东北大学2014年机械振动动力学基础考试题及参考答案

2014年机械动力学基础考试题参考答案

一、判断题（每个1分，共10分）

1、串联弹簧的等效刚度比原来各弹簧的刚度都要小，并联弹簧的等效刚度比原来各弹簧的

刚度都要大。√

2、多自由度振动系统的运动微分方程组中，各方程间的耦合是振动系统的固有性质。×

3、自由振动系统的振幅、初相角及振动频率是系统的固有特征，与初始条件无关。×

4、固有振型关于质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵均具有正交性。×

5、单自由度无阻尼振动系统作用一简谐激励，若初始条件为0，即

000

x x

==

&，系统不会有自由振动项。×

6、一般情况下，两自由度线性系统的自由振动是简谐振动。×

7、共振时无阻尼系统的振幅将随时间无限增大，响应滞后激励的相位角为π

2

。√

8、对于多自由度线性系统，当激振频率与其中任一固有频率相等时，系统都会发生共振。

√

9、一般来说，系统的固有频率和固有振型的数目与系统的自由度数目相同。√

10、杜哈梅积分将激励视为非常短的脉冲的叠加，适用于单自由度有阻尼的质量-弹簧系统

对任意激励的响应。√

二、简答题(每题5分，共计25分)

（1）什么是机械振动？举例说明振动的优、缺点。

答：机械振动是指物体（或物体系）在平衡位置（或平均位置）附近来回往复的运动。

第二问为开放题

（2）简述机械振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。

答：实际阻尼是指振动系统的真实阻尼值，用于度量系统自身消耗振动能量的能力；

临界阻尼是概念阻尼，是指一个特定的阻尼值，大于或等于该阻尼值，系统的运动不是振动，而是一个指数衰运动；

阻尼比（相对阻尼系数）等于实际阻尼与临界阻尼之比

（3）写出拉格朗日方程的表达式，并解释各符号所代表的含义。

拉格朗日方程的表达式为：

d ()()d j j

j j T T U

Q t t q q q ???-+=???&（j =1，2，…，n ）

。 式中，,j j q q &为振动系统的广义坐标和广义速度；T 为系统的动能；U 为系统的势能；Q j (t )

为对应与广义坐标q j 的除有势力以外的其他非有势力的广义力；n 为系统的自由度数目。

（4）简述建立系统微分方程的常用方法有哪几种？

牛顿第二定律、能量法、拉格朗日方程

（5）如何利用减幅系数确定系统中的阻尼系数。（第一句话为主）

只要测定衰减振动的第1次与第1+j 次振动的振幅之比，就可以算出对数减幅δ，从而确定系统中的阻尼系数的大小。1

1ln 1

+=

j A A j δ，2

2

2(δ

πδ

ζ+=），km c ζ2=。

三、计算题 (15分)

求图示滑轮系统的有阻尼固有频率及质量块在简谐力作用下的强迫振动响应。滑轮与绳子的本身重量及绳子的弹性可略去不计。

解：x , x 1, x 2坐标如图所示，取静力平衡位置为坐标原点，由滑轮系统分析有：

)(221x x x +=，2211x k x k =

(4分)

所以 x k k k x )(22121+=

，x k k k x )

(2211

2+=，由牛顿第二定律可得：

133sin()mx F t F c x k x ω=---&&&，x k k k k x k F )

(22212

1

111+==，

(4分)

整理得：

123312sin 4()k k mx c x k x F t k k ω??

+++=??+?

?&&&

)

(4212

13k k m k k m k n ++

=

ω，m

k k k k k c ???? ?

?++=)(42212133

?，n d ω?ω2

1-=

(4分)

其强迫振动解为：

)

sin(?ω-=t X x ，式中

()232

221213)(4ωωc m k k k k k F

X +?

??

? ??-++=

，

2

212

133)

(4tan ωω

?m k k k k k c -++=

(3分)

四、计算题 (15分)

如下图所示，两质量块的质量分别为m 和3m ，由4个弹簧连接，弹簧的刚度系数如图示。建立坐标系如下图，两质量块做微幅振动，坐标原点是诸弹簧的平衡位置。

（1）列出系统的振动微分方程（3分）；

（2）计算系统的固有频率和相应的主振型（10分）； （3）并画出振型图(2分)。

1

(1)利用影响系数法，得到系统的质量阵、刚度阵分别为

[]13M m ??=????

（1分）

[]1115K k -??

=??

-??

（1分）

于是，得到系统的振动微分方程为

[]{}[]{}0M x

K x +=&& （1分）

（2）系统的特征行列式为

[][]221110111015031503K M k m k ωωλ-?-?????????-=-=- ?????????

--??????

???? 其中，2

m k

ωλ=。令系统的特征行列式等于0，得到

11

0153λλ

--=--

（3分）

即，23840λλ-+=，可以解得，12

3

λ=，22λ= 所以，系统的两固有频率分别为

1ω=

≈

，2ω=≈ （3分）

当12

3

λ=时，对两质量块位置坐标满足的线性方程组的系数矩阵进行初等变换，得到

1121111113133153200131533λλ??--????----??????=→→????????--???

???---???????

所以，12223

x x x x =??=?，即一阶主振形为{}131φ??

=????

（2分）

当22λ=时，对两质量块位置坐标满足的线性方程组的系数矩阵进行初等变换，得到

2

211121111115315321100λλ------????????=→→????????----?--????????

所以，1222 x x x x =-??=?，即二阶主振形为{}211φ-??

=????

（2分）

（3）一阶主振型

（1分）二阶主振形

（1分）五、计算题(15分)

123

设：0

30

20

10

=

=

=θ

θ

θ，

10

θω

=

&，

2030

θθ

==

&&，利用振型叠加法求系统的响应。注：系统的运动方程为：

11

22

33

00-00

00-2-0

000-0

I k k

I k k k

I k k

θθ

θθ

θθ

??

????????

??????

????

+=

??????

????

??????

????

????????

??

&&

&&

&&

主振型为：

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=

1

2-

1

1-

1

1

1

1

u。

答案：1）正则化：

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=

I

I

I

6

2

3

T Mu

u，则正则振型为：

()()()

?

?

?

?

?

?

=

I

I

I

N6

2

3

3

2

1u

u

u

u=

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

-

-

6

6

2

2

3

3

3

6

3

3

6

6

2

2

3

3

1

/

/

/

/

/

/

/

/

I

。

( 因此： ??

???

?????==111T

N N N

Mu u M ，????

?????

?==232

2

21T ωωωN N N Ku u K 设：??????????=??????????321321q q q N u θθθ，则原方程转化为正则坐标下的单自由度方程：21112

22223

330

00q q q q q q ωωω?+=?+=??+=?&&&&&&&&&&&&

2) 按单自由度系统求解：

正则坐标下初始条件为：

??????????=??????????=??????????000302010T 302010θθθM u N q q q

，1010

T

20203030/3/2/6N q q q θθθ????????????==

??????????

????????

u M &&&&&& 所以正则坐标下系统的解为：(按0

0cos sin r r r r r r

t t ηηηωωω=+

&求解) ??

??

??????

??????????-=???

??

?????t t t I q q q 3322321sin 661sin 22133

ωωωωωωω 3）转化回物理坐标：

??

?

?

??

??????????

??+--++=??????????=??????????t t t t t t t t q q q N 3322333322321321sin 1sin 32sin 22sin 1

sin 326ωωωωωωωωωωωθθθu