2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案

2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题参考答案

答案速查： 一、选择题

三、解答题

（15）()f x 的单调递减区间为(,1)[0,1)-∞-U ；()f x 的单调递增区间为

[1,0)[1,)-+∞U .()f x 的极小值为0；极大值为11

(1)2

e --.

（16）(I)略；(II)0 （17）()23

3(1)2

t t t t ψ=

+>- （18）23abl

πρ?

??

（

19）(,)

a b 为22

(,2),(

2,)55

--

-- （20

）

13

316

π- （21）略

（22）(I) 1λ=-，2a =-； (II) 32110210x k ?? ??? ?

? ?=+- ? ? ? ??? ? ?

??

，k 为任意常数

（23）1a =-；0Q ???=???

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上.

(1) 函数()f x = ( ) (A) 0. (B)1. (C) 2. (D)3.

【答案 B

【考点】函数间断点的类型 【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

函数的间断点分为第一类间断点和第二类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。第二类间断点为无穷间断点。 在本题中，

()f x = 0,1x =±

0lim ()lim x x x f x →→→==，

0lim 1,lim 1x x +

-

→→===- 所以0x =为第一类间断点

1

lim ()2

x f x →=

=，但函数()f x 在1x =处没有定义，所以1x =可去间断点。

1

lim ()lim

x x f x →-→-==∞，所以1x =-为无穷间断点.

所以选择B.

(2) 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数λμ，使

12y y λμ+是该方程的解，12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解，则 ( ) (A)

11,22λμ==. (B) 11,22λμ=-=-.

(C) 21,33λμ==. (D) 22

,33

λμ==.

【答案】A

【考点】线性微分方程解的性质及结构 【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

线性微分方程的解的性质即叠加原理，线性微分方程通解的结构为齐次方程的通解加上特解。

在本题中，

因12y y λμ-是()0y p x y '+=的解；故()()()12120y y p x y y λμλμ'-+-= 所以()(

)()()

11220y p x y y p x y λμ''+-+= 而由已知()()1122(),()y p x y q x y p x y q x ''+=+= 所以()()0q x λμ-=

又12y y λμ+是非齐次()()y p x y q x '+=的解； 故()()()()1212y y p x y y q x λμλμ'+++= 所以()()()q x q x λμ+= 所以12

λμ==

. (3) 曲线2

y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切，则a = ( ) (A)4e. (B)3e. (C)2e. (D)e. 【答案】C

【考点】导数的几何意义 【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

函数在某一点的导数表示在此点的切线斜率，两条曲线的切点应满足的条件。 在本题中，

因2

y x =与ln (0)y a x a =≠

相切，故1

2x a x x =?

?=在2

y x =

上，x =

2

a y = 在ln (0)y a x a =≠

上，x =

1ln 22

a

y a a == ln ln 1222222

a a a a a

e a e ?

=? ?= ?= ?= 所以选择C

(4) 设,m n 是正整数，则反常积分

?

的收敛性 ( )

(A) 仅与m 的取值有关. (B) 仅与n 的取值有关. (C) 与,m n 的取值都有关. (D) 与,m n 的取值都无关. 【答案】D

【考点】反常积分和重要极限1lim 1x

x e x →∞

??

+= ???

【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

反常积分的计算与判断，重要的极限公式1lim 1x

x e x →∞

??

+= ???

以及级数收敛性的判断法则。：设

f(x)在（a ，b ）非负，[,](,)a b αβ??，()f x 在[,]αβ可积，又设x a =（或x b =）是()f x 的瑕点，且0

lim ()()p

x a x a f x l →+-=（或0

lim ()()p

x a b x f x l →+-=），则当1p <且0l ≤<+∞时

瑕积分

()b

a

f x dx ?

收敛。

在本题中，

=+?

,

对于

，瑕点为0x =

设1n > ，112

1

[ln (1)]

1

lim 0,01m

n

x n

x x n

x

+

→-?=<

<故收敛。 设12

0[ln (1)]1,1,2,lim m

x x n m x +→-==存在，

不是反常积分 设1

22

10[ln (1)]1,2,lim m

m x x n m x x +-→-=>?存在，2011m <-<

，故收敛。

对于，

，瑕点为1x =，当m 为正整数时，12

1

1

[ln (1)]

lim (1)0m

x n

x x x

δ-

→-?-=，

其中01δ<<，故

收敛

故选(D)。

(5) 设函数(,)z z x y =,由方程(,)0y z F x x

=确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则

z z

x

y x y

??+=?? ( )

(A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.

【答案】B

【考点】隐函数的微分 【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点： 隐函数的微分，多元函数偏导的计算。隐函数求导的常用方法有：（1）利用复合函数求导法.（2）利用一阶全微分形式的不变性。 在本题中，

122212221x z y z y z

F F F F F z x x x x x F F F x

????

''''-+-?+? ? ?'??

???=-=-=?'

''?, 11221

1y z F F F z x y F F F x

'?

''?=-=-

=-?'

''?, 1212222

yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+???+=-==??''' (6) ()()

2211lim

n n

n i j n

n i n j →∞

===++∑∑ ( ) (A)

()()

1

2

1

11x

dx dy x y ++?

?

. (B) ()()

1

1

11x

dx dy x y ++?

?

.

(C)

()()

11

00

1

11dx dy x y ++?

?

. (D)

()()

1

1

20

1

11dx dy x y ++?

?

. 【答案】D

【考点】定积分的定义 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

利用定积分的定义求某些n 项和式的极限（先将和式表示成某函数在某区间上的一个积分和，它的极限就是一个定积分）。

特别是对于n 项和数列的极限，应该注意到：

101

1lim ()()n n i i

f f x dx n n →∞==∑?

其中多几项或少几项并不影响结果。

在本题中，

()()22211112lim lim 11n n

n n

n n i j i j n n

n i n j i j n n n n →∞→∞=====??++?

???+??+ ?

? ? ???????

∑∑∑∑ 221

1111

lim 11n

n

n i j i n j n n →∞

===????++ ???

∑∑

()()11200111dx dy x y =++?? (7) 设向量组12:,,r I αααL 可由向量组12:,,s II βββL 线性表示，下列命题正确的是( ) (A) 若向量组I 线性无关，则r s ≤. (B) 若向量组I 线性相关，则r s >.

(C) 若向量组II 线性无关，则r s ≤. (D) 若向量组II 线性相关，则r s >. 【答案】A

【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

向量组的线性表示与向量组的秩之间的关系：

若向量组I 可由向量组II 线性表示，则向量组I 的秩比不大于向量组II 的秩。 在本题中，

由于向量组I 能由向量组II 线性表示，所以()()r I r II ≤，即

11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤L L

若向量组I 线性无关，则1(,,)r r r αα=L ，所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤L L ，即

r s ≤，选(A).

(8) 设A 为4阶实对称矩阵，且2

A A O +=，若A 的秩为3，则A 相似于 ( )

(A) 1110??

?

? ? ?

?? (B) 1110?? ?

? ?- ?

?? (C) 1110??

?

- ? ?- ?

?

? (D) 1110-??

?

- ? ?- ?

?

? 【答案】D

【考点】矩阵的特征值和特征向量；相似对角矩阵 【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

（i ）A 与对角矩阵相似的充分条件：①A 有n 个不同的特征值；②A 是实对称矩阵 （ii ）A 与对角矩阵相似的充要条件：对于矩阵A 的每一个i n 重特征值i λ，其线性无关的

特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数i n ，即秩()i i r E A n n λ-=-. 在本题中，

设λ为A 的特征值，由于2

0A A +=，所以2

0λλ+=，即(1)0λλ+=，这样A 的特征值为-1或0.由于A 为实对称矩阵，故A 可相似对角化，即A Λ:，()()3r A r =Λ=，因此，

1110-?? ?- ?Λ= ?- ???，即1110A -?? ?

- ?Λ= ?- ?

?

