有圆 1C
：
和圆 2C ：
则有，，若 0 ) F y E x D y x ( ) F y E x
即为：
0 ) F F ( y ) E E ( x ) D D ( y ) 1 ( x ) 1 (2
圆心，由定比分点公式可知：
‘ O 分有向线段 2 1 OO 的定比即为，从而也说明了点‘ O 在 2 1 OO 的连线上。
a. 若 1C 和2C 是两相交的圆，设交点为 ) y , x ( P1 1 1和 ) y , x ( P2 2 2。
①1C 和2C 的根轴是方程(3)除去圆内部分，即两圆公共弦所在的直线除去公共弦部分，因为圆内点不存在切线。
② 经过1P 和2P 两交点除2C 以外的一切圆都可以写成(4)的形式。
证明：
不失一般性，设1O 和2O 都在 x 轴上，并且取1C 的圆心为坐标原点, 可设：
1C ：
和圆 2C ：
若圆‘ C 经
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------
5 / 9
过两交点1P 和2P ，由 1P 和2P 关于 x 轴对称，则圆心 ‘ O 必在 x 轴上。
再设 ‘ C ：
则有
－(5) 得
－(5) 得
则有
因为
否则1C 和2C 重合) F FF
又∵ O’ 在2 1 OO 上，
并且 O’ 分有向线段2 1 OO 的比为， 则 ) 1 ( 2D) 1 ( 2D D2D2
代
入(8)式可整理得
（9
）
将 (9) (10)
代入圆 ‘ C 的方程得：
证毕。
③ 凡可以写成(4)式的方程一定是经过1P 和2P 的一个圆
证明：
(4)式代表的曲线经过1P 和2P 较易证. 下面着重证明它是一个圆。
因为写成(4)式的方程可以写成
当
时代表一个圆，时只代表一个点，时方程不能代表任何图形。
由于只有这三种情况，而上面的方程又一定经过1P 和2P 两点。
反过来，这条曲线上至少有两个点，故
也即方程代表了一个圆。
b. 若1C 和2C 是两相切的圆，设切交点为 ) y , x ( P0 0，
①根轴即为两圆过 P 点的公切线。
②与均切于 P 点除2C 以外的一切圆都可以写成(4)的形式。
③凡是可以写成(4)的形式的一切方程均代表一个与1C 和2C 同时相切于 P点的一个圆。
以上②和③的证明可仿照 a 中的证明。
c. 若1C 和2C 是两相离的圆①根轴是一条与1C 和2C 均相离且与两圆连心线2 1 OO 垂直的一条直线。
②圆心在2 1 OO 上与1C 和2C 都相离的圆不一定能写成这种形式。
如 1C ：
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------
7 / 9
， 2C ：
我们要求圆心在
半径为 r 的圆
的情况：
设圆的方程为：
， 即
若要圆心在
， 只要 3)
即
， 这时半径 19| A | 2AF
也就是说，当圆心在
时，
只有半径为 19 的圆才能用(4)式给出，而以半径为 1 的圆也满足与两圆相离，但不能写成这种形式，从而说明了以上结论的正确性。 ③凡是写成(4)形式的方程所代表的曲线可能是一个与圆和2C 都相离的圆，也可能是一个点，也有可能图象不存在( 实际上此时方程无意义)。 如 1C ： ， 2C ：
若
0 ] 1 y x [ ] 1 y ) 4 x [(2
，
即有 0 15 x 8 y )
可化成
由于
的值可能是正值，可能是负值，也可能是零，也就是说所代表的曲线图象可能是一个圆，一个点和不存在图象。
四.圆和直线构成的圆系设圆1C ：
1)和直线2C ：
所确定的曲线 C 的方程为：
则曲线 C 的一些性质可根据它们相交，相切和相离三种情况完全仿照两圆的相交，相切和相离三种情况分别得到。
例：
求圆关于直线
对称的曲线的方程。
解：
由于圆关于直线对称的图象是一个与原来的圆等半径的圆。
可设所求圆的方程为：
(10) 即 0 ) 19 3 ( y ) 8 ( x )
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------
9
/ 9
又
解之得：
， 或
由于
时即为已知圆1C ， 而1C 的圆心1O (2， 4) 不在2C ： 上，故所求的曲线 C 不可能是1C 从而舍去， 所以
，代入原方程整理可得：
即 1 ) 5
就是所要求的曲线的方程。
这个例题是圆和直线相交的情况，如果圆和直线相切或相离同样可以使用此法。
用此法还可求点关于直线的对称点。