?:. 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 3阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''-+-=的通解为y = . 【答案】2123cos sin x

y C e

C x C x =++，其中123,,C C C 为任意常数

【考点】高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程

【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

n 阶常系数齐次线性方程()(1)(2)120n n n n y p y p y p y --++++=L ，其中i p (1,2,,)

i n =L 为常数，相应的特征方程为12

120n n n n p p p λλλ

--++++=L 1）若12,,,n λλλL 是n 个相异实根，则方程的通解为1212()n x x

x n y x C e

C e C e λλλ=+++L ；

2）若0λλ=为特征方程的()k k n ≤重实根，则方程的通解中含有

0112()x k k C C x C x e λ-+++L ；

3）若i αβ±为特征方程的(2)k k n ≤重共轭复根，则方程的通解中含有

111212[()cos ()sin ]x k k k k e C C x C x x D D x D x x αββ--+++++++L L .

在本题中，特征方程为 3

2

220λλλ-+-=, 即()

()2

210λλ

-+=.

于是得特征根12λ=，2i λ=，3i λ=

-(i =

因此，通解为2123cos sin x

y C e

C x C x =++，其中123,,C C C 为任意常数.

(10) 曲线3

221

x y x =+的渐近线方程为 .

【答案】2y x =

【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点： 本题涉及到的主要知识点：

（i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

（ii ）渐近线分为水平渐近线（lim ()x f x b →∞

=，b 为常数）、垂直渐近线（0

lim ()x x f x →=∞）

和斜渐近线（lim[()()]0x f x ax b →∞

-+=，,a b 为常数）。

（iii ）注意：如果

（1）()

lim x f x x

→∞不存在；

（2）()

lim x f x a x

→∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。

在本题中，

3221lim 2x x x x

→∞+=， 333222222lim 2lim 011

x x x x x x x x x →∞→∞---==++，所以 2y x = (11) 函数()ln 120y x x =-=在处的n 阶导数()

()0n y = .

【答案】()21!n

n -?-

【考点】高阶导数 【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

231111

ln(1)(1)()23n n n x x x x x R x n

-+=-+-+-+L

在本题中，

用麦克劳林公式.已知

11

(1)ln(1)()(0)k k

n

n k t t o t t k -=-+=+→∑，

令2t x =-111

(1)(2)2ln(12)()()(0)k k k k n

n

n

n k k x x x o x o x x k k -==--?-=+=-+→∑

∑， ()

2(0)!2(1)!(1,2,3,)n

n n y n n n n

-?=?=--=L ，其中0!1=.

(12) 当0θπ≤≤时，对数螺线r e θ

=的弧长为 .

)1

eπ-

【考点】定积分的应用

【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

已知平面曲线

?AB的参数方程()

x x t

=，()

y y t

=()

t

αβ

≤≤，则弧长为

sβ

α

=?，其中()x t，()y t在[,]

αβ有连续的导数.

在本题中，

0xπ

≤≤，r eθ

=.

π

θ

?=0e d

π

θθ

?)1

eπ-

(13) 已知一个长方形的长l以2/

cm s的速率增加，宽w以3/

cm s的速率增加.则当12,5

l cm w cm

==时，它的对角线增加速率为 .

【答案】3/

cm s

【考点】导数的几何意义

【难易度】★★

【详解】设(),()

l x t w y t

==，

由题意知，在

t t=时刻

00

()12,()5

x t y t

==，且

00

()2,()3

x t y t

''

==，

又

()

S t=，

所以

()

S t'=

所以

()3

S t

''

'===

(14) 设,A B为3阶矩阵，且1

32,2

A B A B

-

==+=

，,则1

A B-

+= .

【答案】3

【考点】行列式的计算；矩阵的乘法

【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

有关行列式的几个重要公式：

1)若A,B都是n阶矩阵，则|AB|=|A|*|B|

2)若A是n阶可逆矩阵，则11

||||

A A

--

=

在本题中，

由于1111

()()

A A

B B E AB B B A

----

+=+=+，所以

11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+

因为2B =，所以1

1

1

2B

B

--==

，因此 111

1

3232

A B A A B B ---+=+=??=.

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分) 求函数2

2

21

()(-)x t f x x t e dt -=

?

的单调区间与极值.

【考点】函数单调性的判别；函数的极值 【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少. 在本题中，

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

()()x x x t t t f x x t e dt x

e dt te dt ---=-=-??

?

所以2

2

24

4

2

331

1

()2222x x t x x t f x x

e dt x e

x e

x e dt ----'=+-=?

?

令()0f x '=，则0,1x x ==±； 因为当1x ≥时，()0f x '>，01x ≤<时，()0f x '<，

10x -≤<时，()0f x '>，1x <-时，()0f x '<；

所以()f x 的单调递减区间为(,1)[0,1)-∞-U ；()f x 的单调递增区间为[1,0)[1,)-+∞U

所以2

21

11

11

(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=

-=-=-?

是极大值.

(1)0f ±=为极小值.

(16) (本题满分10分) (I) 比较

()1

ln ln 1n t t dt +?????

与1

0ln n

t t dt ?()1,2,n =L 的大小，说明理由；

(II) 记()1

ln ln 1n

n u t t dt =

+?????

()1,2,n =L ，求极限lim n n u →∞

. 【考点】定积分的基本性质；夹逼准则

【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

夹逼定理：设()()()g x f x h x ≤≤，若lim (),lim ()g x A h x A ==，则lim ()f x A =。 在本题中，

当0t →时，[]ln ln(1)0,ln 0n

n t t t t +→→，所以

()1

ln ln 1n

t t dt +?????

与

1

ln n

t

t dt ?均为定积分，故

(I)当01t <<时0ln(1)t t <+<，

故[]ln(1)n

n t t +<，所以[]ln ln(1)ln n

n t t t t +<

[]1

1

ln ln(1)ln n

n t t dt t t dt ∴+

(II)

()1

1

11

01ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-?=-

+?

?? ()

211n =+ 故由()

1

2

1

0ln 1n n u t t dt n <<

=

+?

，

根据夹逼定理得()

2

1

0lim lim

01n n n u n →∞

→∞

≤≤=+

故lim 0n n u →∞

=.

(17)(本题满分11分)

设函数()y f x =由参数方程2

2(1)()

x t t t y t ψ?=+ >-?

=?所确定，其中()t ψ具有二阶导数，且5

(1)2

ψ=，(1)6ψ'=，已知2234(1)d y dx t =

+，求函数()t ψ. 【考点】一阶线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程

【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

一阶线性微分方程()()y p x y q x '+=的通解为()()(())p x dx p x dx

y e q x e dx C -?

?=+?

在本题中，

根据题意得

(),22dy

t dy dt dx dx t dt

ψ'==+

()()()()()()22

2

222222232241t d t t t t t d y dt dx dx t t dt

ψψψ'?? ?'''+-+??+===++ 即()()()()2

22261t t t t ψψ'''+-=+

整理有()()()()2131t t t t ψψ'''+-=+

解()()()()()31151,162

t t t t ψψψψ'?''-=+??+??'==?? 令()y t ψ'=即()1

311y y t t

'-

=++ ()()()11113113dt dt t t

y e t e dt C t t C -++????∴=++=++ ???

?

()()1160y C ψ'==∴=Q ()31y t t ∴=+即()()31t t t ψ'=+

故()()2313312t t t dt t t C ψ=

+=++? 又由()()23

15310.22

C t t t ψψ=∴=∴=+

(18) (本题满分10分)

一个高为l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a ，短轴为2b 的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为32

b 时(如图)，计算油的质量.

(长度单位为m ，质量单位为kg ，油的密度为常数3

/kg m ρ)

【考点】定积分的应用 【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点： 将实际问题抽象成对应的数学模型，物理学中一些基本概念和其相互关系的公式。将曲线曲面积分转换成二次积分的求解方法。 在本题中，

油的质量M V ρ=，其中油的体积V S h l S =?=?底底高 又1

12

S S S S ab dxdy π=-=-??Q 底椭圆

22

3102

2x b a a ab dx dy π-

=-???

3220

212a x b ab b dx a π??=-?-- ? ???

3220

321a x ab b dx b a a π=--+??

32

2203212a x x

ab ab ab d a a

π=+-?-?

3

20

31112arcsin 1222a x ab ab ab x x a a π??=+

-+?- ???

332322683

4ab ab ab ab ab πππ??=+

-+=+ ? ??? 故2334M S h abl ρπρ??

=??=+ ? ???

(19) (本题满分11分)

设函数(,)f x y μ=具有二阶连续偏导数，且满足等式22222412

50x x y y μμμ

???++=????，确定,a b 的值，使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简为

20μ

ξη

?=??. 【考点】多元函数的偏导数 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

利用复合函数的链式求导法则求多元函数的偏导数的方法。 在本题中，

由复合函数链式法则得

u u u u u x x y x ξηξξη???????=?+?=+??????? u u u u u a b y y y ξηξηξη

???????=?+=?+????????

22

222222u u u x x u u u u x x x x

ξηξηηηξξηηξη??

????=+ ???????

????????=?+?+?+???????????

222222u u u ξηξη

???=++???? 222222222222()

u u u x y y u u u u y y y y u u u a b a b ξηξηηη

ξξηηξηξηξη

??????=+ ????????????????=?+?+?+?

?????????????=+++???? 22

u u u a b y y ξη??????=+ ???????

222222()()u u u u a a b b a a ξξηηξη????=+++?????? 22

22

2222u u u a b ab ξηξη???=++???? 故22222412

5u u u

x x y y

???++???? 2222

2

22(5124)(5124)(12()108)0u u u a a b b a b ab ξηξη

???=+++++++++=????

当22

5124051240(2)12()1080(3)a a b b a b ab ?++= (1)

?++= ??+++≠ ?

时满足等式， 则25a =-或2-，2

5

b =-或2-

又因为当(,)a b 为22

(2,2),(,)55

----时方程(3)不满足，

所以当(,)a b 为22

(,2),(2,)55

-- --满足题意.

(20) (本题满分10分) 计算二重积分2

2 sin 1cos D

I r

r drd θθθ=

-??，

其中(),|0sec ,04D r r πθθθ?

?

=≤≤≤≤???

?

. 【考点】二重积分的计算

【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

(,)(cos ,sin )D

D

f x y dxdy f r r rdrd θθθ=????.

在本题中，

2sin D

I r θ=??

sin D

r rdrd θ=??

D

=??

()10

1220

1x

dx dx x y ==-+????

()3

1

2201113x dx ??=--????? ()3

1

12

2001

13dx x dx =--?

?

20113

cos 43316

d πθθπ=-=-? (21) (本题满分10分)

设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，在开区间()0,1内可导，且f f 1

(0)=0,(1)=

3

. 证明：存在110122ξη????∈∈ ? ?????

，，，，使得22

()()=.f f ξηξη''++

【考点】微分中值定理

【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

设函数()f x 满足条件：①在[],a b 上连续；②在(),a b 内可导，则在(),a b 内至少?一个ξ,使()()()

f b f a f b a

ξ-'=-．

在本题中，

证明：令()()3

13

F x f x x =-

对于()F x 在10,2??

????

上利用L -中值定理，得()()111

0,,0222F F F ξξ??

??

'?∈-= ? ?????①

对于()F x 在1,12??????上利用L -中值定理，得()()111

,1,1222

F F F ηη????'?∈-=

? ?????② 两式相加得()()22f f ξηξη''+=+ (22) (本题满分11分)

设110111a A b λλλ ????

? ?= - 0= ? ? ? ?1 1 ????

，

已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解

(I) 求λ,a ;

(II) 求方程组Ax b =的通解.

【考点】非齐次线性方程组的解；非齐次线性方程组的通解 【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

（i ）非齐次线性方程组有解的充分必要条件()(,)r A r A b =。 （ii ）非齐次线性方程组解的结构式齐次线性方程组的通解加上特解。 在本题中，

（I ）方法一：已知Ax b =有2个不同的解()(,)3r A r A b ∴=<，对增广矩阵进行初等行变换，得

22

11111(,)010101

111111

11111101010101

01100

11a A b a a a λλλλλλ

λλ

λλλλλλλ????

?

?=-→- ? ? ? ?????

???? ? ?→-→- ? ?

? ?-----+???

?

当1λ=时，

11111111(,)000100010000000A b a ???? ? ?

→→ ? ? ? ?????

此时，()1(,)2r A r A b =≠=，Ax b =无解，所以1λ≠。

当1λ=-，111

1(,)020

10002A b a -?? ?

→- ? ?+??

由于()(,)3r A r A b =<，所以2a =-。因此，1λ=-，2a =-。

方法二：已知Ax b =有2个不同的解 ()(,)3r A r A b ∴=<

又0A =，即211

10(1)(1)011A λ

λλλλ

=-=-+=，知1λ=或-1。 当1λ=时，()1(,)2r A r A b =≠=，此时，Ax b =无解，1λ∴=-。代入由()(,)r A r A b ∴=得2a =-。

（II ）310111112111111(,)02010100102200000000000

0A b ?

?- ?-??-?? ? ? ? ? ?→-→-→- ? ? ? ? ? ????? ? ???

原方程组等价为1323212x x x ?-=????=-??，即1

32333212x x x x x ?=+???=-??=??

?，123332110210x x x x ??

????? ? ? ? ?∴=+- ? ? ? ? ? ????? ? ???。

Ax b ∴=的通解为32110210x k ?? ??? ?

?

?=+- ? ? ? ??? ? ?

??

，k 为任意常数。

(23) (本题满分11 分)

设0141340A a a -??

?=- ? ???，正交矩阵Q 使得T

Q AQ 为对角矩阵，若Q 的第1

列为

2,1)T ，求,a Q 【考点】实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵 【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

（i ）设A 是n 阶矩阵，若存在数λ及非0的n 维列向量α，使得(0)A αλαα=≠成立，

则称λ是矩阵A 的特征值，称非零向量α是矩阵A 属于特征值λ的特征向量。 （ii ）如果n 阶矩阵A 与对角矩阵Λ相似，则称A 可以相似对角化，记成A :Λ，并称Λ是A 的相似标准形。

（iii ）相似对角化化A 为对角矩阵Λ的解题步骤： 第一步，想求出A 的特征值12,,n λλλK ；

第二步，再求所对应的线性无关的特征向量12,,,n αααK ；

第三步，构造可逆矩阵12(,,,),n P ααα=K 则12

1

n P AP λλλ-?????

?=?????

?

O 在本题中，

由于0141340A a a -?? ?=- ? ???，存在正交矩阵Q ，使得T

Q AQ 为对角阵，且Q

的第一列为

2,1)T ，故A 对应于1λ

的特征向量为12,1)T ξ=

，故1A λ=，即10141113224011a a λ-?????? ??? ?-= ??? ? ??? ???????

，由此可得11,2a λ=-=. 014131410A -??

?

=-- ? ?-??

，由14131041E A λλλλ--=-=-，可得

14144

141311312

3

141

404

4

4

1

(4)

(4)(2)(5)0

2

3

λλλλλλλ

λλλλλλλλλ-----=

-=

----++-=+=+--=-

故A 的特征值为1232,4,5λλλ==-=，且对应于12λ=

的特征向量为12,1)T ξ=

.

由2()0E A x λ-=，即1234141710414x x x --???? ?

?-= ? ? ? ?--????

4141711011710270010414000000---??????

? ? ?-→-→ ? ? ? ? ? ?--??????

可得对应于24λ=-的特征向量为2(1,0,1)T

ξ=-.

由3()0E A x λ-=，即1235141210415x x x -???? ?

?= ? ? ? ?-????

514121121101121099011011415099000000--????????

? ? ? ?→→→ ? ? ? ? ? ? ? ?---????????

可得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)T

ξ=-.

由于A 为实对称矩阵，123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量，所以123,,ξξξ相互正交，只需单位化：

3121231232,1),1,0,1),1,1)T T T ξξξηηηξξξ=

===-==-， 取(

)123,,0Q ηηη???

==?

??

，则245T Q AQ ??

?=Λ=- ? ???.

二年级数学考试题

二年级数学考试题 一，开动脑筋，带你走进数学乐园。 1.根据口决七八（）写两道乘法和除法算式。 （）×（）=（）（）×（）=（） （）÷（）=（）（）÷（）=（） 2．一颗有（）个角，那6个有（）个角。 3．2的8倍是（），8是2的（）倍。 4.一个星期有（）天，35天是（）个星期。 5．选cm,dm或m填空。 一支铅笔2（）一张床长180（）一棵大树高15（） 6.60cm=( )dm 8dm=( )cm 30dm=( )m 2m=( )cm 5m=( )dm 500cm=( )m 7.( )里最大能填几？ （）×8＜60 6×（）＜41 50＞7×（） 46＞（）×9 （）×4＜35 5×（）＜50 8．看图列算式并计算。 你还有别的算法吗？ 9.按规律填数。 6 7 8 3 42 72 40 27 二，我是公正裁判员，对的画∨，错的画×。 1．50dm+50cm=1m ( ) 2.直角一定比锐角大。（） 3.20个桃子分给5个小朋友，每个小朋友得4个。（） 4．2+2可以写成2×2，3+3就可以写成3×3。（） 5．英国数学家威廉.奥特雷德提出用×表示相乘。（） 三，快乐ABC。（将正确答案的序号填进括号里） 1.右图中有（）个锐角。 A．3个 B．4个 C．5个 2.21连续减（）次3，才能得到0。 A．7 B．8 C．9 3.小明拿了两张5元和1张2元去超市想买一个文具盒，超市阿姨说：“还差一元就行了。”你知道文具盒要（）元。 A．11 B．12 C．13 4．8只青蛙有（）条腿。 A．16 B．32 C．48 5.在60dm,40dm,180cm,500cm,4m中（）最长，（）最短。 A．60dm B．180cm C．500cm

全国硕士研究生入学统一考试数学一考试大纲

全国硕士研究生入学统一考试数学一考试大纲 高等数学一、函数、极限、连续 考试内容：函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和 无穷大量的概念 及其关系无穷 小量的性质及无 穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个 准则：单调有界 准则和夹逼准则 两个重要极限:， 函数连续的 概念函数间断 点的类型初等 函数的连续性 闭区间上连续函 数的性质 考试要求 1．理解函数的概 念，掌握函数的 表示法，会建立 应用问题的函数 关系. 2．了解函数的有 界性、单调性、 周期性和奇偶 性． 3．理解复合函数 及分段函数的概 念，了解反函数 及隐函数的概 念． 4．掌握基本初等 函数的性质及其 图形，了解初等 函数的概念. 5．理解极限的概 念，理解函数左 极限与右极限的 概念以及函数极 限存在与左、右 极限之间的关 系． 6．掌握极限的性 质及四则运算法 则. 7．掌握极限存在 的两个准则，并 会利用它们求极 限，掌握利用两 个重要极限求极 限的方法． 8．理解无穷小 量、无穷大量的 概念，掌握无穷 小量的比较方 法，会用等价无 穷小量求极限． 9．理解函数连续 性的概念（含左 连续与右连续）， 会判别函数间断 点的类型． 10．了解连续函 数的性质和初等 函数的连续性， 理解闭区间上连

续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容：导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高 阶导数一阶微 分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则函 数单调性的判别 函数的极值函 数图形的凹凸 性、拐点及渐近 线函数图形的 描绘函数的最 大值和最小值 弧微分曲率的 概念曲率圆与 曲率半径 考试要求 1.理解导数和微 分的概念，理解 导数与微分的关 系，理解导数的 几何意义，会求 平面曲线的切线 方程和法线方 程，了解导数的 物理意义，会用 导数描述一些物 理量，理解函数 的可导性与连续 性之间的关系． 2．掌握导数的四 则运算法则和复 合函数的求导法 则，掌握基本初 等函数的导数公 式．了解微分的 四则运算法则和 一阶微分形式的 不变性，会求函 数的微分． 3．了解高阶导数 的概念，会求简 单函数的高阶导 数． 4．会求分段函数 的导数，会求隐 函数和由参数方 程所确定的函数 以及反函数的导 数. 5．理解并会用罗 尔(Rolle)定理、 拉格朗日 (Lagrange)中值 定理和泰勒 (Taylor)定理， 了解并会用柯西 中值定理． 6．掌握用洛必达 法则求未定式极 限的方法． 7．理解函数的极 值概念，掌握用 导数判断函数的 单调性和求函数 极值的方法，掌 握函数最大值和

小学二年级趣味数学题及答案

小学二年级趣味数学题及答案 二年级趣味数学题1 1、桌子上原来有12支点燃的蜡烛，先被风吹灭了3根，不久又一阵风吹灭了2根，最后桌子上还剩几根蜡烛呢？ 2、狐狸用50元的假钞买走了老山羊店里一件45元的皮衣，老山羊还找给狐狸5元钱，那么你知道老山羊损失了多少元钱吗？ 3、24人排成一排，一、二报数，报二的人向前走两步，问：原地不动的人有几个？ 4、在巷子的一边有5盏灯，每两盏灯之间相隔8米，这条巷子有多长？ 5、10辆车排成一队，从前往后数，黑色轿车是第6辆，那么，从后往前数，它在第几辆？ 二年级趣味数学题2 1、找规律写数 628、629、630、（）、（）、（） 106、108、110、（）、（）、（） 525、530、535、（）、（）、（） 521、531、541、（）、（）、（） 192、292、392、（）、（）、（） 2、用1、2、3三个数字，可以写出多少个不同的三位数？ 3、一个三位数，它的百位上的数是最大的一位数，个位上的数是十位上的数的2倍，这个数可能是（）、（）、（）、（）

4、一个四位数，最高位上的数是2，百位上的数是最高位上的数的一半，十位上的数是百位上的数的3倍，个位上的数与百位上的数相同，这个数是（）。 5、一个四位数，右边第一位数是3，第三位数是2，十位上的数字是百位上数字的3 倍，这四个数字之和是13，这个四位数是多少？ 6、小东有10元人民币，小华有16元人民币，小华给小东几元钱，两人的钱就同样多？ 二年级趣味数学题3 1、一根绳子两个头，三根半绳子有几个头？ 2、二年级给一年级9本书后，两个年级的书就同样多。二年级的书原来比一年级多多少本？ 3、两个工程队共有100人，如果从甲队调20人到乙队，两个工程队的人数就一样多。两个工程队原来各有多少人？ 4、下面是有关数的排列，你能找到它们的规律吗？哪一行和其他三行的规律不同？试试看，千万不要失去机会。（）行 （1） 6 、7 、8 、9 、10 （2） 5 、 6 、7 、8 、9 （3） 2 、 4 、 6 、8 、10 （4） 3 、 4 、 5 、 6 、7 你能找到这些数的排列规律吗？找到以后在括号里填出合适的数。

小学二年级期末数学考试题

小学二年级期末数学考试题 小学二年级期末数学考试题一一.我会算。 1、直接写出得数。(13分) 9×9 = 2×8 = 3×4 = 8×7 = 5×6 = 100-13= 8×9 = 7×5 = 6×0 = 2×9 = 8×5 = 45+45-7= 6×6 = 6×7 = 96-53= 29+23= 7×5+29 = 62-15+15= 6×4–24 = 8×8 + 8 = 19+7×9= 70-5×5= 44-33+22= 30厘米 + 20厘米 =( )厘米 90米– 25米 =( )米 1米=( )厘米 2、列竖式计算下列各题。(8分) 63 + 27 = 80 -17 = 5 + 69 = 45 + 25 -19 = 85-17 + 25 = 53-(24+18)= 67-28+11= 44-26-8= 3、我会列式计算。(4分) (1)5个8相加的和是多少? (2) 9和6相乘积是多少? (3)61与29的差是多少? (4)61与29的和是多少? 二、我会填。(33分) 1、用3、5、6可以组成( )个两位数它们分别是( )( )( )( )、( )( )。 2、正方体从每个面看到的都是( );球从每个面看到的都是( );圆柱从上下两面看到的是( )，从侧面看到的是( );一个三角板里有( )个直角，有( )个锐角。

3、求2个4相加列式是( )，求2个4相乘列式是( )。 4、7+7+7+7 = ( )，乘法算式是( )或( )，读作( )或( )，用到的口诀是( )。 5、写出得数是24的两道乘法算式是( )和( )。 6、( )里最大能填几。 ( )×7 ( )×9 2×( ) 小学二年级期末数学考试题二一、口算。(6分) 14÷2= 6×8= 35÷5= 72÷8= 54÷6= 3×7= 24-6= 4×9= 64÷8= 42÷7= 9+4= 40÷5= 二、填空题。(共32分) 1、8+8+8+8+8=( )×( ) 3+3+3+3+3+3=( )×( ) 2、56÷7=( )，算式中的除数是( )，计算时用到的口诀是( )。 3、18块糖，每人分2块，可以分给( )人;如果平均分给6人，每人分到( )块。 4、比80少25的数是( )。 6、81是9的( )倍，( )的4倍是28. 7、在( )里填上合适的数。 3×( )=24 ( )×7=56 48÷( )=8 16÷( )=8 ( )÷6=6 5×( )=45 8、两个乘数都是9，积是( );被除数和除数都是9，商是( )。 9、5只小兔有( )条腿;( )只小鸭有14条腿。 10、在( )里填上“>”“<”“=”。

2019研究生数学考试数一真题

2019年考研数学—真题及答案解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。 （1）当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k = （A ）1. （B ）2. （C ）3. （D ）4. （2）设函数(),0, ln ,0,x x x f x x x x ?≤?=?>??则0x =是()f x 的 A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点. C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点. （3）设{}n u 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是 A.1m n n u n =∑ B.() 1 11m n n n u =-∑ C.111m n n n u u =+??- ?? ?∑ D.()22 11 m n n n u u +=-∑ （4）设函数()2,x Q x y y = .如果对上半平面()0y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有() (),,0C P x y d x Q x y d y +=?，那么函数(),P x y 可取为 A.2 3x y y -. B.231x y y -. C.11x y -. D.1x y - . （5）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3 阶单位矩阵。若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形为 A.222123y y y ++. B.222 123y y y +- C.222123y y y -- D.222123y y y --- （6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++= 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则

二年级数学上册期末考试题(含答案)

2018年小学二年级数学上册期末考试卷 得分___________ 一、我会口算（共10分） 72－8= 5×9= 36－9= 57+9= 30+70= 76－40= 8×4= 7×5= 70－7= 35+8= 9+44= 5×4= 9×6= 24－7= 3×8= 7×8－20＝ 4×9＋4＝ 32－20+50＝ 7－3×2＝ 二、我会填。（每空一分，共28分） 1.） 在括号里填上适当的单位名称。 ①一张床长约200（ ） ②长颈鹿高约3（ ） ③一本语文课本厚约2（ ） ④一座楼房高12（ ） ⑤小学生每天在校时间是6 （ ）。 ⑥看一场电影的时间是120（ ）。 2.）小丽的身高是83厘米，小兵身高1米，小丽比小兵矮（ ）厘米。 3.）7+7+7+7=（ ）写成乘法算式是（ ）读作( ）； 4.）两个乘数都是8，积是（ ）。 5.） 你能用 0 、 3 、 5 这三张数字卡片组成（ ）个不同的两位数，其中最大的数是（ ），最小的数是（ ），它们相差（ ）。 6.） 2和7的和是（ ）2个7的和是（ ），2个7的积是（ ） 7.） 8.） 在○里填上 “﹥”、“﹤”或“=”。 26○17+18 31﹣8○3×7 100厘米○98米 9.） 括号里最大能填几？ 8×（ ）＜ 60 42＞（ ）×6 27＞4×（ ） （ ）×5＜36 70＞ 9×（ ） （ ）×3＜22 三、我会选（将正确答案的序号填在括号里 ）（每题1分，共5分） 学校： 班级： 姓名： 装 订 线

1.） 4个3列成加法算式是（）。 ① 3+3+3+3 ② 4+4+4 ③ 4×3 2.）明明有3件不同的衬衣，2条颜色不一样的裙子，一共有（）种穿法。 ①5 ②6 ③3 3.）下列图形中，有二个直角的是（）。 ①②③ 4.）下列线中，线段是（）。 ①②③④ 5.）可以用测量物体长度单位的是（）。 ①时②角③分④米 四、我会用竖式计算。（每题2分，共12分） 90-54= 38+44= 38＋59＝ 60-27-9= 100-（42+19）＝ 86-（52-28）= 五、我会画我会画（共6分） 1.）画一条比5厘长的线段。 2.）在下面分别画一个锐角，一个钝角和一个直角。 六、我会动脑（每空1分，共9分） 1.）观察物体（将正确答案的序号填在括号里）

小学二年级数学试题

小学二年级作业 年 姓名 一、 看一看，填一填。 1. （ ）厘米 3. （ ）厘米 二、量一量，填一填。 1.这本练习册长约（ ）厘米，宽约（ ）厘米。 2.数学书长约（ ）厘米，宽约（ ）厘米。 三、我是测量小高手。 这个图形是（ ）形， 四条边共（ ）厘米。 四、我的眼力最棒。（请在正确测量方法下面画 （ ） （ ） （ ） 一只蜗牛往墙上爬，第一天爬了30厘米，晚上 却滑下10厘米，第二天又向上爬30厘米，现在蜗牛向上爬了多少厘米？ 一、我会选“米”和“厘米”来填空。 （ ）厘米 （ ）厘米（ ）厘米 （ ）厘米 数学小博士

桌子高约80( ) 床长2( ) 牙刷长约15( ) 汽车长约3( ) 茄子长约20( ) 小红高130() 二、我会填。 1.量较长的物体或距离时，通常用( )作单位。 2.用尺量较短的物体时，通常用( )作单位。 3.1米=( )厘米800厘米=( )米 4. 9厘米比( )少4厘米。 5. 18厘米－9厘米=( ) 厘米60米+7米=()米 三、我会比较。 1.在里填上“＞”、“＜”或“=”。 33厘米23厘米100厘米1米 40厘米4米1米30厘米+70厘米 2.把下列长度按从大到小的顺序排列。 6厘米60厘米6米66厘米60米 四、我是数学小法官。（对的画“√”，错的画“×”） 1.一枝粉笔长12米。（）

2.学校教学楼高16米。 （ ） 3.一根黄瓜长18米。 （ ） 4.小明的身高是135厘米。 （ ） 五、估一估椅子有多高，在正确答案下面画“√”。 六、森林运动会。 终点 起点 60m 50m 40m 30m 20m 10m 0m 1.正在进行的是（ ）米短跑比赛。 2.（ ）号是冠军。 3.①号比②号运动员慢（ ）米。 4.②号比④号运动员（ ）米。 一、我会判断。（下面图形中，是线段的画“√”）

2020年考研数学一真题及答案(全)

全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上． （1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在x 连续，则 (A) 12 ab =． (B) 12 ab =- ． (C) 0ab =． (D) 2ab =． 【答案】A 【详解】由0 11lim 2x b ax a + →-==,得1 2 ab =. （2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则 (A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-. 【答案】C 【详解】2() ()()[]02 f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6． (C) 4． (D)2 ． 【答案】D 【详解】方向余弦12 cos ,cos cos 33 = ==αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可. （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则

二年级数学测试题

二年级数学期中测试卷 (满分100分，90分钟完卷) 班级姓名总分 一、我会填空。(相信你一定能行)(每空一分，共26分) 1、按规律填空。 (1)5996、5997、（）、（）、（）。 (2) 3300、( )、3400、3450、（）。 2、一个数由4个千，2个百，8个一组成，这个数是( )。 3、7309是由（）个千，（）个百，（）个一组成的，这个数读作：（） 4、3000m=（）km 5cm=( )mm 4m=( )dm 45mm=( )cm( )mm 90dm=( )cm 5km=( )m 3、判断35+196=241计算结果是否正确，可用算式( )或算式( )来检验。 4、用3、7和两个0组成不同的四位数中： (1)最小的四位数是( )，最大的四位数是( )。 (2)两个“0”都不读出来的是( )或( )。 (3)只读一个“0”的是( )或( )(填两种即可)。 5 、文具店运回900个练习本，上午卖出了500本，下午卖出了250本，文具还剩( )个练习本。X|k | B| 1 . c|O |m 6、小学二年级下册数学期中试题：西城小学有480个男生，320个女生，西城小学总共有学生( )人。 二、我是小法官。(正确的在括号里画√，错的画×)(5分) 1、与7640相邻的两个数是7639和7641。………………… ( ) 2、比10000小的数只有9999。…………………………( ) 3、四位数一定比三位数大………………………………( ) 4、425-216=219 ……………………………………… ( ) 5、1802=1000+80+2. ………………………………… ( ) 三、选择题,把正确答案的序号填在( )里。(5分) 1、读8900这个数时，( )。 ①读一个零②读两个零③一个零都不读 2、最大三位数加上( )就等于最小四位数。 ①10 ②100 ③1 3、在加法中，一个加数不变，另一个加数增加100，和( )。 ①增加100 ②减少100 ③不变 4、估算672-305时，差大约是（） ①400 ②300 ③200 5、四千零八写作（） ①408 ②4080 ③4008 四、计算。(可要细心啊)(26分) 1、口算。(8分) 8×8-50= 43+54= 300+500= 153-5= 72÷8+90= 290-140= 360-60+120= 1000-800= 2、用竖式计算。(18分) 437+269= 637-419= 900-245= 405-234= 777+666= 574+264= 五、看图列式计算（6 分）

二年级趣味数学--搭配问题

搭配问题 1.小红有一件牛仔上衣、一件T恤；两条裙子、一条裤子，一共有多少不同的搭配？ 2.早餐里都有3种饮料和3种点心，如果饮料和点心各选择一种，一共有多少种不同的搭配呢？ 3.选择正确的答案，将序号填在（）里。 （1）这四件衣服，有（）种配套穿法。 A 2种 B 3种 C 4种 D 6种 （2）0、3、5三张数字卡片，可以组成（）个不同的两位数。 A 2 B 6 C 4 D 5 （3）乒乓球比赛时，一班的3位代表分别与四班的4位代表握手，他们一共握了（）次手。 A 3 B 12 C 7 D 4 4.用0、1、2、3可以组成多少个不同的三位数？把它们写出来。 5.书架上有5本故事书和6本漫画书，小方每次从书架上任取一本故事书和一本漫画书，一共有多少种不同的取法？ 6.小红从家出发，途中经过新华书店买了两本书，然后再去游乐园，从小红家到书店有2条路可走，从书店到游乐园有3条路可走，从小红家到游乐园一共有多少种不同的走法? 7.三张数字卡片8, 6，9，可以摆出多少个不同的三位数呢?

8.把答案写在横线上。 （1）由9、3、7三个数能组成个不同的三位数。 （2）二（2）班的4名棋手分别与二（3）班的5名棋手下棋，每人下一盘棋，一共要下盘棋。 （3）有8只小青蛙，每两只都相互问候一次，它们一共问候次。 （4）早餐有种不同的搭配（三杯饮品、四种点心，注意饮品和点心各选一种）。 9.小明从家出发，途中经过超市，然后再去小强家，从小明家到超市有3条路可走，从超市到小强家有2条路可走，从小明家到小强家一共有多少种不同的走法? 10.往返于“北京-上海-杭州-广州”航空线上的飞机。航空部门为这个航线要设计多少种不同的机票？

小学二年级上册数学期末考试卷及答案

2013-2014学年度第一学期二年级数学期 末试卷 得分___________ 一、我会口算（共10分） 60－8= 5×9= 36－9= 57+9= 30+70= 76－40= 8×4= 7×5= 70－7= 35+8= 9+44= 5×4= 9×6= 24－7= 3×8= 5×8－20＝ 4×9＋4＝ 32－20+50＝ 7＋20－3＝ 二、我会填。（每空一分，共28分） 1.） 在括号里填上适当的单位名称。 ①一块橡皮长约6（ ） ②长颈鹿高约3（ ） ③一本语文课本厚约2（ ） ④一座楼房高12（ ） ⑤小学生每天在校时间是6 （ ）。 ⑥看一场电影的时间是120（ ）。 2.）小丽的身高是83厘米，小兵身高1米，小丽比小兵矮（ ）厘米。 3.）6+6+6+6=（ ）写成乘法算式是（ ）读作( ）； 4.）两个乘数都是8，积是（ ）。 5.） 你能用 ）个不同的两位数，其中最大的数是（ ），最小的数是（ ），它们相差（ ）。 6.） 2和7的和是（ ）2个7的和是（ ），2个7的积是（ ） 7.） 8.） 在○里填上 “﹥”、“﹤”或“=”。 26○17+18 31﹣8○3×7 100厘米○98米 9.） 括号里最大能填几？ 8×（ ）＜ 60 42＞（ ）×6 27＞4×（ ） （ ）×5＜36 70＞ 9×（ ） （ ）×3＜22 三、我会选（将正确答案的序号填在括号里 ）（每题1分，共5分） 1.） 4个3列成加法算式是（ ）。 ① 3+3+3+3 ② 4+4+4 ③ 4×3 学校： 班级： 姓名： 装 订 线

2.） 明明有3件不同的衬衣，2条颜色不一样的裙子，一共有（ ）种穿法。 ①5 ②6 ③3 3.）下列图形中，有二个直角的是（ ）。 ① ③ ④ 4.）下列线中，线段是（ ）。 ① ② ③ ④ 5.）可以用测量物体长度单位的是（ ）。 ①时 ②角 ③分 ④米 四、我会用竖式计算。（每题2分，共12分） 90-54= 38+44= 38＋59＝ 60-27-9= 100-（42+19）＝ 86-（52-28）= 五、我会画我会画（共6分） 1.） 画一条比5厘长的线段。 2.） 在下面分别画一个锐角，一个钝角和一个直角。 六、我会动脑（每空1分，共9分） 1.）观察物体（将正确答案的序号填在括号里 ） 小狗看到的是图（ ）；小猴看到的是图（ ）；小羊看到的是图（ ）。

历年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案

全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分．把答案填在题中横线上．） （1）曲线ln y x =上与直线1x y +=垂直的切线方程为 ． 【答案】1y x =- 【考点】导数的几何意义 【难易度】★ 【详解】 解析：由11 )(ln == '='x x y ，得1x =, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-?=-x y ， 即 1-=x y . （2）已知()x x f e xe -'=，且(1)0f =，则()f x = ． 【答案】 2 1ln 2 x 【考点】不定积分的换元法 【难易度】★★ 【详解】 解析：令t e x =，则t x ln =，于是有 t t t f ln )(='， 即 .ln )(x x x f = ' 积分得2ln 1()ln (ln )ln 2x f x dx xd x x C x = ==+??. 利用初始条件(1)0f =, 得0C =，故所求函数为()f x = 2 1ln 2 x . （3）设L 为正向圆周2 2 2x y +=在第一象限中的部分，则曲线积分x y y x L d 2d -?的值 为 ． 【答案】 π2 3 【考点】第二类曲线积分的计算；格林公式 【难易度】★★★ 【详解】 解析：正向圆周22 2 =+y x 在第一象限中的部分，可表示为 . 2 0:, sin 2,cos 2π θθθ→ ?? ?==y x

于是 θθθθθπ d ydx xdy L ]sin 2sin 22cos 2cos 2[220 ?+?=-?? =.2 3sin 220 2πθθππ = + ? d （4）欧拉方程)0(02d d 4d d 222 >=++x y x y x x y x 的通解为 ． 【答案】22 1x C x C y += ，其中12,C C 为任意常数 【考点】欧拉方程 【难易度】★★ 【详解】 解析：令t e x =，则 dt dy x dt dy e dx dt dt dy dx dy t 1= =?=-， ][11122222222dt dy dt y d x dx dt dt y d x dt dy x dx y d -=?+-=， 代入原方程，整理得 0232 2=++y dt dy dt y d ， 解此方程，得通解为 .22 1221x c x c e c e c y t t += +=-- （5）设矩阵210120001A ????=?? ???? ，矩阵B 满足**2ABA BA E ＝＋，其中* A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则 B = ． 【答案】 19 【考点】抽象型行列式的计算；伴随矩阵 【难易度】★★ 【详解】 解析：方法1：已知等式两边同时右乘A ，得 A A BA A ABA +=**2， 而3=A ，于是有 A B AB +=63， 即 A B E A =-)63(， 再两边取行列式，有 363==-A B E A ，

人教版二年级数学下册数学趣味题

一年级数学趣味题 1.甲、乙、丙三个小朋友赛跑。得第一名的不是甲，得第二名的不是丙，乙看见甲和丙都在自己的前面到达了终点。甲得了第（）名，乙得了第（）名，丙得了第（）名。 2.A、B、C三名运动员在一次运动会上都得了奖。他们各自参加的项目是篮球、排球和足球。现在我们知道：（1）A 的身材比排球运动员高；（2）足球运动员比C和篮球运动员都矮。诸你想一想：A是（）运动员，B是（）运动员，C是（）运动员。 3、爸爸买了3个皮球，两个红的，一个黄的。哥哥和妹妹都想要。爸爸叫他们背对着背坐着，爸爸给哥哥塞了个红的，给妹妹塞了个黄的，把剩下的一个球藏在自己背后。爸爸让他们猜他手里的球是什么颜色的，谁猜对了，就把球给谁。那么，谁一定能猜对呢？（）。 4、小菲、小南、小阳三个小朋友，分别戴着红、黄、蓝三顶帽子，排着队儿向前走，谁也不回头。小南能看见一顶红帽子和一顶黄帽子，小菲只能看到一顶黄帽子，而小阳一顶

帽子也看不到。你知道走在第一个的是谁？谁又走在第二个？最后一个又是谁呢？他们又各自戴着什么颜色的帽子呢？（）走在第一个，戴着（）帽子；（）走在第二个，戴着（）帽子；（）走在最后，戴着（）帽子。 5、3个小朋友下课后排队做游戏，他们一共最多可以有几种不同的排列法？ 6、一个小组的小朋友排队去做游戏，从前往后数排第3个，从后往前数排在第5个，共有多少小朋友在做游戏？ 7、按规律填数：0，1，3，6，10，（），（）。 8、小明家住在5楼，小明从一楼回到家共爬了几层楼梯？ 9、小猴与小兔去摘桃，小猴摘下15个桃，当小猴将自己的桃分3个给小兔子时，它俩的桃就一样多，你知道小兔子摘了多少个桃？ 10、小明回家时看到爸爸正在锯一根钢管，小明问爸爸要锯多少时间，爸爸对小明说：“锯一段要10分钟，要将一根钢

(完整)小学二年级数学上册期末考试题库

小学二年级上册期末考试题库

二年级数学上册期末试卷(一) 姓名:____________ 成绩:____________ 一、我会填（10分） 1、4个5相加是（）。 2、32÷8=4表示把（）平均分成（）份，还可以表示（）里有（）个（）。 3、1时=（）分78分=（）时（）分 4、同一方向观察物体最多可以看见（）面。 5、地图是按上（）下（）左（）右（）绘制的。 6、计算42÷7=6 时的口诀是（）。 7、被除数和除数相等时（零除外）商是（）。 二、我能行（28分） 1、算一算（12 分） 27 ÷3 = 18÷6 = 54÷9 = 5 ×7 = 8 ×7 = 5×6 = 7 ×8 = 24 ÷3 = 6 ÷6 = 40 ÷8 = 72 ÷8 = 4 ×6 = 2、在○里填上“＜”“＞”或“＝”，（6分）。 42÷7 ○8 2+2 ○2×2 3×9 ○3×6 4×4 ○2×8 1秒○；时100分○1小时 3、在○里填上“+”“–”“×”或“÷”（6分）。 8 ○8 = 0 45 ○8 = 53 4 ○7 = 28 9 ○3 = 3 48 ○6 = 8 9 ○9 = 81 4、根据口诀写出4个算式（4分）。 七八五十六四七二十八 ______________ ________________ ______________ ________________ ______________ ________________

______________ ________________ 三、选择正确答案的序号填在括号里。（10分） 1、看一集动画片大约需要30（）。 A 时 B 分 C 秒 2、4的8倍是多少？正确列式是（）。 A 4×8 B 4＋8 C 8÷4 3、观察物体 从侧面看到的是（）。 A B C 4、从8：00～11：00经过了（）时。 A 3时 B 2时 C 3分 5 、■的东面是（）。☆■★———— A ☆ B ※ C ★ D ———— 五、我是公正小法官。（10分） 1、一年分为四季，春季是3 月，4月，5月。（） 2、乘数×乘数= 积（） 3、把8分成2份，每份是4。（） 4、8个红球，2个白球，摸到红球的可能性大。（） 5、计算4×5和20÷4时用的口诀一样。（） 六、书店里的学问。（10分） 小明家

考研数学(数学一,数学二,数学三的区别)

三类数学试卷最大的区别在对于知识面的要求上：数学一最广，数学三其次，数学二最低。 考试内容： 数学一： ①高等数学(函数、极限、连续、一元函数微积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数的微积分学、无穷级数、常微分方程);②线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);③概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其概率分布、二维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。 数学二： ①高等数学(函数、极限、连续、一元函数微积分学、常微分方程);②线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量)。 数学三： ①微积分(函数、极限、连续、一元函数微积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);②线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);③概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其概率分布、随机变量的联合概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。 适用专业： 数学(一)适用的招生专业为： (1)工学门类的力学、机械工程、光学工程、仪器科学与技术、治金工程、动力工程及工程热物理、电气工程、电子科学与技术、信息与通信工程、控制科学与工程、计算机科学与技术、土木工程、水利工程、测绘科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科学与技术、核科学与技术、生物医学工程等一级学科中所有的二级学科、专业。

(2)管理学门类中的管理科学与工程一级学科中所有的二级学科、专业。 数学(二)适用的招生专业为： 工学门类的纺织科学与工程、轻工技术与工程、农业工程、林业工程、食品科学与工程等一级学科中所有的二级学科、专业。 数学(一)、数学(二)可以任选其一的招生专业为： 工学门类的材料科学与工程、化学工程与技术、地质资源与地质工程、矿业工程、石油与天然气工程、环境科学与工程等一级学科中所有的二级学科、专业。 数学(三)适用的招生专业为： (1)经济学门类的理论经济学一级学科中所有的二级学科、专业。 (2)经济门类的应用经济学一级学科中的二级学科、专业：统计学、数量经济学、国民经济学、区域经济学、财政学(含税收学)、金融学(含保险学)、产业经济学、国际贸易学、劳动经济学、国防经济 (3)管理学门类的工商管理一级学科中的二级学科、专业：企业管理(含财务管理、市场营销、人力资源管理)、技术经济及管理、会计学、旅游管理。 (4)管理学门类的农林经济管理一级学科中所有的二级学科、专业。。

二年级趣味数学测试题

二年级趣味数学测试题集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]

常平镇木棆小学徐维红 一、猜谜语(每小题5分) 1、无穷大，横看是只尺，竖看是根棒，年龄最最小，大哥他来当。（打一数字）（） 2、象个蛋，不是蛋，说它圆，不大圆，说它没有它又有，成千上万连成串。（打一数字）（） 二、在下面算式添上适当的运算符号，使等式成立。(每小题5分) （1）4444=0（2）4444=1 （3）4444=2（4）4444=7 三、填空(每小题5分) 1、()÷()×()＝24 2、()×()＋()＝21/，最小四位数是（）。 4、用0、1、2、3能组成（）个不同的三位数。 5、一根绳子长16米，对折以后，再对折，每折长（）米。 6、一个星期你在学校上学（）天，在家（）天。 7、小明、小亮和小刚3个小朋友进行乒乓球比赛，小明比赛了5场，小亮比赛了4场，小刚比赛了3场，这三名小朋友一共比赛了（）场比赛。 8、长方形有四个角，剪掉一个角，还剩（）个角，你能想出（）种情况 9、体育课上，30个同学排成一横队，依次报数后老师说：“1---10号向前走一步，20----30号向后退一步。”请问还有（）个同学原地不动？ 10、用6根火柴，最多可以搭（）个一样的三角形。 11、20个同学排成队做操，小红前面有11人，小红的后面还有（）人。 12、在圆形的花坛上放了10盆花，每两盆花相隔1米，花坛一圈长（）米。 13、弟弟今年6岁，哥哥今年10岁，10年后，哥哥比弟弟大()几岁。 14、联欢会上，小明按3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序。把气球串起来装饰教室。第16个气球是（）色的。

小学二年级上册数学考试试题

2009—2010学年 小学二年级数学上册期末综合卷 班别：姓名：学号：评分： 一、填空。（23分） 1、填口诀 二四（）（）得九（）十二 三五（）（）得六三六（） 2、9的3倍是（），4个5相加的和是（）。 3、7×6=（），口诀：（），读作： （），表示：（）4、1米=（）厘米 45厘米-6厘米=（）厘米 37厘米+5厘米=（）厘米23米-8米=（）米 5、在下面的（）里最大能填几？ （）×6＜27 （）＜3×7 4×（）＜15 35＞7×（） 6、一把三角板上有（）个角，其中（）个是直角。 7、比67多29的数是（），比67少29的数是（） 8、联系生活实际，填上适当的长度单位。 姚明的身高是226（）教室门的高度大约是2（）东方明珠电视塔高468（） 9、有三个班进行乒乓球比赛，每两个班进行一场，一共要比赛 （）场。 10、用2、4、6三个数可以写出的两位数分别是：（ ）。 11、长方形有（）条对称轴，圆有（）条对称轴。 12、在○里填上“+”、“-”、“×”或“＜”、“＞”、“=”。

8○6=48 36○73-37 9×7○65 2○2=4 43○6×7 18○9=9 43+25 〇58 62－35 〇28 38 〇19+ 29 64－25 〇48 44－17 〇34 36+26 〇62 54 〇27+27 35+47 〇72 13 教室门宽90 （）小红身高131（） 杯子高20 （）国旗的旗杆高18（） 一棵大树高12（）数学书封面长21（） 二、判断。（5分） 1、9个相加的和是13。（） 2、小强身高大约是137厘米。（） 3、角都有一个顶点，两条边。（） 4、计算48+29，得数大约是70。（） 5、1米和100厘米一样长。（） 三、选择题。（把正确答案的序号填在括号里，5分） 1、5个3相加是多少？正确的列式是（） Ａ、5+5+5=15 B、5＋3=８ C、5×3=15 2、用2、6、0三个数字组成的两位数有（）个。 Ａ、２B、４Ｃ、６ 3、小明有50元钱，买故事书花了28元，他大约还剩（）元。 A、22 B、30 C、20 4、5+5+5+4，不可以改写成算式（）。 A、5×4 B、5×3+4 C、4×5-1 5、4个好朋友见面互相拥抱一次，共要拥抱（）次。 A、3次 B、4次 C、6次 四、计算。 1、直接写出得数。（6分） 3×4＝ 6×7＝ 85-32＝ 3+7＝ 8×8＝ 31-2＝ 5×2＝ 7×8＝ 26+6＝ 1×9＝ 3×5＝ 8+41＝ 4×7=6×9=52－8= 5×6－6=

二年级趣味数学题

二年级趣味数学题 趣味题1 1、桌子上原来有12支点燃的蜡烛，先被风吹灭了3根，不久又一 阵风吹灭了2根，最后桌子上还剩几根蜡烛呢？ 2、狐狸用50元的假钞买走了老山羊店里一件45元的皮衣，老山 羊还找给狐狸5元钱，那么你知道老山羊损失了多少元钱吗？ 3、24人排成一排，一、二报数，报二的人向前走两步，问：原地不动的人有几个？ 3、在巷子的一边有5盏灯，每两盏灯之间相隔8米，这条巷子有 多长？ 5、10辆车排成一队，从前往后数，黑色轿车是第6辆，那么，从后往前数，它在第几辆？

趣味题2 1、找规律写数 628、629、630、（）、（）、（） 106、108、110、（）、（）、（） 525、530、535、（）、（）、（） 521、531、541、（）、（）、（） 192、292、392、（）、（）、（） 2、用1、2、3三个数字，可以写出多少个不同的三位数？ 3、一个三位数，它的百位上的数是最大的一位数，个位上的数是十位上的数的2倍，这个数可能是（）、（）、（）、（） 4、一个四位数，最高位上的数是2，百位上的数是最高位上的数的一半，十位上的数是百位上的数的3倍，个位上的数与百位上的数相同，这个数是（）。 4、一个四位数，右边第一位数是3，第三位数是2，十位上的数字 是百位上数字的3 倍，这四个数字之和是13，这个四位数是多 少？ 5、小东有10元人民币，小华有16元人民币，小华给小东几元钱，

两人的钱就同样多？ 趣味题3 1、一根绳子两个头，三根半绳子有几个头？ 2、二年级给一年级9本书后，两个年级的书就同样多。二年级的 书原来比一年级多多少本？ 3、两个工程队共有100人，如果从甲队调20人到乙队，两个工程队的人数就一样多。两个工程队原来各有多少人？ 4、下面是有关数的排列，你能找到它们的规律吗？哪一行和其他三行的规律不同？试试看，千万不要失去机会。（）行 （1） 6 、7 、8 、9 、10 （2） 5 、6 、7 、8 、9 （3） 2 、4 、6 、8 、10 （4） 3 、4 、5 、6 、7 你能找到这些数的排列规律吗？找到以后在括号里填出合适的数。（1）5、10、15、20、25、（）、（）、（）。 （2）1、3、5、7、9、11、（）、（）、（）。 （3）3、6、9、12、15、18、（）、（）、（）。 （4）2、4、8、16、32、（）、（）、（）。 （5）64、56、48、40、（）、（）、（）。 （6）960、480、240、（）、（）、（）。

小学二年级数学入学测试题

小学二年级数学入学测试题 姓名:_______ 学校:_______ 得分:______ 一、我会填（每空1分，24分） 1、3个一和6个十是( )。( )个十和( )个一是45。 2、个位上的数是2，十位上的数是比个位上的数大5，这个两位数是（ ）。 3、最小的两位数是（ ），再加上（ ）就是最大的两位数。 4、找规律填数。 5 写作（ ） 写作（ ） 写作（ ） 读作（ ） 读作（ ） 读作（ ） 6、56十位上数是（ ），表示（ ）个十，个位上数是（ ），表示（ ）个（ ）。 7、比69多25的数是（ ）。 8、40比（ ）大１，比（ ）小１。 81 87 93 99 2 3 5 8 12 17 百 十 个 百 十 个 百 十 个

二、我会比（6分） （ ) ( ) ( ) ( ） 三、口算（9分） 36＋29＝ 28＋34＋23＝ 50－20－18＝ 8－29＋51＝ 25＋85－96＝ 65 - 45 - 20= 33+20-40= 78 + 31 - 56 = 78 + 9 - 60 = 四、选择。请将正确答案的序号填在括号里（10分） 1、下列数中，（）比76大，比79小。 ①89 ②58 ③76 ④78 2、（）不是最大的两位数，但比96大，而且是双数。 ①99 ②98 ③97 ④96 3、红花有89朵，黄花比红花少很多。黄花可能有（）。 ①88只②25只③90只 4、同学们去浇树，六年级浇了30棵，三年级比六年级浇的少一些。三年级可能植树（）。 ①32棵②26棵③30棵 5、2张1元，2张5角，5张1角组成（）。 ①3元②3元5角③10元 五、数一数（17分） 1、看图数数。（3分） （）个 ( ) 个（）个 2、图形大世界（11分）